Les nombres complexes

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MAT144

Les nombres complexes

École de technologie supérieure

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On peut quelquefois rencontrer des équations qui ne possèdent pas de solutions réelles. C'est le cas, par exemple, de l'équation x + 25 = 0. Les solutions de cette équation, ±5i, font partie d'un ensemble de nombres qu'on appelle les nombres complexes (notéC); cet ensemble est formé à partir des nombres réels auxquels on ajoute i= 1− . Cette dernière valeur n’est évidemment pas un nombre réel, donc ce n’est pas une quantité mesurable.

En électronique, la lettre i étant utilisée pour désigner l'intensité du courant, c'est la lettre qui sert pour le nombre j

−1. Ici, on se servira de i.

Un nombre complexe sous forme standard est un nombre de la forme , où a et sont des nombres réels et est l'unité des nombres imaginaires. Si

+

a bi b

i b ≠ 0, alors est aussi appelé nombre imaginaire ou nombre

complexe. Si , alors est un nombre réel. Le zéro des complexes est . Le conjugué de est .

+ a bi = 0

b a + 0 i 0+ 0 = 0i

+

a bi a - bi

La figure suivante nous montre un nombre complexe a + bi dessiné dans le plan complexe.

y

x Axe imaginaire

Axe réel Plan complexe

a

b a + bi

(a,b)

Lorsque l'on fait correspondre des nombres complexes à des points dans un système de coordonnées rectangulaires, l'axe des x devient l'axe réel et l'axe des devient l'axe imaginaire. Le nombre complexe est exprimé sous forme rectangulaire, étant la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe.

y a + bi

a

L'égalité, l'addition et la multiplication des nombres complexes est définie par:

1. a + b i = + c d i si et seulement si a= c et b=d où , , ,a b c d∈\

2. ( + a b i ) + ( + c d i ) = ( + ) + ( + )a c b d i et (a + b i ) - ( + c d i ) = ( - ) + ( - )a c b d i 3. ( + a b i ) ( + c d i ) = (a c b d - ) + (a d + b c i )

Puisque les nombres complexes jouissent des mêmes propriétés de commutativité, d'associativité et de distributivité que les nombres réels, la plupart des calculs sur les nombres complexes sont effectués à l'aide de ces dernières propriétés et aussi de la formule . La recherche de l'inverse multiplicatif d'un nombre complexe et la manipulation de quotients amènent à utiliser la propriété des conjugués:

2 = -1 i

2 2

( + ) ( - ) = a bi a bi a + b Si a > 0, alors la racine carrée principale d'un réel négatif - a est −a= 1− ⋅a= 1 = − ⋅ a i a . Par exemple, − =4 4 − =1 2 − =1 2i

Gilles Picard page 1

5 octobre 2007

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i Exemple : Effectuez les opérations suivantes

a) (2 - 5 ) + (3 + )i i b) (4 - 3 ) (1 - 2 )i ⋅ c) ¹

2 3i+ d) ^{7 3}

1 i i

− +

Solutions : a) En suivant la règle #2 ci-dessus:

(2 - 5i) + (3 + i) = (2 + 3) + (-5 + 1)i = 5 - 4i

b) En suivant la règle #3 ci-dessus:

(4 -3 ) (1 - 2 ) = (4 1 - [-3] [-2]) + (4 [-2] + [-3] 1) = (4 - 6) + (-8 - 3) = -2 - 11i ⋅ i ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i i i c) Simplifions cette expression en utilisant le conjugué du dénominateur:

1 1 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3 4 9 13 13

i i

i i i i

− −

= ⋅ = = −

+ + − +

d) On procède comme pour l'expression précédente:

7 3 7 3 1 4 10

1 1 1 2 2 5

i i i i

− − − −

= ⋅ = = −

+ + −

Une équation quadratique sous forme standard est une équation qui peut être ramenée sous la forme

2 + + = 0 0

ax bx c a ≠ , où x est la variable et a, b et c sont des constantes réelles. On peut toujours résoudre cette équation avec la formule quadratique:

2 4

2 b b ac

x a

− ± −

=

Si le discriminant est positif, l'équation possède deux racines réelles distinctes; si le discriminant est égal à 0, l'équation possède une racine réelle double; si le discriminant est négatif, l'équation possède deux racines imaginaires (nombres complexes), chacune étant la conjuguée de l'autre.

2 - 4

b ac

Exemple : Déterminez combien de racines possède chacune des équations suivantes:

a) 2x² - 5 + 3 = 0x b) 9x² + 30 + 25 = 0x c) 5x² + 4 + 1 = 0x Solutions :

a) a = 2; = -5; = 3 b c ⇒ b² - 4ac = 25 - 4 6 = 1 > 0 ⋅ ⇒ 2 racines réelles distinctes: 1 et 3 2

b) = 9; = 30; = 25 a b c ⇒ b² - 4ac = 900 - 4 225 = 0 ⋅ ⇒ une seule racine, double: 5 3

−

c) a = 5; = 4; = 1 b c ⇒ b² - 4ac = 16 - 4 5 = -4 < 0 ⋅ ⇒ 2 racines complexes: 2 5

− ± 5 i

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x ±

Il peut arriver qu'on ait à résoudre des équations qui ne sont pas des équations quadratiques, par exemple , mais qui peuvent se ramener à cette forme à l’aide d’un changement de variable approprié:

pour notre exemple, si on pose , on obtient :

4 2

+ 5 + 4 = 0

x x

2 4

= ( = ) u x ⇒ x u

4 2 2

2 2 2 2

2

3 4 0 3 4 0 ( 4)( 1) 0

( 4)( 1) 0 soit 4 0 donc 4 et 2

soit 1 0 donc ( 1)( 1) 0 et 1

x x u u u u

x x x x x i

x x x

+ − = ⇒ + − = ⇒ + − =

⇒ + − = ⇒ + = = − = ±

⇒ − = + − = =

EXERCICES

(Faites les exercices manuellement et vérifiez vos réponses avec votre TI) 1- Effectuez et donnez sous forme standard

a)

(

^{− +}^{3 2}ⁱ

)

^{+ −}^{(6 8 )}ⁱ ^b)( 3 3 )(2 3 )− − i + ⁱ c) ¹³ 5 3

i i

−

− 2- Effectuez et écrivez sous forme standard

a) (3+i)²−2(3+ +i) 3 b) i²⁷ 3- Réécrivez sous la formea+bi et effectuez

a) (2− − − − −4 (3 9) b) ²

3 4

− −1

+ − c) ⁴ ²

4 + − 5

− 4- Évaluez 3, 77 8, 47

6,82 7, 06 i i

−

− avec votre TI (arrondissez votre réponse à 2 décimales) Résolvez les équations suivantes.

5- 2x² =4x 6- 2x² =7x−3 7- m²+ + =m 1 0 8- ² ³( 1)

y =2 y+ 9- 1 ³₂ ²

u u

+ = 10- m⁴+5m²−36=0

RÉPONSES

1- a) 3−6i b) 3 1− 5i c) 2+i

2- a) 5 4i+ b) ⁱ²⁷ ⁼^{i i}²⁶ ⁼

( )

ⁱ² ¹³ⁱ^{= −}

^{( )}

¹¹³ⁱ^{= −}

^{( )}

¹ ⁱ^{= −i}

3- a) − +1 i b) 4 7

13−13i c) ⁵ 2

2− i

4- 0,89 0, 32i− 5- x=0 oux=2 6- 1

2, 3

x ⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

7- 1 3

2 2

m= − ± i 8- 3 33

y= ±4

9- u= ±1 2i 10- m= ±3i ou m= ±2

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