Vibrations des espaces clos à parois déformables élastiques

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Vibrations des espaces clos à parois déformables

élastiques

Théodore Vogel

To cite this version:

VIBRATIONS DES ESPACES CLOS A PAROIS

DÉFORMABLES

ÉLASTIQUES

Par THÉODORE VOGEL.

Centre National de la Recherche

scientifique,

C.R.S.I.M., Marseille.

Sommaire. 2014

Après avoir discuté certaines _hypothèses couramment faites dans la théorie

géomé-trique simple de _{l’Acoustique des espaces clos,} et avoir montré _qu’elles sont contradictoires avec l’équation d’onde dans le cas où il existe un _potentiel des vitesses, l’auteur _envisage les vibrations d’une enceinte à _{parois élastiques. Moyennant} des _hypothèses analogues à celles habituellement

utilisées en Élasticité linéaire, le _potentiel des vitesses est donné sous forme d’une série procédant

suivant les _puissances entières d’un petit paramètre lié à _{l’absorption} des parois et dont les coefficients

sont les solutions d’une suite de _problèmes de Neumann _{élargis pour l’équation (03942 + 03BB)} u = _0.

JOURNAL PHYSIQUE TOME

11,

1950

Introduction. - La

technique

a souvent enrichi la science en lui

_posant

des

problèmes

et en lui

suggérant

des solutions. Il ne _{faut pas pour} autant que

l’adoption

a

_priori

des

_points

de vue des techni-ciens

_dirige

le

_physicien

le

_long

d’ornières

_qui

ne

conduisent pas

toujours

à la théorie la

_plus

satis-faisante.

Or,

c’est ce

_qui

s’est

_{longtemps passé,}

semble-t-il,

pour

l’Acoustique

architecturale,

où les travaux

_{(du plus}

haut intérêt

_pratique)

de Wallace

Sabine

_{(1) pèsent}

d’un

_poids

_trop

lourd sur l’étude des vibrations des espaces clos. On sait que Sabine

a cru

_pouvoir

caractériser les

_{qualités acoustiques}

d’une salle par le décrément des vibrations

libres,

qu’il

suppose constant en tout

_point

sous certaines

conditions de

_répartition

de

_l’énergie

sonore; et presque tout le

développement

de la théorie

depuis

Sabine a

_consisté,

d’une

_part,

à

_aménager

ces lois

sans remettre en

_question

leurs fondements

et,

de

l’autre,

à les déduire d’une base

_plus

saine,

au moins en tant _que

_{propositions asymptotiquement}

vraies

(Strutt,

i g2g).

Or,

que les résultats

auxquels

conduisent les lois de Sabine soient

_pratiquement

utilisables

_(sous

certaines conditions

_{qu’il appartient}

aux techniciens de

_déterminer)

ne

_dispense

nullement d’examiner

soigneusement

leurs

_principes;

et _{il semble que} cet examen doive

aboutir,

sinon à un

_rejet

_pur et

simple,

du moins à une limitation sévère de leur

validité.

C’est par un tel examen _{que l’on} commencera le

présent

travail;

et l’on essaiera de montrer, dans une

deuxième

Partie,

comment des

_hypothèses

moins

simplifiées

peuvent

conduire à une solution des

principaux

problèmes

de vibration

_posés

_{par les} enceintes closes.

(1) Cf. Bibliographie in _fine.

Critique

de certains raisonnements utilisés dans la théorie

_{géométrique. -}

Les deux raison-nements _{que l’on s’attachera d’abord à discuter} sont les suivants :

I0

_[Citation

_{à peu}

_près

textuelle d’un énoncé

reproduit

avec

_{d’insignifiantes}

_{variations par}

Buckin-gham

(1925),

Eckhart

_(1923),

Davis

_{(1926), etc.] :}

« Dans une

_salle,

le son est réfléchi 2 à 30o fois avant

d’être

_{complètement}

amorti

et,

par

conséquent,

vu la

superposition

fortuite des

_{composantes, l’énergie}

devient vite distribuée de

_façon

uniforme dans l’enceinte....

_L’énergie

sonore

_peut

être considérée

comme divisée en un

_grand

nombre de

_{parties égales ;}

à l’état de

_régime,

ces unités

_d’énergie

sont unifor-mément

_réparties

dans la

salle,

tant en ce

_qui

concerne

la

_position

_qu’en

ce

_qui

concerne la direction du mouvement. »

20 Une source sonore étant en fonctionnement dans un _espace

_clos,

_l’énergie

dans l’enceinte doit croître indéfiniment si elle n’est pas absorbée sur les

_parois

ou transmise vers l’extérieur : cette idée a, elle

aussi,

été souvent

_exprimée

et

_appliquée

à des

_problèmes

de

_rayonnement

et d’excitation vibratoire très divers. Pour ce

_qui

est du

_premier

_principe,

_qui

est la

prémisse

fondamentale de

_Sabine,

il convient de ne

pas se laisser

_{impressionner}

_par

_l’aspect

_vaguement

probabiliste

et,

par

là, séduisant,

de son énoncé. A l’échelle où est valable toute

_{l’Acoustique}

linéaire

classique

et dès

_qu’on

admet le théorème fonda-mental de

_Lagrange,

la

_statistique

_{n’a que faire :} l’état vibratoire en tout

_point

de l’enceinte dérive d’un

_potentiel

des vitesses

_parfaitement

_déterminé,

et de ce

_qu’il

_peut

être commode de

_décomposer

la

vibration en une infinité d’ondes

_composantes

_qui

auront parcouru les

trajets

les

_plus

_{divers pour}

628

aboutir au

point

d’observation,

il ne résulte nulle-ment _que ces ondes forment un ensemble

désordonné,

justiciable

d’une

_statistique.

Pour

_préciser

ceci,

soit une enceinte à

parois

non

absorbantes où fonctionne à l’état de

_régime

une source

_{harmonique (ou}

une source émettant une somme finie de sons _{purs, mais} non une source de

bruit confus ou « bruit blanc

») :

on a affaire à une masse _gazeuse enfermée dans un domaine limité par

la

_surface,

à connexion

_simple

ou

_multiple,

S +

S’,

où S

_désigne

l’ensemble des

_parois

_dépourvues

de sources et S’ est une surface entourant étroitement les sources

_(si

celles-ci sont situées dans

l’espace

intérieur)

ou coïncidant avec la

_partie

vibrante des

parois (si

les sources _y sont

_{encastrées).}

Le

poten-tiel des vitesses W obéira au

_système

différentiel

formé par

l’équation

de d’Alembert

et _{par les conditions} aux limites

(Si

la source est assez étendue pour que tous ses

points

ne vibrent pas en

_phase,

il sera

licite,

tant que le

problème

est conçu comme

_linéaire,

de

super-poser les solutions de

problèmes

élémentaires du

type ci-dessus).

Dans ces

_conditions,

le

_système

est

séparable,

et en écrivant

il vient

_{pour § :}

Ce

_problème

de Neumann _pour

_{l’équation}

(LB2 + À)u

= o admet

toujours

une solution et une

_seule;

_quel

_{que soit le mode de construction de} cette

solution,

on doit

arriver,

_pour tout

_point,

à

_{un §}

_unique

et bien déterminé et il ne semble pas

que

l’irrégularité

de la surface

S,

qui

peut

rendre inextricable la construction de

_Huyghens,

_y

intro-duise

_quoi

_que ce soit

_{d’apparenté}

au hasard.

Or,

dire _que

_l’énergie

est uniformément

_répartie

dans l’enceinte

_(qu’on

l’entende « en _{moyenne dans}

le

_temps

» ou _{pas, peu}

importe,

puisque

la variable t a été

_séparée),

c’est-à-dire _que

l’expression

est une constante K

indépendante de x, y, -- (les

surfaces

_{équipotentielles}

sont

_parallèles

et

équi-distantes) ;

et ceci n’est

_compatible

avec

l’équa-tion ( A2

- G’.-, .,

= _o, dont les

caractéristiques

sont

que

si w =

K - o. Il

_n’y

a _{pas d’autre}

_répartition

uniforme

_possible

_{que la}

_répartition

_nulle,

_{à l’état}

de

_régime

et tant

_{qu’il n’y}

a _{pas dans} l’enceinte une infinité de sources de

_phases

fortuites.

Objectera-t-on

que Feshbach et

_{Clogston (1941)}

ont

_montré,

dans un travail

_remarquable,

_{que l’effet}

d’irrégularités

perturbatrices

sur les

_parois

était de

«

_coupler

» _{les modes propres}

_primitifs

_{entre eux}

et d’étaler de la sorte sur

_plusieurs

distributions

spatiales l’énergie qui

était

_{primitivement}

concentrée sur une seule ? Mais

d’abord,

il ne

_peut

_s’agir

_là

(comme

les auteurs le

_spécifient

du

_reste)

_{que des}

vibrations

_libres,

de sorte

_{qu’on pourrait}

à la

_rigueur

concéder que

l’énergie

tendrait vers une

_répartition

uniforme lors de son

_extinction,

_{si celle-ci avait} une

très

_grande

_{durée; et,}

de

_plus,

l’induction _par

laquelle

Morse et Bolt

_(I944)

croient

_pouvoir

_passer des formules à

_portée

limitée de Feshbach et

_Clogston

à l’existence d’un véritable

_{régime ergodique}

_pour

une

_{irrégularité}

suffisamment

_grande

n’est

_peut-être

pas absolument

convaincante,

même si elle

_paraît

assez vraisemblable. Il n’est d’ailleurs nullement

évident a

_{priori qu’une}

série aux modes non

_troublés,

comme celle

_{qui exprime}

un mode troublé

_d’après

les auteurs

_précités,

_{ait pour} somme une constante

indépendante

de x, y, z : il _{n’est pas}

_impossible,

du

_point

de vue

_{mathématique, qu’elle}

admette

une somme dont l’oscillation dans certains domaines

soit

_plus

_{forte que celle du mode} non

_troublé,

et il est

_{particulièrement}

instructif de se

référer,

à cet

égard,

aux _{courbes que donnent}

_Bolt,

Feshbach et

Clogston (1942)

pour

l’exemple

du

_trapèze.

Il faut maintenant _passer au second

_point

annoncé

au début de ce

_{paragraphe :}

dans cette enceinte sans

absorption

ni

_{transparence,}

_l’énergie

croîtra-t-elle

au delà de toute limite si la source continue à fonc-tionner ? Cette conclusion semble de sens commun, elle

_peut

_cependant

être inexacte dans certaines

conditions,

comme on va le voir.

_Qu’est-ce,

en

_effet,

qu’une

source « en fonctionnement » ? Si ces mots

signifient

que des moyens ont été

_employés

_pour

dépenser

en un certain

_point

une

_quantité

déter-minée

_{d’énergie,}

_quel

_{que soit l’état du}

_système

récepteur,

il est clair _{que le} niveau

_{énergétique}

de ce

_récepteur

ne

_peut

_{que croître} en l’absence de

dissipation;

mais il n’en est

_plus

de même si l’on

impose

simplement

au

point-source

un mouvement

périodique

déterminé,

condition

_{qu’expriment}

préci-sément les

_{équations classiques}

aux vibrations et

que,

jusqu’à

preuve du

contraire,

on croit conforme

à la nature des

_phénomènes

dans les sources habi-tuelles.

Pour le montrer

_plus

_clairement,

soit un

_exemple

simple

à une

_dimension,

celui d’une lame d’air

une

amplitude A/k:

: les

_équations

du mouvement sont alors

et leur solution est

L’énergie cinétique

dans la lame d’air sera

expression

qui

ne

croît nullement avec t.

L’expli-cation de ce fait est

_simplement

_{que la} source ne se

comporte

pas tout le

_temps

comme un fournisseur

d’énergie,

mais a des

_{phases régulières}

_{d’absorption.}

Faire fonctionner un

_{haut-parleur,}

c’est mettre un

système

auto-oscillant en communication avec un

réservoir

_{d’énergie qui}

lui

_permette

_{d’osciller;}

le faire fonctionner dans un _{espace matériel} fini

susceptible

de vibrer lui

_aussi,

c’est le mettre en

communication avec deux réservoirs

_{d’énergie,}

dont l’un est initialement _{vide : dès que} celui-ci aura accumulé une certaine

_{quantité d’énergie,}

on n’est

_plus

libre de faire débiter

_{régulièrement}

le

premier,

car il y aura

des,

_phases

où c’est la salle

qui

alimentera le mouvement du

_{haut-parleur.}

C’est ce

_qui

se _passe encore dans le cas d’un alter-nateur débitant sur une

_ligne

de

_longueur

finie ouverte à son extrémité et non

_dissipative;

ou de tractions

_rythmées

exercées à l’extrémité d’un ressort.

La discussion ci-dessus aura

_montré,

_croit-on,

le

_danger

des _{raisonnements vagues} en

_Physique

théorique,

même

_{(ou surtout)}

s’ils

_paraissent

« _de

sens commun ». Ces raisonnements

_peuvent

fort bien avoir été

_{primitivement}

utilisés

_pour

_justifier

des faits

_{d’expérience,}

_lesquels

demeurent natu-rellement exacts : mais ce succès

_apparent

n’autorise nullement à les

_appliquer

_{pour tirer de nouvelles}

conclusions,

qui

auraient de fortes chances de se trouver fausses.

Théorie ondulatoire de

_{l’acoustique}

des espaces clos. - On

a

_essayé

de montrer _que

les

_prémisses

de la théorie de Sabine ne

_pouvaient

servir à une étude valable du

_régime

vibratoire

d’un espace clos. Seule

l’équation

de d’Alembert est,

dans les limites des conditions où elle est

établie,

une base

_acceptable

_{pour le théoricien. C’est de} ce

point

de vue _que sont

_partis,

d’une

_part

Van den

Dungen

dans son étude très

_{générale de I932}

et de

_l’autre,

_Morse,

Bolt et leurs

collaborateurs,

dans la série de travaux

_qu’ils

ont consacrés

_depuis

_I936

aux enceintes

_{parallélipipédiques.}

Mais le savant

belge

comme les Américains

_envisagent

une masse gazeuse isolée à frontières

fixes,

ce

_{qui permet}

de

rejoindre

le

_{problème technique}

de la

réverbération,

mais non _{celui de l’insonorisation par}

_rapport

aux sons extérieurs à l’enceinte. On sait en effet que la

transparence

d’une

_paroi

aux sons extérieurs est due

presque

uniquement

à sa

_capacité

de

déformation;

une

_paroi

fixe ne transmettrait

_qu’une

_proportion

absolument

_négligeable

de son, comme l’avait

_déjà

montré Lord

_Rayleigh.

Il a donc paru utile de formuler un

_problème

qui

schématiserait mieux ce

qui

se _{passe à}

l’inté-rieur d’une enceinte réelle : celui des vibrations d’un

espace clos à frontières déformables. On supposera ces frontières

_élastiques

et l’on fera un certain nombre

_{d’hypothèses simplificatrices}

du même ordre que celles

qui

sont

_classiques

en

Élasticité

linéaire.

Il n’est pas certain que la

question

ne

_puisse

être

reprise

pour des

parois

suivant d’autres lois que celle de

Hooke,

mais on n’abordera _{pas ici} cette extension. D’autre

_part,

on sera

_obligé

de supposer

l’absorption

des

_parois

assez faible pour que

cer-taines séries soient

_{convergentes;}

mais il sera

inutile

_d’exiger

_pour autant

_qu’elle

soit infiniment

petite :

ces

_hypothèses

sont donc un _{peu moins}

restrictives que celles de Van den

Dungen,

dont on verra _{que l’on} retrouve les résultats en

_première

approximation.

Le

_problème

fondamental à traiter est celui des vibrations forcées sous l’effet de forces données.

Du

_point

de vue de la

_Dynamique,

il est commode de considérer ce

_problème

comme étant celui de deux

_systèmes

_{couplés :}

l’un constitué par les

parois

S,

et

_régi

_par un

_opérateur

différentiel donné par la théorie de

l’Élasticité;

l’autre constitué

par la masse _gazeuse

_occupant

le domaine D inté-rieur à S et

_régi

_par

_{l’opérateur}

différentiel de d’Alembert D. Les conditions aux limites de ces

deux

_problèmes,

où intervient le

_couplage

des deux

systèmes,

exprimeront

que la surface intérieure de S coïncide à tout instant avec la frontière de D.

-->

Soit donc P un

_point

de

S,

p

(P)

son

_déplacement

à

_partir

_{de l’état de repos,}

_41(M)

le

_potentiel

des vitesses en un

_point

M de D et M* un

_point

de D

qui

coïncide avec le

_point

P* de la surface intérieure

-->

de

S;

F (P)

les forces

_{(d’origine acoustique}

ou

autre)

appliquées

aux

_points

de

_S,

et G

_(M**)

les mouvements

_imposés

aux

_points

M** d’une surface S’

qui

entoure étroitement les sources existant à

630

et des conditions aux limites

_exprimant

les

_propriétés

élastiques

de

S,

que l’on

précisera plus

loin.

On

_distingue

immédiatement deux cas

_principaux

(qui

pourront

d’ailleurs se _{superposer dans le} cas

d’équations

linéaires) :

10 F = o : les sources sonores sont toutes situées à l’intérieur de D. C’est ce

_qu’on

_pourra

_appeler

le

«

_problème

intérieur _», ou «

_problème

de la

réver-bération »;

2o Il

_n’y

a _{pas de}

_points

M** ni de G : les vibra-tions ne sont _{excitées que par les}

_parois;

ce sera

le «

_problème

extérieur » ou «

_problème

de

l’insono-risation ».

Dans le

_premier

cas,

_qui

seul a été sérieusement

étudié

_jusqu’ici,

les

_{propriétés dynamiques}

de S

ne

_jouent,

sauf cas tout à fait

_{exceptionnels, qu’un}

rôle peu

important,

et c’est à

_juste

_{titre que les} auteurs

_qui

l’ont traité ont _{pu considérer les}

_parois

comme

_{rigides, quitte}

à tenir

_compte

de

_{l’absorption}

du son au _moyen

_{d’expressions}

intéressant D seul. Cette

_{simplification}

n’est

_plus

_possible

dans le deuxième

_{problème, qui}

ne se _{pose que}

_lorsque

S est suffisamment _{déformable pour}

_communiquer

à D les vibrations

_produites

à l’extérieur de ce domaine.

C’est le cas _{que l’on} va traiter sous une

_hypothèse

déjà

assez

_générale,

celle d’une

_absorption

relati-vement faible sur les

_parois;

on étudiera en somme le

_problème

d’une salle non sourde et non

_dépourvue

d’échos.

Hypothèses

servant de base à la mise en

équa-tion. - En

première approximation,

les

_hypothèses

suivantes seront considérées comme valables :

io Les dimensions

_{géométriques}

de D seront

sup-posées

très

_grandes

devant l’ «

_{épaisseur »}

de S

comptée

normalement à la frontière commune aux

deux

domaines;

de sorte _{que S pourra être} schéma-tisé comme un _corps « mince » au sens de la théorie

de

l’Élasticité.

Tous les

_points

P seront des

_points

P* et leurs

_{déplacements}

_p seront

_supposés

normaux à la

_{configuration}

_{de repos}

_So

de S.

20

_{L’hypothèse}

ci-dessus et

_{l’approximation}

linéaire usuelle

_(carrés

des

_{déplacements}

négli--->

geables)

conduisent à

_admettre

_{que les p} sont

négligeables

devant les dimensions

_{géométriques}

de

D,

de sorte _{que les conditions} aux

limites,

_qui

s’appliquent

en toute

_rigueur

aux

_points

P* de la

configuration

instantanée de

S,

pourront

être suppo-sées

_{s’appliquer,}

sans

_grande

_erreur, aux

_points

M* de la

_{configuration}

_{de repos}

_S,

de cette frontière. Le

_problème

_(D)

sera donc celui d’une

_propagation

d’ondes dans une enceinte

invariable,

mais

_(comme

on va le voir avec

_plus

de

_précision)

avec des

condi-tions aux limites

_dépendant

de la déformation de l’enceinte véritable.

30

_{L’énergie cinétique}

de D est

_négligeable

devant celle de

S,

les vitesses étant du même ordre au

_plus

et les masses

_spécifiques

très

_{différentes;}

de même pour

l’énergie potentielle,

celle de D étant due aux

variations de

_pression

de

_l’air,

dont

_{l’intégrale}

étendue à D est très

_petite.

Les

_équations

du mou-vement des

_points

M* sont donc

_pratiquement

celles des

_points

de S en

_champ

libre. Cette

simpli-fication,

qui

«

_{découple »}

les

_parois

de la masse

d’air

_qu’elles

enferment,

sans

_{qu’inversement}

le mouvement de cette masse cesse de

_dépendre

de celui des

_parois,

_{n’est pas}

_{indispensable;}

mais elle réduit énormément la difficulté du

_problème,

sans

introduire,

croit-on,

de

_divergences

notables avec la

réalité. Elle

_présente

un nouvel

_exemple

des

cou-plages

« unidirectionnels » _{que l’auteur} a définis

dans un Mémoire de

_I947

et dont il avait à ce moment étudié deux cas différents.

40 Enfin,

le

_principe

de

_{superposition s’appliquant}

en vertu de

_{l’approximation}

_linéaire,

il suffira de considérer F comme

_dépendant

du

_temps

_{par le}

facteur

elwt;

ce même facteur se retrouvera alors dans toutes les

coordonnées,

ainsi que dans le

poten-tiel des vitesses. De

_plus,

il sera loisible de consi-dérer

_séparément

des

_problèmes

où les forces

appli-quées

s’exercent sur telle

_portion

déterminée de

S,

à l’exclusion de toute autre.

On remarquera, par

contre,

l’impossibilité

d’obtenir

des résultats

utilisables,

dans ces

_hypothèses,

si l’on

néglige

entièrement

_{l’absorption}

du son sur S :

l’intensité du son serait alors en effet infinie

_chaque

fois que w coïnciderait avec l’une des

_pulsations

propres de

D;

or, cette coïncidence aurait

_toujours

lieu,

pratiquement,

pour un ou

_plusieurs

modes propres, si

grande

est leur accumulation dans la bande

_acoustique

_pour toute enceinte de dimen-sions raisonnables

_[ci.

par

exemple

Van den

Dungen

(I934)].

Il faudra donc admettre une

formule

_{mathématique}

_simple

du

_phénomène

de

l’absorption superficielle;

on

_adoptera

ici

l’hypo-thèse

_{classique, qui}

conduit à écrire

où oc est un coefficient de module inférieur à i,

qui

pourra être variable sur

_So.

On remarquera que ce

coefficient est ici

_rapporté

aux

amplitudes,

et non aux

_énergies

comme l’est celui habituellement

utilisé en

Acoustique

architecturale.

Résolution du

_{problème posé.}

-

D’après

ce

qui précède,

il est

_{indispensable}

_{de supposer que des}

conditions aux limites

indépendantes

de D soient

imposées

au

système découplé

(S) :

on

_admettra,

par

exemple,

que certaines courbes tracées sur S restent indéformables au cours des

vibrations;

ce sera

par P** les

points

situés sur cette

_charpente,

_le pro-blème

_(S)

sera de la forme

et admettra une solution bien déterminée

où les _{oy sont} les fonctions normales de

On aura alors pour le

_{problème (D)}

soit,

en

_posant

(on

notera

_qu’il

ne

_s’agit

nullement d’une

décompo-sition en fonctions _propres de

D;

en

_particulier,

les Çj

J ne sont pas

orthogonales),

Or,

on a

toujours

il sera donc

possible

de définir un

_{paramètre p}

suffisamment

_petit

_pour

_{que jik}

devienne

_négligeable

pour des valeurs entières

point

trop

élevées de k et _{tel que}

a

_(M*)

étant une fonction à variation

_bornée,

_qui

ne devienne en aucun

_point

_trop

_grande

devant l’unité. On pourra alors admettre que

§j

est

_{développable}

en série entière

_convergente

en _li. :

et il faudra résoudre successivement les

_systèmes

différentiels suivants :

et

et ainsi de

_suite;

tous

_problèmes

de la forme

c’est-à-dire des

_problèmes

_{de Neumann étendus pour}

l’équation (d2 +-

À)

u == _o.

La solution formelle du

_{problème posé}

est donc ramenée à celle d’une suite de

_problèmes

_classiques.

On constate

_qu’elle

_coïncide,

_pour

_{l’approximation}

_1,

avec celle

_qu’avait

donnée Van den

_Dungen

dans le

cas d’une

_absorption

infiniment

_petite

et

_qui

procé-dait d’ailleurs de considérations différentes de celles

développées

ici.

On vérifiera de

_plus,

au _{moyen de la} formule de

Green,

que les valeurs propres de chacun de ces

problèmes

sont

_complexes,

de sorte _{que les intensités} de résonance restent bien

_finies;

il

_n’y

_aurait

excep-tion,

pour les

approximations

d’ordre I,

que si deux

_{tf jk}

successifs étaient

_orthogonaux,

ce

_qui

ne

peut

se

_produire

_{que si la solution de}

₍₇₎

coïncide avec celle de

on ne s’attardera pas à discuter ce cas

_{exceptionnel.}

Par

contre,

on _remarquera

_qu’en

_régime

libre

_(Aj

=

o),

l’existence d’une

dissipation

parié-tale ne _{suffit pas à limiter}

_{l’amplitude}

de la réso-nance à

_{l’approximation}

0. Il faut donc modifier le

_système

₍₇₎

de manière à tenir

_compte

de

l’absorp-tion du son dans

l’air,

en

écrivant,

_par

exemple,

On est ainsi ramené à un

_problème

connu.

Remarques générales.

-

On terminera par

quelques

remarques

générales

que

suggèrent

les

équations précédentes,

et

_qui

sont relatives à des

questions

ayant

leur

_importance

en

_Acoustique

appliquée.

Tout

d’abord,

on notera

_{qu’en régime}

libre et en

l’absence

_{d’absorption,}

les ondes rasent les

_parois

ou les admettent comme nodales

1 dn

= _{o ;}

632

exclut celle d’ondes rasantes. Une onde

_qui

se

propageait

parallèlement

à une

_paroi

_rigide

se

déforme dès que la

paroi

léchée

devient,

si peu que

ce

_soit,

absorbante

d(di =

o dès que

a = o).

dn

Le mur _poreux

_schématique

de

_Rayleigh

_prête

à bien des

_critiques,

mais c’est à tort

_qu’on

lui a

fait celle de

_prévoir

une

_absorption

nulle sous

inci-dence rasante.

Si l’on passe maintenant à la considération de

l’énergie,

le théorème de Green

_appliqué

aux

_tfik

tous solutions de la même

_équation

donne

d’où

Les deux

_premiers

termes,

qui

subsistent seuls

lorsque a

= _o

(et

que, par

suite,

les

équations

écrites

_plus

haut entraînent

_’fjk

= _o

pour k >

_o),

définissent la

_transparence

effective de

_{l’enceinte;}

les deux suivants donnent une

_première

approxi-mation de

_{l’absorption}

effective.

Or,

on voit que non seulement celle-ci combine inextricablement les

propriétés intrinsèques

des

_parois

_(coefficient

_a)

avec

le

_régime

_cL;"

de la

salle,

suivant une _remarque

_déjà

faite _par

Morse,

mais encore un

_{pareil mélange}

existe-t-il dans

_{l’expression}

de la

_{transparence.}

Si l’on calculait celle-ci pour les

parois

découplées

de l’air

enfermé,

on aurait en effet à ne considérer

que

l’intégrale

w2

f A2 i 72 i dS

qui exprime l’énergie

cinétique

transmise en

_champ

libre par la

_paroi.

On voit _{par là que l’on}

_s’expose

à des

_mécomptes

(d’autant plus importants

que la salle est

plus

petite)

si l’on essaie de

_{prédéterminer}

_l’énergie

à l’intérieur d’une enceinte à

_partir

des seules

_propriétés

(coefficients

de

_transparence

et

_{d’absorption)}

des

matériaux dont ses

parois

sont formées.

Manuscrit reçu le 4 mai _I950.

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