DEA Dispositif de l’Electronique Intégrée

Cours 5GPM Edition 2000-2001

TRANSISTOR MOS A EFFET DE CHAMP Eléments de théorie et de pratique

P. MASSON et J.L. AUTRAN

Edition 2000-2001

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Département Science et Génie des Matériaux

DEA Dispositif de l’Electronique Intégrée

Avertissement

Le présent document est la deuxième version d'un cours sur le transistor métal-oxyde- semiconducteur (MOS) à effet de champ. L'étude théorique est restreinte au cas du transistor à canal n dans un régime non saturé (avant pincement du canal). Le cas du transistor à canal p est traité (intégralement) en annexe.

Les auteurs tiennent à remercier très sincèrement G. Ghibaudo et P. Gentil (LPCS, ENSERG, Grenoble) pour leurs suggestions et leur lecture critique du document. Ils remercient également par avance les lecteurs qui voudront bien leur faire part de leurs remarques et corrections concernant le fond et la forme du document.

Copyright © 1998, 2000 P. Masson et J.L. Autran. Tous droits réservés.

Table des matières

Avertissement ... 3

Table des matières ... 5

Table des symboles ... 7

Introduction générale ... 11

Chapitre I : Etude préliminaire du transistor MOS ... 12

I.1. Convention d’écriture ... 12

I.2. Densité de porteurs dans le semi-conducteur ... 13

I.3. Expression préliminaire du courant ... 15

I.3.1. Séparation des termes de diffusion et de conduction ... 16

I.3.2. Association des termes de diffusion et de conduction ... 16

I.4. Détermination de la charge totale dans le semi-conducteur Q^SC ... 18

I.4.1. Expression de la charge Q^SC ... 18

I.4.2. Cas de l’inversion faible et forte ... 21

I.5. Détermination de la charge de la zone désertée QD ... 22

I.6. Détermination de la charge d’inversion Qn ... 23

I.7. Expression de S en fonction de V(x), V^GS et V^BS ... 24

I.8. Dépendance des différents paramètres avec la distance à l’interface ... 26

Chapitre II : Le transistor MOS en inversion faible avant saturation ... 29

II.1. Approche complète : courant de diffusion et de conduction ... 29

II.1.1. Expression analytique du potentiel de surface ... 29

II.1.2. Expression du courant en inversion faible ... 31

II.1.3. Détermination de C(x) ... 32

II.1.4. Illustration ... 34

I.3. Approche simplifiée (courant de diffusion) ... 36

I.3.1. Calcul de la relation IDS(S) ... 36

Chapitre III : Le transistor MOS en inversion forte avant saturation 39 III.1. Expression préliminaire du courant ... 39

III.2. Expression de QSC ... 40

Expression de QD ... 40

Expression du courant... 41

Expression de la mobilité ... 42

5.1. Collisions sur les phonons ... 43

5.2. Collisions coulombiennes ... 43

5.3. Collisions sur la rugosité de surface ... 43

5.4. Mobilité effective en inversion forte ... 44

La transconductance... 47

Exemple ... 47

Table des symboles

Ar m² Section droite du canal

CD0 F m^-2 Capacité associée à la zone désertée pour S = S0

C^it F m^-2 Capacité associée aux états d’interface Cox F m^-2 Capacité d’oxyde

cn m^-3 s^-1 Coefficient de capture des électrons cp m^-3 s^-1 Coefficient de capture des trous Dit J^-1 m^-2 Densité d’états d’interface

Dⁿ m² s^-1 Coefficient de diffusion des électrons

E J Energie

EC J Energie du niveau le plus bas de la bande de conduction

ECS J Energie du niveau le plus bas de la bande de conduction à l’interface EF J Energie du niveau de Fermi dans le semi-conducteur loin de l’interface E^Fn J Energie du quasi niveau de Fermi pour les électrons

E^Fp J Energie du quasi niveau de Fermi pour les trous EFM J Energie du niveau de Fermi dans le semi-conducteur Eg J Largeur de la bande interdite du semi-conducteur Ei J Niveau d’énergie intrinsèque loin de l’interface EiS J Niveau d’énergie intrinsèque à l’interface

E^T J Energie d’un niveau piège dans la bande interdite du semi-conducteur EV J Energie du niveau le plus haut de la bande de valence loin de l’interface EVS J Energie du niveau le plus haut de la bande de valence à l’interface

 V m^-1 Champ électrique

F  Facteur d’occupation de Fermi pour les électrons gm A V^-1 Transconductance

IDS A Courant Drain - Source

Jn A m^-2 Densité de courant d’électrons en chaque point du canal k J K^-1 Constante de Boltzmann (k = 1.3810²³ J.K^-1)

L m Longueur de canal dessinée

LB m Longueur de Debye extrinsèque NA m^-3 Concentration en atomes accepteurs ND m^-3 Concentration en atomes donneurs

n m^-3 Concentration d’électrons libres dans le semi-conducteur ni m^-3 Concentration intrinsèque d'électrons dans le semi-conducteur nS m^-3 Concentration d'électrons à l’interface

n0 m^-3 Concentration d’électrons libres dans le substrat loin de l’interface n¹ m^-3 Concentration d’électrons dans le cas où E^F = E^T

p m^-3 Concentration des trous libres dans le semi-conducteur pS m^-3 Concentration des trous à l’interface

p0 m^-3 Concentration d’électrons libres dans le substrat loin de l’interface p1 m^-3 Concentration de trous dans le cas où EF = ET

Qox C m^-2 Charge dans l’oxyde

Q^D C m^-2 Charge dans la zone désertée du semi-conducteur

QD0 C m^-2 Charge dans la zone désertée du semi-conducteur pour S = S0

Qit C m^-2 Charge due aux états d’interface Qit0d, Qit0a

Qit0ad, Qit0

C m^-2 Charges constantes dues aux états d’interface selon le type d’état Q^SC C m^-2 Charge dans le semi-conducteur

Qⁿ C m^-2 Charge de la couche d’inversion

q C Valeur absolue de la charge de l’électron (1.60210^-19 C)

RSD  Résistance série

t^ox m Epaisseur d’oxyde

T K Température absolue

V(x) V Potentiel le long du canal du à la polarisation Drain - Source VBS V Tension Substrat - Source

VDS V Tension Drain - Source

V^FB V Tension V^GS pour laquelle S = 0 à la source VGS V Tension Grille – Source

Vox V Tension aux bornes de l’oxyde

Vmg V Tension VGS pour laquelle S = F à la source V^T V Tension de seuil du transistor

Vth V Tension VGS pour laquelle S = 2F à la source VText V Tension de seuil extrapolée du transistor

W m Largeur de canal dessinée

y^d m Largeur de la zone désertée

y^dM m Extension maximale de la zone désertée (inversion forte) yi m Epaisseur de la couche d’inversion

 V Potentiel thermique (q/kT)

L m Sur-gravure de la longueur du canal

W m Sur-gravure de la largeur du canal

0 F m^-1 Permittivité du vide (8.8510^-12 F.m^-1)

ox  Constante diélectrique de l’oxyde (3.82)

SC  Constante diélectrique du semi-conducteur (11.9)

Si F m^-1 Permittivité du semi-conducteur (0SC)

1 V^-1 Facteur d’atténuation linéaire de la mobilité dans le canal

2 V^-2 Facteur d’atténuation quadratique de la mobilité dans le canal µ0 m²V^-1s^-1 Mobilité des électrons dans le canal à faible champ électrique µeff m²V^-1s^-1 Mobilité effective des électrons dans le canal

 C m^-3 Densité volumique de charge

C V Ecart entre les quasi niveaux de Fermi

F V Potentiel de volume du semi-conducteur

 V Potentiel dans le semi-conducteur

S V Potentiel de surface du semi-conducteur

S0 V Valeur particulière du potentiel de surface du semi-conducteur :

S0 = 1.5 F  VBS

Introduction générale

La connaissance des équations modélisant le courant de conduction du transistor MOS à effet de champ est essentielle, aussi bien pour étudier son comportement électrique que pour déterminer ses paramètres de fonctionnement, tels que la tension de seuil (VT), la transconductance de canal (gm) ou la mobilité à faible champ électrique des porteurs (µ0).

Dans ce document, nous avons entrepris de réécrire complètement les démonstrations de quelques modèles d’utilisation courante. Il ne faut donc pas chercher dans son contenu d’élément novateur car tel n’est pas son but. Par son approche très détaillée, nous espérons que le texte permettra au lecteur de mieux comprendre le fonctionnement du transistor et de mieux cerner les méthodes d’extraction de paramètres, notamment celles dédiées à la détermination du potentiel de surface en fonction de la tension de grille.

Nous avons limité notre étude au fonctionnement du transistor en faible et forte inversion avant saturation dans le cas d'une structure à canal n. Les équations relatives au transistor à canal p sont données en annexe.

Chapitre I : Etude préliminaire du transistor MOS

Cette première partie a pour objectif d’introduire des notions fondamentales telles que la charge du semi-conducteur et la charge d’inversion ainsi que leur dépendance avec les divers polarisations ou densités de défauts électriquement actifs. Nous nous plaçons bien entendu dans l’optique du transistor MOS c’est-à-dire dans le cas d’un semi-conduteur hors équilibre et nous ferons apparaître, pour en tenir compte, les quasi-niveaux de Fermi.

Précisons dans un premier temps les conventions d’écriture et de calcul que nous avons choisies.

I.1. Convention d’écriture

a ^{0 yi y} b

E_CS E_Fn E_iS

E_VS

E_C

E_Fp

E_i

-qV_GB E_FM

E_V E_F

Métal Isolant Silicium -q_F -q_C

-q(y) -q_S

Substrat ou Bulk V_BS

V_DS I_DS

Source Grille V_GS Drain

Substrat type-p 0

W z

L x y

Isolant

N⁺ N⁺

Figure I.1.a. Diagramme de bandes du transistor MOS à canal n faisant apparaître les quasi-niveaux de Fermi : C = -VBS à la source et C = VDS - VBS au drain. VDS est la tension appliquée entre le drain et la source, et VBS la tension appliquée entre le substrat et la source. b. Coupe d’un transistor MOS à canal n.

La Fig. (I.1.a) présente le diagramme de bandes de la structure Métal - Oxyde - Semi- conducteur d’un transistor MOS :

 Le niveau de Fermi du métal est au dessus du minimum de la bande de conduction (non représenté) ce qui donne à ce matériau un nombre considérable d’électrons libres.

 Les bandes de conduction et de valence de l’isolant sont représentées mais non spécifiées car elles n’interviennent pas dans l’établissement des diverses expressions.

 Le semi-conducteur, représenté en régime d’inversion forte, fait apparaître deux notations pour le nom des bandes : une dans le volume du substrat et une à l’interface Si/isolant spécifiée par l’indice "S". Les énergies de ce diagramme sont en joules (J) et les diverses tensions sont en volts (V). (y) et Ei représentent

respectivement la courbure des bandes et le milieu de la bande interdite du semi- conducteur. EC (e.g. ECS) et EV (e.g. EVS) sont le bas de la bande de conduction et le haut de la bande de valence du semi-conducteur. Le choix du sens des flèches a pour origine la tension que l’on applique entre la grille et le substrat. Cela revient à faire la différence entre les niveaux de Fermi du métal et du semi-conducteur.

En raison d’une polarisation non nulle appliquée entre la source et le drain, le semi-conducteur, au niveau du canal, n’est pas à l’équilibre thermodynamique.

Cela se traduit par l’apparition de quasi niveaux de Fermi notés EFn pour les électrons et EFp pour les trous avec, dans le cas d’un substrat de type p : EFp  EF.

C correspond à l’écart entre ces quasi niveaux de Fermi. Il est égal à la polarisation extérieure appliquée entre le point y et le volume du semi-conducteur (y  ). Ce potentiel est fonction de la position considérée le long du canal, il est égal à  VBS au niveau de la source et à V^DS  VBS au niveau du drain.

Remarque : pour comprendre l’origine de C il faut se souvenir du diagramme de bande de la jonction p-n en l’absence de polarisation (cas de la source avec VBS = 0) ou en polarisation inverse (cas du drain avec VBS = 0) : l’écart entre les quasi- niveaux de Fermi de la zone désertée de ces deux diodes se retrouvent aux bornes du canal.

Le potentiel de volume F du semi-conducteur a pour expression [Sze’88] :

 

_F ^A

i

A

i F i

= kT q ln N

n ln N

n

1

q E E



 

  

 

    1

 (I.1)

où k est la constante de Boltzmann, T la température absolue,  = q/kT, NA le dopage du substrat (que nous supposons uniforme dans la région active de la surface) et q la valeur absolue de la charge de l’électron.

Pour avoir une notion d’ordre de grandeur à l’esprit faisons le petit calcul suivant : le gap du silicium à 300 K est de 1,1 eV et un dopage du substrat de 210²³ m³ donne

F = 0,424 eV alors q’un dopage de 210²³ m³ donne F = 0,457 eV.

Un schéma en coupe du transistor MOS à canal n est donné à la figure (I.1.b). Les deux caissons N⁺ latéraux servent de réservoirs à porteurs minoritaires (du substrat).

I.2. Densité de porteurs dans le semi-conducteur

Puisque la polarisation est non nulle entre la source et le drain, le semi- conducteur n'est pas à l'équilibre thermodynamique au niveau du canal. Les densités d’électrons et de trous s’expriment donc en fonction des quasi-niveaux de Fermi (E^Fn et E^Fp) [Sze’66]. Pour les électrons, on peut écrire :



 



 kT

(y) E - exp E n

=

n(y) _i ^{Fn i} (I.2)

Pour les trous, une expression similaire donne :











 

kT E (y) exp E

p(y)=n_i ^{i Fp} (I.3)

Si l'on remarque que EFn  Ei(y) = EFn  EF + EF  Ei + Ei  Ei(y) = qC  qF + q(y) (pour le substrat de type p, E^Fp  EF ), l'Eq. (I.2) peut se réécrire sous la forme :



  

 

iexp βΦ expβΨ(y) Φ

n(y)=n   (I.4)

c'est-à-dire :

 



 



  _C

0 Ψ(y) Φ

kT exp q

n(y)=n (I.5)

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.0 2.0x10²³ 4.0x10²³ 6.0x10²³ 8.0x10²³ 1.0x10²⁴ 1.2x10²⁴

n_S = p₀

_C variable 0 V 0.05 V 0.1 V n S (m-3 )



Figure I.2. Evolution de la densité d’électrons à l’interface en fonction de l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi (C). NA = 2.510²³ m^-3.

De même, en posant Eⁱ(y) - E^Fp = Eⁱ(y) - Eⁱ + Eⁱ - E^Fp = -q(y) + qF, l’Eq. (I.3) conduit à :





exp p

=

p(y) ₀  (I.6)

Dans les expressions (I.5) et (I.6), n⁰ et p⁰ représentent les densités de porteurs libres à l'équilibre dans le volume du semi-conducteur (i.e. loin de l’interface).

Ces densités sont données par :





i 0 =n exp

n  (I.7)





i 0 =n exp

p  (I.8)

La figure (I.2) représente l’évolution de la densité d’électrons à l’interface en fonction du potentiel de surface et de l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi (C) évaluée à partir de l’équation (I.5). La limite entre inversion faible et inversion forte est atteinte lorsque la densité en électrons à l’interface, n^S, est égale à la densité en trous dans le volume du semi- conducteur, n⁰. Lorsque l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi est nul (i.e. E^Fn = E^Fp), cette limite est atteinte pour S = 2F. Par contre si C est différent de 0, cette limite est alors atteinte pour un potentiel de surface supérieur ou inférieur à 2F (S = 2F + C), c’est ce qu’illustre la figure (I.2).

I.3. Expression préliminaire du courant

La densité de courant en chaque point du canal est la somme des composantes de diffusion et de conduction des électrons et de trous libres [Pao’66] :

 





J      















 (I.9)

où  J_n et 

J_p représentent les composantes du courant dues aux électrons ou aux trous. Dn

et Dp sont les coefficients de diffusion des électrons et des trous.

L'expression (I.9) se simplifie puisque le courant d’électrons (cas du n-MOS) ne sera observable qu’en régime d’inversion faible et forte. Cela signifie que l’on peut considérer la densité de courant des porteurs majoritaires dans le volume du substrat (i.e. des trous) comme négligeable, i.e. ^J_p ^0 [Barron’72]. Le quasi niveau de Fermi des trous peut donc être considéré comme constant dans tout le substrat. Ceci est d'autant mieux vérifié que les dopages des zones de sources et de drain sont élevés (car l’injection de trous dans ces deux régions à partir du substrat est alors négligeable).

Puisque le canal du transistor se forme à l’interface isolant / semi-conducteur, la mobilité des électrons µⁿ est une grandeur caractéristique des propriétés de transport en surface du semi-conducteur, généralement différentes des propriétés volumiques. Nous la notons µ⁰ et nous lui donnons le sens d'une mobilité moyenne des électrons dans la couche d’inversion.

L’équation (I.9) se résume alors à : n qD ξ

=qnμ J

(x,y)

J _{n 0} _n

(I.10) Il est possible d’obtenir une solution analytique de l'équation (I.9) si la condition d’unidimensionnalité est vérifiée, c’est-à-dire si :

2 2 2

2

x

y 



 





 (I.11)

Cette hypothèse, appelée approximation graduelle de Shockley, n’est valable que lorsque le transistor fonctionne en régime de non saturation (canal non pincé). Dans ce cas, on démontre que la variation du champ longitudinal en fonction de la coordonnée x est relativement faible (les lignes de courant sont considérées parallèles à l’interface).

L'expression de la densité de courant d’électrons sous sa forme unidimensionnelle s’écrit de la façon suivante :

n) ( grad qD qn

=

J_n ₀_x  _{n x} (I.12)

où x est le champ électrique longitudinal dans le canal.

Sachant que le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire (x =  gradx) et en utilisant la relation d’Einstein

q

= kT

D_n ₀ , l’Eq (I.12) peut se mettre sous la forme :

dx dn q qµ kT dx qnμ d

=

J_n  ₀   ₀ (I.13)

I.3.1. Séparation des termes de diffusion et de conduction

Le courant I^DS en chaque point du canal correspond à l’intégration de la densité d’électron sur toute la couche d’inversion de l’interface vers le volume du semi-conducteur. Soit yⁱ et W respectivement la profondeur et la largueur de cette couche, on écrit alors :





y

0 0

DS dy

dx dn q qµ kT W dx dy

qn d

=W

I (I.14)

Dans l'Eq. (I.14), le signe  vient du fait que l’axe x est orienté dans le sens opposé au sens du courant IDS. Cette équation peut se mettre sous la forme :











 







y 0 0

DS qndy

dx d q Wµ kT dx qndy

=Wμ d

I (I.15)

La densité de charge Qn de la couche d‘inversion par unité de surface (exprimée en C m^-2) est donnée par :





 ⁱ

y 0

n q ndy

Q (I.16)

Donc, à partir des équations (I.15) et (I.16) on arrive à :

dx dQ q Wµ kT dx Q d Wμ

=

I_{DS 0 n}  ₀ ⁿ

 (I.17)

L’expression du courant s’obtient en intégrant l’équation (I.17) le long du canal c’est-à-dire de x = 0 à x = L :



















) L ( Q

) 0 ( Q n )

L (

) 0 (n 0

L 0 DS

n

n S

S

q dQ d kT Q

=Wμ dx

I (I.18)

et finalement :





q μ kT L d W Q Lμ

= W

I _{0 n n}

) L (

) 0 (n 0 DS

S

S











(I.19)

Le premier terme de l’équation (I.19) représente le courant de conduction et le second terme le courant de diffusion.

I.3.2. Association des termes de diffusion et de conduction A partir de l’équation (I.5), l’Eq. (I.12) peut aussi se mettre sous la forme :

 

 

 







 



 _{0 x 0 0 C}

n n expβ ψ(y) Φ

dx kTμ d )

(ψ grad qnμ

=

J (I.20)

 

 

       



 









 

   



 





 dx

y d exp dx n

y d exp n dx q

qn d

J_{n 0 0 0 C 0 C} ^C (I.21)

L'Eq.(I.21) se simplifie en utilisant l'Eq. (I.5) [Barron’72] :

dx ndΦ qμ

=

J_n  ₀ ^C (I.22)

Le courant total IDS est alors obtenu en intégrant Jn sur toute l’épaisseur de la couche d’inversion yi formant le canal du transistor :

x dy n Φ qμ W dy J W

=

I ^C

y 0 0 y

0n DS

i i



 



 

Le terme _C x étant indépendant de la variable y au niveau du canal du transistor, on peut donc le sortir de l’intégrale. Il en va de même pour le terme constant µ0. L'expression intégrale de IDS peut donc se mettre sous la forme :

C n 0 y

0 0 C

DS Q

dx W d dx ndy

Wq d

=

I ⁱ 





 





Le courant IDS est constant le long du canal, ce qui permet d'intégrer l'Eq. (I.14) par rapport à x et à C de la source (x = 0, C = VBS) au drain (x = L, C = VDS  VBS) :







 ^{DS BS}

BS

V V

Vn C 0

DS L

0IDSdx I L= Wμ Q dΦ (I.25)

où C(x) = V(x)  VBS, V(x) étant le potentiel en chaque point du canal dû à la polarisation appliquée entre le drain et la source. Le potentiel du substrat VBS est constant, ce qui implique que dV = dC. On effectue donc le changement de variable V(x) = C(x)  VBS. L'Eq. (I.18) devient :



 ^DS

V 0 n 0

DS μ Q (V)dV

L

= W

I (I.26)

D'après l'Eq. (I.26), le problème du calcul du courant IDS se ramène donc au calcul de Qn

intégrée de 0 à VDS. Cette charge d'inversion peut être considérée comme égale à la charge totale du semi-conducteur QSC à laquelle on soustrait la charge de la zone désertée QD

située en dessous du canal, i.e. Qⁿ = Q^SC  QD. L’Eq. (I.26) prend alors la forme :

 



DS μ Q Q dV

L

=-W

I (I.27)

Le calcul de I^DS passe donc par la détermination des quantités Q^SC et Q^D.

I.4. Détermination de la charge totale dans le semi-conducteur QSC

I.4.1. Expression de la charge QSC

La densité de charge  dans le semi-conducteur s’écrit :





q   



 (I.28)

Dans le volume du semi-conducteur, loin de l’interface, la condition de neutralité doit être satisfaite, i.e. (y  ) = p0  n0 + N^D  NA- = 0 d’où N^D  NA- = n⁰  p0. La densité de charge s’écrit alors avec les équations (I.5),(I.6) et (I.28) :

 

   







  

 



 

  





 _{0 C 0} y n₀ p₀

kT exp q p kT y

exp q n

q (I.29)

L'équation (I.29) s'écrit après factorisation :

 

 

 

       







      





 exp y 1 exp y 1

p

qp n _C

0

0 0 (I.30)

Le champ électrique dans la zone désertée est relié à la densité de charge  via l’équation de Poisson :

2 Si 2

dy d dy

d



 

 



 

(I.31)

où Si = SC0 est la permittivité diélectrique du semi-conducteur. On peut donc écrire à partir des Eqs. (I.30) et (I.31) :

 

 

 

       







      

 

 exp y 1 exp y 1

p n qp dy d

C 0

0 Si

0 2

2 (I.32)

La première intégration de l'Eq. (I.32) se fait par changement de variable en considérant le fait que :

dy d dy d d

d dy

d dy

d dy

d

2

2 



 



 

 



 



  



(I.33)

D’où :

2 2

2

dy d d 2 1 dy d dy d d

= dy d

d 

 



  

 



 



  











 

(I.34)

La dérivée seconde de  est évaluée grâce à l’Eq. (I.31) :

 

 

 







  2 d

dy d d

Si 2

(I.35)

Les conditions aux limites sont (y  ) = 0 (potentiel de nul dans le volume du semi- conducteur loin de l’interface) et 0

dy d

y

 





, d’où l’intégrale :

 

     







     

 



 



 





dy

d (I.36)

On peut donc écrire :



  

0 0 si 2 0

y 2

y

1exp 1exp

p n 2qp dy

d dy

d

 

 







 



  



 



 



 



  



 



 



 



 



  (I.37)

soit :

   

 











    

 

 



 



  exp exp 1 exp

p n 2qp dy

d

C C

0 0 si 0 2

(I.38)

ou encore :

   

 









   

 



 



  exp exp 1 exp

p n 2qp dy

d

C C

0 0 si 0 2

(I.39)

En prenant la racine carrée de l'équation (I.39), on obtient :

   





    

p n kT p 2 dy

d 12

C C

0 0 si

0      



   

 

  (I.40)

avec un signe + si S < 0 et un signe  si S > 0. Le champ électrique à l’interface s’écrit :

   



 





0 0 si

0

S exp exp 1 exp

p n kT p

2     



     

 



 (I.41)

avec un signe + si S > 0 et un signe - si S < 0.

Le calcul de la densité de charge totale dans le semi-conducteur s'effectue à partir de l'expression du champ électrique en surface en utilisant le théorème de Gauss.

Rappel : Le flux du vecteur excitation électrostatique ( D = SC0

 dans le cas d'un milieu diélectrique parfait) sortant d’une surface fermée (S) est égal à la somme des seules charges vraies intérieures à (S), soit

0 SC

int )

S (

dS Q

.  



-  _S  = 0

(y)

(y)

0 y

Isolant Silicium

Figure I.3. Surface d’intégration choisie pour appliquer le théorème de Gauss au champ électrique dans le semi-conducteur (considéré comme milieu diélectrique parfait).

Dans la région neutre du semi-conducteur, le champ électrique est nul ( = 0). Sur les faces latérales du cylindre, le champ électrique est parallèle à la surface, ainsi le flux de ^ au travers de ses faces est nul, de sorte que le théorème de Gauss conduit finalement à :

Si S εSC

= Q

ξ  (I.42)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004

3 4

1 2

0.5 10²³ 1 10²³ 2.5 10²³ 4 10²³ 5 10²³

| Q SC | ( Cm-2 )

_S (V)

Figure I.4. Exemple de courbes QSC(S) calculées pour différentes valeurs du dopage du substrat NA (m^-3). Les différents régimes du semi-conducteur sont indiqués pour NA = 2.510²³ m^-3.

L’expression de la charge dans le semi-conducteur est donc évaluée en reportant dans l'équation (I.41) l'expression du champ électrique en surface établie dans l'Eq. (I.42) :

 





 





0 0 0 si

SC exp exp 1 exp

p p n kT 2

Q          



 



 (I.43)

avec un signe + si S < 0 et un signe  si S > 0.

Il est important de rappeler que cette expression n’est valable que dans le cas d'un semi- conducteur de type p. L'expression de QSC pour un substrat de type n est donnée en annexe 1. La Fig. (1.3) illustre les variations de QSC en fonction du potentiel de surface pour différentes valeurs du dopage (supposé constant) du semi-conducteur. On distingue les quatre régimes suivant pour le semi-conducteur (cas ou C = 0) :