1 Th`eme 1 – Constantes fondamentales-analyse dimensionnelle. Loi fonda- mentale de la dynamique-chute libre (dur´ee 6 heures)

Universit´e Paul Sabatier

Fascicule de Travaux Dirig´es de Physique 1 – Semestre 1, L1, Portail SFA

Ann´ee 2011-2012

1 Th`eme 1 – Constantes fondamentales-analyse dimensionnelle. Loi fonda- mentale de la dynamique-chute libre (dur´ee 6 heures)

1.1 Ordres de grandeur

Calculer les ordres de grandeur de la masse volumique de la Terre, du Soleil, de l’atome d’hydrog`ene et de son noyau. On donne :

M_T = 6×10²⁴kg R_T = 6 400km M_S = 2×10³⁰kg R_S = 0,7×10⁶km

On prendra comme rayon de l’atome d’hydrog`enea0 = 52,9pm et comme rayon du proton1fm (femtom`etre ou Fermi,1 fm = 10⁻¹⁵m). On adoptera dans tous les cas ´etudi´es le mod`ele d’une sph`ere homog`ene.

1.2 Energie d´egag´ee par une explosion nucl´eaire par l’analyse dimensionnelle´

Lors de l’explosion d’une bombe atomique, on suppose qu’il existe une rela- tion entre les grandeurs suivantes : le rayonR, l’´energie initialeE, la masse volumique de l’airρet le tempst.

Par analyse dimensionnelle, d´eduire quelle doit ˆetre la forme de cette relation.

Application num´erique : en supposant que la constante num´erique est d’ordre 1, et en utilisant les donn´ees des photos (`a t = 0.006 s, on mesure R = 80 m), trouver l’´energie de la bombe en S.I. Pour comparaison, on rappelle que l’´energie d´elivr´ee par 1 g de TNT est 4000 J.

En 1950, le physicien britannique G. Taylor a effectu´e ce calcul, ce qui lui a permis (i) de v´erifier cette loi avec les donn´ees exp´erimentales, et (ii) d’estimer l’´energie d´egag´ee par l’explosion de la bombe atomique dans le Nouveau Mexique en 1945 alors que cette donn´ee ´etait “secret d´efense”.

1.3 Syst`emes d’unit´es atomiques

En physique atomique (´etude du mouvement des ´electrons dans un atome), il est commode d’utiliser un syst`eme diff´erent du syst`eme SI. On choisit comme grandeurs fondamentales :

– la masse (dimension [M]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a la masse de l’´electronm<sub>e</sub>; – la charge (dimension [Q]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a la charge ´el´ementairee;

– l’action (dimension [A]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a la constante de Planck divis´ee par2π, not´ee~; – la permittivit´e di´electrique (dimension [P]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a4πε0.

1. Exprimer les dimensions de chacune de ces grandeurs en fonction de celles des grandeurs fondamentales du syst`eme SI.

2. En d´eduire les dimensions des grandeurs fondamentales du syst`eme SI en fonction de celles de ce syst`eme.

3. Calculer les valeurs en unit´es SI des unit´es atomiques de longueur, de vitesse, d’´energie et de tension.

4. Qu’en d´eduisez-vous sur les ordres de grandeurs de la taille de l’atome d’hydrog`ene, de la vitesse des

´electrons dans cet atome, ainsi que de son ´energie d’ionisation (en Joule et ´electron-volts) ? 1.4 Saut `a la perche

Le record du monde du saut `a la perche, ´etabli par l’ukrainien Sergei Bubka en 1994, est de6,14m.

1. `A l’aide d’un raisonnement m´ecanique simple, s’appuyant sur la conservation de l’´energie m´ecanique,

´etablir une expression simplifi´ee de la hauteurhatteinte en fonction de la vitessev0 avant le saut et la valeurgdu champ de pesanteur terrestre. Quel est le rˆole de la perche ?

2. Sachant quev0 = 9m.s⁻¹ etg= 9,81m.s⁻², calculerh. Comparer la valeur obtenue `a celle du record.

Commenter.

1.5 Saut en longueur

Le record du monde au saut en longueur, ´etabli par l’am´ericain Mike Powell en 1991, est de8,95 m. On se propose de retrouver cet ordre de grandeur. Pour cela on consid`ere le mouvement d’un point mat´eriel, sous la seule action du champ de pesanteurg, avec une vitesse initialev0 faisant l’angleα0avec le plan horizontal.

1. On s’attend `a ce que l’amplitudeLdu saut en longueur d´epende dev0,getα0. Proposer une expression pourLen vous basant sur une simple analyse dimensionnelle. Commenter.

2. ´Etablir les ´equations donnant les coordonn´ees du point dans le plan verticalxOyau cours du temps. La position du point mat´eriel, `a l’instant initial, est prise comme origineOdes coordonn´ees.

3. En d´eduire l’´equation cart´esienne de la trajectoire. Exprimer, en fonction de v0,α0 etg, l’amplitude L du saut en longueur.

4. Montrer que Latteint une valeur maximaleL_mpourα0 =π/4. Calculer L_mlorsquev0 = 9,5m.s⁻¹. Comparer avec le record mondial et commenter.

5. Supposons que la vitesse de l’athl`ete soit r´eduite de 10 %. Comment cela affecte-t-il l’amplitude du saut ? 1.6 Masse volumique d’une ´etoile

Les ´etoiles sont des masses M de gaz ionis´e (plasma)^≪confin´ees^≫dans un volume V par la force de gravitation qui tend `a rapprocher les particules de gaz les unes contre les autres. Au cœur des ´etoiles la densit´eρest telle que des r´eactions de fusion nucl´eaire se produisent en lib´erant une tr`es grande quantit´e d’´energie sous forme de rayonnement. Ce rayonnement exerce une pression (dite pression de radiation) dirig´ee de l’int´erieur de l’´etoile (le noyau) vers l’ext´erieur (la couronne de l’´etoile). Cette force de pression s’oppose `a l’effondrement de l’´etoile sur elle-mˆeme par gravit´e. Les ´etoiles sont donc des syst`emes stables en ´equilibre o`u deux forces

FIGURE1 –

s’opposent : la force de gravit´eF_Get la force de pression de radiationF_R. Sous l’effet combin´e de ces deux forces, l’enveloppe de l’´etoile oscille `a une certaine fr´equence (s⁻¹) :ν= 1/T(ouTest la p´eriode de vibration en seconde).

1. Donner l’expression du volumeV de l’´etoile consid´er´ee comme une sph`ere de rayonR.

2. En d´eduire l’expression de la densit´eρde l’´etoile consid´er´ee comme constante en fonction deR. Quelle est la dimension de la densit´e et son unit´e ?

3. Donner, en le justifiant, la dimension de la constante de gravitationGainsi que son unit´e.

4. On s’attend `a ce que la fr´equence de vibration de l’´etoileνne d´epende que deG, de la densit´e de l’´etoile ρ, et du rayon Rde l’´etoile. D´eterminer `a l’aide d’une analyse dimensionnelle l’expression de ν `a une constante sans dimension pr`es.

5. Connaissant la valeur deGquelle grandeur peut-on d´eduire de la mesure de cette fr´equence de vibration de l’´etoile et de son rayonR?

1.7 Lancer d’une balle

FIGURE2 –

On lance une balle du haut d’un immeuble, de hauteur H, avec une vitesse initiale de normeV0, faisant un angle α0constant avec l’axe horizontal(O, x). On suppose que la balle est assimil´ee `a un point mat´erielM de masse mne subissant que l’acc´el´eration de la pesanteur(g= 9,81m/s²).

1. A l’aide de la loi fondamentale de la dynamique pour la balle par rapport au r´ef´erentiel d’observation li´e au sol, d´eterminer les ´equations du mouvement.

2. D´eterminer la hauteur maximale,h_max,atteinte par la balle.

3. D´eterminer la port´ee horizontale,X_port, atteinte par la balle.

4. D´eterminer,t_chute, la dur´ee de la chute de la balle jusqu’au point d’impactI.

5. D´eterminer,V_I, la vitesse atteinte par la balle au point d’impact, en d´eduire l’angle d’impactθ.

6. On donne :H= 40m,V0 = 12m/s,α0 = 30^o,

7. D´eterminer les valeurs num´eriques deh_max,X_port,t_chute,V_Ietθ.

8. D´eterminer le temps que met la balle pour repasser au niveau du toit et l’instant o`u elle se trouve `a 15 m en dessous du niveau du toit, ainsi que la norme de sa vitesse `a cet instant.

Exercices suppl´ementaires (la correction ne sera pas faite en TD)

1.8 Vitesse caract´eristique d’un objet dans l’environnement terrestre

Pour un objet en mouvement dans l’environnement gravitationnel de la Terre, les param`etres pertinents sont, en dehors de la constante de gravitationG, la masseM_T de la Terre et la distancerqui s´epare l’objet du centre de la Terre.

1. Pourquoi la masse de l’objet n’apparaˆıt-elle pas dans la liste des param`etres pertinents ?

2. `A l’aide d’une ´equation aux dimensions, trouver une vitesse caract´eristique du mouvement dans l’envi- ronnement gravitationnel de la Terre. En vous aidant de la loi fondamentale de la dynamique, donner une signification pr´ecise `a cette vitesse. Faire l’application num´erique pour un objet situ´e `a une altitude de 800km. On donne la masse et le rayon de la Terre :

M_T = 6×10²⁴kg et R_T = 6 400km.

1.9 Trajectoire

Soit un point M du plan(O,e_x,e_y)rep´er´e par ses coordonn´ees cart´esiennes (x, y). Dans les 2 cas suivants, donner l’´equation cart´esiennef(x, y) = 0de la trajectoire deM et d´efinir sa nature :

1.

x= a(1 + cos²(φ)) y= b sin²(φ)

o`uaetbsont des constantes non nulles dont vous donnerez la dimension etφun angle.

2.

x= a(1 + cos(φ)) y= b sin(φ)

o`uaetbsont des constantes non nulles dont vous donnerez la dimension etφun angle.

1.10 Mouvement `a acc´el´eration constante

Une automobile acc´el`ere de fac¸on constante `a partir du repos jusqu’`a la vitesse de 30 m/s en 10s, sur une route rectiligne. Elle roule ensuite `a vitesse constante. On assimile l’automobile a un point mat´eriel M, de masse m.

On observe son mouvement par rapport au r´ef´erentiel li´e `a la route.

1. D´eterminer l’acc´el´eration selon l’axe de la route.

2. D´eterminer la distance qu’elle parcourt pendant l’acc´el´eration.

3. D´eterminer la distance qu’elle parcourt pendant que sa vitesse passe de 10 m/s `a 20 m/s.

1.11 Tableau des constantes fondamentales

Nom Notations Unit´es Valeur approch´ee Valeur pr´ecise

usuelle (`a ce jour)

constante de gravitation G m³.kg⁻¹.s⁻² 6,67×10⁻¹¹ 6,674 28 (67)×10⁻¹¹

vitesse de la lumi`ere c m.s⁻¹ 3×10⁸ 2,997 924 58×10⁸

dans le vide

constante de Planck h J.s = kg.m².s⁻¹ 6,63×10⁻³⁴ 6,626 068 96 (33)×10⁻³⁴

constante de Planck ~ J.s 1,05×10⁻³⁴ 1,054 571 628 (53)×10⁻³⁴

divis´ee par2π

charge ´el´ementaire e C : Coulomb 1,6×10⁻¹⁹ 1,602 176 487 (40)×10⁻¹⁹

(charge de l’´electron :−e) A.s

masse de l’´electron m_e kg 0,91×10⁻³⁰ 0,910 938 215 (45)×10⁻³⁰

masse du proton m_p kg 1,67×10⁻²⁷ 1,672 621 637 (83)×10⁻²⁷

constante de Boltzmann k_B J.K⁻¹ 1,38×10⁻²³ 1,380 650 4 (24)×10⁻²³

nombre d’Avogadro N_A mol⁻¹ 6×10²³ 6,022 140 78 (30)×10²³

constante des gaz parfaits R=N_Ak_B J.mol⁻¹. K⁻¹ 8,31 8,314 472 (15)

constante ε0 F.m⁻¹ 8,85×10⁻¹² 8,854 187 817. . . ×10⁻¹²

de la loi de Coulomb A².s⁴.kg⁻¹.m⁻³

(valeur pouvant ˆetre obtenue avec une pr´ecision arbitraire par la formuleε0µ0c²= 1)

perm´eabilit´e du vide µ0 H.m⁻¹ 4π×10⁻⁷

(valeur exacte) kg.m.A⁻².s⁻²

rayon classique r_e=q²_e/(m_ec²) m 2,82×10⁻¹⁵ 2,817 940 2894 (58)×10⁻¹⁵ de l’´electron

constante α=q²_e/(~c) 7,3≈1/137,036 7,297 352 5376 (50)

de structure fine

magn´eton de Bohr µ_B =e~/(2m_e) J.T⁻¹ 927,4×10⁻²⁶ 927,400 915 (23)×10⁻²⁶ magn´eton nucl´eaire µ_N =e~/(2m_p) J.T⁻¹ 5,05×10⁻²⁷ 5,050 783 24 (13)×10⁻²⁷ m_ec² = 0,510 998 910 (13)MeV≈0,511MeV

mpc²= 938,272 013 (23)MeV

q_e² ≡e²/(4πε0) = 230,707 712 8×10⁻³⁰SI

C : Coulomb, J : Joule, K : degr´es Kelvin, F : Farad (capacit´e ´electrique), H : Henry (inductance ´electrique), T : Tesla (induction magn´etique)

1 Faraday =9,6487.10⁴ C.

1T = 1 Wb.m⁻², 1 H = 1 Wb.A⁻¹, 1 Wb(Weber) = 1 V.s, 1 V (Volt) = 1 W.A⁻¹, 1 W (Watt) = 1 J.s⁻¹