Incertitudes sur les estimations de puissances indirectes en cyclisme sur route
28/12/14
Frédéric Portoleau
Table des matières
1 Introduction...2
2 Rappel sur la modélisation du déplacement d'un cycliste...2
3 Application du principe des incertitudes composées aux estimations de puissance :...3
3.1 Incertitudes-type de chacune des grandeurs...4
3.2 Incertitude élargie et facteur d'élargissement...4
3.3 Logiciel de calcul...5
3.4 Incertitude-type des paramètres du modèle...5
3.5 Incertitude-type composée sur la puissance, coureur de 63kg qui développe 6 w/kg (378 watts), sur une distance de 10km...6
3.6 Incertitude-type composée sur la puissance étalon, coureur de 70kg qui développe 410 watts, pas d'erreur sur la masse du coureur, sur une distance de 10km...7
3.7 Incertitude-type composée sur la puissance réelle, coureur de 63kg qui roule entre 17 et 25 km/h sur une pente de 8% sur une distance de 10km...8
3.8 Contribution à la variance...9
3.9 Explications sur les marges d'erreur des paramètres d'entrée...10
4 Conclusion...13
1 Introduction
Après un court rappel sur la modélisation du déplacement du cycliste, les incertitudes sur la puissance seront estimées à partir d'une approche probabiliste.
La théorie utilisée est expliquée dans le document suivant :
http://media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/07/0/LyceeGT_ressources_MathPC_Mesure_
et_incertitudes_eduscol_214070.pdf
Voir aussi le guide pour l’expression de l’incertitude de mesure : Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)
http://www.bipm.org/fr/publications/guides/gum.html
2 Rappel sur la modélisation du déplacement d'un cycliste.
La puissance développée par un cycliste s'exprime de la manière suivante dans le cas d'un
mouvement rectiligne uniforme (pas d'accélération), sur un bon revêtement (route lisse sans trous ni pavés), sans vent et sans drafting :
Pméca=[(mc+mv)gsinαV+Cr(mc+mv)gcosαV+1
2ρSCxV3]/eff avecmc : masse corporelle coureur en kg
mv : masse vélo plus équipement en kg M: masse totale mc+mv
g: accélération de la pesanteur 9,81m s−2 V: vitesse en m s−1
α angle de la pente
Cr coefficient de roulement
ρ masse volumique de l'air en kg m−3 SCx surface frontale effective en m2
eff efficacité de la transmission vers la roue arrière
Le cycliste doit vaincre la gravité, les forces de frottement de roulement et les forces aérodynamiques. Point négligés sur des dépenses d'énergie : vibrations, mouvement verticaux, variation d'énergie cinétique. Le mouvement rectiligne uniforme ne correspond pas tout à fait à la réalité.
Une modélisation plus sophistiquée, qui tient compte du vent, des variations d'énergie cinétique est proposée par James C.Martin (Validation of a mathematical model for road cycling power, Journal of applied biomechanics, 1998). Pour appliquer ce modèle il faut connaître les variations de vitesse des coureurs ainsi que les propriétés mécaniques de leurs roues comme le moment d'inertie. Ce modèle a été vérifié expérimentalement. Une différence de 2,2% avec le SRM a été obtenue. Le contexte de l'estimation n'était pourtant pas favorable avec une route en faible pente et 74% de la puissance développée pour vaincre les résistances aérodynamiques. Cette résistance à l'avancement est la plus complexe à évaluer : il faut connaître avec une bonne précision le vent (vitesse et direction) et le SCx.
Expression de la puissance en fonction des paramètres mesurés :
L'angle de la pente dépend des altitudes d'arrivée h2 et de départ h1 et de la distance parcourue (hypoténuse du triangle rectangle)
sinα=(h2−h1) d
La vitesse dépend bien sur de la distance d et du temps de parcours t V=d
t
L'angle est inférieur à 5 degrés et les résistances de roulement sont faibles par rapport aux autres résistances. On peut simplifier l'expression avec cosα∼1
L'expression de la puissance mécanique externe du cycliste devient : Pméca=[(mc+mv)g(h2−h1)
t +Cr(mc+mv)g d t +1
2ρSCx(d/t)3]/eff
3 Application du principe des incertitudes composées aux estimations de puissance :
La puissance mécanique est une fonction f des variables aléatoires indépendantes suivantes:
Pméca=f(mc, mv, h2 , h1 , d , t , Cr, SCx, eff )
Pour simplifier les calculs, l'incertitude-type sur la densité de l'air ne sera pas prise en compte, de plus elle dépend des altitudes (ce n'est pas une variable indépendante).
A partir de la connaissance de l'incertitude-type de chacune des grandeurs u(xi) , nous pouvons déterminer l'incertitude-type de Pméca notée uc(Pméca)
Dans le cas général, les erreurs sont considérées comme petites devant les valeurs des grandeurs, on utilise la formule :
uc2(Pméca)=
∑
i=1 n
(∂ f
∂xi)
2
u2(xi)
où u(xi) est l'incertitude-type sur xiet uc(Pméca) est l'incertitude-type composée sur Pméca
L'expression ci dessus s'écrit également uc
2(Pméca)=
∑
i=1 n
(ciu(xi))2 avec
ci=(∂ f
∂xi)(μ) où μ représente la valeur de référence pour chacune des variables (une donnée ou une moyenne de donnée)
Les dérivées partielles sont appelées coefficients de sensibilité. Elles décrivent comment varie l'estimation de sortie y en fonction des variations dans les valeurs des estimations d'entrée x1, x2,...xn
La variance composée obtenue est:
uc2(Pméca)=(c1u(mc))2+(c1u(mv))2+(c3u(h2))2+(c4u(h1))2+(c5u(d))2 +(c6u(t))2+(c7u(Cr))2+(c8u(SCx))2+(c9u(eff))2
avec les coefficients ci qui ont pour valeur : c1=( ∂f
∂mc)(μ )=[g(h2−h1)
t +Crgd t ]/eff
avec les valeurs de référence pour chacune des variables c2=( ∂f
∂mv)(μ)=[g(h2−h1)
t +Crgd t ]/eff
c3=( ∂ f
∂h2)(μ)=[M g t ]/eff c4=(∂ f
∂h1)(μ )=−[M g t ]/eff c5=(∂ f
∂d)(μ )=[CrM g t +3
2ρSCx(d2/t3)]/eff c6=(∂f
∂t )(μ )=[−M g(h2−h1)
t2 −CrM g d t2−3
2ρSCx(d3/t4)] /eff
c7=(∂ f
∂Cr)(μ)=[M gd t ]/eff
c8=( ∂ f
∂SCx)(μ )=[1
2ρ(d/t)3]/eff c9=( ∂ f
∂eff )(μ)=−[M g(h2−h1)
t +CrM g d t+1
2ρSCx(d/t)3]/eff2
Finalement l'incertitude-type composée sur la puissance est la racine carrée de la variance composée.
3.1 Incertitudes-type de chacune des grandeurs
L’incertitude-type sur certaines variables peut être estimée par utilisation d’un modèle probabiliste décrivant la loi de propagation de l’erreur sur cette variable.
Nous allons utiliser la loi rectangulaire ou uniforme car nous ne connaissons qu'une majoration de l'erreur (explications de la loi rectangulaire dans le document de référence)
3.2 Incertitude élargie et facteur d'élargissement
La détermination du facteur d'élargissement correspond à ce qu’on appelle en statistique la détermination d’un intervalle de confiance à un certain niveau de confiance.
Nous sommes dans le cas où :
1)l'estimation y du mesurande Y est obtenue à partir d'un nombre significatif des grandeurs d'entrée qui peuvent être décrites par des lois de probabilité raisonnables telles que les lois normales ou rectangulaires.
2)Les incertitudes-types de ces estimations contribuent de manière comparable à l’incertitude-type composée du résultat de mesure y.
3)L’approximation linéaire supposée par la loi de propagation de l’incertitude est convenable.
Le facteur d'élargissement sera égal à 2.
L'intervalle [y−2uc(y); y+2uc(y)] contient alors 95% des valeurs que l'on peut raisonnablement associer à la grandeur Pméca
3.3 Logiciel de calcul
Les calculs ont été réalisés avec le logiciel Gum_MC téléchargeable ici : http://jeanmarie.biansan.free.fr/gum_mc.html
3.4 Incertitude-type des paramètres du modèle
Deux cas de figure sont proposés : 1)Incertitude-type minimale
Les paramètres d'entrée du modèle sont bien maîtrisés avec en particulier une cartographie de précision et la masse du coureur connue.
2)Incertitude-type maximale
Masse du coureur approximative, cartographie de qualité médiocre, SCx et Cr mal estimés.
Composantes Erreur minimale Erreur maximale
Masse coureur +/- 1 kg +/- 3 kg
Masse vélo plus équipement +/- 0,5 kg +/- 1 kg
Altitudes (h1 et h2) +/- 1 m +/- 5 m
Distance +/- 50 m +/- 200 m
Temps de parcours +/- 2 s +/- 10 s
Coefficient de roulement +/- 0.001 +/- 0.001
Surface frontale effective +/- 0.03 m2 +/- 0.05 m2 Efficacité de la transmission +/- 0.005 +/- 0.01
Les incertitudes-type s’obtiennent en divisant l'erreur par √3 (cas d'une loi rectangulaire)
Composantes Incertitude-type
minimale Incertitude-type maximale
Masse coureur u(mc) +/- 1/√3 kg +/- 3/√3 kg
Masse vélo plus équipement
u(mv) +/- 0,5/√3 kg +/- 1/√3 kg Altitudes (h1 et h2) u(h2), u(h1) +/- 1/√3 m +/- 5/√3 m
Distance u(d) +/- 50/√3 m +/- 200/√3 m
Temps de parcours u(t) +/- 2/√3 s +/- 10/√3 s
Coefficient de roulement
u(Cr) +/- 0.001/√3 +/- 0.001/√3 Surface frontale
effective
u(Scx) +/- 0.03/√3 m2 +/- 0.05/√3 m2 Efficacité de la
transmission
u(eff ) +/- 0.005/√3 +/- 0.01/√3
3.5 Incertitude-type composée sur la puissance, coureur de 63kg qui développe 6 w/kg (378 watts), sur une distance de 10km
Appliquons maintenant les calculs théoriques sur un cas concret : un coureur de 63 kg qui
développe 6 w/kg sur une distance de 10km. Les incertitudes-types sont calculées avec le logiciel Gum_MC.
Les incertitudes-types en fonction de la pente obtenues sont les suivantes : Pente
moyenne
Avec Incertitude-type minimale
Avec Incertitude- type maximale 10,00% (378 +/- 8) watts (378 +/- 20) watts
9,00% (378 +/- 8,5) watts (378 +/- 20) watts 8,00% (378 +/- 9) watts (378 +/- 20,5) watts 7,00% (378 +/- 9,5) watts (378 +/- 21) watts 6,00% (378 +/- 10,5) watts (378 +/- 22) watts 5,00% (378 +/- 12) watts (378 +/- 24) watts 4,00% (378 +/- 15) watts (378 +/- 27) watts
L'incertitude-type composée sur la puissance dépend de la pente. Au delà de 6% de pente moyenne, elle est inférieure à 3% dans la configuration minimale des incertitudes-type de chaque grandeur (courbe « erreur min »). Elle se stabilise mais ne descend pas en dessous de 2% à cause de l'incertitude-type sur la masse du coureur.
En dessous de 6%, la vitesse de déplacement dépasse les 25km/h pour un coureur de haut niveau qui développe 6 w/kg. L'erreur augmente en raison de l'incertitude-type élevée sur le SCx.
Sur la plat, l'incertitude-type dépasse les 15% si on connaît le SCx avec une marge d'erreur de 0,05m2.
L'incertitude-type composée dans le cas où les paramètres d'entrée du modèle sont mal maîtrisés, dépasse les 7% pour les pentes inférieures à 4% et ne descend pas en dessous de 5% pour les pentes comprises entre 7 et 10%.
3.6 Incertitude-type composée sur la puissance étalon, coureur de 70kg qui développe 410 watts, pas d'erreur sur la masse du coureur, sur une distance de 10km
Un deuxième cas concret : un coureur étalon de 70 kg développe 410 watts sur une distance de 10 km. Les incertitudes-types sont calculées avec le logiciel Gum_MC.
Les incertitudes-types en fonction de la pente obtenues avec Gum_MC sont les suivantes : Pente moyenne Avec Incertitude-
type minimale
Avec Incertitude-type maximale
10,00% (410 +/- 6) watts (410 +/- 10) watts 9,00% (410 +/- 7) watts (410 +/- 11) watts 8,00% (410 +/- 8) watts (410 +/- 12) watts 7,00% (410 +/- 9) watts (410 +/- 14) watts 6,00% (410 +/- 10) watts (410 +/- 16) watts
0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
incertitude type relative en fonction de la pente
coureur 63 kg 6 w/kg
erreur min erreur max
Pente moyenne
Incertitude
5,00% (410 +/- 12) watts (410 +/- 20) watts 4,00% (410 +/- 15) watts (410 +/- 25) watts
Dans le cas du calcul de la puissance étalon, il n'y a pas d'erreur sur la masse du coureur qui est supposée être à 70 kg au moment du dernier col de l'étape. Cette puissance étalon est une grandeur moins intéressante que la puissance réellement développée. Elle permet néanmoins des comparaisons entre cols et coureurs au fil des années.
3.7 Incertitude-type composée sur la puissance réelle, coureur de 63kg qui roule entre 17 et 25 km/h sur une pente de 8% sur une distance de 10km
Un troisième cas est proposé : celui dun coureur de 63 kg qui roule entre 17 et 25 km/h sur une pente de 8% et sur une distance de 10km. Les incertitudes-types sont calculées avec le logiciel Gum_MC.
Les incertitudes-types en fonction de la vitesse obtenues sont les suivantes : Vitesse
moyenne en km/h
Avec Incertitude- type minimale
Avec Incertitude-type maximale
17 (300 +/- 7) watts (300 +/- 16) watts 18 (320 +/- 7,5) watts (320 +/- 17) watts 19 (340 +/- 8) watts (340 +/- 19) watts 20 (361 +/- 8,5) watts (361 +/- 20) watts 21 (383 +/- 9,5) watts (383 +/- 21) watts
0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
incertitude-type relative en fonction de la pente
coureur etalon 410 watts
erreur min erreur max
pente moyenne
erreur
22 (404 +/- 10) watts (404 +/- 22) watts 23 (427 +/- 10,5) watts (427 +/- 24) watts 24 (449 +/- 11) watts (449 +/- 25) watts 25 (473 +/- 12) watts (473 +/- 27) watts
L'incertitude-type augmente progressivement avec la vitesse. Plus le coureur roule vite, plus il produit de la puissance pour vaincre les résistances aérodynamiques.
3.8 Contribution à la variance
Quelles sont les contributions des paramètres dans l'incertitude-type composée de la puissance ? Paramètres d'entrées bien maîtrisés
17 18 19 20 21 22 23 24 25
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
incertitude type en fonction de la vitesse
pente 8% coureur 63 kg
erreur min erreur max
vitesse km/h
incertitude
Dans les cas où les paramètres sont maîtrisés avec les incertitudes-type minimale, le Scx est la composante qui a le plus de poids sur l'incertitude composée. Les contributions sur la variance de l'erreur du temps de parcours, des altitudes et de la distance sont négligeables.
Paramètres d'entrées moins bien connus
Dans le cas où les paramètres d'entrés sont mal connus, en particulier la masse du coureur à +/- 3 kg, c'est justement la masse du coureur qui a le poids le plus élevé sur l'incertitude composée.
3.9 Explications sur les marges d'erreur des paramètres d'entrée
Pour tous les paramètres, nous allons utiliser une loi de probabilité rectangulaire. C'est à dire que la
u(masse coureur) u(masse velo)
u(haut)
u(bas)
u(distance) u(temps)
u(Cr)
u(SCx)
u(rendement) 0
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
contribution à la variance
incertitude-type minimale coureur 63 kg
Poids Relatif %
u(masse coureur) u(masse velo)
u(haut)
u(bas)
u(distance) u(temps)
u(Cr)
u(SCx)
u(rendement) 0
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
contribution à la variance
incertitude-type maximale coureur 63 kg
Poids Relatif %
probabilité est équivalente dans tout le domaine de variation. Par exemple un Scx de 0,35 +/-0,05 m2 sera compris entre 0,3 et 0,4 avec autant de chance d'avoir les valeurs 0,3 0,35 ou encore 0,4.
altitudes:
Moyens utilisés : cartes, profil organisateur, site de cartographie numérique.
Plusieurs méthodes utilisées et comparées pour réduire des erreurs systématiques 1)Si point géodésique de nivellement marqué sur carte IGN ou carte suisse : +-/ 2m http://geodesie.ign.fr/index.php?page=points_geodesiques
2)Carte IGN ou carte suisse, estimation de l'altitude avec les courbes de niveau : +/- 5m 3)Autre (Tour d'Espagne) : +-/10 m
Distance (plus de 3km):
Moyens utilisés : cartes papier, carte numérique (géoportail), bikemap, profil des cols (par expérience ce sont les profils du Tour d'Italie qui sont le plus précis parmi les 3 grands Tours) Incertitude type de la distance u(distance) : +/- 50m
L'erreur sur la distance dépend de la trajectoire des coureurs, de la détermination des positions de départ et d'arrivée, de la qualité des images satellite (le site géoportail contient des orthophotos avec corrections optiques).
Exemple de mesure sur géoportail : viaduc de Millau, les espacement entre pilier est de 342m, il y a en 7 soit 2052m. Mesure avec géoportail 2057m puis 2054m soit 5m d'erreur pour une distance de 2 km. La mesure de distance est donc très précise avec géoportail.
C'est la trajectoire des coureurs qui va modifier le plus la distance parcourue donc nous garderons une incertitude-type de 50m pour une distance de 10km. L'erreur sera plus grande aussi dans le cas où il n'est pas aisé de positionner le point d'arrivée de l'étape sur la carte.
Temps de parcours :
+/- 1s au mieux dans certains cas
+/- 10 s dans le cas où ne voit pas bien le passage des coureurs au point prévu pour la mesure Température et masse volumique de l'air : erreur négligée, peu d'influence dans notre cas car les résistances aérodynamiques sont surtout influencées par la vitesse au carré.
Surface frontale effective Scx :
Moyens utilisés pour estimer la surface frontale : photos de face, estimation sur une série de photo Scx +/- 0,05
Le Scx est en réalité une valeur dynamique, les coureurs changent de position au cours des ascensions.
Une valeur moyenne de 0,35 m2 est utilisée et ajustée à la taille du coureur. Une simple relation est proposée dans cet article : Evaluation of aerodynamic and rolling resistances in mountain-bike field conditions, journal of sport science, W.M. Bernucci
SCx=-0,189+0,304*taille(m)
Le Scx moyen pour une position haute en VTT a été de 0,357 +/- 0,023. Les estimations ont été faites à des vitesses faibles inférieures à 8,5m/s. La position haute en VTT ressemble à celle d'un routier en montée. Cependant, les résistances aérodynamiques sont plus élevés avec un VTT qu'un vélo de route. Nous ne prenons pas trop de risques avec une marge d'erreur de 0,05m2.
Cr : coefficient de roulement
De nombreuses mesures du coefficient de roulement ont déjà été réalisées (bicycle science, David
Gordon Wilson). La valeur la plus courante estimée sur route est de 0,004. Des mesures récentes le confirme :
http://www.biketechreview.com/tires/rolling-resistance/475-roller-data (Cr =0,0022 pour les pneumatiques les plus performants sur une surface très lisse, de 0,0033 à 0,0044 sur route)
Nous prendrons une incertitude type de 0,001 (25% d'incertitude relative). Ce coefficient pouvant varier entre autre avec l'état de surface des routes, les pneumatiques, la pression de gonflage. Les routes de montagne d'accès aux stations de sports d'hiver sont généralement en bon état sans être parfaitement lisses comme une autoroute. Les routes peuvent plus granuleuses sur certaines ascensions de cols.
Efficacité de la transmission
Les coureurs professionnels disposent tous de matériel haut de gamme et bien entretenu. Les différences de rendement des vélo différent peu entre équipes. Néanmoins ce paramètre peut être une source d'erreur systématique.
D'après le site http://www.friction-facts.com/, l'efficacité maximale est de 0,98. James Martin a estimé la perte de transmission à 2,4% lors de sa validation du modèle, soit une efficacité de 0,976.
Nous utiliserons par défaut 0,975 +/- 0,005
4 Conclusion
Les deux cas exploitables pour une estimation de la puissance sont :
1)La puissance réelle avec bonne connaissance de la masse des coureurs (+/- 1kg), une
cartographie très précise (Tour de France, Tour de Suisse), pas de vent, pas de drafting, pente supérieures à 7%, l'incertitude-type sera alors de 3%.
2)La puissance étalon peut être obtenue dans les même conditions avec une incertitude-type de 2%. On rappelle bien sur que cette puissance étalon est un paramètre moins intéressant que la puissance réelle mais elle permet tout de même des comparaisons.
Il est conseillé d'effectuer plusieurs estimations de puissance sur une même ascension en modifiant par exemple les points de départ et d'arrivée ou en étudiant les performances de plusieurs coureurs dans les mêmes conditions.
3 points importants ne sont pas pris en compte par le modèle décrit en début du document : 1)Variations d’énergie cinétique :
La puissance calculée par le modèle suppose que le mouvement est rectiligne uniforme. En réalité, la vitesse d'un coureur n'est pas tout à fait constante : des changements de rythme peuvent survenir à tout moment et les variations de pente accélèrent ou ralentissent les coureurs. En toute rigueur il faudrait ajouter les variations d'énergie cinétique. La non prise en compte de cette dépense énergétique tend à une sous estimation de la puissance réellement développée.
2)Aspiration :
A partir d'une certaine vitesse, le phénomène de « drafting » diminue la résistance aérodynamique.
Il est négligeable à faible vitesse.
3)Vent : il peut être favorable ou contraire. Dans tous les cas, nous nous réduirons à des estimations par force de Beaufort terrestre inférieure à 2. Cette information provient des sites de météorologie et des mesures de stations météo.
Dans un futur document, j'expliquerai comment estimer le drafting, limiter l'effet du vent et estimer sa vitesse et sa direction dans certaines situations.
