21 - 21 - 21 21 21 21 21 - - - - - 21 21 21 21 - - - - 21 q - 21 - 31 q - 31 31 31 31 31 31 31 31 31 - q q

Première S2 Exercices sur le chapitre 18 : E5 page n ° 1 2007 2008

E5 Savoir calculer des limites.

p 105 n ° 40.

q = 0,95 donc 0 < q < 1 d'après un théorème du cours, la suite est convergente et a pour limite 0.

q = 1,99 donc q > 1 d'après un théorème du cours, la suite est divergente et a pour limite + ∞.

q = - 0,95 donc q < 1 d'après un théorème du cours, la suite est convergente et a pour limite 0.

q = 1

2 donc 0 < q < 1 d'après un théorème du cours, la suite est convergente et a pour limite 0.

q = 2

3 donc q < 1 d'après un théorème du cours, la suite est convergente et a pour limite 0.

q = - 1,001 donc q > 1 d'après un théorème du cours, la suite est divergente.

P 104 n ° 41.

u, v et w sont des suites définies par u_n = 2 +

( )

₃^{1 et vn n = 2 −}

( )

₃^{1 et wn n = 2 +}

( )

⁻₃¹ⁿ

a.

( )

₃1 > 0 donc 2 + ⁿ

( )

₃1 > 2 donc uⁿ _n > 2.

( )

₃1 > 0 donc −ⁿ

( )

₃1 < 0 donc 2 − ⁿ

( )

₃1 < 2 donc vⁿ n < 2.

b. q = 1

3 alors la suite définie par tn =

( )

₃1 est une suite convergente vers 0.ⁿ

D'après les théorèmes sur les limites de somme, les suites u_n et v_n convergent vers 2.

La suite définie par s_n =

( )

⁻₃¹ⁿest une suite géométrique de raison q = - 1

3 avec q < 1 Donc la suite ( sn ) est convergente vers 0.

Donc la suite (w_n ) converge vers 2.

P 105 n ° 42.

Soit la suite ( u_n ) définie par u_n = 3 +

( )

⁻₂^1n.

a. La suite définie par s_n =

( )

⁻₂¹ⁿest une suite géométrique de raison q = - 1

2 avec q < 1 Donc la suite ( s_n ) est convergente vers 0.

Donc la suite (u_n ) converge vers 3.

b. d est la suite définie par dn = un − un-1

d1 = u1 − u0 = 3 − 1

2 − 3 − 1 = - 3 2 d2 = u2 − u1 = 3 + 1

4 − 3 + 1 2 = 3

4

d_n = u_n − un-1 = 3 +

( )

⁻₂^{1n − ( 3 +}

( )

⁻₂^{1n−1 ) =}

( )

⁻₂^{1n−1( - 1}₂^{− 1 ) = - 3}₂^×

( )

⁻₂¹ⁿ⁻¹

d_n+1 = u_n+1 − un = 3 +

( )

⁻₂^{1n+1 − ( 3 +}

( )

⁻₂^{1n ) =}

( )

⁻₂^{1n( - 1}₂^{− 1 ) = - 3}₂^×

( )

⁻₂^{1n= - 3}₂^×

( )

⁻₂^{1n−1× ( - 1}₂ ^{) = - 1}₂ ^dn.

Donc la suite ( dn ) est une suite géométrique de raison q = - 1

2 et de premier terme d¹ = - 3 2 . D'après la formule donnant le terme général, on a d_n = d₁ × q^n-1 = - 3

2 ×

( )

⁻₂^1n−1.

Or la suite donnée par son terme général égal à

( )

⁻₂¹ⁿ⁻¹ est convergente vers 0 car -1 < q < 0.

Donc la suite ( d_n ) est une suite convergente qui a pour limite 0.

Première S2 Exercices sur le chapitre 18 : E5 page n ° 2 2007 2008

p 108 n ° 72.

On considère la suite u_n =

) 3 n )(

1 n (

2 +

+ .

a. u₀ = 2

3 u₁ = 1

4 u₂ = 2

15 u₁₀ = 2

143 b. n > 0 donc n + 2 > n + 1

et aussi n + 4 > n + 3

donc ( n + 2 ) ( n + 4 ) > ( n + 1 ) ( n + 3 ) ainsi

) 4 n )(

2 n (

2 +

+ <

) 3 n )(

1 n (

2 + + cad u_n+1 < u_n

Donc la suite ( u_n ) est strictement décroissante.

lim ( n ) = + ∞ donc lim ( n + 1 ) = + ∞ et lim ( n + 3 ) = + ∞ d'où lim

) 3 n )(

1 n (

2 +

+ = 0.

Donc lim ( u_n ) = 0.

c. n11

+ ⁻ n13

+ ⁼ (n 1)(n 3) 1 n 3

n++ − +− ₌

) 3 n )(

1 n (

2 + + Donc u_n =

1 n

1+ ⁻ n 3 1+

d. S₅ = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 1 2 − 1

4 + 1 3 − 1

5 + 1 4 − 1

6 + 1 5 − 1

7 + 1 6 − 1

8 = 1 2 + 1

3 − 1 7 − 1

8 = 95 168 p 108 n ° 73.

On pose u₁= 1

2 et pour n supérieur à 1, un+1 = n 21 n+ _un On admet que u_n > 0 pour tout n.

a. u₁ = 1 2 u2 = 1

2 u3 = 3 4× 1

2 = 3

8 u₄= 4

6× 3 8 = 1

4 u₅ = 5

8× 1 4 = 5

32 Pour 1 < n on a n + 1 < n + n ⇔ n + 1 < 2n ⇔

n 21 n+ _{< 1} Donc u_n ×

n 2

n+1 < 1 × un donc u_n+1 < u_n. Donc la suite ( u_n ) est décroissante.

b. On pose v_n = n

un alors v_n+1 = 1 n u_{n 1}

+⁺ = 1 n

n u 2

1

n n

+ +

= 1

2n un = 1 2 ×

n un

= 1 2× vn

On passe du terme v_n à son suivant v_n+1 en multipliant par 0,5.

Donc la suite ( v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,5.

Ainsi v_n = v₁ × ( 0,5 )^n-1 = 0,5 × ( 0,5 )^n-1 = 0,5^n.

Or lim ( 0,5 )ⁿ = 0 donc lim v_n = 0.

c. u_n = n × vn = n × ( 0,5 )ⁿ =

2n . La suite u admet pour limite 0.n

P 108 n ° 74.

a. D'après le théorème de Pythagore, la longueur d'un segment l ( n ) est donnée par la formule : l ² ( n ) =

( )

₂¹_n ²⁺

( )

_n^{1 2=} ₄^{1 +} _{n² n}^{1 =} _{² 4}5 ⇔ l ( n ) = _n² 5

4 × 1 n L'aire s ( n ) d'une dent est donnée par la formule : s ( n ) =

2 n 1 n 1×

= 2n² 1

b. La longueur totale L ( n ) est donnée par L ( n ) = 2n × l ( n ) = 2n × 5 4 × 1

n = 2 5 4 = 5 L'aire totale S ( n ) de l'ensemble des n triangles est donnée par S ( n ) = n ×

² n

21 = 12n . c. lim 1

2n = 0 donc lim S ( n ) = 0. Et lim L ( n ) = 5.