Géométrie différentielle 2018-2019

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Géométrie différentielle 2018-2019

G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2018-2019

Licence de math´ematiques fondamentales

Pierre Mounoud

Le poly se trouve ici

www.math.u-bordeaux.fr/~pmounoud/tds/chap1_2017.pdf

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Géométrie différentielle 2018-2019 Chapitre 1 : Courbes

Arcs paramétrés vs arcs géométriques

Les d´ efinitions

D´efinition 1

On appelle arc paramétré de classeC^k (0≤k ≤ ∞) de Rⁿ, un couple (I,f) oùI est un intervalle ouvert etf est une application de classe C^k deI dansRⁿ.

Mais ce n’est pas tant la fa¸con de parcourir le chemin qui nous interesse que le chemin lui même. D’où la définition suivante :

D´efinition 2

On dit que deux arcs paramétrés de classeC^k (I,f) et (J,g) définissent un même arc géométrique (de classeC^k)As’il existe un difféomorphisme θdeJ dansI de classeC^k tel queg =f ◦θ.

On dit queAest un arc géométrique paramétré par (I,f) (ou (J,g)) et queθest un changement de paramétrage.

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Les d´ efinitions

D´efinition 1

D´efinition 2

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Les d´ efinitions

D´efinition 1

D´efinition 2

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Les d´ efinitions

D´efinition 1

D´efinition 2

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Deux arcs g´ eom´ etriques diff´ erents de mˆ eme support.

Le sous-ensemblef(I)⊂Rⁿ est appel´e lesupportdeA.

La donnée deAn’est pas équivalente à celle def(I).

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Deux arcs g´ eom´ etriques diff´ erents de mˆ eme support.

Le sous-ensemblef(I)⊂Rⁿ est appel´e lesupportdeA.

La donnée deAn’est pas équivalente à celle def(I).

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D´efinition 3

On dit que deux arcs paramétrés (I,f) et (J,g) définissent un même arc géométrique orienté sif est obtenu à partir deg par un changement de paramétrage croissant.

Autrement dit, un arc géométrique orienté est un arc géométrique muni d’un sens de parcours.

Remarque :La relation(I,f) et (J,g) définissent un même arc géométrique (orienté ou non)est une relation d’équivalence sur l’espace des arcs paramétrés.

Un arc géométrique (orienté ou non) est une classe d’équivalence d’arcs paramétrés.

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D´efinition 3

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D´efinition 3

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D´efinition 3

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De même, un point d’une arc géométrique est aussi une classe d’équivalence :

D´efinition 4

Un pointpd’un arc géométriqueAest une classe d’équivalence de triplets (I,f,t) où (I,f) est un paramétrage deAett ∈I, pour la relation d’équivalence (I,f,t)∼(J,g,s) s’il existe un changement de paramétrage θtel queg =f ◦θett =θ(s).

L’´el´ementf(t) =g(s) deRⁿest l’image du point.

La notation (I,f,t) ´etant trop lourde, on dira simplement soitp=f(t) un point deA.

On fera attention cependant `a ne pas confondre un point et son image.

Dans la suite on va s’interesser aux propriétés des arcs géométriques, c’est-à-dire aux propriétés des arcs paramétrés invariantes par changement de paramètre.

(13)

D´efinition 4

L’´el´ementf(t) =g(s) deRⁿ est l’image du point.

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D´efinition 4

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D´efinition 4

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Tangente et plan osculateur

Points r´ eguliers et tangente

Proposition-d´efinition 5

SoientAun arc g´eom´etrique etpun point deA.

Soient (I,f) un param´etrage deAett∈I tels que et p=f(t).

Sif⁰(t)6= 0, on dit quepest un point régulierde A. Cette propriété ne dépend pas du choix de (I,f).

La droite passant parpet de vecteur directeurf⁰(t) est alors appelée latangenteen pàA. Cette droite ne dépend pas du choix de (I,f). Si tous les points de Asont réguliers, on dit queAestrégulier. Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle difféo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)) =θ⁰(s)

| {z }

6=0

f⁰(t).

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Points r´ eguliers et tangente

La droite passant parpet de vecteur directeurf⁰(t) est alors appelée latangenteen pàA. Cette droite ne dépend pas du choix de (I,f). Si tous les points de Asont réguliers, on dit queAestrégulier. Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle difféo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)) =θ⁰(s)

| {z }

6=0

f⁰(t).

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Points r´ eguliers et tangente

La droite passant parpet de vecteur directeurf⁰(t) est alors appelée latangenteen pàA. Cette droite ne dépend pas du choix de (I,f).

Si tous les points de Asont réguliers, on dit queAestrégulier. Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle difféo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)) =θ⁰(s)

| {z }

6=0

f⁰(t).

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Points r´ eguliers et tangente

Si tous les points de Asont r´eguliers, on dit queAestr´egulier.

Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle diff´eo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)) =θ⁰(s)

| {z }

6=0

f⁰(t).

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Points r´ eguliers et tangente

Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle diff´eo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a doncp=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)) =θ⁰(s)

| {z }

6=0

f⁰(t).

(21)

Points r´ eguliers et tangente

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)) =θ⁰(s)

| {z }

6=0

f⁰(t).

(22)

Dans la suite, on va souvent se limiter à l’étude des arcs réguliers.

D’une part cela va exclure les points de rebroussement et autres singularit´es et d’autre part cela va limiter beaucoup le nombre d’arcs ayant un mˆeme support.

Exercice 1 (voir TD)

Soient k,k⁰ ∈Net (I =]−1,1[,f) un paramétrage d’un arc régulier. Montrer que si 0∈I et sik 6=k⁰ alors (I,f(t^2k+1)) et (I,f(t^2k⁰⁺¹)) ne définissent pas le même arc géométrique.

Soient AetB deux arcs géométriquesréguliersdont le support est D ={(x,y)∈R²|y = 0}. Montrer queA=B.

(23)

Soientk,k⁰ ∈Net (I =]−1,1[,f) un paramétrage d’un arc régulier. Montrer que si 0∈I et sik 6=k⁰ alors (I,f(t^2k⁺¹)) et (I,f(t^2k⁰⁺¹)) ne définissent pas le même arc géométrique.

Soient AetB deux arcs géométriquesréguliersdont le support est D ={(x,y)∈R²|y = 0}. Montrer queA=B.

(24)

Soientk,k⁰ ∈Net (I =]−1,1[,f) un paramétrage d’un arc régulier. Montrer que si 0∈I et sik 6=k⁰ alors (I,f(t^2k⁺¹)) et (I,f(t^2k⁰⁺¹)) ne définissent pas le même arc géométrique.

SoientAetB deux arcs géométriquesréguliersdont le support est D={(x,y)∈R²|y = 0}. Montrer queA=B.

(25)

Points bir´ eguliers et plan osculateur

SoientAun arc géométrique régulier etpun point deA. Soient (I,f) un paramétrage deAett ∈I tel quep=f(t).

Le pointp est ditbiréguliersi f⁰(t) etf⁰⁰(t) sont linéairement indépendants. Sinon on dit qu’il s’agit d’un point d’inflexion. Cette propriété ne dépend pas du choix du paramétrage.

Sip est birégulier, le plan engendré parf⁰(t) etf⁰⁰(t) est appelé le plan osculateur àAau pointp. Il ne dépend pas du choix de (I,f). Si tous les points de Asont biréguliers alorsAest dit birégulier. Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle difféo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

g⁰⁰(s) =θ⁰⁰(s)f⁰(θ(s)) +θ⁰(s)²f⁰⁰(θ(s)) =θ⁰⁰(s)f⁰(t) +θ⁰(s)²f⁰⁰(t) Ainsi,Vect(f⁰(t),f⁰⁰(t)) =Vect(g⁰(s),g⁰⁰(s)).

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Points bir´ eguliers et plan osculateur

Le pointp est ditbiréguliersif⁰(t) etf⁰⁰(t) sont linéairement indépendants. Sinon on dit qu’il s’agit d’un point d’inflexion. Cette propriété ne dépend pas du choix du paramétrage.

Sip est birégulier, le plan engendré parf⁰(t) etf⁰⁰(t) est appelé le plan osculateur àAau pointp. Il ne dépend pas du choix de (I,f). Si tous les points de Asont biréguliers alorsAest dit birégulier. Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle difféo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

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Points bir´ eguliers et plan osculateur

Sip est birégulier, le plan engendré parf⁰(t) etf⁰⁰(t) est appelé le plan osculateur àAau pointp. Il ne dépend pas du choix de (I,f).

Si tous les points de Asont biréguliers alorsAest dit birégulier. Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle difféo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

(28)

Points bir´ eguliers et plan osculateur

Si tous les points de Asont bir´eguliers alors Aest dit bir´egulier.

Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle diff´eo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s). On a donc p=f(t) =g(s) et

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

(29)

Points bir´ eguliers et plan osculateur

Preuve :Soit (I,f)∼(J,g) etθle diff´eo tel que g =f◦θ. Soits∈J tel quet=θ(s).

On a donc p=f(t) =g(s) et g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

(30)

Points bir´ eguliers et plan osculateur

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

(31)

Points bir´ eguliers et plan osculateur

g⁰(s) = (f ◦θ)⁰(s) =θ⁰(s)f⁰(θ(s)).

(32)

Exercice 2

[cf examens an dernier] Montrer qu’un arc bir´egulier deRⁿ est contenu dans un 2-plan si et seulement s’il a mˆeme plan osculateur en tout point.

(33)

Longueur d’arc.

Longueur d’un arc

On veut d´efinir maintenant la longueur d’un arc, mais, a priori, on ne sait calculer que la longueur des lignes polygonales. Il est cependant possible d’approcher un arcApar des lignes polygonales

comme ceci :

Intuitivement, on se dit que la longueur de la ligne polygonale donne une approximation par valeur inf´erieure de la longueur de l’arc et que plus on se donne de point mieux on approche cette longueur. . .

(34)

Longueur d’arc.

Longueur d’un arc

On veut d´efinir maintenant la longueur d’un arc, mais, a priori, on ne sait calculer que la longueur des lignes polygonales. Il est cependant possible d’approcher un arcApar des lignes polygonales comme ceci :

(35)

Longueur d’arc.

Longueur d’un arc

On veut d´efinir maintenant la longueur d’un arc, mais, a priori, on ne sait calculer que la longueur des lignes polygonales. Il est cependant possible d’approcher un arcApar des lignes polygonales comme ceci :

(36)

Longueur d’arc.

Une subdivisionδd’un intervalle [a,b] est la donn´ee d’un entier`≥1 et d’un (`+ 1)-uplet (t0, . . . ,t`) v´erifianta=t0<t1<· · ·<t`=b.

On noted la distance euclidienne deRⁿ. D´efinition 7

Soient (I,f) un arc param´etr´e continu et [a,b]⊂I. Pour toute subdivisionδ= (t0, . . . ,t`) de [a,b], on note L(δ) =P`−1

i=0d(f(ti),f(ti+1)).

On d´efinit la longueur def|[a,b] comme ´etant L(f([a,b])) = sup

δ∈∆

L(δ), ∆ ={subdivisions de [a,b]}. Si ce nombre est fini, on dit que l’arc estrectifiable.

Remarques :

La longueur d’un arc est bien invariante par reparamétrage (on calcule donc la longueur de l’arc géométrique associé).

Avec cette d´efinition, il est clair que le plus court chemin entre deux points est la ligne droite (parcourue de fa¸con ”monotone”).

(37)

Longueur d’arc.

δ∈∆

L(δ), ∆ ={subdivisions de [a,b]}.

Si ce nombre est fini, on dit que l’arc estrectifiable. Remarques :

(38)

Longueur d’arc.

δ∈∆

Si ce nombre est fini, on dit que l’arc estrectifiable.

Remarques :

(39)

Longueur d’arc.

δ∈∆

Remarques :

(40)

Longueur d’arc.

δ∈∆

Remarques :

(41)

Longueur d’arc.

Contrairement à ce que l’on pourrait imaginer, un arc paramétrécompact et continu n’est pas forcément rectifiable.

La courbe de Koch donne un exemple particuli`erement pathologogique : aucun de ses sous-arcs n’est rectifiable. Il s’agit de l’arc obtenu comme limite du processus suivant :

Ce n’est pas le genre de situation que nous allons rencontrer ; en effet les arcs compacts et lisses (en faitC¹) sont rectifiables.

(42)

Longueur d’arc.

Contrairement à ce que l’on pourrait imaginer, un arc paramétrécompact et continu n’est pas forcément rectifiable. La courbe de Koch donne un exemple particulièrement pathologogique : aucun de ses sous-arcs n’est rectifiable. Il s’agit de l’arc obtenu comme limite du processus suivant :

(43)

Longueur d’arc.

Contrairement à ce que l’on pourrait imaginer, un arc paramétrécompact et continu n’est pas forcément rectifiable. La courbe de Koch donne un exemple particulièrement pathologogique : aucun de ses sous-arcs n’est rectifiable. Il s’agit de l’arc obtenu comme limite du processus suivant :

(44)

Longueur d’arc.

Si on a affaire à un arc lisse, le calcul différentiel suggère une autre fa¸con d’approcher l’arc ([a,b],f).

A partir d’une subdivision (a` =t0<t1<· · ·<t`=b) : remplacer la restriction def `a [ti,ti+1[ par la fonction affinet7→f(ti) + (t−ti)f⁰(ti).

Figure–Les deux fa¸cons d’approcher un arc `a partir d’une mˆeme subdivision

(45)

Longueur d’arc.

A partir d’une subdivision (a` =t0<t1<· · ·<t`=b) : remplacer la restriction def `a [ti,ti+1[ par la fonction affine t7→f(ti) + (t−ti)f⁰(ti).

(46)

Longueur d’arc.

A partir d’une subdivision (a` =t0<t1<· · ·<t`=b) : remplacer la restriction def `a [ti,ti+1[ par la fonction affine t7→f(ti) + (t−ti)f⁰(ti).

(47)

Longueur d’arc.

Ce nouvel arc n’est plus continu, mais sa comparaison avec l’arc polygonal précédent permet de montrer le théorème suivant : Théorème 8

Soient(I,f)un arc param´etr´e continu et[a,b]⊂I tels que f est de classe C¹ sur]a,b[.

L’arc f([a,b])est rectifiable si et seulement siRb

a kf⁰(t)kdt <+∞.

On a alors L(f([a,b])) =Rb

a kf⁰(t)kdt.

En particulier, si f est de classe C¹sur[a,b], alors L(f([a,b]))<+∞.

Notons ce que ce résultat a de satisfaisant : il affirme que la distance parcourue est obtenue en intégrant la vitesse. Quoi de plus naturel ? Remarquons aussi que la formule de changement de variable nous dit que l’intégrale présente dans l’énoncé ci-dessus est invariante par changement de paramétrageC¹.

(48)

Longueur d’arc.

a kf⁰(t)kdt.

Notons ce que ce r´esultat a de satisfaisant : il affirme que la distance parcourue est obtenue en int´egrant la vitesse. Quoi de plus naturel ?

Remarquons aussi que la formule de changement de variable nous dit que l’intégrale présente dans l’énoncé ci-dessus est invariante par changement de paramétrageC¹.

(49)

Longueur d’arc.

a kf⁰(t)kdt.

Notons ce que ce résultat a de satisfaisant : il affirme que la distance parcourue est obtenue en intégrant la vitesse. Quoi de plus naturel ? Remarquons aussi que la formule de changement de variable nous dit que l’intégrale présente dans l’énoncé ci-dessus est invariante par changement de paramétrageC¹.

(50)

Longueur d’arc.

Preuve : cas f est de classe C

¹

sur tout [a, b].

Le segment [a,b] est compact et l’application f⁰ est continue donc la restriction def⁰ `a [a,b] est uniform´ement continue i.e.

∀ε >0,∃η >0,∀(t1,t2)∈[a,b],kt1−t2k< η⇒ kf⁰(t1)−f⁰(t2)k< ε.

En appliquant la formule des accroissements finis `a l’application g :t 7→f(t)−tf⁰(t2), en d´eduit que

∀ε >0,∃η >0,∀(t1,t2)∈[a,b],

|t₁−t₂|< η⇒ kf(t₁)−f(t₂)−(t₁−t₂)f⁰(t₂)

| {z }

=g(t₁)−g(t2)

k ≤ ε

|{z}

=sup_[t

1,t2 ]g⁰(t)

|t₁−t₂|. (1)

(51)

Longueur d’arc.

Preuve : cas f est de classe C

¹

sur tout [a, b].

∀ε >0,∃η >0,∀(t1,t2)∈[a,b],

|t₁−t₂|< η⇒ kf(t₁)−f(t₂)−(t₁−t₂)f⁰(t₂)

| {z }

=g(t₁)−g(t2)

k ≤ ε

|{z}

=sup_[t

1,t2 ]g⁰(t)

|t₁−t₂|. (1)

(52)

Longueur d’arc.

Preuve : cas f est de classe C

¹

sur tout [a, b].

∀ε >0,∃η >0,∀(t1,t2)∈[a,b],

|t1−t₂|< η⇒ kf(t₁)−f(t₂)−(t₁−t₂)f⁰(t₂)

| {z }

=g(t₁)−g(t2)

k ≤ ε

|{z}

=sup_[t

1,t2 ]g⁰(t)

|t1−t₂|. (1)

(53)

Longueur d’arc.

On a not´e ∆ l’ensemble des subdivisions de [a,b]. Pour toutη >0, on note ∆η l’ensemble des subdivisionsδ={ti}de [a,b] telles que pour touti on a ti+1−ti< η.

Lemme 9

sup{L(δ), δ∈∆}= sup{L(δ), δ∈∆η}.

PreuveComme ∆η⊂∆, on a sup{L(δ), δ∈∆} ≥sup{L(δ), δ∈∆η}. R´eciproquement, pour tout δ={t0<· · ·<t_`} ∈∆, il est facile de trouverδ⁰={t₀⁰ <· · ·<t_`⁰0} ∈∆_η tel que pour touti ∈ {0,1, . . . `}, il existej_i ∈ {0,1, . . . `⁰} tels quet_i =t_j⁰

i (on a rajout´e suffisamment de points).

L’in´egalit´e triangulaire nous dit queL(δ)≤L(δ⁰). Ce qui implique que sup{Lδ(f([a,b]), δ∈∆} ≤sup{Lδ(f([a,b]), δ∈∆η}.

(54)

Longueur d’arc.

Lemme 9

PreuveComme ∆η⊂∆, on a sup{L(δ), δ∈∆} ≥sup{L(δ), δ∈∆η}.

R´eciproquement, pour tout δ={t0<· · ·<t_`} ∈∆, il est facile de trouverδ⁰={t₀⁰ <· · ·<t_`⁰0} ∈∆_η tel que pour touti ∈ {0,1, . . . `}, il existej_i ∈ {0,1, . . . `⁰} tels quet_i =t_j⁰

(55)

Longueur d’arc.

Lemme 9

R´eciproquement, pour tout δ={t0<· · ·<t`} ∈∆, il est facile de trouverδ⁰={t₀⁰ <· · ·<t_`⁰0} ∈∆_η tel que pour touti∈ {0,1, . . . `}, il existej_i ∈ {0,1, . . . `⁰} tels quet_i =t_j⁰

(56)

Longueur d’arc.

Lemme 9

R´eciproquement, pour tout δ={t0<· · ·<t`} ∈∆, il est facile de trouverδ⁰={t₀⁰ <· · ·<t_`⁰0} ∈∆_η tel que pour touti∈ {0,1, . . . `}, il existej_i ∈ {0,1, . . . `⁰} tels quet_i =t_j⁰

L’in´egalit´e triangulaire nous dit queL(δ)≤L(δ⁰). Ce qui implique que sup{L_δ(f([a,b]), δ∈∆} ≤sup{L_δ(f([a,b]), δ∈∆_η}.

(57)

Longueur d’arc.

Pour toutδ∈∆, on a

L(δ)−Rb

a kf⁰(t)kdt ≤

L(δ)−P

i(ti+1−ti)kf⁰(ti)k +

P

i(t_i+1−t_i)kf⁰(t_i)k −Rb

a kf⁰(t)kdt .

Soientε >0 etη >0 donn´e par (1). Siδ∈∆η, par (1) on obtient :

L(δ)−X

i

(ti+1−ti)kf⁰(ti)k ≤X

i

kf(ti+1−f(ti)k −(ti+1−ti)kf⁰(ti)k

≤X

i

kf(ti+1−f(ti)−(ti+1−ti)f⁰(ti)k

≤εX

i

(ti+1−ti) =ε(b−a).

(58)

Longueur d’arc.

L(δ)−Rb

a kf⁰(t)kdt ≤

L(δ)−P

P

a kf⁰(t)kdt . Soientε >0 et η >0 donn´e par (1). Siδ∈∆η, par (1) on obtient :

L(δ)−X

i

≤X

i

≤εX

i

(ti+1−ti) =ε(b−a).

(59)

Longueur d’arc.

L(δ)−Rb

a kf⁰(t)kdt ≤

L(δ)−P

P

L(δ)−X

i

≤X

i

≤εX

i

(ti+1−ti) =ε(b−a).

(60)

Longueur d’arc.

L(δ)−Rb

a kf⁰(t)kdt ≤

L(δ)−P

P

L(δ)−X

i

≤X

i

≤εX

i

(ti+1−ti) =ε(b−a).

(61)

Longueur d’arc.

Par d´efinition de l’int´egrale de Riemann, pour toutε >0 il existeη⁰>0 tel que

δ∈∆_η⁰ ⇒

X

i

(t_i+1−t_i)kf⁰(t_i)k − Z b

a

kf⁰(t)kdt

≤ε.

Ainsi, en posantη₀= min{η, η⁰}, on obtient que pour toutδ∈∆_η₀ :

L(δ)− Z b

a

kf⁰(t)kdt

≤ε(1 + (b−a)).

Ainsi, en prenant le sup sur lesδ∈∆η₀ (en utilisant le lemme 9) et en faisant tendreεvers 0, on a finalement :

L(f([a,b])) = Z b

a

kf⁰(t)kdt.

(62)

Longueur d’arc.

Par d´efinition de l’int´egrale de Riemann, pour toutε >0 il existeη⁰>0 tel que

δ∈∆_η⁰ ⇒

X

i

(t_i+1−t_i)kf⁰(t_i)k − Z b

a

kf⁰(t)kdt

≤ε.

Ainsi, en posantη₀= min{η, η⁰}, on obtient que pour toutδ∈∆_η₀ :

L(δ)− Z b

a

kf⁰(t)kdt

≤ε(1 + (b−a)).

Ainsi, en prenant le sup sur lesδ∈∆η₀ (en utilisant le lemme 9) et en faisant tendreεvers 0, on a finalement :

L(f([a,b])) = Z b

a

kf⁰(t)kdt.