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Université de Caen 2

e

semestre 2006-2007

UFR de Sciences Mathématiques

L2 MASS Analyse

Feuille n o 7

Exercice 1. Calculer les matrices hessiennes des applications suivantes, dénies sur R

2

ou R

3

: f (x, y) = ln(1 + x

2

+ y

2

), g(x, y, z) = x

2

+ 3y

2

− z

2

+ 2xy − 5yz, h(x, y) = x

3

y

2

+ cos(xy).

Que peut-on remarquer sur ces exemples ? Démontrer que c'est un fait général.

Exercice 2. Montrer que les fonctions suivantes sont harmoniques : f : R

∗

× R → R , (x, y) 7→ arctan y

x ,

g : R

2

\ {(a, b)} → R , (x, y) 7→ ln((x − a)

2

+ (y − b)

2

).

Exercice 3. Soit u : R

∗

× ]0, 2π[ → R

2

la fonction dénie par u(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) . Soit f : R

2

→ R une application de classe C

2

et posons F = f ◦ u .

a. Montrer que F est de classe C

2

et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de f . b. Exprimer ∂f

∂x (r cos θ, r sin θ) et ∂f

∂y (r cos θ, r sin θ) en fonction de ∂F

∂r , ∂F

∂θ , r et θ . c. Établir l'expression suivante du laplacien en coordonnées polaires :

(∆f )(r cos θ, r sin θ) = ∂

2

F

∂r

2

(r, θ) + 1 r

∂F

∂r (r, θ) + 1 r

2

∂

2

F

∂θ

2

(r, θ).

d. On prend f(x, y) = x

2

− y

2

. Montrer que f est harmonique. Que vaut F dans ce cas ?

e. Montrer plus généralement et directement que les fonctions F (r, θ) = r

k

cos(kθ) des coordonnées polaires (r, θ) sont harmoniques, pour tout k ∈ Z.

Exercice 4. Soit g : R

2

→ R une application de classe C

2

et soit f : R

2

→ R

2

l'application dénie par f (x, y) = (x

2

+ y

2

, xy) pour tout (x, y) ∈ R

2

.

Montrer que g ◦ f est de classe C

2

sur R

2

et calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de g ◦ f en fonction des dérivées partielles de g .

Exercice 5. Soit f : R

2

→ R l'application dénie par

f (x, y) =

xy(x

2

− y

2

)

x

2

+ y

2

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

a. Montrer que f est de classe C

1

sur R

2

et C

2

sur R

2

\ {(0, 0)} . b. Montrer que ∂

2

f

∂x∂y (0, 0) et ∂

2

f

∂y∂x (0, 0) existent et les calculer.

c. f est-elle de classe C

2

sur R

2

?

Exercice 6. Soit f : R

2

→ R l'application dénie par

f (x, y) =

(x

2

− y

2

)

2

x

2

+ y

2

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

a. Montrer que f est de classe C

1

sur R

2

. b. Calculer ∂

2

f

∂x∂y sur R

2

et en déduire que f n'est pas de classe C

2

sur R

2

.

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