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1.9 LOI DES SIN ET LOI DES COS

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

cours 9

1.9 LOI DES SIN ET

LOI DES COS

(2)

Loi des cosinus

(3)

Loi des cosinus

(4)

Loi des cosinus

(5)

Loi des cosinus

(6)

Loi des cosinus

(7)

Loi des cosinus

(8)

Loi des cosinus

(9)

Loi des cosinus

(10)

Loi des cosinus

(11)

Loi des cosinus

(12)

Loi des cosinus

(13)

Loi des cosinus

(14)

Loi des cosinus

(15)

Loi des cosinus

(16)

Loi des cosinus

(17)

Loi des cosinus

(18)

Loi des cosinus

(19)

Loi des cosinus

(20)

Loi des cosinus

(21)

Loi des cosinus

(22)

Loi des cosinus

(23)

Exemple

30 10

4

c

(24)

Exemple

30 10

4 c

c

2

= 10

2

+ 4

2

10 ⇥ 4 ⇥ cos 30

(25)

Exemple

30 10

4 c

c

2

= 10

2

+ 4

2

10 ⇥ 4 ⇥ cos 30

= 100 + 16 40 ⇥

p 3

2

(26)

Exemple

30 10

4 c

c

2

= 10

2

+ 4

2

10 ⇥ 4 ⇥ cos 30

= 100 + 16 40 ⇥

p 3

2

= 116 20 ⇥ p

3

(27)

Exemple

30 10

4 c

c

2

= 10

2

+ 4

2

10 ⇥ 4 ⇥ cos 30

= 100 + 16 40 ⇥

p 3

2

= 116 20 ⇥ p

3

Donc

(28)

Exemple

30 10

4 c

c

2

= 10

2

+ 4

2

10 ⇥ 4 ⇥ cos 30

= 100 + 16 40 ⇥

p 3

2

= 116 20 ⇥ p 3

c =

q

116 20 ⇥ p

3

Donc

(29)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

(30)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(31)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(32)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(33)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(34)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(35)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(36)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(37)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(38)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(39)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(40)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A

(41)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

(42)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

(43)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75

(44)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25

(45)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5

(46)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

(47)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

=

p 3 ⇥ p 3 2 ⇥ p

3

(48)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

=

p 3 ⇥ p 3 2 ⇥ p

3 =

p 3

2

(49)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

=

p 3 ⇥ p 3 2 ⇥ p

3 =

p 3 2

A = 30

(50)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

=

p 3 ⇥ p 3 2 ⇥ p

3 =

p 3 2

A = 30 C = 30

(51)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

=

p 3 ⇥ p 3 2 ⇥ p

3 =

p 3 2

A = 30 C = 30

B = 180 30 30

(52)

Exemple

15

p 75 p

75

A C

B

( p

75)

2

= ( p

75)

2

+ 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 0 = 15

2

2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15

2

= 2 ⇥ p

75 ⇥ 15 cos A 15 = 2 ⇥ p

75 cos A

cos A = 15 2 ⇥ p

75 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ p

25 = 15

2 ⇥ p

3 ⇥ 5 = 3 2 ⇥ p

3

=

p 3 ⇥ p 3 2 ⇥ p

3 =

p 3 2

A = 30 C = 30

B = 180 30 30 = 120

(53)

Loi des sinus

(54)

Loi des sinus

h

1

(55)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c

(56)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

a

(57)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A a

(58)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

(59)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

(60)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

(61)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

(62)

Loi des sinus

h

1

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C

c

(63)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C

c

(64)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b

(65)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

(66)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

h

2

= b sin A

(67)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

h

2

= b sin A h

2

= a sin B

(68)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

h

2

= b sin A h

2

= a sin B

a sin B = b sin A

(69)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

h

2

= b sin A h

2

= a sin B

a sin B = b sin A

(70)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

h

2

= b sin A h

2

= a sin B

a sin B = b sin A

(71)

Loi des sinus

h

1

h

2

sin A = h

1

c sin C = h

1

h

1

= c sin A h

1

= a sin a C

c sin A = a sin C

sin A

a = sin C c sin A = h

2

b sin B = h

2

a

h

2

= b sin A h

2

= a sin B

a sin B = b sin A

= sin B

B

(72)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

(73)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

✓

(74)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 180 30 45

✓

(75)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

= 180 30 45

✓

(76)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 180 30 45

✓

(77)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12 b

= 180 30 45

✓

(78)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

(79)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

= 12 ⇥

12

p2 2

(80)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

= 12 ⇥

12

p2 2

= 12 ⇥ 1

2 ⇥ 2

p 2

(81)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

= 12 ⇥

12

p2 2

= 12 ⇥ 1

2 ⇥ 2

p 2 = 12

p 2

(82)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

= 12 ⇥

12

p2 2

= 12 ⇥ 1

2 ⇥ 2

p 2 = 12

p 2 = 12 p p 2

2 p

2

(83)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

= 12 ⇥

12

p2 2

= 12 ⇥ 1

2 ⇥ 2

p 2 = 12

p 2 = 12 p p 2

2 p

2 = 12 p

2

2

(84)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

sin 30

b = sin 45 12

= 12 ⇥ sin 30 sin 45

b

= 180 30 45

✓

= 12 ⇥

12

p2 2

= 12 ⇥ 1

2 ⇥ 2

p 2 = 12

p 2 = 12 p p 2

2 p

2 = 12 p 2

2 = 6 p

2

(85)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

= 6 p

2

(86)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

a = sin 45 12

= 6 p

2

(87)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

a = sin 45 12

= 6 p 2

a

(88)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

a = sin 45 12

= 6 p 2

= 12 ⇥ sin 105 sin 45

a

(89)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

a = sin 45 12

= 6 p 2

= 12 ⇥ sin 105

p2 2

= 12 ⇥ sin 105 sin 45

a

(90)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

a = sin 45 12

= 6 p 2

= 12 ⇥ sin 105

p2 2

= 24 ⇥ sin 105 p 2

= 12 ⇥ sin 105 sin 45

a

(91)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

a = sin 45 12

= 6 p 2

= 12 ⇥ sin 105

p2 2

= 24 ⇥ sin 105

p 2 = 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= 12 ⇥ sin 105 sin 45

a

(92)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

a

(93)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

a

(94)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= sin(45 + 60 )

a

(95)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= sin(45 + 60 )

= sin(45 ) cos(60 ) + sin(60 ) cos(45 )

a

(96)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= sin(45 + 60 )

= sin(45 ) cos(60 ) + sin(60 ) cos(45 ) a

=

p 2

2 ⇥ 1

2 +

p 3

2 ⇥

p 2

2

(97)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= sin(45 + 60 )

= sin(45 ) cos(60 ) + sin(60 ) cos(45 ) a

=

p 2

2 ⇥ 1

2 +

p 3

2 ⇥

p 2 2

=

p 2 + p

3 ⇥ p

2

4

(98)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= sin(45 + 60 )

= sin(45 ) cos(60 ) + sin(60 ) cos(45 ) a

=

p 2

2 ⇥ 1

2 +

p 3

2 ⇥

p 2 2

=

p 2 + p

3 ⇥ p 2

4 =

p 2(1 + p

3)

4

(99)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105

= sin(45 + 60 )

= sin(45 ) cos(60 ) + sin(60 ) cos(45 ) a

=

p 2

2 ⇥ 1

2 +

p 3

2 ⇥

p 2 2

=

p 2 + p

3 ⇥ p 2

4 =

p 2(1 + p 3) 4

= 12 ⇥ p

2 ⇥

p 2(1 + p

3)

4

(100)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105 a

=

p 2(1 + p 3) 4

= 12 ⇥ p

2 ⇥

p 2(1 + p

3)

4

(101)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105 a

=

p 2(1 + p 3) 4

= 12 ⇥ p

2 ⇥

p 2(1 + p 3) 4

= 3 ⇥ p

2 ⇥ p

2(1 + p

3)

(102)

Exemple

30 45

12

a

✓ b

= 105

✓

sin 105

= 6 p 2

= 12 ⇥ p

2 ⇥ sin 105 a

=

p 2(1 + p 3) 4

= 12 ⇥ p

2 ⇥

p 2(1 + p 3) 4

= 3 ⇥ p

2 ⇥ p

2(1 + p

3) = 6(1 + p

3)

(103)

Faites les exercices suivants

p. 466 # 38

(104)

Devoir: p.466 # 38 à 46

Références

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