Enoncé D644 (Diophante) Une construction apollonienne
Tracer à la règle et au compas un point P du plan d’un triangle ABC tel que les triangles P AB, P BC et P CA ont même péri- mètre.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Les relations
P B+P C+BC =P C +P A+CA=P A+P B+AB s’écriventBC−P A=CA−P B =AB−P C,
ouP A=P B+BC−CA=P C +BC−AB.
P apparaît comme un point commun aux branches d’hyperbole définies par ces relations. C’est aussi le centre d’un cercle Ω passant parA, tangent aux cercles ΓBcentré en B et de rayon|BC−CA|
et ΓC centré en C et de rayon |BC−AB|.
SiBC est le plus grand côté, ΓB et ΓC sont tangents intérieure- ment à Ω.
Une inversion de pôle A et de puissance K égale à la puissance de A par rapport à ΓB laisse ce cercle globalement invariant et transforme d’une part ΓC en ΓD, d’autre part Ω en la tangente communeT à ΓB et ΓD qui les sépare tous deux de A.A se pro- jetant enH sur T,P est le point deAH tel que 2AP ·AH =K.
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