Montrer que Z(SLn(Fq)) ={λId/ λ ∈Fq, λd= 1}, o`ud =pgcd(n, q−1)

ENS Lyon Alg`ebre 1

L3 2007-2008

TD 7 : Groupes lin´eaires sur un corps fini

Exercice 1

Soit p un nombre premier. Montrer que Aut ((ZpZ)ⁿ,+) est isomorphe `a GL_n(Fp).

Est-ce encore vrai si on remplacep par p^k?

Exercice 2

D´eterminer les classes de conjugaison et les sous-groupes distingu´es de GL2(F²).

Exercice 3

1. Montrer que P SL₂(F3) est isomorphe `a A<sub>4</sub>, mais que SL<sub>2</sub>(F3) n’est pas iso- morphe `aS₄ (consid´erer le centre des groupes).

2. Donner la liste des ´el´ements de SL₂(F3) d’ordre une puissance de 2.

Exercice 4

On note G=P SL3(F⁴) et H =P SL4(F²).

1. Montrer que Z(SL_n(Fq)) ={λId/ λ ∈Fq, λ^d= 1}, o`ud =pgcd(n, q−1). En d´eduire le cardinal de G etH.

2. V´erifier que H = SL4(F²). Montrer que les ´el´ements d’ordre 2 de H se r´epartissent en deux classes de conjugaison (consid´erer les formes de Jordan).

3. Montrer que tout ´el´ement d’ordre 2 deGest la projection d’un ´el´ement d’ordre 2 de SL3(F⁴). En d´eduire que les ´el´ements d’ordre 2 de G forment une seule classe de conjugaison.

4. Montrer queG et H ne sont pas isomorphes.

Exercice 5

1. Soit E un Fq-espace vectoriel de dimension n, et E₀ un sous-espace vectoriel de E de dimensionr < n. CombienE₀ a-t-il de suppl´ementaires dans E? 2. Compter le nombre d’endomorphismes diagonalisables de Fⁿ2.

Exercice 6

Soit k un corps. On note ˆk=k∪ {∞}.

1. Montrer que l’applicationψ d´efinie surk²\{(0,0)}parψ(x, y) =xy⁻¹ siy6= 0, et ψ(x,0) =∞, induit une bijection de P¹(k) sur ˆk. Expliciter sa r´eciproque.

2. En identifiant P¹(k) et ˆk, donner une expression explicite de l’homographie

¯

u ∈P GL₂(k) induite par u =

a b

c d

∈GL₂(k). Donner une CNS portant sur detu pour que ¯u soit dans P SL₂(k).

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