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École Doctorale Sciences Pour l'Ingénieur Université Lille Nord-de-France Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille (UMR CNRS 8022) Centre de Recherche INRIA Lille - Nord Europe

Numéro d'ordre : 40153 | Année : 2009

Mémoire de thèse présenté pour obtenir le grade de

Docteur de l'Université Lille 1 - Sciences et Technologies

Discipline : Informatique

Métaheuristiques pour l'optimisation multiobjectif

Approches coopératives, prise en compte de l'incertitude et application en logistique

Arnaud Liefooghe

Date de soutenance : 08/12/2009

Membres du jury

Président : Nour-Eddine Oussous, Professeur des Universités, Lille 1

Rapporteur : Alexandre Caminada, Professeur des Universités, Belfort-Montbéliard Rapporteur : Jin-Kao Hao, Professeur des Universités, Angers

Examinateur : Dirk Thierens, Professeur des Universités, Utrecht (Pays-Bas) Examinateur : Daniel Tuyttens, Professeur des Universités, Mons (Belgique) Directeur : El-Ghazali Talbi, Professeur des Universités, Lille 1

Co-directeur : Laetitia Jourdan, Chargé de Recherche, INRIA Lille-Nord Europe

la logistique, doivent faire fae à beauoup de diultés. En eet, ils sont souvent aratérisés

par desespaesde reherhe vastesetomplexes,de multiplesfontionsobjetif ontraditoires,

et une foule d'inertitudes qui doivent être prises en ompte. Les métaheuristiques sont des

andidates naturelles pour résoudre es problèmes, e qui les rend préférables aux méthodes

d'optimisationlassiques.Toutefois,ledéveloppementdemétaheuristiqueseaesdéouled'un

proessusdereherhe omplexe.Le÷urdeetravailrésideenlaoneption,l'implémentation

etl'analyse expérimentale de métaheuristiquespour l'optimisation multiobjetif,ainsiqueleurs

appliationsàdesproblèmeslogistiquesdetournéesetd'ordonnanement.Toutd'abord,unevue

uniée de esapprohesest présentée, puisintégrée dansune plateforme logiielle dédiée àleur

implémentation,ParadisEO-MOEO.Ensuite,plusieursapprohesdeoopération,ombinantdes

métaheuristiquespourl'optimisation multiobjetif,sont proposées.Enn,laquestiondelaprise

en ompte l'inertitude est abordée dansleontextede l'optimisation multiobjetif.

Motslés. Reherheopérationnelle;Optimisationombinatoire;Optimisationmultiobjetif;

Programmationheuristique;Algorithmeshybrides;Inertitude;Ordonnanement;Problèmedu

voyageur deommere.

Abstrat

Manyreal-world optimization problems,espeiallyin the eld of logistis, have to fae a lotof

diulties. Indeed, they are often haraterized by large and omplex searh spaes, multiple

oniting objetive funtions, and a host of unertainties that have to be taken into aount.

Metaheuristisarenatural andidatesto solvethoseproblemsandmakethempreferabletolas-

sial optimization methods. However, the development of eient metaheuristis results in a

omplex engineering proess. The ore subjet of this work lies in the design, implementation

and experimental analysisofmetaheuristis formultiobjetive optimization,together withtheir

appliations to logisti problems from routing and sheduling. Firstly, a unied view of suh

approahesispresentedandthenintegrated into asoftwareframeworkfortheirimplementation,

ParadisEO-MOEO. Next, some ooperative approahes ombining metaheuristis for multiob-

jetive optimization are proposed. At last, the issueof unertainty handling is disussed in the

ontext of multiobjetive optimization.

Keywords. Operational researh; Combinatorial optimization; Multiobjetive optimisation;

Heuristiprogramming;Hybridalgorithms;Unertainty;Sheduling;Travelling SalesmanPro-

Mes premiers remeriements s'adressent à mes direteurs de thèse,El-Ghazali Talbi etLaetitia

Jourdan. Je tiens à leur exprimer ma profonde reonnaissane pour leurs préieux onseils, la

qualité deleurenadrement etleurluidité sientique, quiontétéprimordiauxtoutaulongde

es annéesde dotorat.

Meriégalement àtouslesmembresdujury:Nour-EddineOussous,président,AlexandreCami-

nada etJin-KaoHao,rapporteurs,ainsiqueDirkThierens etDanielTuyttens, examinateursde

ette thèse. À tous, je leur exprime masinère gratitude pour toute l'attention qu'ilsont porté

à montravail.

Je tiens par ailleurs à remerier toutes les personnes ave qui j'ai pris beauoup de plaisirs à

travailler durant estrois années de thèse,tout autant les membres du LIFL, de l'INRIA et de

l'équipeDolphinquelesollaborateursextérieurs.UnmeripartiulieràMatthieu Basseur,Cla-

risseDhaenens,NiolasJozefowiez,NouredineMelab,maiségalementàJoséR.Figueira,Andrzej

P.Wierzbiki etEdmund K.Burke. Meriégalement à tousles dotorants, post-dotorants, in-

génieursetstagiairesdel'équipeDolphin,présentsetpassés.JepenseàAlex,Ali,Clive,Emilia,

Gaël, Jean-Charles, Jérme, Julien, Malika, Marie-Éléonore (meri pour les reletures), Moha-

med, Mohand,Rémy,Salma,Thé-Van,Thomas, Waldo, etj'enoublies!Unimmense meritout

à faitpartiulieràJérémie Humeau.Je suisonsient queette thèseneseraitpase qu'elleest

sans lui.

J'exprime enn mes remeriements à ma famille et à mes amis, qui, par leur bonne humeur,

sympathie et amitié ont ontribué au bon déroulement de ette thèse. Meri à mes parents

pour leursoutien infaillible toutau longde mondotorat, maisausside mes études,etde mon

existene en générale. Meri à ma soeur, Aude, de m'avoir ouvert la voie. Meri à ma femme,

Anne, pour sapatieneetsonsoutien. Merienn à meslle,PiaetCléo. Àtous, emanusrit

leur estdédié.

Introdution générale 1

1 Optimisation multiobjetif 5

Introdution . . . 6

1.1 Dénitions . . . 6

1.1.1 Formulationgénéraled'un problèmed'optimisation multiobjetif . . . 6

1.1.2 Notionsde dominanePareto etd'optimalité . . . 7

1.1.3 Autresnotions de dominane . . . 8

1.1.4 Bornesdu frontPareto . . . 8

1.2 Approhesde résolution . . . 9

1.2.1 Optimisation multiobjetif etaideà ladéision . . . 11

1.2.2 Classiation desensembles Pareto optimaux . . . 12

1.2.3 Méthodologies de résolution . . . 12

1.2.3.1 Classiation . . . 12

1.2.3.2 Métaheuristiques . . . 13

1.2.3.3 Méthodespour l'optimisation multiobjetif . . . 14

1.3 Analyse deperformanes . . . 15

1.3.1 Indiateurs de qualité . . . 15

1.3.1.1 Classiation . . . 15

1.3.1.2 Indiateurhypervolume . . . 18

1.3.1.3 Indiateurepsilon . . . 18

1.3.1.4 Indiateurontribution . . . 19

1.3.1.5 Ensembleetpoint de référene . . . 19

1.3.2 Validation statistique. . . 20

1.4 Problèmes d'optimisation ombinatoire multiobjetif, adresappliatifs . . . 20

1.4.1 Le problème deFlowshop . . . 21

1.4.1.1 Introdutionaux problèmesd'ordonnanement . . . 21

1.4.1.2 Dénition duproblème . . . 22

1.4.1.3 Jeux dedonnées . . . 23

1.4.1.4 Étatde l'artsuint desméthodes derésolution existantes . . . 23

1.4.2 Le problème deRing-Star . . . 24

1.4.2.1 Introdutionaux problèmesde tournées . . . 24

1.4.2.2 Dénition duproblème . . . 25

1.4.2.3 Jeux dedonnées . . . 25

1.4.2.4 Étatde l'artsuint desméthodes derésolution existantes . . . 26

1.4.2.5 Intérêts industriels . . . 27

Conlusion . . . 28

2 Métaheuristiques pourl'optimisation multiobjetif 29

Introdution . . . 31

2.1 Coneption . . . 32

2.1.1 Motivations . . . 32

2.1.2 Conepts ommuns àtouttype de métaheuristique . . . 34

2.1.2.1 Représentation . . . 34

2.1.2.2 Évaluation . . . 34

2.1.3 Conepts ommuns à tout type de métaheuristique pour l'optimisation multiobjetif . . . 35

2.1.3.1 Aetation d'unevaleur detness . . . 35

2.1.3.2 Préservation deladiversité . . . 39

2.1.3.3 Élitisme . . . 40

2.1.4 Coneption d'algorithmesévolutionnaires multiobjetif . . . 42

2.1.4.1 Un modèlede oneptionunié . . . 42

2.1.4.2 Desription desomposants . . . 44

2.1.4.3 Algorithmes existants omme instanes dumodèle . . . 45

2.1.4.4 Unnouvelalgorithmeévolutionnairepourl'optimisationmultiob- jetif. . . 49

2.1.5 Coneption d'algorithmesde reherhe loalemultiobjetif . . . 50

2.1.5.1 Un modèlede oneptionunié . . . 52

2.1.5.2 Desription desomposants . . . 53

2.1.5.3 Algorithmes existants omme instanes dumodèle . . . 57

2.1.5.4 Un autreexemple d'algorithme dereherhe loalemultiobjetif 60 2.2 Implémentation . . . 60

2.2.1 Motivations . . . 62

2.2.2 Présentation de ParadisEO-MOEO . . . 63

2.2.2.1 La plateforme ParadisEO etlemoduleParadisEO-MOEO . . . . 63

2.2.2.2 Caratéristiques prinipales . . . 64

2.2.2.3 Plateformeslogiielles existantes . . . 65

2.2.3 Implémentation sousParadisEO-MOEO . . . 67

2.2.4 Disussion . . . 67

2.3 Analyse expérimentale . . . 70

2.3.1 Appliation au problèmede Flowshop . . . 70

2.3.1.1 Modélisation . . . 70

2.3.1.2 Approhesétudiées . . . 72

2.3.1.3 Designexpérimental . . . 73

2.3.1.4 Résultats expérimentaux . . . 74

2.3.1.5 Disussion . . . 77

2.3.2 Appliation au problèmede Ring-Star . . . 79

2.3.2.1 Modélisation . . . 79

2.3.2.2 Approhesétudiées . . . 81

2.3.2.3 Designexpérimental . . . 81

2.3.2.4 Résultats expérimentaux . . . 83

2.3.2.5 Disussion . . . 87

3 Métaheuristiques oopératives pour l'optimisation multiobjetif 91

Introdution . . . 93

3.1 Classiation . . . 94

3.1.1 Classiation hiérarhique . . . 94

3.1.2 Classiation àplat . . . 95

3.1.3 Métaheuristiques oopérativesetoptimisation multiobjetif . . . 95

3.2 Une approhe deoopérationde haut niveau en mode relais . . . 98

3.2.1 Motivations . . . 98

3.2.2 Coneption . . . 99

3.2.2.1 Shémade oopération . . . 99

3.2.2.2 Choixd'instaniation dumodèle . . . 101

3.2.3 Implémentation . . . 102

3.2.4 Analyse expérimentale . . . 103

3.2.4.1 Designexpérimental . . . 103

3.2.4.2 Résultats expérimentaux . . . 104

3.2.5 Disussion . . . 105

3.3 Une approhe deoopérationde haut niveau en mode teamwork . . . 107

3.3.1 Motivations . . . 107

3.3.2 Coneption . . . 108

3.3.2.1 Élémentsfondamentaux . . . 108

3.3.2.2 Shémade oopération . . . 114

3.3.3 Implémentation . . . 114

3.3.4 Analyse expérimentale . . . 116

3.3.4.1 Designexpérimental . . . 116

3.3.4.2 Résultats expérimentaux . . . 117

3.3.5 Disussion . . . 117

Conlusion . . . 120

4 Métaheuristiques pour l'optimisation multiobjetif en environnement iner- tain 123 Introdution . . . 125

4.1 Classiation . . . 126

4.1.1 Contexte . . . 126

4.1.1.1 Classesd'inertitude . . . 126

4.1.1.2 Inertitudeen optimisation multiobjetif . . . 128

4.1.1.3 Approhesissuesde laprogrammation mathématique . . . 130

4.1.2 Approhesmétaheuristiques . . . 132

4.1.2.1 Choixde valeursreprésentatives . . . 132

4.1.2.2 Exploitation desvaleursreprésentatives . . . 135

4.1.2.3 Questionsonnexes . . . 138

4.2 Coneption . . . 139

4.2.1 Modélisationde l'inertitude . . . 139

4.2.2 Approhes métaheuristiquespour l'optimisation multiobjetif en environ- nement inertain . . . 140

4.2.2.2 Approhesbasées surles valeurs d'indiateur . . . 144

4.3 Implémentation . . . 146

4.4 Analyse expérimentale . . . 146

4.4.1 Évaluationdesperformanes . . . 146

4.4.1.1 Commentaires généraux . . . 147

4.4.1.2 Deux approhes méthodologiques . . . 147

4.4.2 Appliation au problèmede Flowshop stohastique . . . 148

4.4.2.1 Soures d'inertitude. . . 149

4.4.2.2 Modèles stohastiqueset jeuxdedonnées . . . 149

4.4.2.3 Designexpérimental . . . 152

4.4.2.4 Résultats etdisussion. . . 153

Conlusion . . . 156

Conlusion générale 159 Synthèse desontributions . . . 159

Perspetives . . . 161

Annexe 167 Implémentation sous ParadisEO-MOEO . . . 167

Bibliographie 179

Cettethèse s'insrit dansledomaine del'optimisation multiobjetif,eten partiulierde l'étude

et de larésolution de problèmes d'optimisation ombinatoires et diilesissus de la logistique.

Elle aétémenée auseinde l'équipeDOLPHIN 1

du laboratoired'informatiquefondamentalede

Lille (LIFL, CNRS,Université Lille 1), ommune à l'équipe-projet du même nomdu entre de

reherhe INRIALille-Nord Europe.

Beauoupdeproblèmesd'optimisationissusdumonderéelsontomplexesetdiilesàrésoudre.

De plus, les problèmes d'optimisation renontrés en pratique sont rarement monoobjetif, et

requièrent souvent la prise en ompte de plusieurs ritères onituels, e qui amplie enore

le degré de diulté. Ainsi, de nombreux domaines industriels, notamment en logistique, se

doivent de faire fae à desproblèmes multiobjetif omplexeset de grande taille.D'autant que

la omplexité des problèmes d'optimisation multiobjetif augmente en fontion de la taille du

problème à résoudre, aussi bien en termes d'espae de reherhe qu'en termes de nombre de

fontionsobjetifàoptimiser. Aussi,biendesproblèmesmultiobjetifaadémiquesetindustriels

sont NP-diiles,etnepeuventdon généralementpasêtrerésolusdefaçonexateenuntemps

de alul raisonnable. Il s'avère don néessaire de onsidérer des méthodes alternatives. Pour

ela,lesmétaheuristiquesontonnuunintérêtgrandissantauoursdesdeuxdernièresdéennies.

De nosjours, les métaheuristiques pour l'optimisation multiobjetif onstituent un domaine de

reherhe etdedéveloppement trèsatif.

D'une part, les métaheuristiquesreprésentent une lasse de méthodologies de résolution appro-

hées qui sont appliables à une large variété de problèmes d'optimisation. Elles sont indépen-

dantes du problème à résoudre, et doivent don être ajustées à la résolution d'un problème

partiulier, ei par le biais d'un sous-ensemble de omposants algorithmiques dépendants du

problèmetraité.Lesmétaheuristiquessont desapprohesgénérales dehaut niveau utiliséespour

guider etdiriger, de façon sous-jaente, la oneptiond'une méthode de résolution dédiée à un

problème d'optimisation partiulier. Ellesomptent parmi les tehniques les plus eaes pour

résoudre, en un temps de alul raisonnable, des problèmes d'optimisation diiles dans de

nombreux domaines dela reherhe opérationnelle.

Cesdernièresannées, ilestdevenuévidentqueledéveloppement demétaheuristiqueseaesse

basesurunproessusd'ingénierieomplexequiombinelesaspetsdeoneption,d'implémenta-

tionetd'analyseexpérimentale.Ladiultédeeproessusestenpartiedueàlaomplexitédes

problèmesabordésetaugrandnombrededegrésdelibertéaordésauxherheursetauxprati-

iens onfrontésàl'élaborationde telsalgorithmes.Ceproessusdedéveloppement requiertune

méthodologiesolidequi abordeles diérentesquestionssurvenant lors desphasesde oneption

algorithmique,d'implémentation,ainsiqued'évaluationetd'analyseexpérimentale.Deplus,des

études supplémentaires sont néessaires pour omprendre quellesmétaheuristiques se montrent

lesplusadaptées àtelouteltypedeproblème, etpouromprendre lesrelationsexistantesentre

les multiples omposants algorithmiques,l'inuene desparamètres, et.

D'autrepart,denombreuxproblèmesd'optimisationissusdumonderéelrequièrentlaonsidéra-

tionsimultanéedeplusieurs ritères,généralement enonitlesunsave lesautres.Àhaunde

esritères orrespondunefontion objetifàoptimiser(minimiseroumaximiser),quirelèvede

la modélisationdu problèmetraité. De tels problèmes d'optimisation multiobjetif sont réputés

pour être partiulièrement diiles à résoudre. En eet, ontrairement au as monoobjetif, il

n'existepasunesolutionoptimale unique,maisunensembledesolutions optimales,ditesPareto

optimales. Une solution est Pareto optimale si l'amélioration à l'égard d'une des fontions ob-

jetif entraîne invariablement une détérioration relativement à une autre fontion objetif. Ces

solutions représentent les ompromisentreles diérentes fontionsobjetif àoptimiser. L'union

dessolutions Paretooptimales formel'ensemblePareto optimal, etl'image deetensembledans

l'espaeobjetifestappelélefrontPareto.Ainsi,l'optimisationmultiobjetif s'intéresseauxpar-

tiularités liéesà l'existenede essolutions optimalesmultiples, etaux méthodesde résolution

dédiéesà e type deproblèmes, biensouvent NP-diiles.

Larésolutiond'unproblèmed'optimisationmultiobjetifonsisteàtrouverlasolutionParetoop-

timale qui répond au mieux auxpréférenes du déideur. L'optimisation multiobjetif est don

étroitement liée au domaine de la prise de déision multiritère. Les approhes de résolution

initiales onsistaient à réduire le problème original en un problème monoobjetif. Néanmoins,

depuis plusieurs années, une des questions fondamentales de l'optimisation multiobjetif s'ap-

parente àl'identiation de l'ensembleParetooptimal, ou à uneapproximation deelui-i pour

des problèmes diiles de grande taille. Dans e ontexte, les métaheuristiques en général, et

les algorithmes évolutionnaires en partiulier, onnaissent un intérêt grandissant. Dans lalitté-

rature du domaine, larésolution d'unproblème multiobjetif à l'aided'une métaheuristique est

en eet ommunément entendue ommelareherhe d'uneapproximation del'ensemble Pareto

optimal satisfaisant les onditions unanimes de onvergene vers le front Pareto et de diversité

uniforme. Ces deux aratéristiques ontrlent l'obtention de solutions prohes, et bien distri-

buéeslelongdufrontPareto,desortequ'auuneinformationutilenesoitperdue.Parrapportau

asmonoobjetif,lesdiultéssupplémentairesliéesàlarésolutiondeproblèmesd'optimisation

multiobjetif résultent du fait qu'il n'existe pas d'ordre total entre les solutions, que la stru-

ture du front Pareto estvariable d'unproblème à l'autre, et quele nombrede solutions Pareto

optimales roît enfontion de lataille duproblème, en partiulierselon lenombre d'objetifs.

Dans e mémoire de thèse, nous nous intéressons aux problématiques liées à la résolution de

problèmes d'optimisationmultiobjetif àl'aidede métaheuristiques,eten partiulierauxphases

suessivesde oneption, d'implémentation etd'analyseexpérimentale de etype d'approhes.

Par ailleurs,nousétudionsdeuxproblèmes d'optimisationombinatoires issusdu domaine dela

logistique, et à l'appliation de métaheuristiques pour leur résolution. Puis, suite à une étude

approfondiedesmétaheuristiquespourl'optimisationmultiobjetif,nousnousintéressonsàlao-

opérationdeplusieursmétaheuristiques.Nousmontronspournirqu'enplusdeleuromplexité

intrinsèque et de leurs multiples fontions objetif, beauoup de problèmes d'optimisation sont

égalementsujetsàtoutesorted'inertitude.Nousexaminons,d'unpoint devuemétaheuristique

et multiobjetif, omment prendre esdiérentes souresd'inertitude en ompte, etquellesen

sont les réperussions sur le développement des méthodes de résolution. Les diérents aspets

ouverts auours dee mémoire de thèse sont illustréssur lagure1.

Dansunpremiertemps,nousnousonentronsprinipalementsurledéveloppementdemétaheu-

ristiques dédiéesà l'approximation de l'ensemble Pareto optimal. Une vueuniée est présentée

pourlaoneptiondemétaheuristiqueseaesdédiéesàlarésolution deproblèmesd'optimisa-

tionmultiobjetif ontinusouombinatoires.Unaentpartiulierestmissurlesomposantsde

coopération incertitude application

conception

implémentation

analyse expérimentale métaheuristiques pour

l'optimisation multiobjectif

Fig.1Interonnexionentrelesprinipaux thèmesabordésauoursdeemanusritdethèse.

dédiéeàl'implémentationexibleetréutilisabledetellesméthodes:ParadisEO-MOEO.Il s'agit

dumoduledelaplateformeParadisEOspéiquement onsaréauxmétaheuristiquespourl'op-

timisation multiobjetif, et basé sur une séparation laire entre la méthode de résolution et le

problèmeàtraiter.Enn,nousmodélisonslesdeuxproblèmestraitésiienvuedeleurrésolution

par métaheuristique,etnousmenonsune analyseexpérimentaled'unensembledeméthodessur

es deuxappliations.

Dans unseondtemps, nousnousattardonssurledéveloppement de métaheuristiquesoopéra-

tives, séquentiellesetparallèles, toujoursdans leadrede l'optimisation multiobjetif.En eet,

les métaheuristiques sont onsidérées omme des méthodes de référene pour bon nombre de

problèmes d'optimisation. Cependant, il est à présent devenu évident que se onentrer sur un

seul type de métaheuristiques s'avère plutt restritif.Une ombinaisonappropriée de onepts

provenant de diérentes méthodologies permetdansbien desasde produire un omportement

plus eae et une plus grande exibilité lorsque des problèmes de grande envergure issus du

monde réel sont traités. Les métaheuristiques hybrides sont des approhes d'optimisation qui

ombinent diérentes métaheuristiques, ou qui intègrent des tehniques issues de l'intelligene

artiielleoudelareherheopérationnelleauseind'unemétaheuristique.Pourela,nouspropo-

sonsplusieursshémasdeoopérationgénéraux,etvalidonsleursintérêtssurlesdeuxproblèmes

d'optimisation multiobjetif ombinatoireétudiés.

Dansunderniertemps,nousonstatonsqu'unegrandepartiedesproblèmesd'optimisationréels

sontsoumisàdesinertitudes, tant auniveaudesfontionsobjetifqu'auniveau desparamètres

environnementaux, ou enore des variables de déision. Ces diérentes soures d'inertitude se

doivent d'être prises en ompte au ours de la modélisation et de la résolution du problème.

D'un point de vue multiobjetif, es inertitudes onstituent un obstale majeur, puisqu'elles

empêhentl'identiationdel'ensembleParetooptimal.Endépitdeleurexibilité,lesmétaheu-

ristiques sont très rarement explorées pour s'attaquer à des problèmes de nature stohastique.

Pourtant, elles semblent être des andidates intéressantes. Nous pensons qu'ave un minimum

d'ajustements,ellespeuventêtreappliquéesàunelargevariétédeproblèmesd'optimisationsous

inertitude, dont des problèmes multiobjetif. Nous examinons tout d'abord omment prendre

enompte esdiérentessouresd'inertitude,etnousnousintéressonspour elaauxapprohes

fondées sur un éhantillonnage. Ensuite, nous disutons de l'adaptation des métaheuristiques

Plan du manusrit

Chapitre 1. Le premier hapitre introduit les bases de l'optimisation multiobjetif, onnais-

sanes requises pour la bonne ompréhension des travaux présentés dans les hapitres ulté-

rieurs.Ainsi,nousdonnonslesdénitions essentielles, etdisutonsde diérentesapprohesde

résolution etdel'analyse de leurs performanes. Deplus, nousprésentonsles deuxproblèmes

d'optimisation ombinatoire multiobjetif qui vont nous intéresser par lasuite. Il s'agit d'un

problèmed'ordonnanementdetypeFlowshopdéjàétudiéauseindel'équipeDOLPHIN(Bas-

seur, 2005; Lemesre, 2006), et d'un problème de tournées pour la première fois formulée de

façonmultiobjetif:leproblèmedeRing-Star,faisantréféreneautravaildeJozefowiez(2004).

Chapitre 2. Le seondhapitre onstituelenoyaude ettethèse.Ils'intéresseàlaoneption,

àl'implémentation etàl'analyse expérimentale de métaheuristiques pour l'optimisation mul-

tiobjetif.Uneuniationdelaoneptiondetellesméthodesestproposée.Bienqueettevue

uniéesoitommune àtouttypede métaheuristique,l'aent estmis surdeuxméthodologies

partiulières: les algorithmes évolutionnaires et les algorithmes de reherhe loale. Diverses

ontributions algorithmiques sont également présentées.Nous dévoilons ensuitelatradution

de e modèle de oneption en une plateforme logiielle dédiée à l'implémentation de mé-

taheuristiques pour l'optimisation multiobjetif : ParadisEO-MOEO. Celle-i fait suite à un

travail de thèse réalisée dansl'équipe DOLPHIN (Cahon, 2005). Enn, nous fournissons une

étudeomparative à propos desperformanes d'un ensemble de méthodespour la résolution

des deux problèmes traités ii : le problème de Flowshop et le problème de Ring-Star. Ces

deux appliations nous permettent par ailleurs d'analyser expérimentalement l'inuene des

omposantsde reherhe surleomportement général dees algorithmes.

Chapitre 3. Au ours du troisième hapitre, nous nous intéressons aux métaheuristiques hy-

brides pour l'optimisation multiobjetif. Deuxmodèles de oopérationsont proposés. Le pre-

mier se base sur la omplémentarité de deux métaheuristiques, exéutées en séquene, pour

aomplirdestâhesontraditoires :l'améliorationde solutionsexistantes(intensiation)et

ladéouvertede nouvellesrégionsàexplorer(diversiation). Le deuxièmeshémad'hybrida-

tionsebasesur l'exéution parallèle de plusieurs métaheuristiques. Chauned'elles s'emploie

à trouver une approximation de l'ensemble Pareto optimal loalisé dans une sous-région de

l'espaeobjetif;e dernierétantdivisé à l'aidede points de référenemultiples.

Chapitre 4. Le dernierhapitre disutede la prise en ompte de l'inertitude au sein de pro-

blèmes d'optimisation multiobjetif. Nous analysons diérentes options pour la gestion des

soures d'inertitude, et la manière dont es options aetent la oneption de métaheuris-

tiques. Un bilan et une lassiation des approhes existantes sont proposés. Nous présen-

tonsensuitediérentes ontributions méthodologiques, en termesderésolution algorithmique

et d'analyse de performanes. Enn, nous étudions la résolution du problème de Flowshop

multiobjetif ave durées d'exéutions stohastiques, etsoulevonsde nouvelles perspetivesà

proposdesmétaheuristiquespour l'optimisation multiobjetif en environnement inertain.

Nous onlurons lemanusrit en synthétisant les prinipales ontributions présentées, eten dé-

nombrant de nouvelles voies àexplorer suite à etravail de thèse.

Optimisation multiobjetif

Ce premier hapitre a pour but d'introduire les prérequis néessaires à la bonne ompréhension

de ette thèse. Ainsi, dans un premier temps, nous présenterons le ontexte de l'optimisation

multiobjetif, les prinipales dénitions,et surtout les problématiques essentielles liées à e do-

maine de reherhe, tant au niveau des approhes de résolution qu'à elui de l'évaluation des

performanes. Dans unseond temps,nous présenterons les deuxproblèmes d'optimisationom-

binatoiremultiobjetifauxquels nousallonspartiulièrementnousintéresserparla suite,àsavoir

le problème deFlowshop, etle problème de Ring-Star.

Sommaire

Introdution . . . 6

1.1 Dénitions. . . 6

1.1.1 Formulationgénéraled'unproblèmed'optimisationmultiobjetif . . . . 6

1.1.2 NotionsdedominanePareto etd'optimalité . . . 7

1.1.3 Autresnotionsdedominane . . . 8

1.1.4 BornesdufrontPareto. . . 8

1.2 Approhes de résolution . . . 9

1.2.1 Optimisationmultiobjetif etaideàladéision . . . 11

1.2.2 ClassiationdesensemblesParetooptimaux . . . 12

1.2.3 Méthodologiesderésolution . . . 12

1.3 Analyse de performanes . . . 15

1.3.1 Indiateursdequalité . . . 15

1.3.2 Validationstatistique . . . 20

1.4 Problèmesd'optimisationombinatoiremultiobjetif,adresappli- atifs . . . 20

1.4.1 LeproblèmedeFlowshop . . . 21

1.4.2 LeproblèmedeRing-Star . . . 24

Conlusion . . . 28

Introdution

L'optimisation multiobjetif est un domaine fondamental de l'aide à la déision multiritère,

auquel de nombreux milieux sientiques et industriels se doivent de faire fae. Au ours des

deuxdernièresdéennies, untrèsgrandnombrede travaux, àlafoisthéoriqueset appliqués,ont

étépubliésdansedomaine.Larésolutiond'unproblèmed'optimisationmultiobjetifonsisteà

déterminerlasolutionorrespondantaumieuxauxpréférenesdudéideurparmilessolutionsde

bonompromis.L'unedesquestionslesplusdiilesestdonliéeàl'identiationdel'ensemble

Pareto optimal,oud'une approximationde elui-ipour desproblèmes omplexes.

Ainsi, de nombreux domaines appliatifs se doivent de répondre à l'optimisation multiobjetif.

En partiulier, beauoup de problèmes de logistique renontrés dans l'industrie sont de nature

multiobjetif. La logistique et les transports sont au entre de nombreuses préoupations éo-

nomiquesetpratiques,notammentdanslarégionNord-Pas-de-Calais.Iln'est donpasétonnant

que e typede problème soit plusqu'abondamment étudié en reherhe opérationnelle. Ausein

deettethèse,nousallonsnousintéresseràdeuxproblèmesd'optimisationmultiobjetifissusde

lalogistiqueetdestransportsen général,etdel'ordonnanementetduroutageen partiulier.Il

s'agit d'unproblème d'ordonnanement de type Flowshop, présentésousune forme à deuxetà

trois fontionsobjetif, et du problèmede Ring-Star, généralisation d'un problème de tournées

en un problèmebiobjetif.

Le hapitre est organisé de la façon suivante. Tout d'abord, un ensemble de dénitions pour

l'optimisation multiobjetif est donné dans la setion 1.1. Puis, dans la setion 1.2, nous pré-

sentons une lassiation des diérentes approhes de résolution. Ensuite, la setion 1.3 traite

de l'évaluation des performanes dans le adre de l'optimisation multiobjetif. Enn, dans la

setion1.4,nousprésentonsdeuxproblèmesd'optimisationombinatoiremultiobjetifpratiques

etomplexes quenoustraiteronspar lasuite.

1.1 Dénitions

Cettesetionouvrelesprinipauxonepts,dénitionsetnotationsliésàl'optimisationmultiob-

jetif, tels que larelation de dominane Pareto, l'optimalité Pareto, l'ensemble Pareto optimal,

etlefront Pareto.Denombreuses dénitionssont tirées dulivre deEhrgott (2005).

1.1.1 Formulation générale d'un problème d'optimisation multiobjetif

Dénition 1.1 (Problème d'optimisation multiobjetif) Unproblèmed'optimisationmul-

tiobjetif (multiobjetive optimization problem,MOP) peut êtredéniommesuit :

(M OP ) =

min

f (x) = (f ₁ (x), f ₂ (x), . . . , f _n (x))

telque :

x ∈ X

^(1.1)

où

n

^{est lenombre d'objetifs (}

n ≥ 2

^),

X

^{est l'ensemble des solutions} réalisables dansl'espae déisionnel,et

x = (x ₁ , x ₂ , . . . , x _k ) ∈ X

^estunveteurreprésentantlesvariablesdedéision.Dans leas ombinatoire,

X

^{estun ensembledisret. À haquesolution}

x ∈ X

^{est assoié unveteur}

objetif

z ∈ Z

^{sur la base d'un veteur de fontions}

f : X → Z

^{tel que}

z = (z 1 , z 2 , . . . , z n ) =

f (x) = (f ₁ (x), f ₂ (x), . . . , f _n (x))

^{, où}

Z = f (X)

^{représente l'ensemble des points} réalisables de

x 2

f 2

x 1

f 1 z*

z n

Espace décisionnel Espace objectif

Fig. 1.1 Espae déisionnel et espae objetif d'un problème d'optimisation multiobjetif (exemple

avedeuxvariablesdedéisionset deuxfontionsobjetif).

l'espae objetif (Fig. 1.1).Sansperte de généralité, noussupposerons par lasuite que

Z ⊆ R ⁿ

etque toutesles fontionsobjetif sont àminimiser.

1.1.2 Notions de dominane Pareto et d'optimalité

Dans le domaine de l'optimisation multiobjetif, le déideur évalue généralement une solution

par rapport à haun des ritères, et se positionne don naturellement dans l'espae objetif.

Néanmoins, ontrairement au as monoobjetif où il existe un ordre total parmi les solutions

réalisables, il n'existe généralement pas de solution qui serait à la fois optimale pour haque

objetif, étant donnée lanature onituelle de es derniers. Ainsi, une relation de dominane,

d'ordre partiel, est généralement dénie.

Dénition 1.2 (Dominane Pareto) Un veteur objetif

z ∈ Z

^{domine un veteur objetif}

z ^′ ∈ Z

^ssi

∀ i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^,

z _i ≤ z ^′ _i

^et

∃ j ∈ { 1, 2, . . . , n }

^{tel que}

z _j < z ^′ _j

^{. Cette relation sera}

notée

z ≻ z ^′

^{.Par extension, une solution}

x ∈ X

^{domine une solution}

x ^′ ∈ X

^,noté

x ≻ x ^′

^,ssi

f (x) ≻ f (x ^′ )

^.

Dénition 1.3 (Veteur non-dominé) Unveteurobjetif

z ∈ Z

^{estnon-dominéssi}

∀ z ^′ ∈ Z

^,

z ^′ 6≻ z

^{(Fig. 1.2).}

Dénition 1.4 (Solution Pareto optimale) Une solution

x ∈ X

^{est Pareto optimale (ou}

non-dominée) ssi

∀ x ^′ ∈ X

^,

x ^′ 6≻ x

^.

Ainsi, toutesolution Pareto optimale peutêtreonsidérée ommeoptimale puisqu'auuneamé-

lioration n'estpossiblesurlavaleurd'unobjetifsansendégrader elled'unautre.Lanotionde

Pareto optimalité, initialement utilisée en éonomie etdansles sienes de management, prend

sesrainesdanslestravauxdeEdgeworth(1881)etPareto(1896).CessolutionsParetooptimales

forment l'ensemble Pareto optimal, noté

X _E

^{.L'imagede et ensemble dansl'espae objetif est}

lefront Pareto, etsera noté

Z _N

^.

Dénition 1.5 (Ensemble Pareto optimal) Étant donné un MOP(f,X), l'ensemble Pareto

optimal est déniommesuit :

X _E = { x ∈ X | 6 ∃ x ^′ ∈ X, x ^′ ≻ x }

^.

f 2

f 1 vecteur dominé

vecteur non-dominé

Fig. 1.2Veteursdominésetnon-dominésdansl'espaeobjetif.

Dénition 1.6 (Front Pareto) Étant donné un MOP(f,X) et son ensemble Pareto optimal

X _E

^{, lefrontPareto est déniommesuit :}

Z _N = { f (x) | x ∈ X _E }

^.

1.1.3 Autres notions de dominane

Il existe des relations de dominane diérentes de la dominane Pareto, omme la dominane

faible, la dominane strite et l'

ǫ

^{-dominane (Helbig et Pateva, 1994; Laumanns et al., 2002).}

Ellessont dénies i-dessous.

Dénition 1.7 (Dominane faible) Unveteur objetif

z ∈ Z

^{dominefaiblement unveteur}

objetif

z ^′ ∈ Z

^ssi

∀ i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^,

z _i ≤ z _i ^′

^{.Cetterelation sera notée}

z z ^′

^.

Dénition 1.8 (Dominane strite) Un veteur objetif

z ∈ Z

^{domine stritement un ve-}

teur objetif

z ^′ ∈ Z

^ssi

∀ i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^,

z _i < z ^′ _i

^{.Cette relationsera notée}

z > z ^′

^.

Dénition 1.9 (

ǫ

-dominane) Unveteurobjetif

z ∈ Z ǫ

^{-domineunveteurobjetif}

z ^′ ∈ Z

^,

ave

ǫ > 1

^,ssi

∀ i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^,

z _i ≤ ǫ · z _i ^′

^{.Cetterelation seranotée}

z ǫ z ^′

^.

Dénition 1.10 (

ǫ

-dominane additive) Unveteur objetif

z ∈ Z ǫ

^{-domine de façonaddi-}

tive un veteur objetif

z ^′ ∈ Z

^,ave

ǫ > 0

^{, ssi}

∀ i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^,

z i ≤ ǫ + z _i ^′

^{(Fig. 1.3). Cette}

relation seranotée

z ǫ+ z ^′

^.

Par extension, on dira qu'une solution

x ∈ X

^domine faiblement, domine stritement ou

ǫ

^-

domine une solution

x ^′ ∈ X

^{si la relation de dominane est vériée pour les veteurs objetif}

orrespondants (respetivement

f (x)

^et

f (x ^′ )

^).

1.1.4 Bornes du front Pareto

Maintenant, supposonsquel'optimumsoitonnu pour haque fontionobjetif,alors nouspou-

f

f 2

1 z

région

dominée

région

-dominée f

f 2

1 z

Fig.1.3Illustrationdelanotiond'

ǫ

^{-dominaneadditive.}

Dénition 1.11 (Point idéal) Le point idéal

z ^∗ = (z ₁ ^∗ , z ₂ ^∗ , . . . , z ^∗ _n )

^{est leveteur quiminimise}

haque fontionobjetif individuellement,

z _i ^∗ = min _{x ∈ X} f _i (x)

^pour

i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^.

Bien sûr, e veteur idéal est rarement réalisable en pratique ar les objetifs sont souvent en

onit les uns ave les autres.

Dénition 1.12 (Point utopique) Le point utopique

z ^∗∗ = (z ^∗∗ ₁ , z ^∗∗ ₂ , . . . , z ^∗∗ _n )

^{est le veteur}

objetif irréalisabledont les omposantes sont forméespar

z _i ^∗∗ = z ^∗ _i − ǫ _i

^pour

i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^,

où

z ^∗

^{estlepointidéal et}

ǫ

^{estunveteurdevaleurssalairesstritement positives}relativement petitesmaissigniatives.

Dénition 1.13 (Point nadir) Le point nadir

z ⁿ = (z ₁ ⁿ , z ₂ ⁿ , . . . , z _n ⁿ )

^{est leveteur quiorres-}

pondaumaximumde haquefontion objetifparmi lessolutionsdel'ensembleParetooptimal,

z _i ⁿ = max x ∈ X E f i (x)

^pour

i ∈ { 1, 2, . . . , n }

^.

Ce point nadir estbien plusdiile à aluler quelepoint idéal,notamment lorsquele nombre

de fontionsobjetif eststritement supérieuràdeux.Le point idéal

z ^∗

^{etlepointnadir}

z ⁿ

^sont

représentésgraphiquement surlagure 1.1.

1.2 Approhes de résolution

Cette setion présente les diérentes approhes de résolution de l'optimisation multiobjetif.

Tout d'abord, une lassiation sur lafaçon de résoudrele problème traité du point de vue du

déideurestprésentée.Ensuite,nousdélimitonslesdiérentesformesquepeutprendrel'ensemble

Paretooptimal.Puisnousnissonsparunetaxinomiedesprinipalesméthodologiesderésolution

d'un point de vue algorithmique. Une lassiation de toutes es questions essentielles pour la

méthodes exactes méthodes approchées

heuristiques méthodes

d'approximation

métaheuristiques

métaheuristiques

à base de

solution unique

métaheuristiques

à base de

population

heuristiques

spécifiques aide à la décision

a priori a posteriori interactive

ensemble

minimal

ensemble

maximal ensemble Pareto optimal

méthodologie de résolution

Fig. 1.4Classiationdesapprohesderésolution pourl'optimisationmultiobjetif.

connaissance

a priori

décideur

préférences

résultats

apprentissage

méthode de

résolution

Fig. 1.5 Approhe derésolutioninterative: oopérationprogressiveentre ledéideuret laméthode

derésolution.

1.2.1 Optimisation multiobjetif et aide à la déision

Résoudreunproblèmed'optimisationmultiobjetifonsisteàtrouverlasolutionParetooptimale

qui orrespondlemieux auxpréférenesdudéideur. L'unedesquestionsfondamentales lorsde

larésolution d'untelproblème estdon étroitement liée à laoopération entre ledéideur et la

méthode de résolution. Plusieurs sénarios existent à proposdu rle que peut jouerle déideur

dansun proessusde prise dedéision.

Apriori.Danseas,ledéideurfournitdesonnaissanesoudespréférenessurleproblème

à résoudre avant le proessus d'optimisation, ei en vue d'aider la méthode de résolution

danssareherhe.Enpratique,eisetraduitfréquemment enlatransformation duproblème

d'optimisationmultiobjetiforiginalenunproblèmemonoobjetif,etpeutdonêtrerésolupar

uneméthode lassiquedontune seuleexéutionfourniralasolutionreherhée.Néanmoins,la

modélisationdespréférenesdudéideurn'estpasunetâhefaileetdoitêtrepriseenompte

durant l'étape de résolution. Par ailleurs, ilse peut quele déideur ne soit passatisfait de la

solutiontrouvée etqu'il doive don relanerle proessuspar le biaisd'une autreformulation

deses préférenes.

A posteriori. Ii la méthode de résolution vise à trouver la totalité des solutions Pareto

optimales,ouune bonne approximationdeetensemble. Ceipermetaudéideur d'avoirune

onnaissane omplètedu front Pareto.Il peutalors hoisir, parmi et ensemble desolutions,

ellequiluisemblelaplusappropriéeauvuedesespréférenes.Ainsi,iln'estplusnéessairede

modéliserlespréférenesdudéideur,maisilfautdésormaisfournir unensembledesolutions,

e qui peut s'avérer oûteux en pratique. Par ailleurs, le nombre de solutions obtenues peut

rendrel'ensemblePareto optimale diile àanalyser pour ledéideur.

Interative. Lorsd'une approhe interative, il existe uneoopération direte etprogressive

entreledéideuretlaméthodederésolution(Fig.1.5).Ainsi,àpartirdeonnaissanesaquises

lors de la résolution, le déideur peut dénir ses préférenes de façon ompréhensible. Ce

proessusestitéré plusieurs fois jusqu'àlasatisfationdu déideur.Toutefois, ette approhe

néessitelaprésenedudéideur toutaulong duproessusde reherhe.

Chaque approhe possède ses fores et ses faiblesses. Le hoix d'un type de méthode dépend

des propriétés du problème à résoudre et des habilités du déideur. Au ours de e manusrit,

nous nous plaerons dans le adre des méthodes non-interatives, et prinipalement des mé-

thodes a posteriori. Dans e dernier type d'approhe, deux phases sont onsidérées : la phase

d'optimisation et la phase d'aide à la déision. Seule la première phase sera traitée ii, et sera

abusivement onsidérée omme la résolution du problème traité. Toutefois, notez que les mé-

thodes non-interatives peuvent également s'avérer utiles lors de la oneption d'une approhe

interative. Par exemple, lorsque ela est possible, la visualisation du front Pareto ore une

1.2.2 Classiation des ensembles Pareto optimaux

Nousonsidérons don quelebut de l'optimisation estdefournir l'ensemble Pareto optimal(ou

unebonneapproximationdeetensemble)audéideur anqueelui-iproèdeàlaséletionde

la, ou dessolutions qui orrespondent à ses préférenes. Aussi, étant donné que deux solutions

peuventposséderlesmêmesvaleurspour haundesobjetifs, unequestion estdesavoirs'il est

intéressant de onserverdeuxsolutions Pareto optimaleséquivalentes.

Dénition 1.14 (Solutions équivalentes) Deux solutions

x, x ^′ ∈ X

^sont équivalentes ssi

f (x) = f (x ^′ )

^.

Ainsi, la lassiation suivante peut être introduite pour l'ensemble Pareto optimal (Hansen,

1979).

Dénition 1.15 (Ensemble omplet) Étant donné unMOP(f,X), sonensembleParetoopti-

mal

X E

^{et son front Pareto}

Z N

^{, un ensemble omplet est un ensemble}

X b ∈ X E

^{tel que, pour}

haqueveteurnon-dominé

z ∈ Z _N

^{,ilexisteaumoinsunesolution}

x ∈ X b

^pourlaquelle

f (x) = z

^.

Dénition 1.16 (Ensemble omplet minimal) Un ensemble omplet minimal est un en-

sembleomplet sanssolutions équivalentes.

Dénition 1.17 (Ensemble omplet maximal) Un ensemble omplet maximal est un en-

sembleomplet ontenant toutes lessolutions équivalentes.

À l'image de la nalité renontrée dans le adre de l'optimisation monoobjetif, où une seule

solution optimale est généralement fournie, obtenir un ensemble omplet minimal est le but

prinipaldel'optimisationmultiobjetif,àl'exeptiondequelquesappliationspartiulières.Par

ailleurs, notez que dans le as où le but est uniquement de fournir une image de l'ensemble

Pareto optimal dans l'espae objetif au déideur, il s'avère inutile de onserver les solutions

équivalentes.

1.2.3 Méthodologies de résolution

En fontion de la omplexité du problème d'optimisation à résoudre, plusieurs types de mé-

thode peuvent être envisagés.Dans unpremiertemps, elles-i sont brièvement présentées.Une

attention partiulière est portée aux métaheuristiques, auxquelles on va essentiellement s'inté-

resser tout au long de e manusrit. Enn, quelques remarques d'ordre général sont données à

propos du but prinipal desméthodes de résolution approhées dans le adre de l'optimisation

multiobjetif.

1.2.3.1 Classiation

De façon générale, deux types de méthode de résolution de problèmes d'optimisation peuvent

êtredistingués:lesméthodes exates etlesméthodes approhées (Fig.1.4).Lesméthodesexates

obtiennent dessolutions dont l'optimalitéestgarantie,maissont généralement trèsoûteusesen

temps d'exéution pour des problèmesdiiles. Auontraire, les méthodesapprohéesvisentà

générer dessolutions dehautequalitéen untempsde alulraisonnable,maisiln'existeauune

sélectionner

une solution

mémoire

générer des

solutions candidates

Fig. 1.6 Illustration des prinipes géné-

rauxd'unemétaheuristiqueàbasedesolution

unique(S-META).

générer

une population

remplacer

la population mémoire

Fig. 1.7Illustrationdesprinipesgénérauxd'unemé-

taheuristiqueàbasedepopulation(P-META).

deux sous-atégories : les algorithmes d'approximation et les heuristiques. Contrairement aux

heuristiques, les algorithmes d'approximation garantissent la qualité de lasolution trouvée par

rapportà l'optimal.Enn, il existe enoredeux sous-lassesdeméthodesheuristiques:les heu-

ristiques spéiquesàunproblèmedonné,etlesmétaheuristiques,qui serontonsidéréesdansle

adre deette thèse.

1.2.3.2 Métaheuristiques

Les métaheuristiques sont des algorithmes pouvant être appliqués à la résolution de presque

touttypedeproblèmed'optimisation. Ellespeuventêtrevuesommedesméthodologiesdehaut

niveau servant à guider la oneption d'heuristiques impliitement dédiées à la résolution d'un

problème spéique. Elles sont don omposées d'éléments génériques ou invariants, ainsi que

d'éléments spéiques au problème onsidéré, tels que la représentation ou l'évaluation d'une

solution.

Àl'inverse desméthodesexates,lesmétaheuristiquespermettentde s'attaqueràdesproblèmes

omplexesdegrandetaille endélivrant dessolutionssatisfaisantesenuntemps dealulraison-

nable. Néanmoins,iln'existepasde garantiequant à leuroptimalité. Durant lesvingtdernières

années, lesmétaheuristiquesontreçuunintérêtgrandissantetont montréleureaitédansde

vastesdomainesd'appliationen résolvant denombreuxproblèmes d'optimisation(Talbi,2009).

Deux typesde métaheuristique peuvent être distingués:les métaheuristiquesà base de solution

unique (S-META) et les métaheuristiques à base de population (P-META). Les S-META (tels

que les algorithmes de reherhe loale, de reherhe tabou, de reuit simulé, et.) manipulent

ettransforment uneseule solutiondurant leproessusde reherhe, alorsquedansles P-META

(algorithmes évolutionnaires,algorithmesàessaimdepartiules,et.),unensembledesolutions,

appelépopulation,évolueen parallèle.Lesprinipesgénérauxd'uneS-META etd'uneP-META

sont respetivement illustréssurles gures 1.6et1.7(Talbi,2009).

En termes de oneption, deux ritères ontraditoires sont à prendre en ompte lors du dé-

veloppement d'une métaheuristique :l'exploration de l'espae de reherhe (diversiation), et

l'exploitation desmeilleures solutions trouvées (intensiation). LesS-META sont plutt axées

sur l'exploitation de l'espae de reherhe. Les régions prometteuses sont explorées loalement

dans l'espoir de trouverde meilleurs solutions. Les P-META sont généralement plutt explora-

diversification intensification

recherche aléatoire recherche locale

métaheuristiques

à base de population

métaheuristiques

à base de solution unique

Fig. 1.8 Deux ritères ontraditoires lorsde laoneption d'une métaheuristique : exploration(di-

versiation)et exploitation(intensiation).Engénérallesmétaheuristiquesàbasedesolutionunique

sontpluttorientéesversl'exploitation,alorsquelesmétaheuristiquesàbasedepopulationsontplutt

exploratoires(Talbi,2009).

1.2.3.3 Méthodes pour l'optimisation multiobjetif

Dansleadredel'optimisationmultiobjetif,lesproblèmesrenontréssontsouventNP-diiles,

e qui rend l'utilisation de méthodes exates impratiable pour des instanes de grande taille.

En eet,siunproblèmemonoobjetif donné estonnu ommeNP-diile,alorssaontrepartie

multiobjetifleseraaussi.Parailleurs,pourdenombreuxproblèmesmonoobjetifsolublesenun

temps polynomial, le problème multiobjetif orrespondant est toutefois NP-diile (Ehrgott,

2005). Cei a pour eet de restreindre l'appliation de méthodes exates et d'enourager l'uti-

lisation d'heuristiques etde métaheuristiques. De plus, les méthodes exates sont généralement

limitées à desproblèmes de petite taille etàdeux fontionsobjetif.On peut par exemple iter

laméthode deux-phases,proposéepar Ulungu etTeghem(1995), etplus tardamélioréepar Le-

mesre et al. (2007a), ainsique la méthode PPM (Lemesre et al., 2007b), et

k

^{-PPM (Dhaenens}

et al.,2010) pour desproblèmes à plusde deuxobjetifs.

An de trouver une approximation de l'ensemble Pareto optimal, les P-META, et en partiu-

lier les algorithmes évolutionnaires, sont très ouramment utilisées ar elles sont naturellement

onçues pour trouverunensemblede solutions enuneseule exéution(Deb, 2001;Coello Coello

et al., 2007). L'optimisation évolutionnaire multiobjetif (evolutionary multiobjetive optimiza-

tion,EMO)estunhampdereherhe etdedéveloppement trèsatif,donnantlieuàunnombre

grandissantdepubliations 1

etàuneonférenebi-annuellespéiquedepuis2001(Zitzleretal.,

2001a;Fonseaetal.,2003;CoelloCoelloetal.,2005;Obayashietal.,2007;Ehrgottetal.,2009).

L'appliation demétaheuristiquespourlarésolution d'unproblèmed'optimisation multiobjetif

impliquede trouverune approximationdel'ensemblePareto optimal.Pour unemétaheuristique

A

^{dédiée à la résolution d'un problème donné,} l'approximation ourante forme un ensemble potentiellement Paretooptimal,etestonstituée desolutions potentiellement Paretooptimales.

Dénition 1.18 (Solution potentiellement Pareto optimale) Soit

X _A

^{l'ensemble des so-}

lutions de

X

^{visitées par un algorithme}

A

^:

X _A ⊂ X

^{.Une solution}

x ∈ X _A

^est potentiellement Pareto optimale ssi

∀ x ^′ ∈ X _A

^,

x ^′ 6≻ x

^.

De façon abusive, on parlera également de solution non-dominée pour désigner une solution

potentiellement Pareto optimale.L'ensemble potentiellement Pareto optimal, etdon l'approxi-

mationourante de l'algorithme, estl'unionde essolutions non-dominées.

Cette approximation doit ontenir un ensemble de solutions dont l'image dansl'espae objetif

est à la fois prohe du front Pareto et uniformément diversiée le long de la frontière. Cei a

1. Voir la liste de référenes maintenue sur le sujet par C. A. Coello Coello à l'URL : http://delta.s.

pour butd'obtenirun éhantillon représentatif etde nepasseonentrer surunesous-partiede

l'espae objetif.Ainsi, lorsquel'on parlede diversité enoptimisation multiobjetif, onseréfère

généralement à l'espae objetif.Les deuxbutsde l'optimisation multiobjetif sont illustrés sur

la gure1.9. Maintenant, examinonsles troisexemplesdonnés surles gures 1.10,1.11 et1.12.

Le premier exemple (Fig. 1.10) montre une approximation ayant les deux propriétés désirées

de bonne onvergene etde bonne diversité. L'approximation du deuxième exemple (Fig. 1.11)

présenteunetrèsbonnerépartitiondesolutions,maislespointssontloindufrontPareto.Enn,

ledernierexemple (Fig.1.12)ontientun ensembledepointstrèsprohesdufrontPareto, mais

ertaines régions nesont pasouvertes, equi provoqueun perte d'information importanteaux

yeux dudéideur.

La oneption, l'implémentation et l'analyse de métaheuristiques pour l'optimisation multiob-

jetif estle sujetdu hapitre 2.

1.3 Analyse de performanes

Lors de l'évaluation et de la omparaison expérimentale des performanes de métaheuristiques

de façon rigoureuse, les points suivants doivent être abordés (Talbi, 2009). Tout d'abord, il est

néessairededénirlebutdesexpérimentations.Ensuite,desmesures,métriquesouindiateurs

de performanedoivent être séletionnéspour obtenir lesrésultats, etunevalidation statistique

de es derniers doit être fournie. Enn, es résultats doivent être présentés de façon laire et

être suivis d'une analyse tenant ompte des objetifs xés au départ des expérimentations. Le

premieretledernierpointsseronttraitésaugrédesdiérentesappliationsmenéesauseindee

travail.Cettesetionseonentredonsurlesmesuresdeperformaneainsiquesurlavalidation

statistique dansleadrede l'optimisation multiobjetif.

1.3.1 Indiateurs de qualité

En optimisation multiobjetif, l'existene d'un ensemble de solutions et l'absene d'ordre total

entre es solutions rendent la mesure de qualité d'une approximation de l'ensemble Pareto op-

timal diile. En outre, omme préédemment remarqué, à ei vient s'ajouter la néessitéde

mesurer laqualité d'une approximationà lafois enterme deonvergene etde diversité. Ainsi,

de nombreuses métriques ont été proposées pour mesurer laqualité d'unensemble non-dominé,

ou pour omparer deuxapproximations (Zitzler etal., 2003,2008).

Lorsdenosexpérimentations,nousallonsprinipalementutiliserdeuxindiateursdequalitéan

demesurerlaperformanedesalgorithmestestés:unindiateurbasésurlanotiond'hypervolume

etunindiateurbasésurlanotiond'

ǫ

^{-dominane.Deplus,une mesurede}ontribution seraéga- lementonsidéréepourundesalgorithmesproposéesdanslasetion3.2.Aprèsunelassiation

généraledesindiateursdequalité,lestroisindiateursquenousallonsonsidérer sontprésentés

i-dessous.

1.3.1.1 Classiation

Les indiateursdequalité peuvent êtrelassés selon diérentes propriétés.

Arité.Tout d'abord,ilexistedesindiateursunairesetdesindiateursbinaires.Unindiateur

unaire de qualité est une fontion

I : Ω → R

^{qui aeteune valeur réelle à haque approxi-}

f

f 2

1

Convergence

Diversité Domaine réalisable

Fig.1.9Lesdeuxbutsdel'optimisationmultiob-

jetif :onvergeneet diversité.

f

f 2

1

Fig.1.10Exempled'approximationdufrontPa-

retodebonnequalitéentermedeonvergeneetde

diversité.

f

f 2

1

Fig. 1.11Exempled'approximationdufrontPa-

retodebonnequalitéentermedediversité,maisde

mauvaisequalitéentermedeonvergene.

f

f 2

1

Fig.1.12Exempled'approximationdufrontPa-

retodebonnequalitéentermedeonvergene,mais

demauvaisequalitéentermedediversité.

indiateur arité butdelamesure paramètres référene

ontribution binaire onvergene Meunieretal.(2000)

overage binaire onvergene ZitzleretThiele(1999)

entropie unaire diversité nombredenihes Basseuretal.(2002)

epsilon binaire onvergene,diversité Zitzleretal.(2003)

proportiond'erreur unaire onvergene,diversité frontParetoexat VeldhuizenetLamont(2000)

distanegénérationelle unaire onvergene frontParetoexat VeldhuizenetLamont(2000)

hypervolume unaire onvergene,diversité pointderéférene ZitzleretThiele(1999)

hypervolume-diérene binaire onvergene,diversité pointderéférene ZitzleretThiele(1999)

spaing unaire diversité Shott(1995)

spread unaire diversité ZitzleretThiele(1999)

R1,R2,R3 binaire onvergene,diversité ens.deréférene, HansenetJaszkiewiz(1998)

pointidéal

Table 1.1 Caratéristiques d'un ertain nombre d'indiateurs de qualité pour la mesure de

performaneen optimisation multiobjetif.

mation, où

Ω

^{représente l'ensemble de toutes les} approximations possibles sur

X

^{. Ainsi, un}

indiateur dequalité

I

^{introduit un ordretotal sur}

Ω

^{.Cet ordre estsensé} représenterlaqua- litédesapproximations.Supposonsquel'onveuille omparerdeuxapproximationsarbitraires

A, B ∈ Ω

^{, provenant par exemple de l'exéution de deux méthodes de résolution diérentes}

surunmêmeproblème. Ladiéreneentreleurs

I

^-valeurs

I (A)

^et

I (B)

^{mesureladiérenede}

qualitéentreesdeuxensembles.Cein'estpasuniquementvalabledansleasoùlessolutions

de

A

^{sont toutes dominées par au moins un élément de}

B

^{,mais également lorsque es deux}

ensembles semblent apriori inomparables.Parextension,unindiateurbinairedequalité est

unefontion

I : Ω × Ω → R

^{mesurant laqualité d'une}approximation parrapportàuneautre.

Notez qu'un grand nombre d'indiateurs binaires peut être généralisé en indiateurs unaires

de la façon suivante :

I(A) = I (A, R)

^{, où}

R ∈ Ω

^{est un ensemble de référene. C'est le as}

par exemple de l'indiateur hypervolume-diérene, et de la famille des indiateurs epsilon,

ommenousleverrons par lasuite.

But de la mesure. Les indiateurs de qualité peuvent également être distingués selon le

but de leur mesure: la onvergene vers le front Pareto, ou la diversité dessolutions le long

du front Pareto. Les indiateurs mesurant la onvergene évaluent la qualité de la, ou des

approximationsentermesdeproximitéparrapportaufrontPareto.Lesindiateursdediversité

mesurent l'uniformité de la distribution des solutions, dans l'espae objetif, en termes de

dispersion et d'extension. Enn, les indiateurs hybrides portent à la fois sur la onvergene

etladiversité.

Paramètres. Denombreux indiateursde qualité néessitent également ladénition de er-

tains paramètres. Parmi es indiateurs, on peut distinguer eux qui requièrent ertaines

onnaissanes exates (front Pareto exat, point idéal, et.) et eux qui requièrent des in-

formations de référene fournies par l'utilisateur (ensemble de référene, point de référene,

et.).Certainsparamètres exats, tels quelefront Pareto, ne sont pastoujoursdisponibleset

sont parfois impossibles à aluler. Néanmoins, lorsqu'unetelle information est disponible, il

s'avère intéressant de l'utiliserà bon esient,à l'aided'indiateurs de qualité adaptés.

Le tableau 1.1 reense un ensemble non exhaustif d'indiateurs de qualité etertaines de leurs

f

f z

Approximation 2

1 ref

Fig. 1.13Indiateurhypervolume(

I H

^).

f

f z

Ensemble de référence

Approximation 2

1 ref

Fig.1.14Indiateurhypervolume-diérene(

I _H ⁻

^).

1.3.1.2 Indiateur hypervolume

L'indiateurhypervolume(

I _H

^{),proposéparZitzleretThiele(1999),mesurelevolumedelapor-}

tion multidimensionnelle de l'espae objetif faiblement dominée par une approximation

A ∈ Ω

(Fig.1.13).Cetindiateurunairenéessitelaspéiationd'unpointderéférene

z ^ref

^.Cedernier

doit aumoins êtrefaiblement dominé partoutes les solutions de l'approximationonsidérée.

Une variante de et indiateur mesure la diérene, en terme d'hypervolume, entre une ap-

proximation

A ∈ Ω

^{et un ensemble de référene}

R

^{(Fig. 1.14). Cei peut être vu omme le}

volume faiblement dominé par

R

^etnonpar

A

^{.C'estsous ettedeuxième formequenousallons}

utiliserl'indiateur hypervolumelors denosexpérimentations. Notezqueontrairement àl'indi-

ateuroriginal,lespluspetitesvaleursorrespondent iiàunequalitésupérieure.Cetindiateur

hypervolume-diérene seranoté(

I _H ⁻

^).

I _H ⁻ (A) = I _H (R) − I _H (A).

^(1.2)

Soussesdeuxformes(

I _H

^et

I _H ⁻

^),l'indiateurhypervolume estundesraresindiateursmesurant à la fois la qualité d'une approximation en terme de onvergene et de diversité. Néanmoins,

le temps de alulest élevé : lemeilleur algorithme onnu est de omplexité exponentiellement

proportionnelle au nombre de fontions objetif. Par ailleurs, il est à noter que et indiateur

est sensible à l'éhelle des fontionsobjetif etau hoix du point de référene. Par onséquent,

les magnitudes de toutes les fontions objetifse doivent d'être normalisées,ei an de ne pas

privilégier unefontion objetif au détriment d'uneautre.

1.3.1.3 Indiateur epsilon

La famille des indiateurs epsilon a été introduite par Zitzler et al. (2003), et se base sur la

notion d'eaité epsilon introduite par Helbig et Pateva (1994). Elle omprend une version

multipliative et une version additive, toutes deux sous une forme unaire et sous une forme

binaire. La version additive estelle que nousallons utiliser. Tout d'abord, l'indiateur epsilon

additif binaire (

I _ǫ+

^{) donne lefateur additif minimalpar lequel une} approximation

A ∈ Ω

^doit

être translatée dansl'espae objetif pour dominerfaiblement uneapproximation

B ∈ Ω

^.

I _ǫ+ (A, B) = min

ǫ ∈R {∀ x ∈ B, ∃ x ^′ ∈ A : x ^′ ǫ+ x } .

^(1.3)

Par extension,l'indiateur epsilon additif unaire (

I _ǫ+ ¹

^{) peutêtre déniomme suit.}

I _ǫ+ ¹ (A) = I _ǫ+ (A, R),

^(1.4)

où

R

^{est un ensemble de référene. Cet indiateur est à minimiser. Par ailleurs, une}

I _ǫ+ ¹

^-valeur

inférieure ou égale à

0

^{implique que} l'approximation onsidérée domine faiblement l'ensemble de référene

R

^. L'indiateur epsilon semble à première vue dédié à la mesure de la qualité d'uneapproximationenterme deonvergene.Cependant,entredeuxapproximationsdequalité

similaire enterme de onvergene,l'ensemble leplusdiversiéest privilégié.Enn, toutomme

l'indiateur hypervolume,

I _ǫ+ ¹

^{est sensible àl'éhelle desfontions objetif.}

1.3.1.4 Indiateur ontribution

La mesure de ontribution (Meunier et al., 2000) est un indiateur binaire permettant la om-

paraison dedeux ensembles

A, B ∈ Ω

^.Soit

S ^⋆

^{l'ensembledessolutions} non-dominées de

A ∪ B

^.

La ontribution de

A

^sur

B

^,donnéepar

I _C (A, B)

^{,évaluelaproportiondesolutions} représentées par

A

^dans

S ^⋆

^{. Soit}

W A

^{l'ensemble dessolutions de}

A

^{qui dominent au moins une solution de}

B

^{. Soit}

N _A

^{l'ensemble des solutions non omparables de}

A

('est-à-dire les solutions qui sont

nidominantes, nidominées par rapportà

B

^{).Alors lamesurede} ontribution peutêtre dénie ommesuit.

I c (A, B) =

| A ∩ B |

2 + | W _A | + | N _A |

| S ^⋆ |

^(1.5)

Ainsi,si

f (A) = f (B)

^,alors

I _C (A, B) = I _C (B, A) = 0.5

^{.Sihaquesolutionde}

A

^{estdominéepar}

aumoinsunesolutionde

B

^,alors

I _C (A, B) = 0

^{.Et,defaçon générale,}

I _C (A, B) + I _C (B, A) = 1

^.

Cet indiateur permet d'obtenir une idée de la qualité d'une approximation par rapport à une

autre entermes de onvergene enun temps dealul raisonnable.

1.3.1.5 Ensemble et point de référene

L'indiateur de ontribution a l'avantage de ne pas néessiter de paramètres. Au ontraire, les

indiateurs epsilonethypervolume requièrent tout deuxun ensemblede référene

R

^{,e dernier}

néessitant également la spéiationd'unpoint de référene

z ^ref

^.

Idéalement,ilsembleévidentdedénirl'ensemblederéférene

R

^{ommeétant l'ensemblePareto}

optimal

X _E

^{.Cependant,nousne sommespasenmesuredefournir etensemblepourlatotalité}

des instanes des deux problèmes abordés dans e manusrit. En onséquent, l'ensemble de

référene assoié à une instane de problème donnée sera alulé de lafaçon suivante. Soit

A ^⋆

l'union de toutes les approximations obtenues lors de nos expérimentations pour une instane

donnée.

A ^⋆

^ontient probablement à la fois des solutions non-dominées et dominées, ar une approximation peut ontenir des éléments dominant eux d'une autre approximation, et vie

versa. L'ensemble de référene

R

^{est alors omposé de l'ensemble des solutions} non-dominées extraites de

A ^⋆

^{.Il orrespond end'autres mots aumeilleur ensemble trouvé.}

Soient

z ^min = (z ^min ₁ , . . . , z _n ^min )

^et

z ^max = (z ₁ ^max , . . . , z _n ^max )

^{,tels que}

z _i ^min

(respetivement

z ^max _i

⁾

dénotelaborneinférieure(respetivementsupérieure)desvaleursdelafontionobjetif

f _i

^parmi

touslespointsontenusdans

f(A ^⋆ )

^.Leveteur

z ^min

^{peutdonêtrevuommeune}approximation dupointidéal

z ^⋆

^{.Andedonneruneéhelleàpeuprès}équivalenteàtouteslesfontionsobjetif,