2nde 2
Nom, prénom : Le sujet est à rendre avec la copie
Fonctions Exercice 1 : (8 points) à faire sur cette feuille
La représentation graphique d’une fonction définie sur est la courbe ci-dessous.
1. Compléter les phrases suivantes :
L’image de par est . . .
1 admet pour antécédent(s) . . .
Le maximum de sur l’intervalle est . . .
il est atteint en . . .
Le minimum de sur l’intervalle est . . . il est atteint en . . .
2. Dresser ci-dessous le tableau de variations de cette fonction sur l’intervalle
3. Dresser ci-dessous le tableau de signes de cette fonction sur l’intervalle
Exercice 2 : (5 points) 1. Donner par lecture
graphique l’expression de la fonction
représentée par la droite ci-contre.
2. Tracer la fonction ci- contre
3. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des
représentations graphiques de et .
Suite au verso
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Exercice 3 : (7 points)
On considère un triangle ABC isocèle rectangle en A tel que Le point F est un point quelconque du segment [AB],
La perpendiculaire à (AB) passant par F coupe la droite (BC) en E.
On veut étudier les variations de l'aire du triangle AEF en fonction de la longueur AF.
1. Justifier que l’ensemble de définition d’une telle fonction est
L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique a permis d'obtenir la courbe représentative de l'aire du triangle AEF en fonction de la longueur AF (voir ci-contre).
2. À l'aide de cette courbe,
a. Donner la position de F sur le segment [AB]
lorsque l'aire de AEF est nulle.
b. Même question sur F lorsque l'aire est maximale.
Préciser cette aire maximale.
Les propriétés géométriques de la figure permettent d'obtenir une expression de l'aire de AEF en fonction de AF.
En notant la longueur AF et l'aire du triangle AEF, on obtient :
3. Justifier cette expression.
(Astuce : commencer par exprimer la longueur EF en fonction de )
4. Calculer .
5. Prouver par le calcul que
6. En déduire par le calcul, les valeurs exactes des antécédents de 12 par la fonction
A F B
E C
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Exercice 1 : (8 points) à faire sur cette feuille
La représentation graphique d’une fonction définie sur est la courbe ci-dessous.
1.
L’image de par est
1 admet pour antécédent(s)
Le maximum de sur l’intervalle est il est atteint en
Le minimum de sur l’intervalle est il est atteint en
2. tableau de variations sur l’intervalle
3. le tableau de signes sur l’intervalle
Exercice 2 : (5 points)
1.
2. Tracer la fonction ci-contre
3.
Résolution de :
L’abscisse du point d’intersection des droites représentant et est cette solution et l’ordonnée est ou qui sont égaux et valent .
Donc les coordonnées du point d’intersection des droites représentant et sont .
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Exercice 3 : (7 points)
On considère un triangle ABC isocèle rectangle en A tel que Le point F est un point quelconque du segment [AB],
La perpendiculaire à (AB) passant par F coupe la droite (BC) en E.
On veut étudier les variations de l'aire du triangle AEF en fonction de la longueur AF.
1. l’ensemble de définition d’une telle fonction est [0 ; 12] puisque la longueur AF est comprise entre 0 et 12 cm
L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique a permis d'obtenir la courbe représentative de l'aire du triangle AEF en fonction de la longueur AF (voir ci-contre).
2. À l'aide de cette courbe,
a. Lorsque l'aire de AEF est nulle, ou , c’est-à-dire
b. L’aire maximale est
Lorsque l'aire est maximale, donc
3. On note la longueur AF et l'aire du triangle AEF.
les données de l'exercice nous donnent (EF) et (AC) toutes deux perpendiculaires à (AB) donc (EF) // (AC)
L'égalité des rapports de Thalès donne
Il s'en suit le calcul de l'aire du triangle AEF
CqFd 4.
5. On développe et réduit
( )
6. Calculer les valeurs exactes des antécédents de 12 par la fonction , revient à résoudre
donc
⇔ √ √
⇔ √ √
⇔ √ √
A F B
E C
