Pour tout faisceau constructible FsurY´et, le faisceauf?Fest constructible

version du 2016-11-14 à 13h36TU (19c1b56)

À la mémoire de mon oncle Olivier.

1. Introduction

Le but de l’exposé est de démontrer les théorèmes suivants, qui généralisent le théorème d’Artin (cf.

[SGA 4XIV1.1]) dans le cas ensembliste et non abélien :

Théorème 1.1. — Soitf:Y→Xun morphisme de type fini entre schémas noethériens. Pour tout faisceau constructible FsurY_´et, le faisceauf?Fest constructible.

Théorème 1.2. — Soit f : Y → X un morphisme de type fini entre schémas quasi-excellents. SoitL un ensemble de nombres premiers inversibles sur X. Pour tout faisceau constructible de groupesFsurY_´et deL-torsion, le faisceau R¹f?(F)surX_´etest constructible.

Théorème 1.3. — SoitXun schéma excellent,Z⊂Xune partie fermée telle que pour toute composante irréductibleX⁰ deX,codimX⁰(Z∩X⁰)≥2. Notonsj:U→Xl’immersion ouverte du complémentaire deZ. Pour tout groupe finiG, le faisceauR¹j_?(G_U)est constructible.

Théorème 1.4. — SoitAun anneau strictement local de dimension2. On suppose queAest normal, excellent, et on noteX⁰=Spec(A) −{mA}son spectre épointé. Alors, pour tout groupe finiG, l’ensembleH¹(X⁰, G)est fini.

Le théorème1.1est prouvé dans la section2. Ce théorème est utilisé par les suivants dans le cas oùXest quasi-excellent. Ce cas est beaucoup plus simple, comme nous le dégageons dans la démonstration.

Le théorème 1.2 est réduit — en trois étapes — au théorème 1.3dans la section 3. Toutefois, le lecteur attentif notera que ce dernier théorème n’est pas un simple cas particulier car il n’est pas nécessaire de faire d’hypothèse sur le cardinal du groupeG.

Le théorème1.3est réduit au théorème1.4dans la section4. Cette réduction apparaît en4.3et utilise deux lemmes qui ont été établis auparavant (lemmes3.3.2et4.2.2).

Le dernier théorème est bien un cas particulier de1.3. Toutefois, nous avons choisi de le dégager dans cette introduction à la fois comme une résultat important et comme un point clé. Il est démontré dans la section5 suivant un raisonnement par l’absurde qui utilise la méthode des ultrafiltres (voir5.2.1pour des rappels).

Notations et conventions. —

– Quand une topologie sur un schéma est sous-entendue, il s’agit de la topologie étale.

– Étant donné un ensemble D (resp. un groupe G), on notera parfois D (resp.G) pour le faisceau étale constant induit sur un schémaXlorsqueXest clair d’après le contexte. Si l’on veut préciserX, on note ce faisceauDX(resp.GX), suivant l’usage.

– Quand on parle de la normalisation d’un schémaX, il s’agit du morphisme canonique X⁰=a

i∈I

X_i⁰→X

oùIdésigne l’ensemble des composantes irréductibles deXetX_i⁰désigne le schéma normalisé de la com- posante irréductible deXcorrespondant ài, munie de sa structure de sous-schéma réduit. On dit aussi queX⁰est le schéma normalisé associé àX.

2. Image directe de faisceaux d’ensembles constructibles

Dans le cas oùXest quasi-excellent, la preuve est une application de résultats déjà connus (cf. [SGA 4IX]).

Nous commençons par exposer la démonstration dans ce cas, puis dans le cas général. Toutefois, l’étape de réduction exposée dans la section qui suit est valable dans les deux cas.

1

2.1. Réduction du théorème. — On commence par réduire le théorème1.1à l’assertion suivante :

(P) SoitDun ensemble fini etj:U→Xune immersion ouverte entre schémas noethériens. Alors, le faisceau d’ensemblesj?(DU)est constructible.

Considérons les hypothèses du théorème1.1. D’après [SGA 4IX2.14], on peut trouver un monomorphisme F→

Yn i=1

πi?(Ci) =Q

pour des morphismes finisπi:Yi→Yet des faisceaux constants finisCisurYi. Comme un sous-faisceau d’un faisceau constructible est constructible ([SGA 4IX2.9 (ii)]), il suffit de montrer quef?(Q)est constructible. On est donc ramené au cas de(fπi)?(Ci)pour touti, ce qui montre qu’on peut supposerF=DYpour un ensemble finiD.

Notons que dans ce cas, le théorème est local enY. En effet, si l’on se donne un recouvrement étale de type finiπ:W→Y, le morphisme d’adjonction

D_Y →π_?π^?(D_Y) =π_?(D_W)

est un monomorphisme. En lui appliquantf_?, on en déduit un monomorphisme f_?(D_Y)→(fπ)_?(D_W).

Il suffit donc de montrer que le membre de droite est constructible ([SGA 4IX2.9 (ii)] à nouveau). Notamment, on peut donc supposer queYest affine.

Alors,fest séparé de type fini. On peut donc considérer une factorisation Y−→^j X¯ −→^f¯ X

de f telle que j est une immersion ouverte et ¯f un morphisme propre. Le résultat est connu pour ¯f (cf.

[SGA 4XIV1.1]) donc on est réduit au cas de l’immersion ouvertej, c’est-à-dire à l’assertion (P).

Remarque 2.1.1. — i. Si l’on suppose queXest quasi-excellent, le schéma ¯Xqui apparaît dans la réduction ci-dessus est encore quasi-excellent puisque ¯fest de type fini.

ii. Dans cette réduction, on a vu que (P) est locale enU.

2.2. Cas oùXest quasi-excellent. — Notons le lemme facile suivant : Lemme 2.2.1. — Considérons un carré cartésien de schémas noethériens

U^{0 j}

0 //

q

X⁰

p

U ^j //X

tel quejest une immersion ouverte etpun morphisme fini surjectif. Alors, pour tout ensemble finiD, sij_?⁰(DU⁰)est constructible,j_?(D_U)est constructible.

Démonstration. — Par hypothèse,qest surjectif. On en déduit que le morphisme d’adjonction DU→q?q^?(DU) =q?(DU⁰)

est un monomorphisme. Appliquantj?, on en déduit un monomorphisme j?(DU)→p?(j_?⁰(DU⁰)).

Puisquepest fini,p? préserve la constructibilité d’après [SGA 4IX2.14 (i)]. Le lemme en résulte puisqu’un sous-faisceau d’un faisceau d’ensembles constructible est constructible ([SGA 4IX2.9 (ii)]).

2.2.2. — Avant de passer à la preuve dans le cas général, notons que la démonstration du théorème1.1dans le cas oùXest quasi-excellent est plus simple. Grâce à la remarque précédente, on se réduit à l’assertion (P) dans le cas oùXest quasi-excellent. Dès lors, la normalisationp: X⁰ →XdeXest finie. Ainsi, le lemme précédent appliqué au carré cartésien évident nous ramène au cas oùXest normal.

Seul le cas oùXetUsont connexes non vides nous intéresse. Alors, d’après [SGA 4IX2.14.1],j?(DU) =DX, ce qui conclut.

2.3. Cas général. —

2.3.1. — Considérons les hypothèses de l’assertion (P). Celle-ci est locale enXet il suffit donc de traiter la cas oùXest affine, spectre d’un anneau noethérienA. Utilisant le lemme2.2.1— en prenant pourX⁰la somme disjointe des composantes irréductibles deX— on peut supposer aussi que Aest intègre. On a déjà vu que (P) est aussi locale enU(point (ii) de la remarque2.1.1). On peut donc se ramener au cas oùU= Spec(A_f) pour un élément non nulf∈A.

Pour prouver (P), nous allons démontrer par induction noethérienne sur les fermés irréductiblesZdeXla propriété légèrement plus forte suivante :

(∗Z) Pour tout morphisme finiZ⁰ →Z,Z⁰intègre, tout ensemble finiDet toute immersion ouvertel:V⁰ →Z⁰, le faisceaul?(DV⁰)est constructible.

D’après ce qui précède, on est ramené à prouver (P) pourX = Spec(A)intègre etU = Spec(A_f),f 6= 0, en supposant la propriété d’induction suivante :

(H) Pour tout fermé propreZdeX, tout morphisme fini Z⁰ → Z, tout ensemble finiDet toute immersion ouvertel:V⁰→Z⁰, le faisceaul?(DV⁰)est constructible.

2.3.2. — Soit A⁰ la clôture intégrale de A dans son corps des fractions. On pose X⁰ = Spec(A⁰), Z = Spec(A/(f))et on considère le diagramme formé de carrés cartésiens :

Z⁰⁰

h

π

U^{0 j}

0 //

q

X⁰

p

Z⁰

i⁰

oo

r U ^j //Xoo ⁱ Z

tel queietjsont les immersions évidentes,p(resp.h) est la normalisation deX(resp.Z⁰).

2.3.3. Première étape (fibres génériques dep). — D’après [Nagata, 1962, 3.3.10], l’anneau A⁰ est un anneau de Krull. Il en résulte queZ⁰n’a qu’un nombre fini de points génériquesz₁⁰, ..., z_n⁰. On posezr=p(z_r⁰). Bien quep ne soit pas nécessairement fini,p⁻¹(zs)est fini et l’extension résiduelleκ(z_s⁰)/κ(zs)est finie (voir [Nagata, 1962, chap. V, 33.10]). D’après le lemme2.2.1, on peut toujours remplacerApar une extension finieA ⊂B ⊂ A⁰. L’hypothèse (H) est en effet encore vérifiée pourY =Spec(B). Dès lors, on peut supposer que les conditions suivantes sont vérifiées :

(h1) Pour tout indices,p⁻¹({zs}) ={z_s⁰}.

(h2) Pour tout indices,κ(z_s⁰)/κ(zs)est triviale.

NotonsA_s(resp.A_s⁰) l’anneau localisé deXenz_s(resp.X⁰enz_s⁰). Alors,A_s⁰est un anneau de valuation discrète.

Du fait que l’extension induiteA_s⁰/Asest entière, on déduit queAsest de dimension1, ce qui implique quezs

est un point maximal du diviseurZdeX. Commeqest surjectif, on déduit de (h1) quez1, ..., znest l’ensemble des points génériques deZ.

2.3.4. Deuxième étape (restriction à un ouvert deZ). — Puisque trivialementj^?j?(DU) =DU, il suffit de montrer quei^?j?(DU)est constructible. Notons les faits suivants :

i. qsurjectif :DU→q?q^?(DU) =q?(DU⁰)est un monomorphisme.

ii. X⁰normal,j⁰dominante :j_?⁰(D_U⁰) =D_X⁰ (voir [SGA 4IX2.14.1]).

iii. hsurjectif :D_Z⁰ →h_?h^?(D_Z⁰) =h_?(D_Z⁰⁰)est un monomorphisme.

On déduit de (i) et (ii) un monomorphisme

j?(DU)→j?q?(DU⁰) =p?(DX⁰).

Notons quepest pro-fini. Le théorème de changement de base propre s’étend à ce cas, ce qui donne la rela- tion :i^?p? = r?i^0?. Si on appliquei^?au monomorphisme précédent, on déduit de cette relation et de (iii) un monomorphisme composé :

σ:i^?j?(DU)→i^?p?(DX⁰) =r?(DZ⁰)→π?(DZ⁰⁰).

Considérons maintenant une immersion ouverte densel:V→Zainsi que le carré cartésien suivant : Z⁰⁰

π

V⁰⁰

l⁰

oo

π_V

Zoo ^l V.

On en déduit un diagramme commutatif de faisceaux d’ensembles : i^?j?(DU)

σ

α //l?l^?i^?j?(DU)

l_?l^?σ

π?(DZ⁰⁰) ^β //l?l^?π?(DZ⁰⁰).

Or le morphisme β— induit par l’unité d’adjonction(l^?, l?)— est un isomorphisme. En effet, létant une immersion ouvertel^?π? = πV?l^0?par changement de base. On obtient donc l’identification :l?l^?π?(DZ⁰⁰) = π?l_?⁰(DV⁰⁰). De plus, à travers cette identification, le morphismeβest l’image⁽ⁱ⁾parπ?de l’unité d’adjonction

DZ⁰⁰→l_?⁰l^0?(DZ⁰⁰) =l_?⁰(DV⁰⁰).

Ce dernier est un isomorphisme puisqueZ⁰⁰est normal etl⁰dense (voir [SGA 4IX2.14.1]). Puisqueσest un monomorphisme, on en déduit queαest un monomorphisme.

Or, d’après (H), le faisceau d’ensembles l?(DV) est constructible. Pour conclure, il suffit donc (d’après [SGA 4IX2.9 (ii)]) de trouver un ouvert denseVdeZtel que

(2.3.4.1) j_?(D_U)|V =D_V.

2.3.5. Troisième étape (composantes immergées deZ). — Considérons la réunionT des composantes immergées deZdansX. Alors, l’ouvertV=Z−Tsatisfait la relation (2.3.4.1).

On doit montrer que pour tout point géométrique ¯xdeV, la fibre du morphisme canoniqueD_V →j_?(D_U)|V

au point ¯xest un isomorphisme. Autrement dit, on doit montrer que le morphisme canonique π₀(U×_XX_(x)¯ )→π₀(X_(¯x))

est un isomorphisme. En raisonnant par induction sur la dimension deX_(x)¯ , on se ramène à montrer que le morphisme suivant

(2.3.5.1) π₀(X_(¯x)−{x¯})→π₀(X_(x)¯ ) est un isomorphisme.

Soitxle point de X = SpecAcorrespondant à ¯x. Sixn’est pas un point maximal, puisqueV n’a pas de composante immergée,

Profx(A/(f))≥1⇒Profx(A)≥2.

D’après le théorème de Hartshorne ([SGA 2III3.6]), le morphisme (2.3.5.1) est donc un isomorphisme.

Supposons quexest un point maximal. D’après (h1), il existe un indiceitel quex= zi. Or, d’après (h2), le morphisme entier birationnel

X_(z⁰ 0

i)=Spec(A_i⁰)→Spec(Ai) =X_(zi)

est radiciel. C’est donc un homéomorphisme universel. On en déduit que le morphisme X_(¯⁰_z0

i) → X_(¯zi) est encore un homéomorphisme, où ¯z_i⁰ est le point géométrique correspondant à la clôture séparable deκ(zi) définie par ¯zi. Dès lors, (2.3.5.1) est un isomorphisme puisque la propriété correspondante est vraie pour le schéma normalX_(¯⁰_z0

i). Ceci conclut.

3. Image directe dérivée de faisceaux de groupes constructibles 3.1. Réduction au cas d’un faisceau constant.—

Lemme 3.1.1. — Soitf : Y → Xune morphisme de type fini entre schémas noethériens etu : F → F⁰un monomor- phisme de faisceaux de groupes constructibles surY_´et. Alors,R¹f?(F⁰)constructible impliqueR¹f?(F)constructible.

Démonstration. — PosonsC=F⁰/Fvu comme faisceau pointé, constructible surY_´etpar hypothèse. On consi- dère la suite exacte de faisceaux pointés (cf. [SGA 4XII3.1])

f?(F⁰)→f?(C)→R¹f?(F)−→^v R¹f?(F⁰).

(i)On le vérifie facilement en revenant à la définition du morphisme de changement de base à l’aide des adjonctions(l^?, l?)et(l^0?, l_?⁰)et en utilisant que la composée suivante de morphismes unités/coünités est l’identité :

l?→l?l^?l?→l?.

Supposant que R¹f?(F⁰)est constructible, on peut trouver une famille génératrice de sections locales(e1, ..., en) de R¹f?(F⁰)oùei est définie sur unX-schéma étale de type finiVi. SoitΦile faisceau fibre devenei, défini par le diagramme cartésien de faisceaux (d’ensembles) surX_´et:

Φi

ν_i //

Vi e_i

R¹f?(F) ^v //R¹f?(F⁰).

où on voit ei ∈ Γ(Vi,R¹f?(F⁰))comme un morphisme du topos étale de X. Pour montrer que R¹f?(F) est constructible, il suffit de montrer qu’il est engendré par une famille finie de sections locales sur des objets quasi-compacts. Il suffit donc de montrer que pour touti,Φi, vu comme un faisceau étale surVi grâce au morphisme νi, est engendré par un nombre fini de sections locales. On est donc ramené à montrer que le faisceau étaleΦisurViest constructible.

Pour montrer cela, on supposeX = Vipour simplifier les notations et on utilise l’interprétation deΦien termes deF-objets tordus. Le faisceauΦiest un prolongement par le vide d’un faisceau à fibres non vides sur un ouvertUdeX. Soit ¯xun point géométrique deU. Il existe un voisinage étaleVde ¯xdansXet une sectione deΦisurV/X. Quitte à restreindre le voisinageV,eprovient d’unF-torseurPsurV×XY. On peut alors tordre parPles faisceauxF,F⁰etCet obtenir une suite exacte surV:

f?(F^0P)→f?(C^P)→R¹f?(F^P) ^v

P

−−→R¹f?(F^0P).

On sait queΦ_i|V s’identifie avec le noyau de v^P. On en déduitΦ_i|V ' f_?(F^0P)\f_?(C^P). Or ce faisceau est constructible d’après le théorème1.1.

Considérons les hypothèses du théorème1.2. D’après [SGA 4IX2.14], on peut trouver un monomorphisme de faisceaux de groupes

F→F⁰= Yr i=1

πi?(Gi)

pour des morphismes finisπi :Yi→Yet des groupes finisGipouri=1, ..., r. Notons que d’après la preuve deloc. cit., on peut supposer que les groupesG_isont deL-torsion, du fait queFest deL-torsion. D’après le lemme précédent, on est réduit au cas deF⁰. Puisqueπ_i? est exact, on est donc ramené au cas du morphisme f◦π_iet du faisceau constant surY_ide groupeG_ipour chaque indicei.

3.2. Réduction au cas d’une immersion ouverte. — Le lemme clé dans cette étape de réduction est le suivant : Lemme 3.2.1. — SoitGun groupe fini. Considérons un diagramme commutatif

Y⁰

g

Y

h

??

f //X

de morphismes de type fini entre schémas noethériens. Les assertions suivantes sont vérifiées : (i) Sihest surjectif,

R¹f_?(G_Y)constructible impliqueR¹g_?(G_Y⁰)constructible.

(ii) Sigest propre,

R¹h?(GY)constructible impliqueR¹f?(GY)constructible.

Démonstration. — Rappelons que l’on dispose de la suite exacte de faisceaux d’ensembles sur X_´et (cf.

[SGA 4XII3.2]) :

∗→R¹g_?(h_?G_Y)−→^u R¹f_?(G_Y)−→^v g_?R¹h_?(G_Y).

Considérons l’assertion (i). Puisquehest surjectif, le morphisme d’adjonction GY⁰ →h?h^?GY⁰ =h?GY

est un monomorphisme. Appliquant le lemme3.1.1, il suffit de montrer que R¹g_?(h_?G_Y)est constructible. On peut alors conclure puisque le morphismeu:R¹g?(h?GY)→R¹f?(GY)est un monomorphisme.

Considérons maintenant l’assertion (ii). Puisquegest propre, le théorème de changement de base propre [SGA 4XIV1.1] conjugué avec le théorème1.1montre que la source deuest constructible. Par hypothèse et une nouvelle application du théorème1.1, le but devest constructible.

Il suffit alors de raisonner comme dans la démonstration de3.1.1sur les fibres du morphismevassociées à une famille finie de sections locales deg?R¹h?(GY)qui est génératrice. Chacune de ses fibres est un prolonge- ment par le vide d’un faisceau localement isomorphe au faisceau tordu R¹g_? (h_?G^P_Y)

pour une de ses sections locales représentée par un torseurP. Comme ce faisceau est toujours constructible, on peut conclure.

Considérons maintenant les hypothèses du théorème1.2, dans le casF = GY. PuisqueY est noethérien, il existe un recouvrement Zariskiπ :W → Ytel queWest affine. D’après l’assertion (i) du lemme ci-dessus, il suffit de montrer le théorème pourf◦π. On peut donc supposer queYest affine.

Le morphismef :Y →Xest alors quasi-projectif. On peut donc considérer une factorisationY −→^j Y⁰ −→^g X def tel quegest projectif etjest une immersion ouverte. D’après l’assertion (ii) du lemme ci-dessus, nous sommes réduit au cas de l’immersion ouvertej.

3.3. Réduction au théorème1.3(i.e.la codimension2). —

3.3.1. — Grâce aux deux étapes de réduction précédentes, nous sommes ramenés au cas d’une immersion ouverte densej:U→X,Xquasi-excellent, et d’un faisceau constant surUde groupeG. Dans cette étape de réduction, on considère la codimension du complémentaireZdeUdansX.

Pour montrer que R¹j_?(G_U)est constructible on peut raisonner localement surX. On peut donc supposer queXest noethérien. Considérons la normalisationp:X⁰ →XdeXainsi que le carré cartésien :

U^{0 j}

0 //

q

X⁰

p

U ^j //X.

Puisque q est surjectif, le morphisme d’adjonction G_U → q?q^?(G_U) est un monomorphisme. D’après le lemme3.1.1, il suffit donc de montrer que R¹j?(q?GU⁰)est constructible. Orpetqétant finis, R¹j?(q?GU⁰) = p?R¹j_?⁰(GU⁰). On peut donc supposer queXest normal.

Dès lors,X est somme disjointe de ses composantes irréductibles, et on peut donc le supposer intègre.

NotonsKson corps des fonctions. Pour une extension finieL/K, on peut considérer le schéma normaliséX⁰de XdansL, ainsi que le diagramme cartésien suivant :

U^{0 j}

0 //

q

X⁰

p

U ^j //X.

Par adjonction, on obtient un morphisme canonique

φ^(L)_U/X:R¹j?(GU)→p?R¹j_?⁰(GU⁰)

induit par le morphisme de champs surUqui à unG-revêtement d’un schéma étaleV/Uassocie son pullback surV⁰ =V×UU⁰.

Lemme 3.3.2. — Considérons les hypothèses et notations précédentes. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes : i. R¹j?(GU)est constructible.

ii. Il existe une extension finie séparableL/Ktelle queφ^(L)_U/Xest trivial.

Démonstration. — (ii) ⇒ (i): SoitL/Kune extension finie telle queφ^(L)_U/Xest trivial. Avec les notations qui précèdent, on poseC = q_?(G_U⁰)/G_U, faisceau sur U_´etpointé de manière évidente. On peut alors former la suite exacte de faisceaux pointés (cf. [SGA 4XII3.1]) :

j_?q_?(G_U⁰)→j_?(C)→R¹j_?(G_U)−−⁽¹⁾→R¹j_?(q_?(G_U⁰)).

Notons que, puisquepest fini, R¹j?(q?(GU⁰)) = p?R¹j_?⁰(GU⁰)et le morphisme (1) s’identifie au morphisme φ^(L)_U/X. Par hypothèse, la suite exacte ci-dessus implique donc que R¹j_?(G) =j_?(C)/j_?q_?(G_U⁰)ce qui conclut d’après le théorème1.1.

(i) ⇒ (ii): Considérons une famille (e1, ..., en)de sections de R¹j?(GU)qui soit génératrice. Le schéma X étant supposé noethérien, on peut supposer queeiest définie sur unX-schéma étale de type finiVi. Quitte à remplacerVipar un recouvrement étale de type fini, on peut en outre supposer que la sectioneicorrespond à un revêtementP_i →V_i×XU. PuisqueV_i×XUest quasi-compact, le schémaP_iest quasi-compact : soitL_ij/K

la famille finie des extensions de corps correspondant aux points génériques dePi. On considère la clôture normaleLd’une extension deKcomposée desLij/Kpour tous les indices(i, j). Par définition,φ^(L)_U/X(ei) =∗ pour tout entieriet le résultat suit puisque(e₁, ..., e_n)est génératrice.

Remarque 3.3.3. — Considérons les notations qui précèdent le lemme. En termes deG-revêtements, la trivia- lité du morphismeφ^(L)_U/Xs’interprète comme suit :

i. Pour tout point géométrique ¯sdeZet pour toutG-revêtementπ:P→X_(s)¯ −Z_(s)¯ , le revêtementφ^(L)_U/X,¯s(P) est trivial.

ii. Pour tout schéma étaleV/Xet toutG-revêtementπ:P→V−ZV, il existe un recouvrement étaleW/V×XX⁰ tel queπ|W−Z_W s’étend àW(l’extension est alors unique (à isomorphisme unique près) puisqueX⁰ est normal).

Dans le cas des immersions ouvertes, on peut renforcer le lemme3.2.1comme suit : Lemme 3.3.4. — Considérons un diagramme commutatif

V

k

U

h

??

j //X

d’immersions ouvertes tel queU6=∅,Xest intègre, noethérien, normal, quasi-excellent. Alors, les assertions suivantes sont vérifiées :

i. SiR¹j?(G)est constructible, alorsR¹k?(G)est constructible.

ii. SiR¹h?(G)est constructible et pour tout morphisme fini surjectifX⁰→XoùX⁰est la normalisation deXdans une extension finie de son corps des fractions,k⁰ = k×XX⁰, le faisceauR¹k_?⁰(G)est constructible, alorsR¹j?(G)est constructible.

Démonstration. — Remarquons que l’hypothèse surUetXentraîne queh_?(G_U) =G_V (cf. [SGA 4IX2.14.1]).

L’assertion (i) résulte donc simplement du fait que le morphisme canonique R¹k?(GV) → R¹j?(GU) est toujours un monomorphisme.

Considérons les hypothèses de l’assertion (ii). SoitKle corps des fonctions deX. D’après le lemme précédent appliqué àh, on peut trouver une extension finieL/Ktelle queφ^(L)_U/V = ∗. SoitX⁰ le schéma normalisé deX dansL/K,k⁰ : V⁰ → X⁰ le pullback de ksur X⁰. Appliquant le lemme précédent àk⁰, on peut trouver une extension finieE/Ltelle queφ^(E)_V0/X⁰ =∗.

On noteX⁰⁰le normalisé deXdansE/K,X^{00 p}

0

−→ X⁰ −→^p Xles morphismes canoniques. On noteh⁰,j⁰,k⁰ (resp.h⁰⁰,j⁰⁰,k⁰⁰) les pullback respectifs deh,j,ksurX⁰(resp.X⁰⁰). On peut alors conclure grâce au diagramme commutatif suivant :

R¹j?(G) //

φ^(L)_U/X

vv

k?R¹h?(G)

k?φ^(L)_U/V

p_?R¹k_?⁰(G) //

p?φ^(E)_V0/X0

p_?R¹j_?⁰(G) //

p?φ^(E)_U0/X0

(pk⁰)_?R¹h_?⁰(G)

(pp⁰)?R¹k_?⁰⁰(G) //(pp⁰)?R¹j_?⁰⁰(G).

La flèche pointillée existe du fait de l’exactitude de la suite horizontale du milieu et deφ^(L)_U/V =∗. On conclut puisqueφ^(E)_U/X= (p?φ^(E)_U0/X⁰)◦φ^(L)_U/X.

Lemme 3.3.5. — SoitXun schéma régulier etZun sous-schéma fermé régulier deX. Notonsj :U→Xl’immersion ouverte complémentaire. Soitnl’ordre deG. Alors, sinest inversible surX,R¹j?(GU)est constructible.

Démonstration. — L’assertion est Zariski locale enX. On peut donc supposer queXest affine irréductible etZ est irréductible.

Si Z est de codimension supérieure à2 dansX, il résulte du théorème de pureté de Zariski-Nagata (cf.

[SGA 1X3.1, 3.3]) que R¹j_?(G) =∗ce qui conclut.

En codimension1, on peut supposer queZadmet un paramètre régulierf∈A. On considère le schéma X⁰ =Spec A[t]/(tⁿ−f)

.

Le lemme d’Abhyankar absolu (cf. [SGA 1XIII5.2]) montre alors précisément que pour tout point géométrique

¯

ydeZ, pour tout revêtementE−→^π U×XX_(y)¯ principal galoisien de groupeG, le revêtementπ×XX⁰ :E⁰ → U×XX⁰×XX_(y)¯ se prolonge àX⁰×XX_(y)¯ . Il est donc trivial et le lemme3.3.2accompagné de la remarque3.3.3 permet de conclure.

Revenons au cas général d’une immersion ouvertej:U→Xde fermé complémentaireZ,Xétant supposé intègre, noethérien, normal, et quasi-excellent. Supposons que l’ordre deGest inversible surX.

SoitT la réunion des lieux singuliers deXetZ. PosonsV = X−T etW = X− (Z∪T)et considérons les immersions ouvertes correspondantes :

V

k

W

h

>>

l

ν //X

U

j

??

D’après le lemme précédent, R¹h?(G)est constructible. D’après le lemme3.3.4, on est donc ramené à prouver que pour tout morphisme fini surjectifX⁰ →Xtel queX⁰ est la normalisation deXdans son corps des frac- tions,k⁰ = k×_XX⁰, le faisceau R¹k_?⁰(G)est constructible. Cette dernière assertion est bien impliquée par le théorème1.3.

4. Cas de codimension2sans hypothèse sur la torsion 4.1. Résolution des singularités. —

Lemme 4.1.1. — SoitXun schéma normal, connexe et excellent,Z ⊂Xune partie fermée de codimension supérieure à2etj:U→Xl’immersion ouverte complémentaire.

Alors, il existe une partie ferméeT ⊂Zde codimension supérieure à3dansXtelle que pour tous points géométriques

¯

sett¯deZ−T et toute spécialisationη:X(¯t)→X_(¯s), le noyau du morphisme de spécialisation η^?:R¹j_?(G)_s¯ →R¹j_?(G)t¯

est trivial.

Démonstration. — Dans cette preuve, on considèreZmuni de sa structure réduite de sous-schéma deX.

Si l’on dénote parX_single lieu singulier deX, le sous-ensemble T₀= (X_sing−Z)∩Z

est de codimension supérieure à3 dansX. On peut donc supposer queX_sing est inclus dansZ. Le schémaX étant excellent,Zest aussi excellent. Donc quitte à enlever une partie nulle part dense dansZ, on peut supposer queZest régulier. On se ramène alors au cas oùZest de plus intègre et de codimension2.

D’après [Lipman, 1978], on peut résoudre la singularité deXau point maximal deZpar une suite d’éclate- ments et de normalisations. Donc, quitte à retirer de nouveau une partie fermée nulle part dense deZ, on peut supposer qu’il existe un diagramme formé de carrés cartésiens

Z⁰ //

X⁰

p

U⁰

q

f

~~

j⁰

oo

Z //Xoo ^j U

tel queX⁰est régulier,Z’ est un diviseur dansX⁰, toute composante irréductible deZ⁰domineZ,pest propre etqest un isomorphisme.

On en déduit donc R¹j?(G) =R¹f?(G). CommeX⁰est régulier etU⁰dominant dansX⁰, on obtientj_?⁰(GU⁰) = G_X⁰ (cf. [SGA 4IX2.14.1]). On obtient donc un monomorphisme canoniqueρ:R¹p_?(G)→R¹f_?(G).

Considérant les notations du lemme (où l’on a supposéT =∅), on obtient donc un diagramme commutatif d’ensembles pointés

R¹p_?(G)_s¯ ^ρs¯ //

(1)

R¹f_?(G)_s¯

η^?

R¹p_?(G)t¯

ρt¯ //R¹f_?(G)t¯.

D’après le théorème de constructibilité appliqué àp(cf. [SGA 4XIV1.1]), le faisceau de groupes R¹p_?(G)est constructible. Du fait quepest un isomorphisme au-dessus deU, on obtient que quitte à retirer un fermé propre deZ, on peut même supposer que R¹p?(G)est localement constant. Il résulte donc de [SGA 4IX2.13 (i)] que le morphisme(1)est injectif. D’après ce qui précède,ρt¯est aussi injectif. On obtient donc que la composéeη^?◦ρs_¯

est un monomorphisme. Il nous suffit donc de vérifier que le noyau deη^?est inclus dans l’image deρs_¯. Quitte à tirer la situation surX(s)¯ , on peut supposer queX = X(s)¯ pour simplifier les notations — notons queZreste intègre car, étant supposé régulier, il est géométriquement unibranche. On se donne donc unG- revêtement principalP →U⁰ qui est trivial surU⁰×_XX(¯t). Soit ¯Pla clôture normale deX⁰dansP/U⁰. Nous allons montrer que ¯P/X⁰est étale et donne donc un antécédent à la classe deP/U⁰par l’applicationρ_scomme attendu.

Par construction ¯P×_X⁰U⁰=P, donc ¯P/X⁰est non ramifié au-dessus deU⁰. Il suffit donc de montrer que ¯P/X⁰ est non ramifié au-dessus deZ⁰. D’après le théorème de Zariski-Nagata (cf. [SGA 1X3.1]), il suffit de montrer que ¯P/X⁰est non ramifié en tout point de codimension1du schéma régulierX⁰. D’après ce qui précède, il suffit de traiter les points maximauxz⁰deZ⁰. Or, un tel point s’envoie sur le point maximal deZpar construction.

Du fait queηest un morphisme de spécialisation, il résulte qu’il existe un pointy⁰deZ⁰×XX(¯t)qui s’envoie surz⁰. Du fait queP×XX(¯t)est trivial surU⁰×XX(¯t), il suit que ¯P×XX(¯t)est non ramifié au-dessus dey⁰. On en déduit que ¯P/X⁰est non ramifié au-dessus dez⁰ce qui conclut.

4.2. Un argument « à la Lefschetz ». — Pour cet argument, nous utiliserons le lemme suivant, qui est une application des résultats liés à « la méthode de Lefschetz » de [SGA 2X§2].

Lemme 4.2.1. — Soit X un schéma normal excellent connexe,D un diviseur de Cartier effectif connexe dans X, et Z⊂Dune partie fermée de codimension supérieure à2. Alors,D−Zest connexe.

Démonstration. — Il suffit de montrer que pour tout pointsdeZ, le schéma(D−Z)×XX_(s)est connexe. Par induction sur dim(OX,s), il suffit de montrer que(D×XX_(s)−{s})est connexe. On peut donc supposer que Xest local, de dimension supérieure à3et queZest son point fermé. Considérons le complétéX^ du schéma localX. PuisqueXest excellent,X^est encore normal. Puisque le morphismeX^→Xest un surjectif, il suffit de montrer que(D−Z)×XX^est connexe. On peut donc supposer en outre queXest complet.

Alors, le spectre épointéX⁰ = X−Zest normal, connexe et équicodimensionnel de dimension supérieure à2. Il résulte ducritère de normalité de Serre(cf. [Matsumura, 1989, 23.8]) que pour tout point ferméxdeX⁰,

prof(OX⁰,x)≥2.

Dès lors, d’après [SGA 2X2.1] (voir aussi plus directement [SGA 2IX1.4]), on obtient un isomorphisme cano- nique

Γ(X⁰,O)'Γ

cX^0D,O oùcX^0Ddésigne le complété formel deX⁰le long deD, ce qui conclut.

Lemme 4.2.2. — SoitXun schéma normal excellent, Dun diviseur de Cartier effectif dans XetZ ⊂ Dune partie fermée non vide de codimension supérieure à2. On poseU=X−Z,V=D−Z.

Considérons le carré cartésien formé des immersions évidentes V ^j

0 //

i_U

D

i

U ^j //X.

Alors, le morphisme de changement de base associé

i^?R¹j?(G)→R¹j_?⁰(G) est un monomorphisme.

Démonstration. — On peut supposer queXetDsont locaux strictement henséliens. On doit montrer que le morphisme de restriction

H¹(U, G) ⁱ

?

−−U→H¹(V, G) est injectif.

Remarquons que le lemme précédent nous montre déjà queVest connexe. SoitPetP⁰deuxG-torseurs sur Uqui coïncident surV. On considère le faisceauL=Isom_G(P, P⁰)desG-isomorphismes dePdansP⁰surU_´et. On doit montrer qu’il admet une section surU.

Comme L est localement constant constructible, il est représentable par un U-schéma étale fini noté U⁰. PosonsV⁰=U⁰×_UV. Par hypothèse,V⁰/Vadmet une section.

On va montrer que pour toute composante connexeU₀⁰ deU⁰ telle queU₀⁰ ×_UV/V admet une section, il existe une section deU₀⁰/Uce qui suffira pour conclure.

Quitte à remplacerU⁰parU₀⁰, on peut supposer pour montrer cela queU⁰est connexe non vide. Les corps de fonctions deU⁰ etUdéfinissent une extension finie séparableL/K. SoitX⁰ le schéma normalisé deXdans L/K. On pose encoreD⁰=X⁰×XDetZ⁰=X⁰×XZ.

Notons queX⁰est normal excellent et connexe. Dès lors, le lemme précédent implique queV⁰=D⁰−Z⁰est connexe. Par hypothèse, leV-schéma étaleV⁰admet une section, doncV⁰=V. Il en résulte que le revêtement étaleU⁰/Uest de degré1au-dessus deV, doncU⁰=U.

4.3. Réduction du théorème1.3au théorème1.4. — On peut supposer queXest affine réduit. Pour un anneau excellentAfixé, on démontre par induction noethérienne sur les fermésZde Spec(A)que le résultat est vrai pour lesZ-schémas finis réduits. Pour cela, il suffit de démontrer le résultat pourXaffine réduit en supposant le résultat vrai pour tout schéma fini sur un sous-schéma fermé strict d’une composante irréductible deX.

Montrons tout d’abord qu’on peut supposer queXest normal. Considérons la normalisationp : X⁰ → X deX(somme des normalisations des composantes irréductibles deX) ainsi que le carré cartésien :

U^{0 j}

0 //

q

X⁰

p

U ^j //X.

Puisqueqest surjectif, le morphisme d’adjonctionGU→q?q^?(GU) =q?GU⁰ est un monomorphisme. Il suffit donc de montrer que R¹j?(q?GU⁰)est constructible. Orpetqétant finis, R¹j?(q?GU⁰) =p?R¹j_?⁰(GU⁰). Notons queZ×XX⁰ est de codimension2dans toute composante irréductible deX⁰ (puisqueXest universellement caténaire). On est donc ramené au cas oùXest normal et on peut en outre le supposer affine et intègre.

Le cas oùXest de dimension2résulte du théorème1.4. On peut donc supposer que dim(X)> 2.

Si codim(Z)> 2, on peut trouver un diviseur principalD −→ⁱ Xqui contientZ(il suffit de prendre comme paramètre deD un élément non nul de l’anneau intègre OX(X)s’annulant sur Z). Soit j⁰ : D−Z → Dle morphisme induit. D’après le lemme4.2.2, on obtient un monomorphismei^?R¹j?(G)→R¹j_?⁰(G). Du fait que R¹j_?(G) =i_?i^?R¹j_?(G), il suffit d’utiliser que R¹j_?⁰(G)est constructible par hypothèse de récurrence.

Plaçons nous dans le cas critique où codim(Z) =2.

D’après le théorème1.4, le résultat est connu pour le schéma semi-localisé deXaux points génériques de Zqui sont de codimension2dansX. Il existe donc, d’après le lemme3.3.2, une extension finieLdu corps des fonctionsKdeXtelle que pour tout point maximalηdeZde codimension2dansX,φ^(L)_U/X,η¯ est trivial.

Considérons X⁰ la normalisation de X dansL/K etp : X⁰ → Xsa projection. On pose j⁰ = j×X X⁰ et Z⁰ =Z×XX⁰. D’après le lemme4.1.1, il existe une partie ferméeT⁰ ⊂Z⁰ de codimension supérieure à3dans X⁰telle que les noyaux des flèches de spécialisation de R¹j_?⁰(G)aux points deZ⁰−T⁰soient triviaux.

SoitT la réunion des composantes irréductibles deZde codimension supérieure à3et du fermép(T⁰)dans Z. Considérons un point géométrique ¯sdeZ−T. Il existe un point maximal géométrique ¯tdeZ−T et une spécialisationη:X(¯t)→X_(¯s). Considérant les fibres deφ^(L)_U/X, on obtient le diagramme suivant :

R¹j?(G)s_¯

φ^(L)_U/X,s¯

//

[p?R¹j_?⁰(G)]s_¯ η^?

R¹j_?(G)t¯

φ^(L)_U/X,¯t

//[p_?R¹j⁰_?(G)]¯t.

D’après le choix deL/K, la composéeη^?◦φ^(L)_U/X,s¯ est triviale. Par ailleurs, puisquepest fini,η^?a un noyau trivial. On en déduit queφ^(L)_U/X,s¯est trivial. D’après le lemme3.3.2, R¹h?(G)est constructible pour l’immersion ouverteh:X−Z→X−T. D’après le lemme3.3.4, on est donc réduit à montrer que pour tout morphisme fini surjectifX⁰→X, R¹k_?⁰(G)est constructible pour l’immersion ouvertek⁰ :X⁰−T⁰→X⁰.

Or on peut trouver un diviseur principalD−→ⁱ X⁰qui contientT⁰. On posek⁰⁰=k⁰×X⁰ D. D’après le lemme4.2.2, on obtient un monomorphisme

i^?R¹k_?⁰(G)→R¹k_?⁰⁰(G).

On peut donc à nouveau conclure d’après l’hypothèse d’induction appliquée àk⁰⁰et du fait que R¹k_?⁰(G) = i?i^?R¹k_?⁰(G).

5. Revêtements principaux d’une surface strictement locale épointée

5.1. Mise en place. — D’après le théorème d’algébrisation d’Elkik (cf. [Elkik, 1973], théorème 5, aussi rappelé en??), on peut supposer queAest complet. SoitX=Spec(A)etX⁰=Spec(A) −{m_A}. On noteKle corps des fractions deA.

On commence par montrer qu’on peut supposer qu’il existe un sous-anneau régulierR⊂Atel que l’exten- sionA/Rest finie et génériquement étale.

D’après les théorèmes de structure de Cohen (cf. [Bourbaki,AC, IX, § 2, nº 5, th. 3] siAest de caractéristique mixte et [Bourbaki,AC, IX, § 3, nº 4, th. 2] siAcontient un corps), il existe un sous-anneauR⊂Atel queA/R est finie etRest un anneau de séries formelles sur un anneau de Cohen ou sur un corps. L’anneauRest donc en particulier régulier. SoitEle corps des fractions deRetE⁰ la clôture séparable deEdansK. NotonsA0la clôture normale deRdansE⁰/E. Alors, le morphismeX0 = Spec(A0) →Spec(A)est fini radiciel et surjectif.

D’après l’invariance topologique du site étale (cf. [SGA 4VIII 1.1]), on peut remplacerAparA0qui est fini génériquement étale surR, comme attendu.

Remarquons tout d’abord le fait suivant :

Lemme 5.1.1. — SoientRun anneau local régulier de dimension2etAuneR-algèbre finie dominante telle queAest un anneau local et normal. Soitmle degré générique deR→A. AlorsAest unR-module libre de rangm.

Démonstration. — PuisqueAest finie dominante surR, dim(A) = dim(R) = 2. De plus, puisqueAest local normal de dimension2, il résulte du critère de Serre que prof(A) =2(cf. [Matsumura, 1989, ex. 17.3]). DoncA est un anneau de Cohen-Macaulay. Le lemme résulte alors de [ÉGA0_IV17.3.5 (ii)].

Faisant abstraction du groupeG, on fixe un entiern > 0et on montre que l’ensemble des classes d’isomor- phisme de revêtements étales deX⁰ de degrénest fini. Dans la suite de cette preuve, les revêtements étales considérés seront supposés connexes.

On raisonne par l’absurde. Considérons une suite(P_i⁰ →X⁰)_i∈Nde revêtements étales de degréntelle que pour touti6=j,P_i⁰est nonX⁰-isomorphe àP_j⁰.

SoitKle corps des fractions deA. Pour tout entieri,P_i⁰/X⁰correspond à une extension finie séparableLi/K.

On noteBila clôture intégrale deAdansLi,Pi = Spec(Bi). Remarquons par ailleurs que d’après le lemme précédent,A/Rest libre de rangmetBi/Rest libre de rangnm.

5.1.2. Questions de discriminant. — Rappelons pour les besoins de la preuve qui suit les considérations sui- vantes :

Définition 5.1.3. — SoitB/Aune algèbre finie libre de rangn. SoitB= (e_i)_1≤i≤nune base deB/A. Le déter- minant de la matrice TrB/A(eiej)

1≤i,j≤nest appelé lediscriminant deB/Arelativement àB. Sa classe dans le monoïde multiplicatifA/(A^×)²est indépendante deB. On la note discB/A.

Par abus, on considérera la classe discB/A comme un élément de A. Rappelons que B/A est étale si et seulement si discB/A est inversible dans A. Par la suite, nous aurons besoin de la formule suivante (cf.

[Ramero, 2005, 2.1.4]) : SoitB/AetC/Bdeux algèbres finies libres. Soitnle rang deC/B. Alors, discC/A=discⁿB/A·N_B/A(discC/B).

Revenant à la situation du numéro précédent, on considère un idéalpde hauteur1deR. SoitAp(resp.Bi,p) l’anneau semi-localisé deA(resp.B_i) correspondant à la fibre au-dessus dep.

Notons queApest normal de dimension1. Par ailleurs, comme par hypothèseBi/Aest étale finie de degré n au-dessus du spectre épointé de A, l’extension d’anneaux locauxBi,p/Ap est libre de rang n. D’après la formule rappelée précédemment,

discB_i,p/R_p=discⁿA_p/R_p·N_Ap/Rp(discB_i,p/A_p).

OrA/R (resp. B_i/R) est génériquement étale et B_i,p/A_p est étale. On déduit de la relation précédente que l’élément(discB_i/R)(discⁿA/R)⁻¹de Frac(R)^×appartient àR^×_p. Comme ceci est valable pour toutpet queRest normal, on en déduit :

(5.1.3.1) discB_i/R

discⁿA/R

∈R^×

5.2. Lemme clé. — La technique pour trouver une contradiction à la situation dans laquelle on est parvenu à l’issue de la mise en place5.1repose sur l’utilisation des ultrafiltres. Dans la section qui suit, nous rappelons cette théorie et démontrons les résultats qui nous seront utiles. Le point essentiel de la preuve se résume alors à prouver lelemme clé 5.2.8comme nous le montrons dans le paragraphe5.2.9. La preuve de ce lemme est donnée dans la dernière section,5.2.10.

5.2.1. Ultraproduits. —

Définition 5.2.2. — SoitIun ensemble etP(I)l’ensemble des parties deI. UnultrafiltreF surIest la donnée d’un ensemble de parties deIvérifiant les propriétés suivantes :

i. ∀F∈F, ∀G∈P(I), F⊂G⇒ G∈F. ii. ∀F, G∈F, F∩G∈F.

iii. ∀F∈P(I),F∈F ou bienI−F∈F. iv. ∅∈/F.

Dans la suite de la preuve, nous entendrons un ultrafiltreF comme un ensemble ordonné tel pour tout F, G∈F ,

F≤G⇔F⊃G.

Notons qu’il résulte alors de la définition queF est un ensemble filtrant.

Exemple 5.2.3. — Soitaun élément deI. Alors, l’ensemble des parties deIcontenantaest un ultrafiltreF deI. Dans ce cas, on dit queF estprincipal.

D’après le lemme de Zorn, il existe des ultrafiltres non principaux sur un ensemble infiniI.

Définition 5.2.4. — SoitF un ultrafiltre sur un ensembleIetC une catégorie admettant des limites inductives filtrantes et des produits.

Soit(Xi)_i∈Iune famille d’objets deC. Le système inductif(Q

i∈FXi)_F∈F est filtrant. On définitl’ultrapro- duit de(Xi)_i∈IsuivantF comme la limite inductive de ce système :

Y

i∈I/F

Xi=colimF∈F

Y

i∈F

Xi

! .

Si(Xi)iest la famille constante de valeur un objetX, on noteX^I/Fson ultraproduit, appelél’ultrapuissance deXsuivantF. On dispose toujours de l’application diagonaleX→X^I/F.

On notera en particulier qu’un élémentxde l’ultraproduitQ

i∈I/FXiest représenté par une suite(xi)_i∈F pour un élémentF ∈ F. De plus, étant donné un autre élémenty= (yj)j∈Gde cet ultraproduit,x = ysi et seulement si il existeH∈F tel queH⊂F∩Gvérifiant∀i∈H,xi=yi.

Nous utiliserons cette notion dans le cas des anneaux ou des modules et nous utiliserons en particulier le lemme suivant :

Lemme 5.2.5. — SoitIun ensemble etF un ultrafiltre surI.

Considérons une famille(Ai)i∈Id’anneaux. On poseA_∞=Q

i∈I/FAi.

i. Si pour touti∈I,Aiest intègre (resp. un corps, un corps séparablement clos), il en est de même deA_∞.

ii. Si pour touti∈I,Aiest local (resp. local hensélien) d’idéal maximalmi,A_∞est local (resp. local hensélien) d’idéal maximalQ

i∈I/Fmi.

Considérons une famille d’algèbres(B_i/A_i)_i∈I,B_∞/A_∞son ultraproduit suivantF :