Manipulation et activités mathématiques

(1)

Des objets aux signes.

St Priest le 9 octobre 2019

Joël Briand

ddm.joel.briand.free.fr operation.maths.free.fr

Manipulation et activités mathématiques

à l’école maternelle.

(2)

Avertissement

• Ce document est mis à la disposition des personnes ayant assisté à l’exposé.

• Une lecture de ce document effectuée sans avoir assisté à l’exposé peut entraîner des

incompréhensions ou/et des malentendus.

• Les extraits vidéos ne sont pas inclus.

J Briand 9 octobre 2019 2

(3)

Plan

• Partie 1

– Des séances comparées : deux types de manipulations – Les débats actuels

– Qu’est ce que « faire des mathématiques »?

• Partie 2

– Jeux de société, pratiques rituelles, situations

• Partie 3

– Compter, dénombrer

• Partie4

– Types de situations

• Partie 5

– Organisation générale pour la construction du nombre – Vers le CP

• Conclusions

(4)

4

Manipuler, expérimenter : tout sauf le bricolage.

Une activité réétudiée en PS.

• Deux connaissances (faiblement) convoquées : collection et énumération : elles sont constitutives du savoir « tri ».

• Connaissances contrôlées à l’insu des élèves par le dispositif matériel. (Manipulation de type 1).

 Une activité connue... : trier des objets

J Briand 9 octobre 2019

(5)

Les effets d’une modification du milieu sur les apprentissages

• Pourquoi « compliquer » la situation ?

Trier avec des boîtes tirelires

(6)

Le « milieu » détermine l’activité.

• Milieu matériel

« faux ami »

• Milieu matériel

antagoniste : de vrais

enjeux

• (Manipulation de type 2).

6 J Briand 9 octobre 2019

Milieu : « tout ce qui agit sur l’élève et ce sur quoi l’élève agit » Document 2 000

(7)

• Le milieu matériel est le même.

• Le milieu d’apprentissage est différent.

• Scénario 1 (manipulation type 1)

: Le milieu dans lequel travaille l’élève fait que les connaissances nécessaires à mettre en œuvre pour le tri (concevoir une collection et

énumérer)

sont faiblement convoquées. (L’élève s’exerce à comprendre la règle d’un jeu.)

• Scénario 2

:

(manipulation type 2)

Le milieu est modifié. Cette fois il s’agit

du jeu. Les connaissances sont nécessaires. Le décalage entre

l’intention et la validation de l’action est intentionnellement construit.

•

Finalement, ce n’est ni le choix du contexte, ou du jeu qui fait qu’une

situation est un problème ou non, c’est le fait que les élèves aient à

développer une activité cognitive relative à la notion étudiée, ce qui

doit nous interroger sur le terme « manipulation ».

(8)

Plus tard, en CP

L’illusion entretenue de la même séquence de classe parce que le même écrit est affiché.

Mais deux formes radicalement différentes de rapport au savoir.

Deux formes différentes de rapport à l’écrit .

Même milieu de référence ; milieu d’apprentissage différent.

Validation pragmatique

Langage d’action

(9)

• Dans ces deux exemples les réponses à « mettre dans la même boite » ou à « combien il y en a dans la boîte ? » s’élaborent en s’appuyant :

• Soit sur une manipulation de type 1 : le matériel permet de comprendre la situation et d’obtenir une réponse.

• Soit sur une manipulation de type 2 : le matériel permet de comprendre la situation (éventuellement en simulant avec une manipulation de type 1) ; un travail de prévision est mis en place ; la vérification des prévisions s’effectue à l’aide du matériel soit en s’appuyant sur des savoirs, des théorèmes.

• Le matériel n’y joue donc pas les mêmes rôles.

• Seule la manipulation de type 2 engage à coup sûr une activité

mathématique.

(10)

Dans un manuel de CP : trois milieux emboités pour les moments clés

L’évocation à l’aide d’images et de textes

L’écriture formelle Le travail avec les objets

(11)

Alors, qu’est-ce que faire des mathématiques ?

• Mathématiser c’est construire un modèle (produit par un langage : i.e. « moyen d’objectiver et de développer la pensée. » ) en vue d’exercer un contrôle sur un milieu (souvent matériel en début de scolarité). Donc :

• La place et le rôle du matériel dans le moment de l’activité conditionnent la nature de celle-ci (simple manipulation ou moyen de comprendre un jeu et de valider une prévision).

• Le décalage (ou non) entre l’intention, l’action et le constat de réussite (ou d’échec) est un critère déterminant pour qualifier une situation.

• Notre métier consiste à rendre compatible cette activité intellectuelle motivante proche du jeu, avec l’acquisition des savoirs (programmes scolaires).

(12)

A l’école maternelle : constats et préalables

• Pour ce qui est des premières mathématiques, un des savoirs visés est l’acquisition des premiers nombres

• Or ces premiers nombres sont tellement présents et culturellement connus qu’il semble que leur enseignement puisse se réduire à des activités rituelles et à des exercices d’entraînement simples

• Il ne faut pas confondre activité sur les quantités et activité sur les nombres.

• La construction du nombre est celle d’un écrit ayant sa propre autonomie indépendamment du matériel.

• Les liens entre disciplines, en particulier entre mathématiques et français ne sont donc pas suffisamment explorés

• L’enjeu est de faire participer de façon agréable et motivante les élèves à des activités mieux structurées, quelquefois formelles comme le sont les jeux, qui débouchent sur une réelle activité mathématique, donc sur une entrée dans certaines formes d’écrits.

(13)

1-Mobiliser le langage dans toutes ses dimensions

Les cinq domaines d’apprentissage des programmes :

Réflexion à conduire sur les liens nécessaires pour une activité mathématique

2-Agir, s’exprimer, comprendre à travers l’activité physique

3-Agir, s’exprimer, comprendre à travers l’es activités artistiques

4-Construire les premiers outils pour structurer sa pensée

5-Explorer le monde

(14)

Vieilles idées tenaces redevenues

« innovantes »

Vu dans "sciences et santé "magazine de l'inserm oct 2011 n°4

(15)

Les neurosciences

• Elles ne prétendaient pas apporter des méthodes d’apprentissage.

• Elles attiraient l’attention sur le fait que les mathématiques ne sont pas des constructions arbitraires. Elles sont issues de l’évolution de notre cerveau dans un monde qui a des régularités intéressantes (S.Dehanne 2010). Protomathématiques dans les domaines du numérique, du spatial, des probabilités.

• Elles confirmaient que la correspondance entre nombres et espace est importante pour le développement des compétences numériques et que le nombre est le résultat d’une longue construction intellectuelle.

• Elles suggèrent donc de réhabiliter les jeux classiques, de recréer des environnements propices au numérique. Est-ce nouveau ?

• Leur omnipotence récente actuelle au sein des lieux de décision ainsi que l’absence de tout représentant des chercheurs français dans le domaine de l’apprentissage des mathématiques et du français doit nous interroger.

• « Le marketing de la gymnastique cérébrale s’affiche partout » (le Monde 12 nov 2014) A.SIRIGU Centre de neurosciences CNRS UNIV Lyon-1.

(16)

Manipulations et merchandising

• L’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire, pour des raisons diverses, s’est de moins en moins appuyé sur des manipulations d’objets pour organiser des activités.

• Or c’est par un appui sur du matériel que les élèves sont motivés.

• Mais nous venons de voir que des manipulations de type 1 n’engagent pas les élèves dans une activité cognitive.

• On est donc loin de la vieille lune : « phase concrète, phase imagée, phase abstraite »

• Or le merchandising actuel : « méthode de Singapour », « méthode Montessori », etc. laisse croire à des découvertes récentes sur les manipulations en « sacralisant le bricolage» et draine ainsi des enseignants soucieux d’améliorer leur enseignement.

• (cf : « Riposte » Meirieu page 27) Le bon produit ? au bon endroit ? –Au bon moment ? –Au bon prix ?

(17)

« Novateurs » ou/et « Rétronovateurs »

Document 2 012 (You tube)

Bel exemple d’un « effet Jourdain »

(18)

• Ne pas devenir des exécutants à qui on imposerait des procédures de plus en plus standardisées.

• Rester vigilants à l’égard de pratiques « miroirs aux alouettes » s’inscrivant dans « une veine pseudo-scientifique très en vogue actuellement, qui nous enjoint au « plaisir » et à l’« épanouissement » en combinant

aléatoirement ergonomie, neurosciences, métaphysique, sagesse orientale ou encore économie et management. »

• LAURENCE DE COCK 27 MAI 2017 Médiapart.

• S’interroger par exemple sur l’effet « Montessori » : méthode réduite à un vulgaire merchandising (cf : « Riposte » Meirieu page 27) Le bon produit ? au bon endroit ? –Au bon moment ? –Au bon prix ?

Rester professionnels, exiger une formation solide

(19)

Les mathématiques contribuent aux enjeux de l’école.

• Enjeux sociaux : à un moment donné, l’élève aura à écouter, à lire l’autre.

• Enjeux de savoirs : Construire des situations à enjeux. Le savoir visé est la solution optimale au problème posé. Les enfants y

progressent. Ils peuvent se rendre compte par eux-mêmes de leurs erreurs.

• Enjeux éthiques : engagés dans de telles situations, les élèves apprennent à savoir, à comprendre et accepter l’action d’autres élèves.

• Enjeux langagiers : la production de signes permet de concevoir un monde, de décontextualiser, de dépersonnaliser. (cf : la

secondarisation).

(20)

Partie 2

Jeux de société, rituels et situations

(21)

Place des jeux de société dans les apprentissages

« Les jeux de société c’est un moment de vivre ensemble, chacun à son tour, respecter les autres.

Cela va être des jeux sur plateaux, jeux additifs soustractifs etc. mais cela va être un travail de réinvestissement, de renforcement ou au contraire des jeux de « mise en bouche »., de préparation. Ce n’est pas une étape du cœur de l’apprentissage. »

(22)

A propos de rituels : les frises numériques

Elles sont souvent porteuses de sur-informations dont il faut étudier les effets :

-Existence du « 0 »…

-Chiffre des dizaines de couleur différente, comme si cela permettait la construction de la numération,

- « enrichie » de jeux de doigts, dominos, etc. (nous y reviendrons) - ou présentées sous forme de tableaux sans signification,

- etc.

(23)

Le calendrier

• Que signifie pour un élève : Jeudi 28 mars :

• Que c’est le 28° jour ? qu’il y a 27 jours avant… dans ce mois.

• Où a-t-on construit le dénombrement sous ses deux aspects : contrôle d’une quantité et contrôle d’une position ?

• Les pratiques sociales qui avoisinent le numérique ont leur utilité en ce

qu’elles permettent un frayage avec des signes. Elles ne remplacent

pas les situations d’apprentissage.

(24)

Partie 3

Dénombrer, compter…

(25)

Collection ,quantité, nombre.

Les collections Intuition des grandeurs Quantité

Pratiques sociales

Mieux contrôler des quantités

(Rôle du milieu familial)

Les premiers nombres,

Les premiers écrits, les premières fonctions du nombre.

Systèmes d’écriture des nombres

avant la numération.

(26)

De la comptine au dénombrement.

•

En 1991

^{En 2012}

(27)

Les programmes

• « Les activités de dénombrement doivent éviter le comptage-numérotage et faire

apparaître, lors de l’énumération de la collection, que chacun des noms de

nombres désigne la quantité qui vient d’être

formée ».

(28)

• DENOMBREMENT

• C’est la capacité à produire une collection (C2) équipotente à une collection donnée (C1) sans voir cette collection au moment où l'on produit la collection (C2).

• COMMENT DENOMBRER ?

• Par subitizing,

• En comptant, numérotant

• Ou les deux et en s’aidant d’images mentales.

• Ou en ayant maîtrisé le nombre.

.

Dénombrement

(29)

Contrôler une collection pour dénombrer : une activité simple ?

Un exemple : combien de rectangles sur cette diapositive ?

(30)

Combien de rectangles dans cette figure?

Et dans celle-ci?...

(31)

• Le comptage n’est pas le dénombrement. C’est un outil possible pour le dénombrement.

• Ce constat est très ancien. Les années 1975-2000 voient se construire un cadre théorique mieux abouti : travaux des équipes INRP, ceux de de C.Meljac, de G.Brousseau et all.),

1979 1980-2000 (thèses + publi.) 1990 (INRP-ERMEL)

Comptage-numérotage et dénombrement

(32)

La construction des premiers nombres

• Le comptage-numérotage est une pratique spontanée,

• On peut observer cette pratique comme procédure réussie de dénombrement,

• Sa manifestation ne garantit pas l’acquisition du concept de nombre.

• Elle ne signifie pas non plus que le concept de nombre n’est pas acquis !

• Comment alors faire évoluer un milieu d’apprentissage afin de passer du comptage-numérotage observé au nombre construit opérationnel.

• Nous allons voir que l’entrée dans le monde des signes joue ici un rôle déterminant.

(33)

Mise au point

1. Quelles sont les fonctions des nombres ?

• La désignation : les nombres comme simples étiquettes.

•La quantification : le dénombrement, la mesure : le nombre permet de répondre à la question « combien? » et de conserver la mémoire de la réponse.

•Le rangement et la comparaison : le nombre permet de repérer des objets les uns par rapport aux autres et donc de conserver la mémoire d’une

position.

•Le calcul : les nombres permettent de déterminer la valeur d’une mesure à partir de données, sans effectuer le mesurage effectif. Les opérations qui modélisent garantissent la validité de la mesure.

(34)

2. Comment les représenter ?

• Représentations analogiques (concrètes ou figurées)

La représentation concrète d’une collection est une autre collection d’objets concrets équipotente à la première (cailloux, gommettes).

La représentation figurée d’une collection est une collection de signes équipotente à la première (entailles, bâtons, premières traces).

Représentations langagières (écrites ou orales) : on distingue les systèmes de représentations numérales (en mots) ou numériques (en chiffres).

Numération orale, numération écrite.

Il s’agit donc de construire des situations qui favorisent cette lente genèse du signe.

Cette genèse est consubstantielle à celle du nombre.

Mise au point (2)

(35)

Partie 4

Quelles types d’activités proposer ?

(36)

36

Les catégories de situations habituelles à l’école maternelle

• Les rituels

• Situations fonctionnelles : celles dans lesquelles l'enseignant

propose à certains élèves, la prise en charge des aspects

mathématiques d'une situation liée au fonctionnement général de la classe ou au fonctionnement d'une autre activité.

• Situations de jeux : Ateliers de jeux de société, de construction, etc.

• Situations construites souvent à partir de fiches pour permettre

aux élèves de s'approprier telle ou telle connaissance.

• Dans toutes ces familles de situations, on peut dire que

l'apprentissage se fait par familiarisation : Le professeur montre ; l'enfant comprend le jeu ou le problème et agit.

(37)

Situations d’apprentissage par adaptation

•Y-a-t-il bien un problème posé aux élèves ou ont-ils seulement à appliquer une consigne?

•L'utilisation de la connaissance est-elle nécessaire pour parvenir à la solution du problème posé aux élèves ?

•L‘élève peut-il comprendre la consigne et s'engager vers une solution sans disposer de cette connaissance entièrement élaborée?

•Comment voit-il qu'il a réussi ou échoué? (Est-il entièrement dépendant de l'adulte ou la situation comporte-t-elle des rétroactions interprétables par l'élève?)

•La vérification du résultat peut-elle lui donner des informations sur la façon de réussir?

•L'organisation de la situation permet-elle :

•À chaque enfant d'être confronté au problème et de faire des tentatives ?

• L'échange et la confrontation des points de vue ?

(38)

• Le système,

– La succession des programmes : l’étude des fluctuations des programmes 2002, 2008, 2016 en mathématiques met en évidence des tensions, des conflits dont la nature dépasse les seuls enjeux mathématiques.

Pourquoi cette approche reste difficile à faire partager ?

• Le professeur :

– Peu d’outils pour mettre en scène des situations d’apprentissage par adaptation au sein d’une progression

– L’idée que ce type d’approche serait réservé à une élite. D’où une « pédagogie spontanée » qui consiste à préconiser les tâches de manipulation (de type 1) pour les élèves étiquetés en difficulté, et à enseigner des procédés.

– L’idée de ne pas ennuyer les élèves donc de faire un peu de tout chaque jour, donc de renoncer à une « ouverture de chantier »

– Difficulté personnelles liées aux mathématiques à enseigner y compris celles de l’école maternelle.

38

(39)

Partie 5

Les grandes étapes

(40)

40

1-Contrôler une quantité Faire un inventaire Exploration exhaustive d’une collection : jeu des

allumettes.

Énumération

3- Contrôler une quantité à l’aide d’un système de signes qui engage le concept de l’addition. Lecture et

interprétation de messages écrits additifs

Lecture et interprétation de messages écrits additifs Décomposition, recomposition

Égalité en acte.

2B -Entrer dans l’écrit pour contrôler une

position Les boites en ligne Rangement : Aspect

ordinal Maîtriser des

environnements numériques simples jeux de plateaux, jeux de cartes

Lien entre spatial et quantité, lectures variées, objets, doigts

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

2A-Entrer dans l’écrit pour contrôler une quantité

Situations S1 S2 S3 Réaliser une collection équipotente à une collection

de référence Dénombrement

aspect cardinal

Entrer dans l’écrit pour contrôler une collection Les jeux de listes

Collection, sous collections classification, sériation.

Légende :

Situation d’action Exemple de Jeu savoir

(41)

allumettes.

Énumération

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

aspect cardinal

Légende :

(42)

• Une activité venue d’où ?

Allons voir en Cours préparatoire

Document 2 000

(43)

Examinons un travail d’élève de CP

L'enfant échoue alors qu'il dispose de la suite numérique et d'un procédé d'exploration relativement bien organisé (lignes conçues). Il s'agit donc d'une absence de connaissance (que nous appelons l’énumération) qui se manifeste par une absence de synchronisation effective entre une connaissance numérique et une organisation conjointe de la collection et qui empêche d’effectuer l’inventaire de la collection. (1993).

BO n° 22 du 29 mai 2019 page 26.

(44)

Compétences nécessaires pour effectuer un comptage

• Etre capable de distinguer deux éléments différents d'un ensemble donné.

• Choisir un élément d’une collection.

• Enoncer un mot nombre. (« un » ou le successeur du précédent dans une suite de mot-nombres).

• Conserver la mémoire de la collection des éléments déjà choisis

• Concevoir la collection des objets non encore choisis

• Recommencer (pour la collection des objets non encore choisis) les quatre points qui précèdent tant que la collection des objets à choisir n’est pas vide.

• Savoir que l'on a choisi le dernier élément.

• Enoncer le dernier mot nombre.

44

« Dans certaines situations, l’élève a besoin de connaissances que l’école n’enseigne pas, mais qu’il doit pourtant mettre en œuvre pour apprendre le savoir ou pour utiliser ce qu’il a appris. »

(45)

La classe au jour le jour : faire évoluer la situation Boîtes fixées…écrire est la seule solution

Enumération Dénombrement

(donc énumération)

(46)

Sourions un peu…

(47)

allumettes.

Énumération

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

aspect cardinal

Légende :

(48)

Un exemple de situation bien souvent mal comprise en formation…et ailleurs

Vu dans un fichier largement diffusé en France… : « Eloigner les deux collections à comparer pour les élèves les plus performants » (!)

[S1]. « Nous allons jouer au jeu des voitures… ». Autocommunication orale.

(49)

Faire évoluer la situation pour s’assurer de l’abandon du comptage-numérotage

[S3]. « Ce n’est plus vous qui irez chercher les garages ; vous porterez votre message qui sera lu par un camarade. Il vous donnera les garages ». Communication écrite.

[S2]. « Les garages seront pris plus tard. Vous n’aurez plus les voitures. Pour vous souvenir, vous pourrez écrire ». Autocommunication écrite.

 Le milieu d’apprentissage est modifié afin de faire

conceptualiser le nombre par passage à l’écrit,.

(50)

50

Variante à l’aide de logiciels

S’assurer de la place de l’écrit lorsque l’on travaille à l’aide d’outils numériques.

(51)

Quelques messages MS-GS

L’évolution des traces écrites est un indice de l’acquisition de la maîtrise des premiers nombres. C’est un chantier de plusieurs semaines qui s’ouvre.

Documents 2 014

(52)

52

1-Contrôler une quantité Faire un inventaire Exploration exhaustive

d’une collection Énumération

3- Contrôler une quantité à l’aide d’un système de signes qui engage le concept de l’addition

2B - Contrôler une position Entrée dans l’écrit pour contrôler une

position Les boites en ligne

Aspect ordinal Maîtriser des

environnements numériques simples L’expérience issue des jeux de plateaux, des jeux de cartes

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

2A-Entrée dans l’écrit pour contrôler une quantité

aspect cardinal

Les jeux de listes

Contrôler une collection à l’aide d’un écrit,

classification, sériation.

Collection, sous collections

(53)

Enfin, travailler sur la signification d’un texte

numérique avec ou sans recours au milieu des objets

Cette situation S1 permet de progresser d’une signification

« topographique » du signe 4 5 à une signification « mesure d’une quantité »

Document 1995 Document 2016

(54)

La suite…

S2 : Savoir aller chercher les bons paniers en faisant le lien entre 4 5 et 9 (C’est un milieu de signes avec validation en milieu matériel ou doigts de la main)

Document 1 995

(55)

Document 2016

S31 : Prévoir si deux étiquettes amènent au même panier (vérification à l’aide des barquettes : validation sémantique)

S32 : Prévoir si deux étiquettes amènent au même panier (cette fois sans recours aux barquettes : validation syntaxique) (vidéo).

« La

reconnaissance de la propriété

d’addition est une condition

nécessaire à la conceptualisation du nombre. »

G.Vergnaud.

(56)

56

3- Contrôler une quantité à l’aide d’un système de signes qui engage le concept de l’addition.

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

aspect cardinal

(57)

L’écrit ne concerne pas que le nombre : exemples

• Découvrir le monde des objets à retrouver : le contrôle des collections

• Travailler sur les classifications

• Travailler sur les sériations

(58)

58

Contrôler une collection en élaborant une liste

J Briand 9 octobre 2019 Document 2 000

(59)

Puis des signes qui signifient une classification

 La production d’écrits :

construction de la classification

Document 2 000

(60)

60

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

aspect cardinal

(61)

• Le modèle

• La tâche

Variables de la situation :

• Le nombre de dessins, la présence ou non de quelques dessins sur la feuille de travail, les cartes retournées ou non, le train de la feuille de travail superposable ou non.

• Le nombre d’un point de vue plutôt ordinal est la solution au problème posé.

Se souvenir d’une position

(62)

62

Se souvenir d’une position (ordinal-cardinal)

Document 2 013

(63)

Le nombre pour se souvenir d’une position

De la maternelle au cours préparatoire.

Une situation d’action

Un travail à l’aide d’un manuel. Le TBI outil possible.

Document 2 014

(64)

• La production d’écrits permet de faire évoluer le concept

Se souvenir d’une position ( après jeu de listes)

(65)

La trace prend du sens et devient efficace

(66)

66

Construction des premiers nombres : approche plurielle, rôles de l’écrit.

aspect cardinal

(67)

Organisons

Cette année, j’ai des grands : je commence l’année par la situation S1 par petits groupes. Je suis avec eux ; cela me permet d’observer, justement, tout le travail des enfants. Ils passent par groupe de 6 sur des ateliers tournants qui

durent à peu près sur deux semaines. Une fois qu’ils sont passés on fait un bilan collectif et on voit quelles ont été les difficultés, comment faire pour améliorer. Je relance l’activité pour les enfants en difficulté. Cela permet de voir si le bilan leur permet d’évoluer.

(68)

Affichage

68

Affichage pour les parents: des photos de l’activité résument ce que les élèves ont ressenti, ce qu’ils ont découvert.

Le jeu d’apprentissage a une place spécifique. A côté, quelques photos des jeux de société associé. (Mais pas de confusion).

Les enfants sont intéressés par cet affichage : « qu’est ce que j’ai appris ? ».

(69)

Conclusion 1

De la manipulation de matériels à la manipulation de signes

Mise en scène de la situation (manip type2)

en vue de faire des prévisions Mise en scène de la

situation (manip type 1) pour la comprendre.

Prévoir : les écrits de travail ou les tracés comme lieu d’acquisition

des savoirs

Vérifier les prévisions obtenues par les écrits

ou les tracés

Vérification par les signes. Accès au calcul ou

à la géométrie.

Vérification matérielle

(70)

Complément

Vers les CP : accès à la numération

Les «principes organisateurs» déterminants

Il est classique de voir un élève lire l’étiquette « 18 » en énonçant « dix-huit » et considérer simultanément que 18 c’est 1 + 8 (donc c’est 9 !) sans voir l’incompatibilité entre ces deux lectures.

On constate donc que ce signe « 18 » a une signification pour l’élève qui n’est pas « stable »

Pour que l’élève s’approprie la signification souhaitée de ce

« signe », un discours magistral n’est pas suffisant.

Objectif construire des situations qui permettent cette

appropriation et accompagne ce changement d’interprétation

des signes également connus « 1 » et « 8 ».

(71)

(72)

Extraits de cette situation d’évaluation

(73)

• Le travail sur la « dizaine » est donc fondamental

– Travail avec du matériel

– Travail sur les écritures chiffrées

– Mais aussi travail sur des écritures additives

« combien de dizaines dans 3+6+4+5+7+4+5 ? »

(74)

J Briand le 2 octobre 2019

Exercice 6 des repères CP 2018

08/10/2019

(75)

Nécessité de construire une image mentale de la droite numérique

.

• Travailler le lien entre distance (notion géométrique : nombre de graduations ) et écart ( notion numérique : l’écart 37-15)

• Permet de donner du sens à – « 36 est entre 30 et 40 » – « 39 est proche de 40 »

– « 35 est entre 30 et 40. Il est juste au milieu » – « 35 est à égale distance de 30 et 40 »

– Etc.

(76)

Piste, file, droite numérique, double décimètre : du discret au mesurable

J Briand le 2 octobre 2019 08/10/2019

(77)

Associer nombre, quantité et position sur la piste des nombres

(78)

Un nombre désigne à la fois un point, la distance de ce point à l’origine, mais aussi la longueur d’une bande. (Intro

soustraction).

La droite graduée et la mesure (CE2- CM1 – CM2)

J Briand le 2 octobre 2019 08/10/2019

(79)

Droite graduée et densité des décimaux

(80)

80

Conclusions (1)

 L’école est pour certains élèves le seul lieu où ils peuvent construire une posture d’élève

 D’où le rôle important du professeur et des équipes pédagogiques dans le développement de cette posture

•

La construction des premiers nombres est intimement liée à l’entrée dans un type d’écrit.

•

Le travail sur les quantités n’a pas à être confondu avec celui sur le nombre.

•

Pour cela, il est nécessaire de construire des situations qui donnent

du sens à la production de traces, de marques, de signes,

• Les élèves y prennent du plaisir

• Les rituels ne sont pas suffisants pour construire le nombre

•

Les fichiers peuvent trouver leur place s’ils évoquent une situation déjà vécue.

(81)

Conclusion (2)

• Il est nécessaire de mettre les élèves face à des situations où ils auront des prévisions à faire

• Pour produire du langage, il doit y avoir un décalage entre l’action et les effets visibles de cette action

• Ces situations permettent aux élèves à conclure eux-mêmes sur leur réussite, leurs erreurs, les causes de leurs erreurs.

• Le professeur accompagne avec bienveillance les élèves dans leurs démarches sans donner les procédures.

• Le temps d’institutionnalisation des savoirs vient ensuite.

(82)

Conclusion

• La manipulation, si elle n’est pas intégrée dans un processus d’apprentissage, ne permet pas aux élèves de progresser, sauf pour ceux qui ont compris qu’au-delà de la manipulation, le seul enjeu était de retenir le savoir affiché parle professeur.

• Si le résultat peut être obtenu par l’action, les élèves n’ont pas à engager un travail cognitif. Ils se bornent à faire des constats qui restent attachés au contexte.

• Le passage d’une validation pragmatique à une validation syntaxique est constitué de continuités et de ruptures. Il est donc utile de lier les transformations dans le milieu des signes et les transformations dans le milieu matériel lorsque c’est possible.

• Cet enseignement qui consiste à demander de prévoir n’est pas destiné à une élite. La tendance à vouloir faire manipuler (de type 1) les élèves qui seraient en difficulté en mathématiques ne fait que creuser l’écart entre ceux qui sont déjà entrés dans les écrits mathématiques et ont compris leur usage et ceux qui tardent à comprendre l’intérêt de ces écrits.

• En conclusion, déclarer qu’il est nécessaire de passer «du monde concret. . . à une vision abstraite» est une vieille lune qui n’a jamais aidé à construire des séquences de classe et à laquelle il est toujours bon d’opposer ce qu’écrivait Paul Langevin :

«Le concret, c’est de l’abstrait devenu familier par l’usage».

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Merci de m’avoir écouté ^.

Merci à Marie-Lise Roux et à l’équipe 2017 de Mérignac

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