Exercices 38, 41 et 49 page 196 - 198

(1)

N°38 page 196 : 1)݁^ଷ௫ିଵ

݁^ସ௫ାସ = ݁^ି௫ାଶ ⇔ ݁^ଷ௫ିଵ = ݁^ି௫ାଶ× ݁^ସ௫ାସ ⇔ ݁^ଷ௫ିଵ= ݁^{ି௫ାଶାସ௫ାସ} ⇔ ݁^ଷ௫ିଵ = ݁^ଷ௫ା଺

⇔ 3ݔ − 1 = 3ݔ + 6 ⇔ −1 = 6 ∶ impossible, l^ᇱéquation n^ᇱa pas de solution.

2) ݁^ି௫ = ݁^ଶ௫ାସ× ݁^ି௫ ⇔ 1 = ݁^ଶ௫ାସ ሺon simplifie par ݁^ି௫) ⇔ ݁^଴ = ݁^ଶ௫ାସ⇔ 2ݔ + 4 = 0 ⇔ ݔ = −2 La solution est −2.

3)݁^ି௫ିଵ× ݁^ଷ௫ାହ

݁^ଶ = ݁^௫ାଵ ⇔ ݁^ି௫ିଵ× ݁^ଷ௫ାହ = ݁^௫ାଵ× ݁^ଶ ⇔ ݁^{ି௫ିଵାଷ௫ାହ} = ݁^{௫ାଵାଶ}

⇔ ݁^ଶ௫ାସ = ݁^௫ାଷ⇔ 2ݔ + 4 = ݔ + 3 ⇔ ݔ = −1 : la solution est −1.

4) ݁^ିଵ× ݁^ି௫ିଵ− ݁^ି௫ାସ = 0 ⇔ ݁^ିଵ× ݁^ି௫ିଵ= ݁^ି௫ାସ ⇔ ݁^ି௫ିଶ = ݁^ି௫ାସ ⇔ −ݔ − 2 = −ݔ + 4

⇔ −2 = 4 : impossible, l’équation n’a pas de solution.

N°41 page 196 :

1) Le point ܣ appartient à la courbe de ݂ et a pour coordonnées (0 ;3) donc ݂ሺ0) = 3. La tangente en ܤ à la courbe a une pente nulle, or B a pour abscisse 1 donc ݂^ᇱሺ1) = 0

La tangente en ܣ à la courbe a pour coefficient directeur 1 et ܣ a pour abscisse 0 donc ݂^ᇱሺ0) = 1. 2) a) ݂^ᇱሺݔ) = ሺܽݔ + ܾ)^ᇱ݁^௫+ ሺܽݔ + ܾ)ሺ݁^௫)^ᇱ+ 0 = ܽ݁^௫+ ሺܽݔ + ܾ)݁^௫ = ሺܽݔ + ܽ + ܾ)݁^௫

b) ݂ሺ0) = 3 se traduit par ሺܽ × 0 + ܾ)݁^଴+ ܿ = 3 ⇔ ܾ + ܿ = 3

݂^ᇱሺ1) = 0 se traduit par ሺܽ × 1 + ܽ + ܾ)݁^ଵ = 0 ⇔ ሺ2ܽ + ܾ)݁ = 0 ⇔ 2ܽ + ܾ = 0

݂^ᇱሺ0) = 1 se traduit par ሺܽ × 0 + ܽ + ܾ)݁^଴ = 1 ⇔ ܽ + ܾ = 1

c) Si on soustrait la 3^ème équation à la 2^ème, on obtient ܽ = −1, on en déduit que ܾ = 2, la première équation nous donne alors ܿ = 1.

Bilan : ݂ሺݔ) = ሺ−ݔ + 2)݁^௫+ 1

N°49 page 198 :

1) ݒ_ଵ଴= 9,81 ×_ଷ,ଽ^଺ × ቀ1 − ݁^ି^య,వ^ల^×ଵ଴ቁ =^ଽ଼ଵ_଺ହ ሺ1 − ݁^ି଺,ହ) ≈ 15,07 : la vitesse de la goutte 10 secondes après sa chute est d’environ 15,07 ݉. ݏ^ିଵ ce qui fait environ 54 ݇݉. ℎ^ିଵ

2) Simplifions tout d’abord l’écriture de ݒ_௡ : ݒ_௡ = 9,81 × 6

3,9 × ൬1 − ݁^ିଷ,ଽ^{଺ ×௡}൰ =981

65 ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ௡})

ܶ_௡ = ݒ_௡ାଵ− ݒ_௡ =981

65 ൫1 − ݁^{ି଴,଺ହሺ௡ାଵ)}൯ −981

65 ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ௡}) =981

65 ሺ൫1 − ݁^{ି଴,଺ହሺ௡ାଵ)}൯ − ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ௡})

=981

65 ൫݁^{ି଴,଺ହ௡}− ݁^{ି଴,଺ହሺ௡ାଵ)}൯ =981

65 ሺ݁^{ି଴,଺ହ௡}− ݁ି଴,଺ହ௡ି଴,଺ହ) =981

65 ݁^{ି଴,଺ହ௡}ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ})

ܶ_௡ାଵ =981

65 ݁^{ି଴,଺ହሺ௡ାଵ)}ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ}) =981

65 ݁^{ି଴,଺ହ}× ݁^{ି଴,଺ହ௡}ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ}) = ݁^{ି଴,଺ହ}ܶ_௡

La suite ሺܶ_௡) est donc géométrique de raison ݁^{ି଴,଺ହ} et de premier terme ܶ_଴ = ^ଽ଼ଵ_଺ହ ሺ1 − ݁^{ି଴,଺ହ} )

La raison ݁^{ି଴,଺ହ} est compris entre 0 et 1 et le premier terme ܶ_଴ est positif : ሺܶ_௡) est donc décroissante.

(2)

On utilise le menu suite de la calculatrice.

Le tableau nous donne les valeurs suivantes :

On obtient ܶ_ଵଷ≈ 0,0015 > 0,001 et ܶ_ଵସ ≈ 0,0008 < 0,001

C’est donc à partir du rang 14 (et donc au bout de 14 secondes) que la variation devient négligeable.