On considère la variable x définie sur l’intervalle [0,2π]
Q1 : quel est le plus grand des deux termes sin(cos(x)) ou cos(sin(x)) ?
Q2 : l’équation cos(cos(cos(cos(x)))) = sin(sin(sin(sin(x))) a-t-elle des solutions?
Q1 : Pour 0<x<π, 0<sin(x)<x, sin(cos(x))<cos(x) et cos(x)<cos(sin(x)), donc sin(cos(x)<cos(sin(x) ; sin(0)=0, cos (0)=1, sin(1)<1, donc sin(cos(0)<cos(sin(0) ; sin(π)=0, cos(π)=-1, sin(1)=sin(cos(π)< cos(sin(π)=1. Enfin,
cos(sin(2π-x))-sin(cos(2π-x))=cos(-sin(x))-sin(cos(x))=cos(sin(x)-sin(cos(x).
Donc pour tout x, sin(cos(x))<cos(sin(x)).
Q2 : soit f(x)=sin(sin(x)), f2(x)=sin(sin(sin(sin(x)))) : f(π-x)=f(x), f(π+x)=-f(x), f2(π+x)=f2(x), f2(π-x)=-f2(x) : f, et donc f2, sont croissantes de 0 à π/2
De même, g(x)=cos(cos(x)), g2(x)=cos(cos(cos(cos(x)))), g(π-x)=g(x), g(π+x)=g(x) donc g2(π-x)=g2(x), g2(π+x)=g2(x) : g, donc g2 sont croissantes de 0 à π/2.
0 π/4 π/2
f2 g2
0 0,568... 0,678...
0,654... 0,748... 0,857...
En remarquant que f2(π/4)<g2(0) et f2(π/2)<g2(π/4), on en déduit que f2(x)<g2(x) pour 0≤x≤π/2, et, en vertu des symétries, c’est également le cas pour 0≤x≤2π.
l’équation f2(x)=g2(x) n’a donc pas de solution.
