Géométrie projective. a.Introduction

ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri

Géométrie projective.

a. Introduction

Les espaces projectifs ont été construits pour exprimer rigoureusement en mathématiques la notion de perspective. Quand on regarde un objet, tout ce qui est derrière cet objet « disparaît », autrement dit tout ce qui est aligné derrière l'objet n'est plus visible.

Pour restituer ce phénomène en mathématiques on par d'un espace vectoriel et on va considérer tout les vecteurs qui sont colinéaires (une droite vectorielle) comme un seul point. Cette

constructions s'appelle un espace projectif. Contraire aux espaces vectoriels, cet espace projectif est homogène, c'est à dire qu'on ne peut plus distinguer un seul point comme origine de l'espace, et ses propriétés se rapprochent de celles des espaces affines.

b. L'espace projectif de

_ℝ

par le plongement de l'espace affine

_ℝ

dans l'espace vectoriel

_ℝ²

Si on considère une droite vectorielle comme un point, plusieurs questions se posent : Comment représenter cette droite ?

Peut on définir des opérations entre ces droites ? A quoi « ressemble » une espace projectif ?

Considérons l'exemple illustré par la figure ci dessous :

Le plan de projection est représenté par une droite affine et les points du plan affine ℝ² sont identifiés à l'extrémité des vecteurs du plan vectoriel _ℝ² .

Les vecteurs du plan vectoriel qui n'ont pas de coordonné z nulle ont tous une « intersection » avec la droite affine qui représente le plan de projection. Les points qui sont sur cette droite affine ont tous la même coordonnée z=h, on peut donc représenter les droites vectorielles de ℝ² comme des point de la droite qui représente le plan de projection. Ces points ont pour coordonnées

(

^hx

)

^.

Tous les points du plan _ℝ² peuvent être considérés comme des vecteurs, et seront représentés dans l'espace projectif de ℝ par un point de cette droite de coordonnées

(

^hx

)

^.

Seule la droite (Ox) ne peut pas être représentée ainsi car elle n'as pas d'intersection avec la droite qui représente le plan de projection. C'est ce qu'on appelle le point à l'infini.

c. Coordonnées homogènes

On vient de voir qu'on ajoutant une coordonnée constante aux coordonnées d'un point affine on obtenais un représentant d'un point de l'espace projectif, c'est à dire un représentant de la droite

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ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri vectorielle qui traversait l'espace affine plongé dans un espace vectoriel de dimension

immédiatement supérieure.

Si on prend donc le point de l'espace affine _ℝⁿ v =

(

^xx.1p

)

, le point v=

(

^xx1.1p

)

représente la droite vectorielle Vect(v) dans l'espace vectoriel _ℝⁿ⁺¹ est c'est donc un point de l'espace projectif de ℝⁿ . Le point v auquel on ajoute une coordonnée w, qu'on fixe généralement à 1, est la représentation en coordonnées homogènes du point v de l'espace affine _ℝⁿ . Les autres points de

l'espace projectifs sont les points i =

(

^xx0.1p

)

qu'on appelle les points à l'infini.

On voit donc qu'on peut considérer l'espace projectif comme un espace affine auquel on ajoute un plan vectoriel.

Dans cette représentation, deux vecteurs u=

(

^uuw.1p

)

^{et v=}

(

^w'vv.1p

)

de l'espace ℝⁿ⁺¹ sont égaux si w et w' ne sont pas nuls et si ∀i∈ℕu_i

w= v_i

w ' , la coordonnée w s'appelle la coordonnée homogène et on la fixe généralement à 1 et quand on veux trouver le représentant d'un vecteur sur le plan de projection on multiplie le vecteur par 1

w .

d. Les translations en coordonnées homogènes

Une des propriétés intéressante des coordonnées homogènes est de permettre d'exprimer les translations comme des matrices.

Par exemple si on considère la translation de vecteur

(

^ttt123

)

^{, on a :}

(

^{1 0 00 1 00 0 10 0 0 1ttt123}

)(

^xxx1123

)

⁼

(

^xxx1132

)

⁺

(

^ttt0123

)

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e. Les applications linéaires en coordonnées homogènes

Une homothétie de rapport _λ :

(

^{λ00 00 0 0 1λ0 0 0λ0 00}

) (

^xxx1123

)

⁼

(

^{λλλ1xxx123}

) (

^{1 0 00 1 00 0 10 0 0 1ttt123}

)(

^xxx1123

)

f. Projections orthogonale

Une projection est orthogonale lorsque la direction de projection est orthogonale au plan de

projection et est un des axes du repère. Elle est utilisée en dessin technique pour obtenir les vues de face, de dessus et de coté. On obtient les coordonnées de l’image d’un point M en supprimant la coordonnée de la direction de projection.

La matrice de la projection orthogonale :

(

^{1 0 0 00 1 0 00 0 0 1}

)

g. Projections perspectives

La matrice de la projection perspective:

(

^{1 0 0 00 1 0 00 0 d1 0}

)

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