D1850. Les trois compères
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Soit un cercle (Γ) de diamètre AB. A partir d’un point courant C de ce cercle, on trace dans le sens horaire la corde CD de longueur fixe L. Les droites AC et BD se coupent en P, les droites AD et BC en Q et les droites CD et PQ en R.
Déterminer les lieux des trois compères P, Q et R quand C parcourt le cercle (Γ).
Solution proposée par l’auteur
La figure, obtenue par le logiciel geogebra, montre que les trois lieux passent par A et B et sont symétriques par rapport à la médiatrice de AB ; de plus la symétrie par rapport à la droite de AB échange entre eux les lieux décrits par P et Q, qui semblent des cercles, et laisse inchangé le lieu décrit par R.
L’angle 𝐶𝑂𝐷̂ est constant car la corde CD a longueur constante ; aussi constant sont donc l’angle 𝐶𝐵𝐷̂, qui est sa moitié, et 𝐶𝑃𝐵̂, complémentaire de 𝐶𝐵𝐷̂ . Le point P voit donc sous un angle constant le segment AB ; l’adaptation au cas où P descend au-dessous de AB étant immédiat, on conclut que le lieu de P est bien un cercle ; le traitement du lieu de Q étant analogue, on va décrire le lieu de R qui, comme on verra, est une quartique.
Soit H la projection de P sur AB. Le triangle CDH est le triangle orthique du triangle PAB. Les droites BC et AD sont bissectrices des angles HCD et HDC. Il en résulte
que la division (P,R,Q,H) est harmonique ; à savoir, avec Q’ symétrique de Q par rapport à AB :
𝐻𝑅 = 2𝐻𝑃 ∗ 𝐻𝑄
𝐻𝑃 + 𝐻𝑄 = 2 ∗ 𝐻𝑃 ∗ 𝐻𝑄’
𝐻𝑃 + 𝐻𝑄’
Q’ se trouve sur le cercle rouge, cercle dont l’équation est 𝑥² – 2𝑘𝑦 + 𝑦² = 1 où 𝑘, ordonnée du centre, s’exprime aisément à partir de la longueur L de la corde CD.
Si h est l’abscisse du point H on a 𝐻𝑃 ∗ 𝐻𝑄’ = 𝐻𝐴 ∗ 𝐻𝐵 = 1 – ℎ². Les ordonnées de P et Q’ sont données par l’équation 𝑦² – 2𝑘𝑦 + ℎ² – 1 = 0. Donc HP+HQ’ est la somme des valeurs absolues des deux racines : 2 √𝑘² + 1 – ℎ²
L’équation du lieu est donc 𝑦 = 1 – 𝑥²
√𝑘² +1 –𝑥²
ou encore 𝑦²(𝑘² + 1 – 𝑥²) = (1 – 𝑥²)²
