Quelques rappels sur les séries

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Quelques rappels sur les séries

Quand un algorithme contient une instruction de répétition, son temps d’exécution peut être exprimé comme une somme du temps pris par les instructions exécutées par cette boucle. Ce qui suit est un bref rappel de quelque formules de somation utilisées fréquemment dans l’analyse des algorithmes.

1. Propriétés de la somation

Étant donnée une suite de nombres a1, a2, . . . an, l’expression a1 + a2 + . . . +an est écrite comme suit:



 n i

ai 1

Si n = 0, cette somme est par définition nulle.

Si n tends vers l’infini, la somme a1 + a2 + … peut être écrite comme :

 







 

1 1

lim

i i n

i i

n a a

Si la limite n’existe pas, la somme est dite divergente sinon elle est dite convergente.

Quelque soit le nombre réel c et la suite finie de nombres a1, a2, . . . , an et b1, b2, . . . , bn, nous avons la relation suivante :

1.

 



 ⁿ

i i

n

i cai c a

1 1

2.

  

 







 ⁿ

i

n

i i

i n

i ai bi a b

1 1

1

Quand n tend vers l’infini, si la somme correspondante est convergente, la deux relations ci- dessus sont aussi vraies.

3. ( ( )) ( ( ))

1



 

 ⁿ

k n

k

k f k

f 

 (elle est aussi vraie pour les vraies formation de notation)

Remarquer que dans cette équation, la notation  du membre gauche s’applique sur la variable k, alors que, dans le membre droit, elle s’applique sur n.

(2)

2. Quelques sommes particulières

1. séries arithmétique

si ai = ai-1 + r pour une constante quelconque r alors



 n i

ai 1

= 2

) 1 (

1

r n na  n 

En particulier, si r =1, et a1 = 1 on obtient la formule suivante :

2 ) 1 ... (

3 2 1

1

 







n n n i

n i

2. Série Géométriques si ai = ai-1



_{r alors}



 n i

ai 1

= _



 







 ^ r a r

n

1

1 ¹

1

en particulier si r = 2 et a1 = 1, on obtient

1 2 2² 2³ ... 2 2 ¹ 1

1







 ^



ⁿ ⁿ ⁿ i

ai

3. Séries harmoniques

Pour les entiers positifs n, la série harmonique est définie comme suit :





 ⁿ

ki k

n H

1

) 1 (

^H⁽ⁿ⁾^^O^(logⁿ⁾

4. Rappels de quelques opérations sur la fonction log et la fonction puissance

a b b

a log

log  log

; 0 1

log  loge1; le nombre e = 2.71.

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Par abus de notation, on écrira souvent ^log^b pour signifier en fait log2^b

b a b^a log log 

b a

b

a log log

log   

a loga log1 

a a

a

a^x   ... (la multiplication est effectuée x fois)

0 1 a

y x y

x a a

a ^  

y x

xy a

a ( )

x x

a^ a1

a

x x

a^log  ^log