Exercices résolus de mathématiques.
TRI 28
EXTRI280-EXTRI289
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Septembre 09
EXTRI280 – EPL, UCL, Louvain, septembre 09
Etant donné un triangle isocèle avec base 2 mètres et l'angle connu, on y insère un cercle de rayon maximal comme ci-dessous
ABC a A
R
A
C B
c b
a
1) Donnez le rayon du cercle inscrit en fonction de l'angle . Calculez ce rayon à 0.1 m près, pour 35 .
On place ensuite un deuxième cercle de rayon maximal au-dessus du premier.
Indiquez-le sur le
R A
A
r
croquis.
2) Donnez le rayon du cercle inscrit en fonction de . Calculez ce rayon à 0.1 m près, pour 25
3) Donnez le rapport des surfaces des deux cercles en fonction du demi angle . 2 Pour quelle val
r A
A
A
eur de la surface du grand cercle est -elle le double de la surface du 2
petit cercle? Calculer cet angle à 0.1° près.
2
Indiquez les paramètres intermèdiaires utilisé sur votre croquis.
A
A
A
C B
c b
a
Q
O O’
R r
Q’
P
1) Le centre du cercle inscrit au triangle est déterminé par les bissetrices des angles et . De abaissons les perpendiculaires sur et . Ce qui détermine quoi les points et .
rectangle
O ABC
B C O AB CB
Q P
1 2
(Car 1)
2 2
tan tan
2 2
rectangle
sin sin
2 2
or 1
tan sin
2 2
1 sin cos cos
2 2 2
sin sin 1 sin
2 2 2
Si 35 0.73
PB CB
OPB AP PB
A A
OQ R
AOQ AO
A A
R AP AO AP OQ R
A A
A A A
R R
A A A
A R m
2) ' ' 2 1
sin tan
2 2
1 sin 1 sin cos cos
2 1 2 2 2 2 2
sin tan sin sin 1 sin
2 2 2 2 2
1 sin 2 sin 2
AO OO OP OP r r R
A A
A A A A
r R r
A A A A A
A r
A
cos . 1 sin 2 cos sin
2 2 2 2
sin 2
A A A A
A
2 2
1 sin 2
cos 1 sin
cos cos sin 2 2
2 2 2
1 sin 1 sin
2 2
A
A A
A A A
r r
A A
2 2
2
cos 1 sin
cos 2 2 2
3) Il faut donc : 2 2. 2
1 sin 1 sin
2 2
:1 sin 0 sin 1 270 540 Ce qui n'est pas envisageable
2 2 2
Eliminons le cas : cos 0 90 180 un triangl
2 2
A A
A
R r R r
A A
A A A
CE A
A A
A
e plat.
L'équation se simplifie alors :
1 sin 2 1 sin sin 2 1 9.87 19.76
2 2 2 2 1 2
A A A A
A
Le 3 aout 09
EXTRI281 – FACSA, ULG, Liège, septembre 09
Montrer que dans un triangle quelconque , on a toujours
cot cot cot cot cot cot 1
ABC
A B B C C A
Nous reprenons la s olution proposée par l’université :
http://www.ingveh.ulg.ac.be/fr/Examen_Admission/TrigoSolSept2009.pdf
Multiplions cette relation par sin sin sin . Il vient
cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 0
sin cos cos sin 0
sin 0
Evident puisque
A B C
A B C B C A C A B A B C
A B C B C A B C C B
A B C A B C
A B C A
B C
20 octobre 2009
EXTRI282 – EPL, UCL, Louvain, septembre 10.
2
Déterminez les valeurs des paramètres , et telles que l'équation .sin sin .cos
2 soit égale à
sin 0.5sin 3
Donnez les racines de et les valeurs de pour lesquelles 0 da a b c
f x a b x x c x
g x x x
g x x g x
ns l'intervalle 0, 2
Solution proposée par Nicole BERCKMANS
2
2 3 2
1) .sin sin .cos sin 1 sin 3
2 2
On développe en sin , on obtient :
2 sin 2 sin 1 .sin 0
2
D'où : 2, 0, 1 .
2
On aurait pu ausi poser : , , ,....
2 2 4
2) sin 1 sin 3 0 2
2
a b x x c x x x
x
b x ab x a c x
b a c
x
g x x x g x
3
2
2
2 sin 3sin 4 sin 0
2 sin 4 sin 1 0
On construit le tableau de signe :
0 / 6 5 / 6 7 / 6 11 / 6 2
sin 0 0 0
4 sin 1 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
Les racines de sont | |
6 sur
x x x
g x x x
x x g x
g x k k k k
g x
0, 2 si
5 7 11
0 , , , 2
6 6 6 6
x
Le 7 septembre 2010
EXTRI283 – FACSA, ULG, Liège, septembre 09.
Soit une tour dont le pied est inaccessible, mais dans le même plan horizontal que les pieds d'un observateur. L'oeil de ce dernier se trouve à 1.5 m du sol.
A une distance de la tour, l'observate h
AD ur en voit le sommet sous un angle 24 36 '
par rapport à l'horizontale. Aprsè s'être rapproché de 32 m de la tour, l'observateur la voit sous un angle 40 12 ' par rapport à l'horizontale. Quelle est l
a hauteur de la tour?
h 1.5 m 32 m
B
A C D
Nous reprenons la s olution proposée par l’université :
http://www.ingveh.ulg.ac.be/fr/Examen_Admission/TrigoSolSept2009.pdf
Solution 1
Soit le point de la tour situé à 1.50 m du sol, et soit son sommet. Soit le premier point d'observation, et soit le second. On a évidemment :
sin Dans le triangle , l'angle
A B D
C AB BC
BCD C
vérifie 15 36 '
La relation des sinus donne : soit sin
sin sin sin
Il vient donc
sin sin
31.9768 m sin
Et la hauteur de la tour est
1.5 m 31.9768 m 33.4728 m BD
BC CD
BC CD
AB CD
h
Solution 2
On considère les triangles rectangles et et on trouve : tan
et
tan 32 tan
En égalant la valeur de , on déduit la valeur de puisque tous les autres paramètres sont conn
ACB ADB AB AC
AB AD AC
AB AC
us :
tan 32 tan
32 tan
37.8347 m tan tan
Il vient
32 tan 31.9728 m 1.5 33.4728 m
AB AC AC
AC AC
AB AC h AB
Le 25 octobre 09
EXTRI284 – Polytech, UMONS, Mons – Septembre 2005
Démontrer que la relation suivante est vérifiée:
1 sin cos 2 2 cos cos
2 4 2
x x
x x
2
2
1 sin cos 2 2 cos cos
2 4 2
Or 1 cos 2 cos et sin 2 sin cos
2 2 2
Donc 1 sin cos 2 cos 2 sin cos
2 2 2
2 cos cos sin
2 2 2
Pour que l'identité de départ soit vérifiée, il suffit maintenant de mon
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
trer que :
cos sin 2 cos
2 2 4 2
En effet : 2 cos 2 cos cos sin sin
4 2 4 2 4 2
2 2
2 cos sin
2 2 2 2
cos sin
2 2
x x x
x x x
x x
x x
Le 26 décembre 09
EXTRI285 – Polytech, UMONS, Mons – Septembre 2005
Résoudre l'équation trigonométrique suivante :
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
2cos sin 2 x x sin 3 x 3sin 2 x
2 2
2
2
sin 2 cos cos2 sin 2sin cos 2cos
21 2sin cos
2 cos sin 2 sin 3 3sin 2 3cos sin 2 cos 2 sin 3 sin 2
sin 6 cos 2 cos 1 6 cos 0 sin 8 cos 6 cos 1 0
1er cas : sin 0 180
2ème cas : 8 cos 6 cos 1 0
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x k
x x
6 36 32 6 2 17
cos 16 16
6 2 17
cos 0.89 27.1 .360
16 6 2 17
cos 0.14 98.1 .360
16
x
x x k
x x k
Le 26 décembre 09
EXTRI286 – Polytech, UMONS, Mons – Septembre 2005
Un système motorisé se déplace, au ras du sol, en direction d'une tour de hauteur inconnue.
A une certaine distance de la tour, il voit le sommet de celle-ci sous un angle de 15° par rapport à l'horizontale. Après avoir parcouru 300 m. Il voit le sommet de la tour sous un angle de 35° par rapport à l'horizontale. Déterminer la hauteur de la tour ainsi que les distances entre le système et le sommet de la tour aux deux points de mesure.
1 2
Appelons , la hauteur de la tour et , , les distances entre le système et le sommet de celle-ci aux deux points de mesure. La somme des angles d'un triangle valant 180°, il est possible au départ d
h l l
es données du problème (Fig a) , de déduire les valeurs des différents angles (Fig b).
Tour h
300 m C B
A T
l 2
I 1
35° 15°
(a)
C Tour
h
300 m
B A
T
l 2
I 1
35° 15°
(b)
145°
55°
75°
20°
1
1
1
300 sin15
Dans le triangle , on peut écrire : 300 227.02 m.
sin15 sin 20 sin 20
Dans le triangle , on a : cos 55 130, 21 m.
TBC l l
TAB h l
Le 26 décembre 09
EXTRI287 – FACSA, ULB, Bruxelles – septembre 2009
Démontrer que 3
sin 20 sin 40 sin 60 sin80
16
Solution proposée par Steve Tumson
sin(20 ) sin(40 ) sin(60 ) sin(80 ) 3 sin(20 ) sin(40 ) sin(80 ) 2
sin(80 ) cos(10 )
1 1 1
sin(20 ) sin(40 ) cos(20 ) cos(60 ) cos(20 )
2 2 2
3 3 1
sin(20 ) sin(40 ) sin(80 ) cos(20 ) cos(10 )
2 4 2
3 2 cos(
8
20 ) cos(10 ) cos(10 ) 3 cos(30 ) cos(10 ) cos(10 )
8
3 3
cos(30 )
8 16
Mai 2009
EXTRI288 – FACSA, ULB, Bruxelles – septembre 2009
2 2
Résoudre dans l'équation :
sin x 3cos x sin x 3cos x
Solution proposée par Steve Tumson
2 2
2 2 2
2
sin 3cos sin 3cos
sin cos 2 cos sin 3cos
1 2 cos sin 3cos
Le coefficient 3 devant le cosinus empêche pas mal de possibilités de transformation de cette équation. Il est aussi difficile
x x x x
x x x x x
x x x
de ne ramener l'équation qu'en termes uniquement composés de sinus ou de cosinus.
Pour travailler avec une base commune, on choisit de travailler en base tan . 2 Condition : cos 0
2 2 2
t x
x x
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
4 3 2
2 0
2
1 2 1
1 2 3
1 1 1
1 2 1 2 1 3 1 1 0
3 0
1 3 2 1 0
tan 0 2
2 2
tan 1 2
2 2 4 2
k x k k
t t t
t t t
t t t t t t
t t t t
t t t t
x x
t k x k k
x x
t k x k k
EXTRI289 – Polytechnique, ERM, Bruxelles, Juillet 2010
Déterminer les angles d'un triangle ABC sachant que A 3 et que B BC 2 AC . Solution proposée par Benoit Baudelet
En utilisant les notations classiques, on a grâce à la règle des sinus
sin sin sin
a b c
3 3
