Exercice n o 2
(Série S)Enoncé
Problème du cadre
On dispose d’un cadre dont le bord extérieur est un rectangle ABCD de dimensions 30 cm et 20 cm. Le bord intérieur est aussi un rectangle EFGH.
Les deux bandes du cadre suivant les longueurs sont identiques. Il en est de même des bandes suivant les largeurs.
La bande suivant la largeur est large de 1 cm. La bande suivant les longueurs est large de 3 cm.
On veut découper le coin A de ce cadre suivant la section [SS0].
1. Déterminer la longueur SS0de la section sachant que AS = AS0.
2. Calculer la longueur de la section SS0 lorsque S est en B.
3. Même question lorsque S0 est en D.
4. Calculer la longueur de la section lorsque
ES = ES0. A
B C
D
E F
H G
S S'
Eléments de solution
1. Déterminer la longueur SS0 de la section sachant que AS =AS0.
Si AS = AS0, alors le triangle est isocèle rectangle en A.
Soit K le point d’intersection de (AB) et (EH).
AlorsSK=EK= 1cm.
Soit K’ le point d’intersection de (AD) et (EF). AlorsSK0=EK0=√
3 cm.
S' K' A K S B C
D
E F G
H
Ainsi
SS0=p
AS2+AS02= r³
1 +√ 3
´2 +
³ 1 +√
3´2
= q
8 + 4√
3≈3,86 cm
Olympiades académiques - 2009 63 2.Calculer la longueur de la section SS’lorsque Sest en B.
A E E' H
G F
B C
S' D
Soit E’ le point d’intersection de (HE) et (AB). On a tanEBE\0= EE0
BE0 = 1 20−√
3 = AS0 AB = AS0
20 . AlorsAS0 = 20
20−√ 3.
Le théorème de Pythagore donne ensuite :
SS0=BS0= s
202+ µ 20
20−√ 3
¶2
=
p161600−16000√ 3 20−√
3 = 20 cm.
3.Même question lorsque S’est en D.
A S E H
G F
B C
E' D
Soit E’ le point d’intersection de (FE) et (AD). On a : tanEDE\0 = EE0
DE0 =
√3 30−1 =
√3 29 = AS
AD = AS 30 AlorsAS =30√
3 29 .
Le théorème de Pythagore donne ensuite :
SS0 =DS= vu ut302+
à 30√
3 19
!2
=
r327600
361 ≈30,12 cm.
64 Olympiades académiques - 2009 4.Calculer la longueur de la section lorsqueES =ES0.
Soit K le point d’intersection de (AB) et (EH) et K’ le point d’intersection de (AD) et (EF). On noteθ=\ESK.
S' K' A K S B C
D
E F G
H
On asinESK\= sinθ= EK SE = 1
SE, alorsSE= 1 sinθ. De mêmesinES\0K0= sin
³π 2 −θ´
= cosθ= EK0 ES0 =
√3
ES0, alorsES0=
√3 cosθ. SiES=ES0, alors
1 sinθ =
√3
cosθ et donc sinθ
cosθ = tanθ=
√3
3 , alorsθ= π 6. Ainsi :SS0= 2SE= 2
sinθ = 4cm.
