Partie 2 – Dynamique (9 points) Partie 1 – Cours (5 points)

Année universitaire 2017-2018 PS20 – Mécanique du point - Final

Vendredi 19 janvier 2018

Durée : 2h00

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NOM : Prénom :

a) Représenter la réaction 𝑅⃗ totale du support dans le cas de la présence de forces de frottement :

b) 1 Newton =

 𝟏 𝒌𝒈. 𝒎. 𝒔^−𝟏  𝟏 𝒌𝒈. 𝒎. 𝒔^−𝟐

 𝟏 𝒌𝒈. 𝒎^−𝟏. 𝒔^−𝟐  𝟏 𝒌𝒈. 𝒎^−𝟐. 𝒔^−𝟏 c) Energie potentielle d’un ressort :

 𝑬_𝒑(𝑴) =^𝟏

𝟐𝒌. 𝒙  𝑬_𝒑(𝑴) = 𝒌. 𝜟𝒙

 𝑬_𝒑(𝑴) = 𝒌. 𝒈. 𝜟𝒙  𝑬_𝒑(𝑴) =^𝟏

𝟐𝒌. 𝜟𝒙² d) Théorème des puissances cinétiques :

 ∑ 𝑷(𝑭⃗⃗ ) =^{𝒅𝑬𝒄(𝑴)}

𝒅𝒕  ∑ 𝑷(𝑭⃗⃗ ) =^{𝒅²𝑬𝒄(𝑴)}

𝒅𝒕²

 𝜟𝑷(𝑭⃗⃗ ) =^{𝒅𝑬𝒄(𝑴)}

𝒅𝒕  ∫ 𝑷(𝑭⃗⃗ )𝒅𝒕 =^{𝒅𝑬𝒄(𝑴)}

𝒅𝒕

e) Enoncer la 3^ème loi de Newton :

………

………

I

- Une bille assimilable à un point matériel B de masse m est relié par deux fils f1 et f2 de masse négligeable à deux points A et C d’un axe (Δ) : (AB)=(BC)=l et (AC)=a. La bille B tourne à la vitesse angulaire ω constante autour de l’axe (Δ) ; les fils restent constamment tendus.

1) En utilisant l’axe e⃗⃗⃗ du repère cartésien, exprimer la tension du fil 2 en fonction de _z celle du fil 1, m, g, l et a

2) En utilisant l’axe e⃗⃗⃗⃗ du repère intrinsèque, exprimer la tension du fil 2 en fonction de N

celle du fil 1, m, ω et l

3) Calculer les 2 tensions des fils

Données : m = 0,6 kg ; l = 0,7 m ; a = 1 m ; g = 9,8 m.s^-2 ; ω = 8 rad.s^-1

Partie 2 – Dynamique (9 points) Partie 1 – Cours (5 points)

bonne réponse 1 point – mauvaise réponse -0,5 point

II

- Un sauteur à l’élastique modélisé par un point matériel M, de masse m, s’élance depuis un pont en un point A avec un élastique accroché aux pieds.

Pendant les 20 premiers mètres de chute jusqu’en B, le sauteur est en chute libre, l’élastique n’étant pas tendu. A partir de B, l’action de l’élastique est modélisable par un ressort de masse négligeable de longueur à vide l0 et de raideur k. On suppose le repère galiléen R(O,𝑒⃗⃗⃗⃗ , _𝑥 𝑒⃗⃗⃗⃗ , _𝑦 𝑒⃗⃗⃗ ). On néglige les _𝑧 frottements.

1) Etablir l’équation de la trajectoire z(t) entre A et B 2) Déterminer alors la vitesse v_B du sauteur en B.

3) Etablir l’équation différentielle en 𝑧̈ décrivant la trajectoire à partir de B 4) La solution est : z(t) =^mg_k + √(^mg_k )²+ (_ω^vB

0²)² cos(ωt) avec v_B la vitesse en B et ω₀²=_m^k. En déduire la hauteur maximale de chute depuis A

Données : l0 = 20 m, m = 70 kg, k = 120 N.m^-1.

III

- Soit un point matériel M(m) se déplaçant sans frottement sur un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale. On suppose que le champ de pesanteur est uniforme (𝑔 = 𝑐𝑡𝑒⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). On suppose le repère galiléen R(O,𝑒⃗⃗⃗⃗ , 𝑒_𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ). Sachant que 𝑷(𝑭_𝑦 ⃗⃗ ) = 𝑭⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ (𝑴)

1) Déterminer les puissances des forces appliquées en M.

IV

- On étudie un convoyeur de colis dans un centre de tri. Le premier tapis avance à la vitesse 𝑣₁0,5 m.s^-1 jusqu’à une rampe inclinée (A) où les colis glissent sur une pente avec un angle α par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement présent sur la pente est f = 0,4. En bas de la pente, un autre tapis avance à la vitesse 𝑣₂ de 0,2 m.s^-1. L’ensemble fonctionne correctement si le colis arrive sur le second tapis avec une vitesse identique à celui-ci. La différence de hauteur h entre les deux tapis est de 2 m. On suppose le repère galiléen R(O,𝑒⃗⃗⃗⃗ , 𝑒_𝑥 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑒_𝑦 ⃗⃗⃗ ). _𝑧

1) Exprimer les énergies en A et B

2) Exprimer les travaux des forces intervenantes entre A et B 3) Exprimer puis calculer l’angle α pour que l’ensemble fonctionne

V

- On considère un pendule simple composé d’un fil inextensible de masse négligeable de longueur l=OM, suspendu en O, au bout duquel est suspendue une masse m assimilée à un point matériel M(m). On écarte M d’un angle 𝜃0 et on le lâche sans vitesse initiale à t=0. Au cours de sa trajectoire le fil fait un angle 𝜃 avec .On va travailler dans un repère R(O,𝑒⃗⃗⃗ , _𝑟 𝑒_𝜃

⃗⃗⃗⃗ , 𝑒⃗⃗⃗ ). On néglige les frottements et l’accélération de pesanteur est _𝑧 constante.

1) Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

2) Quelle sera la vitesse au passage à la verticale ?

Partie 4 - Au choix (5 points)

Partie 3 – Energétique (6 points)