Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr
La suite de Fibonacci
Introduction
On considère la suite de Fibonacci (Fn)n∈Ndéfinie parF0=0,F1=1 et
∀n∈N, Fn+2=Fn+1+Fn.
Dans ce problème, nous allons déterminer une expression explicite de la suite de Fibonacci en utili- sant deux méthodes différentes. Dans tout le problème, on désigne parϕ∈Retψ∈R les racines du polynômeX2−X −1∈R[X] de sorte queψ<ϕ. Le réelϕest appelé le nombre d’or.
I. Généralités
Dans cette partie, on détermine quelques propriétés des nombresϕetψ, puis on démontre quelques relations élémentaires sur la suite de Fibonacci.
Dans la suite, on utilise la convention
∀(k,n)∈Z2, Ãn
k
!
=0 si n∉N ou k∉J0,nK.
1. Calculer les nombresϕ,ψ,ϕ+ψ,ϕψetϕ−ψ.
2. Calculer les nombresFnpourn∈J2, 5K.
3. Montrer que pour toutn∈N, on a les relations
n
X
k=0
Fk=Fn+2−1,
n
X
k=0
F2k=F2n+1−1,
n
X
k=0
F2k+1=F2n+2.
4. Montrer que pour toutn∈N, on a la relation
n
X
k=0
Fk2=FnFn+1.
5. Montrer que pour toutn∈N, on a
Fn=
n
X
k=0
Ãn−1−k k
! .
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II. Étude de la suite de Fibonacci via l’algèbre linéaire
Dans cette partie, nous allons étudier la suite de Fibonacci en utilisant les outils de l’algèbre linéaire. On considère
A= µ1 1
1 0
¶
et ∀n∈N, Xn= µFn+1
Fn
¶ .
A. Expression explicite de F
nOn commence par déterminer une expression explicite deFn. 1. Montrer queXn+1=AXnpour toutn∈N.
2. En déduire queXn=AnX0pour toutn∈N.
3. Déterminer les valeurs propres de la matriceA.
4. Pour chacune des valeurs propre de A, déterminer un vecteur propre associé à la valeur propre dont la seconde composante est 1.
5. En déduire qu’il existe une matrice diagonaleD∈M2(R) telle queA=P DP−1où P=
µϕ ψ 1 1
¶ .
6. Déterminer une expression deP−1en fonction deϕetψ.
7. En déduire pour toutn∈Nque An= 1
ϕ−ψ
µϕn+1−ψn+1 ϕψn+1−ψϕn+1 ϕn−ψn ϕψn−ψϕn
¶ . 8. Déduire des questions de cette partie que
∀n∈N, Fn=ϕn−ψn ϕ−ψ .
B. Quelques relations remarquables
Dans cette partie, nous allons démontrer quelques relations sur la suite de Fibonacci.
9. Montrer que pour toutn∈N, on a
F2n=
n
X
k=0
Ãn k
! Fk.
10. Montrer que pour toutn∈N, en utilisant éventuellement la questionI.1, on a
∀n∈N∗, An=
µFn+1 Fn Fn Fn−1
¶ .
11. Déduire de la question précédente l’identité de Cassini :
∀n∈N∗, Fn+1Fn−1−Fn2=(−1)n. 12. De même, déduire de la questionII.10que pour tout (m,n)∈N2, on a
Fm+1Fn+1+FmFn=Fm+n+1.
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III. Expression de F
nvia une série entière
Dans cette partie, nous allons utiliser une autre méthode (avec une série entière) pour déterminer une expression explicite de la suite de Fibonacci. Ainsi, cette partie est indépendante de la précédente : on ne pourra utiliser aucun résultat de la partieII.
On noteRle rayon de convergence de la série entière X
n>0
Fnxn
et on désigne parf la somme de cette série entière sur son intervalle de convergence.
1. Montrer que|Fn|6ϕnpour toutn∈N.
2. Déduire de la question précédente queR>ϕ1. 3. Montrer que pour toutx∈]−R,R[, on a
(1−x−x2)f(x)=x.
4. Déterminer un couple (λ,µ)∈R2en fonction deϕetψtel que
∀x∈R\
½1 ϕ, 1
ψ
¾
, x
1−x−x2= λ
1−ϕx+ µ 1−ψx. 5. Déduire de la question précédente que
∀x∈
¸
−1 ϕ,1
ϕ
·
, x
1−x−x2=
+∞X
n=0
µϕn−ψn ϕ−ψ
¶ xn.
6. Déduire des questions de cette partie une expression explicite deFnpour toutn∈N. 7. Quelle est la valeur deR?
Fin
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