Enonc´e noE546 (Diophante) Tout simplement logique
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Premi`ere ´enigme : prouver que tout poly`edre convexe `a 2010 faces comporte au moins deux faces qui ont le mˆeme nombre d’arˆetes.
Toute face a au moins 3 arˆetes, et au plus 2009 (si elle touche chacune des autres par une arˆete). Ainsi le nombre d’arˆetes d’une face ne peut prendre que 2007 valeurs. Si on classe les faces par valeur dans les 2007 tiroirs ´etiquet´es de 3 `a 2009, il y aura au moins un tiroir contenant plusieurs faces puisqu’il y a plus de faces que de tiroirs. Dans un tiroir contenant plus d’une face, on trouve deux faces ayant le mˆeme nombre d’arˆetes, CQFD.
Deuxi`eme ´enigme : prouver que si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 `a 2010, l’un d’eux est divisible par un autre.
A chaque entier, je fais correspondre son PGDI (plus grand diviseur impair).
Parmi les entiers de 1 `a 2010, il y a exactement 1005 entiers impairs, soit autant de tiroirs pour ranger les PGDI des 1006 entiers choisis. Comme il y a plus de PGDI que de tiroirs (air connu), au moins deux des 1006 entiers ont des PGDI rang´es dans le mˆeme tiroir, donc ´egaux ; alors le plus grand est multiple de l’autre, avec quotient 2 ou une puissance de 2.
Troisi`eme ´enigme : les yeux band´es et les mains gant´es, comment partager 2010 pi`eces de monnaie pos´ees sur un table dont 670 cˆot´e pile et 1340 cˆot´e face en deux tas de mani`ere `a obtenir le mˆeme nombre de pi`eces cˆot´e pile dans chacun des deux tas.
En aveugle, je mets `a part 670 pi`eces et je les retourne.
S’il reste p pi`eces cˆot´e pile parmi les pi`eces que j’ai laiss´ees en place, il y avait 670−ppi`eces cˆot´e pile et ppi`eces cˆot´e face dans celles que j’ai mises
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a part. Apr`es retournement, il y a ppi`eces cˆot´e pile dans chaque tas.
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