Linéarisation d’un polynôme en cosinus et sinus

Trigonométrie

D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret

x C A

B

cosx= AC

AB sinx= BC

AB tanx=BC AC Fonctions trigonométriques

tanx= sinx cosx

cos²x+ sin²x= 1 Formules fondamentales

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa sin(a−b) = sinacosb−sinbcosa Développement des fonctions trigonométriques

cosp+ cosq= 2 cos ^p+q₂

cos ^p−q₂ cosp−cosq=−2 sin ^p+q₂

sin ^p−q₂ sinp+ sinq= 2 cos ^p−q₂

sin ^p+q₂ sinp−sinq= 2 cos ^p+q₂

sin ^p−q₂

Somme et différence des fonctions trigonométriques

sin 2x= 2 sinxcosx cos 2x= 2 cos²x−1 cos 2x= 1−2 sin²x Angle double - Angle moitié

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MPSI – 2021-2022 – JdA D.Malka Trigonométrie

Linéarisation d’un polynôme en cosinus et sinus

Linéariser un polynôme en cosinus et sinus signifie obtenir un développement en cosinus et sinus avec un exposant maximal égal à 1. Voir l’exemple.

cos²x= ¹₂(1 + cos 2x) sin²x=¹₂(1−cos 2x) Carré

cosx= e^ix+e^−ix 2 sinx=e^ix−e^−ix

2i Cas général : formules d’Euler

Exemple : linéarisation desin³x

sinx= exp(ix)−exp(−ix) 2i

⇒sin³x=

e^ix−e^−ix 2i

³

⇔sin³x=−1

8i e^3ix−e^−3ix−3e^ix+ 3e^−ix

⇔sin³x= 1

4(3 sinx−sin 3x)

cos(−x) = cosx sin(−x) =−sinx cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx cos(π−x) =−cosx sin(π−x) = sinx cos(^π₂+x) =−sinx sin(^π₂ +x) = cosx cos(^π₂−x) = sinx sin(^π₂ −x) = cosx Variations usuelles d’angle

Pour retrouver géométriquement ces relations : lecercle trigonométrique.

1 1

-1

-1

co s sin

x x + π/2

Exemple :il est clair quecos(^π₂+x) =−sinxet quesin(^π₂+x) = cosx.

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