UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2010.
LM 372. 3 juin 2010. Examen.
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits.
Exercice 1.
- Soient p1, ..., pr ∈Z des nombres premiers deux `a deux distincts.
1) Montrez queS ={n∈Z, tel quen /∈ ∪r1piZ}est une partie multiplicativement stable deZ 2) Montrez qu’un ´el´ement m/s∈S−1Z est inversible dansS−1Zsi et seulement sim∈S.
On se place `a partir de maintenant dans la situationS ={n∈Z, tel quen /∈3Z∪5Z∪7Z} 3) Montrez que tout ´el´ement deS−1Za une d´ecomposition unique de la forme (3/1)a(5/1)b(7/1)cu, o`ua, b, c sont des entiers positifs ou nuls et uun ´el´ement inversible de S−1Z
4) Montrez que 3/1,5/1 et 7/1 sont des ´el´ements irr´eductibles de l’anneau principalS−1Z(rappelez ce qu’est un ´el´ement irr´eductible dans un anneau int`egre).
5) Montrez que (3/1)S−1Z, (5/1)S−1Zet (7/1)S−1Z sont les seuls id´eaux maximaux de S−1Z. D´eduisez en que (a, b, c) → (3/1)a(5/1)b(7/1)cS−1Z est une bijection entre N3 et l’ensemble des id´eaux non nuls de S−1Z
Exercice 2.
D´ecrivez, `a isomorphisme pr`es, tous lesC[X]-modules de longueur 4 et annul´es par (X2−1)X3. Exercice 3.
Soit E un C-espace vectoriel de rang (dimension) 3.
On se donne une base (e1, e2, e3) de E et un endomorphismeu de E, d´efini par u(e1) = 5e1+ 2e2−2e3,
u(e2) = 8e1+ 5e2−4e3, u(e2) = 20e1+ 10e2−9e3.
1) Calculez le polynˆome caract´eristique de u.
2) D´eterminez le polynˆome minimal deu.
3) Donnez les facteurs invariants deu.
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