I.Approcheexpérimentale INTERFÉRENCES

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PCSI1 Lycée Michelet

INTERFÉRENCES

On a observé dans le chapitre précédent la superposition de deux ondes progressives sinusoï- dales de même amplitude se propageant dans des directions opposées. Il apparaît des points où la vibration est toujours nulle (nœuds de vibration). En ces points les deux ondes ont toujours des valeurs opposées et s’annulent mutuellement. On a vu, qu’en milieu limité, des modes propres d’ondes stationnaires pouvaient apparaître, correspondant à des fréquences détermi- nées, liées directement à la nature des conditions aux limites spatiales du milieu.

On va de nouveau dans ce chapitre, envisager la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales, mais en se plaçant désormais à deux voire à trois dimensions et sans considérer le milieu de propagation limité (on n’observera donc plus de quantification des fréquences). On va utiliser des sources cohérentes : elles ont même pulsation et leur déphasage est constant.

On observe alors des zones où l’amplitude du signal est maximale qui alternent avec des zones où l’amplitude est minimale. C’est le phénomène d’interférence.

Vous l’avez rencontré en terminale, en particulier en optique, mais c’est un comportement commun à toutes les ondes.

I. Approche expérimentale

Cuve à onde

– Une lampe éclaire un plan d’eau excité par un ou plusieurs vibreurs. Un miroir, incliné à 45^◦ permet de rabattre l’image sur un plan vertical.

– On expliquera dans le cours d’optique les propriétés suivantes, liées à la réfraction des rayons lumineux :

• les crêtes correspondent aux zones les plus brillantes

• les creux correspondent aux zones les plus sombres

Lorsqu’un seul vibreur fonctionne on observe une alter- nance de cercles sombres et brillants centrés sur la source et qui s’en éloignent à la vitesse c(cf ex5 du TD sur les ondes progressives).

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/cuve_ondes/propagation_

onde_circulaire.php

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Quand on actionne les deux vibreurs, les ondes émises par les deux sources se superposent on dit qu’elles in- terfèrent.

On observe des lignes d’amplitudes maximales (lignes blanches) où alternent des zones sombres et brillantes avec un contraste maximal et qui se déplacent le long de cette ligne au cours du temps et des lignes de contraste quasi-nul (uniformément grises, représentées par une ligne noire) sur lesquelles la vibration est nulle quel que soitt. Ces lignes sont appeléesfranges d’interférence.

Quand on augmente la fréquence (λdiminue), le nombre de franges augmente.

Le but de ce cours est d’expliquer de manière quantitative ce phénomène.

Le phénomène d’interférence se produit pour d’autres types d’onde : ondes acoustiques, ondes électromagnétiques avec le cas particulier des ondes lumineuses (vu en TS).

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/cuve_ondes/interference_

ondes_circulaires.html

Pour voir une réalisation directe des interférences à la surface d’une mare :

https://www.youtube.com/watch?v=Iuv6hY6zsd0&t=331s&ab_channel=Veritasium#t=4m46s

II. Superposition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence

1. Rappel : additivité des signaux

Les équations régissant la propagation des ondes étant linéaires, on peut additionner les signaux associés. C’est ce qu’on appelle le théorème de superposition.

Remarque :Lorsque l’amplitude des signaux devient importante, on sort du domaine linéaire, le théorème de superposition n’est plus applicable.

2. Interférences à deux ondes

On assimile les émetteurs à des sources ponctuelles E₁ et E₂ qui émettent des signaux si- nusoïdaux de même pulsation et de déphasage constant : on dit que les sources sont cohérentes.

On note s_E₁(t) et s_E₂(t)les signaux émis respectivement en E₁ et en E₂. Ils peuvent s’écrire sous la forme :

s_E₁(t) = a₁cos(ωt+ϕ_S₁) ets_E₂(t) =a₂cos(ωt+ϕ_S₂) les sources étantcohérentes, leur déphasage est constant :

∆ϕ_S =ϕ_S₂ −ϕ_S₁ =Cte

Remarque : dans de nombreux cas, les signaux ont même amplitude (a₁ = a₂) et sont en phase.

Si les deux sources sont en phase :ϕ_S₂ =ϕ_S₁, ∆ϕ_S = 0.

On dit alors que les sources sont synchrones.

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En un point M situé respectivement à la distance r₁ deE₁ (r₁ =E₁M) et à la distance r₂ de E₂ (r₂ =E₂M), les signaux sont :

s₁(M, t) =s_E₁ t−r₁

c

=a₁cos

ω(t− r₁

c) +ϕ_S₁

=a1cos(ωt− ω

cr1+ϕS1)

=a₁cos(ωt−kr₁+ϕ_S₁)

=a₁cos(ωt+ϕ₁) de même

s₂(M, t) =s_E₂ t−r₂

c

=a₂cos

ω(t− r₂

c) +ϕ_S₂

=a₂cos(ωt− ω

cr₂+ϕ_S₂)

=a₂cos(ωt−kr₂+ϕ_S₂)

=a₂cos(ωt+ϕ₂) avec ϕ1 =ϕS1 −kr1 et ϕ2 =ϕS2 −kr2.

D’après le théorème de superposition, le signal résultant sera de la forme s(M, t) = s₁(M, t) +s₂(M, t) =a₁cos(ωt+ϕ₁) +a₂cos(ωt+ϕ₂)

On constate qu’on est amené à sommer deux signaux sinusoïdaux de même pulsation, mais a priori d’amplitudes et de phases différentes.

3. Visualisation de l’addition de deux signaux sinusoïdaux

On visualise s(t) =s1(t) +s2(t) =a1cos(ωt+ϕ1) +a2cos(ωt+ϕ2).

On peut utiliser le lien suivant pour visualiser s(t) : on peut faire varier ϕ₁, ϕ₂ ainsi que les amplitude a₁ et a₂.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/somme.

html

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On constate les propriétés suivantes :

• La somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation ω est un signal sinusoïdal de pulsation identiqueω.

• L’amplitude du signal obtenu dépend uniquement de la différence de phase∆ϕ= ϕ₂−ϕ₁ entre les deux signaux.

• La somme de deux signaux présente une amplitude maximale a_max lorsque les deux signaux sont en phase :

pour∆ϕ= 0 (modulo2π), ϕ₂ =ϕ₁ (modulo2π) a_max =a₁+a₂

• La somme de deux signaux présente une amplitude minimale a_min lorsqu’ils sont en opposition de phase :

pour∆ϕ=π (modulo 2π) ϕ₂ =ϕ₁+π (modulo2π) a_min =|a₁−a₂| Pour des signaux de même amplitude (a₁ =a₂ =a) :a_max= 2a eta_min = 0.

On a représenté ci-dessous en rouge le signal s(t) correspondant Addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquenceà l’addition des deux signaux s₁(t)et s₂(t) respectivement en bleu et en vert, pour différentes valeur de ∆ϕ.

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4. Addition de deux fonctions sinusoïdales par la méthode de Fres- nel

Physicien français (1788-1827).

Augustin Fresnel ainsi que le physicien Louis Arago ont défendu le modèle ondulatoire de la lumière en s’ap- puyant sur des expériences de diffraction et d’interfé- rence.

Il est également très connu pour avoir inventé les lentilles, dites "lentilles de Fresnel" qui équipent tous les phares.

On a vu en début d’année que la projection d’un mouvement circulaire uniforme sur un des diamètre du cercle correspondait à un mouvement harmonique. Ce rappel permet d’introduire la méthode de Fresnel.

À toute fonction sinusoïdale s(t) =a₀cos(ωt+ϕ) on associe le vecteur −→

S du plan (x0y) tel que – k−→

Sk=a0

la norme de−→

S correspond à l’amplitude du signal – (~e_x,−→

S) = ωt+ϕ

−

→S est donc un vecteur tournant à la vitesse angulaire constante ω. ϕ est l’angle entre~e_x et −→ S à t= 0.

s(t) se déduit de −→

S par projection sur l’axe~e_x :s(t) =−→

S .~e_x =a₀cos(ωt+ϕ)

Remarque : pour représenter la fonctiona₀sin(ωt+ϕ), on utiliserait le même vecteur−→ S, mais on le projetterait sur~e_y.

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Appliquons cette méthode à l’addition de nos deux signaux sinusoïdauxs₁ets₂, de même pulsation, tels que

s₁ =a₁cos(ωt+ϕ₁) est représenté par −→ S₁ s₂ =a₂cos(ωt+ϕ₂) est représenté par −→

S₂ s(t) = s1+s2 est représenté par −→

S =−→ S1+−→

S2

Le vecteur−→

S tourne également à la vitesse angulaireω. L’ensemble des trois vecteurs tourne donc en bloc à la même vitesse angulaire ω.

Sur l’animation suivante, on peut visualiser la somme de deux signaux sinusoïdaux, via la construction de Fresnels. Le signal résultant est en rouge et les deux signaux que l’on ad- ditionne sont en vert et bleu : On peut faire varier le déphasage ainsi que les amplitudes respectives des deux signaux.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/repfresn.

html

On retrouve les propriétes énoncées précédemment : lorsque les signaux sont en phase l’amplitude du signal résultant est maximale (amax =a1+a2) et lorsque les deux signaux sont en opposition de phase l’amplitude du signal résultant est minimale a_min =|a₁−a₂|.

5. Calcul de l’amplitude résultante

En utilisant le schéma précédent, on peut calculer la norme a du vecteur −→ S = −→

S₁ +−→ S₂, correspondant à l’amplitude du signal résultant.

k−→

Sk² =k−→ S₁+−→

S₂k² = (−→ S₁+−→

S₂)² =−→ S²₁+−→

S²₂+ 2−→ S₁.−→

S₂

=k−→

S1k²+k−→

S2k²+ 2k−→ S1kk−→

S2kcos ∆ϕ a² =a²₁+a²₂+ 2a₁a₂cos ∆ϕ avec ∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁

a= q

a²₁+a²₂+ 2a₁a₂cos ∆ϕ avec∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁

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L’amplitude est maximale lorsque cos ∆ϕ = 1,

∆ϕ= p2π avecp∈Z, les signaux sont en phase : a_max =

q

a²₁+a²₂ + 2a₁a₂ =a₁ +a₂

L’amplitude est minimale lorsque cos ∆ϕ = −1,

∆ϕ= π+p2π les signaux sont en opposition de phase : a_min =

q

a²₁+a²₂−2a₁a₂ =|a₁−a₂|

On retrouve que pour deux signaux de même amplitude a : a_max = 2a et a_min = 0.

III. Figure d’interférence

1. Interférences constructives - Interférences destructives

Reprenons l’étude des interférences produites par deux sources émettant respectivement des signaux :

s_E₁(t) = a₁cos(ωt+ϕ_S₁) ets_E₂(t) =a₂cos(ωt+ϕ_S₂) On a établi les expressions des deux signaux en M :

s₁(M, t) = a₁cos(ωt−kr₁+ϕ_S₁) =a₁cos(ωt+ϕ₁) s₂(M, t) = a₂cos(ωt−kr₂+ϕ_S₂) =a₂cos(ωt+ϕ₂)

avec ϕ₁ = −kr₁ +ϕ_S₁ et ϕ₂ = −kr₂ +ϕ_S₂. On en déduit le déphasage ∆ϕ entre les deux signaux :

∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ =k(r₁−r₂) +ϕ_S₂ −ϕ_S₁ = 2π

λ (r₁−r₂) + ∆ϕ_S

Le déphasage∆ϕdépend der₁ etr₂ et donc de la position du point M considéré par rapport aux sources. L’amplitude du signal résultant dépend donc du point où on se place.

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Condition d’amplitude maximale : interférence constructives

Pour obtenir une amplitude maximalea_max, les deux vibrations doivent être en phase. On dit que les ondes interfèrent constructivement. On a alors

∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ =p2π avecp∈Z aveca_max=a₁+a₂

Condition d’amplitude minimale : interférence destructives

Pour obtenir une amplitude minimale a_min, les deux vibrations doivent être en opposition de phase. On dit que les ondes interfèrent destructivement. On a alors :

∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ =π+p2π avecp∈Z aveca_min =|a₁−a₂|

2. Cas particulier de deux sources synchrones

On va supposer les deux sources synchrones : elles vibrent en phase c’est-à-dire

∆ϕS = ϕS2 − ϕS1 = 0.

Dans ce cas, le déphasage enM entre les deux signaux est uniquement dû à la différence entre les longueurs E₁M =r₁ etE₂M =r₂.

Pour deux sources synchrones :∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ =k(r₁−r₂) = 2π

λ (r₁−r₂) La condition d’interférences constructives se traduit alors par :

∆ϕ= 2π

λ (r₁−r₂) = p2π avecp∈Z r₁−r₂ =p λ avec p∈Z Remarque : p = r₁−r₂

λ est appelé l’ordre d’interférence. Pour des sources synchrones les interférences sont constructives pour p∈Z.

La condition d’interférences destructives se traduit par :

∆ϕ= 2π

λ (r₁−r₂) = π+p2π avec p∈Z r₁−r₂ = λ

2 +p λ avecp∈Z Pour deux sources synchrones :

— interférences constructives pourr1−r2 =p λ avecp∈Z

— interférences destructives pour r₁−r₂ = ^λ₂ +p λ avecp∈Z

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Si les ondes émises sont de plus de même amplitude, les minima correspondront à une amplitude nulle.

3. Franges d’interférence.

a) Cas 2D

On a montré que, lorsque les deux sources vibrent en phase, la condition d’interférences constructives se traduit par :

r₁−r₂ =pλ Pour une valeur dep donnée, la condition donne :

E₁M −E₂M =cte (avec cte=pλ)

Remarque : mathématiquement, M décrit des hyperboles de foyers E₁ etE₂.

On peut, à l’aide d’un logiciel de calcul tracer les courbes de maximum d’intensité pour différentes valeurs dep (cf les courbes ci-dessous obtenues avec le logiciel SAGE).

Dans le cas où les deux sources sont en phase, la ligne médiatrice du segment [E₁E₂] (sur lequel r1 =r2 et doncp= 0) correspond à une ligne d’intensité maximum.

Ensuite lorsque p <0, r₁ < r₂ et lorsque p >0, r₁ > r₂

0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4

E

₂

E

₁

p =0 p =1

p =

₋

1 p =2

p =

₋

2

De manière générale, les lignes iso-amplitude sont des hyperboles intermédiaires à celles tracées

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∆ϕ= 2π

λ (r₁−r₂) = Cte r1−r2 = λ

2π∆ϕ=cte

qui correspond toujours à l’équation d’une hyperbole de foyerE1etE2 avec amax =a1+a2 .

exemple : frange d’amplitude minimale

∆ϕ= 2π

λ (r₁−r₂) =π+p2π r₁−r₂ = λ

2 +pλ

Voir l’animation sur le site suivant, qui montre l’interférence entre deux ondes de même amplitude dans une cuve à onde. On peut y visualiser les franges d’amplitude maximale (sur une même frange alternent les zones brillantes et sombres de contraste maximum) et les lignes intermédiaires où la vibration est nulle et qui apparaissent en gris.

b) Cas 3D (à titre indicatif )

En acoustique, en optique les ondes sont volumiques.

Les lieux des points où le déphasage∆ϕest constant, ne sont plus des lignes mais des surfaces iso-amplitude.

La condition d’amplitude maximale r₁−r₂ =pλ avec p∈ Z, pour deux sources synchrones, donne la condition

E₁M −E₂M =cte

qui définit des hyperboloïdes de révolution autour de l’axe E1E2.

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Exemple : en optique en plaçant un écran parallèlement à la direction E₁E₂, on obtient l’intersection d’un plan (l’écran) avec les surfaces hypoerboloïdes : cela donne des portions d’hyperboles qui apparaissent rectilignes si l’écran est de taille suffisamment faible.

Si on place un écran perpendiculairement aux sources, on observera des franges circulaires (voir interféromètre de Michelson en deuxième année).

4. Cas où les sources ne sont pas synchrones

Dans le cas où les sources ne sont pas synchrones, il faut revenir à l’expression générale de

∆ϕ.

∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ = 2π

λ (r₁−r₂) + ∆ϕ_S

Prenons le cas où les sources vibrent en opposition de phase. On peut écrire :

∆ϕ_S =ϕ_S₂ −ϕ_S₁ =π Les franges d’amplitude nulle correspondent à

∆ϕ=π+p2π avecp∈Z 2π

λ (r₁−r₂) +π =π+p2π r₁−r₂ =pλ avecp∈Z

Cette formule correspondait à la position des franges d’amplitude maximale pour deux sources synchrones : les franges d’amplitude maximale pour deux sources synchrones deviennent donc des franges d’amplitude nulle lorsque les deux sources sont en opposition de phase. En particulier, la médiatrice du segment [E₁E₂] devient une frange d’amplitude nulle.

Visualiser l’effet d’un déphasage quelconque sur l’animation :

On constate que l’introduction d’un déphasage ∆ϕ_S 6= 0 se traduit par un déplacement des franges. Dans le cas particulier où les sources vibrent en opposition de phase, il y a inversion de la position des franges.

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5. Calcul de l’interfrange (pour information)

On se place à 2 dimensions.

−−−→E₁M

D y+ ^a₂

−−−→E₂M

D y−^a₂ r₁ =k−−−→

E₁Mk= r

D²+ (y+ a 2)²

r₂ =k−−−→

E₂Mk= r

D²+ (y− a 2)² On suppose les conditions aD etyD vérifiée.

r₁ =D s

1 +

y+ ^a₂ D

2

r₂ =D s

1 +

y− ^a₂ D

2

On constate sur le graphique ci-contre que

√1 +x² '1 + x² 2 pour|x|<0.5.

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D’après nos hypothèses,

y−^a₂ D

1et

y+^a₂ D

1. On peut donc utiliser l’expression approchée de la fonction √

1 +x² :

r1 =D

"

1 + 1 2

y+^a₂ D

2#

=D

1 + 1

2D²(y² +ay+a² 4)

r₂ =D

"

1 + 1 2

y− ^a₂ D

2#

=D

1 + 1

2D²(y² −ay+a² 4)

r₁−r₂ = ay D

Supposons les sources synchrones. Dans ce cas ∆ϕ= ^2π_λ (r₁−r₂) et les franges d’amplitude maximale sont données par

r₁−r₂ =pλ p∈Z

On note y_p la position de la frange d’amplitude maximale associée à l’entier p : ay_p

D =pλ y_p =pλD a y_p+1−y_p = λD

a

Si on se déplace le long de l’axe y, l’écart entre deux franges d’amplitude maximale vaut i= λD

a , appelée interfrange.

Remarque :

– En se plaçant à 3 dimensions on retrouve le même résultat.

−−−→E₁M

D y+ ^a₂ z

−−−→E₂M

D y−^a₂ z r₁ =

r

D²+ y+ a

2 2

+z² =D s

1 +

y+ ^a₂ D

2

+z D

2

r₂ = r

D²+ y− a

2 2

+z² =D s

1 +

y− ^a₂ D

2

+z D

2

dans le cas où a D, y D et z D, un calcul identique au précédent permet de retrouver :

r₁−r₂ = ay

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– Cas particulier de l’optique :

Dispositifs de trous d’Young (ou des fentes d’Young).

Les récepteurs sont sensibles au carré de l’amplitude du signal résultant. Pour voir les interfé- rences, il faut plutôt travailler en lumière monochromatique. En lumière blanche , on observe rapidement une irisation puis un brouillage des franges (voir cours Terminale).

http://podcast.grenet.fr/episode/interferences-de-young/