TP16

TP 16 : Probabilités sur un univers fini

L'instrutionrand()renvoieunnombrehoisiauhasarddansl'intervalle

]0, 1[

^.

>rand()

ans=

0.7560438541695

Rappelonsquelaommandeoor(x)retournelapartieentière dunombreréel

x

^.Si

n

^{estunentiernaturel}

nonnul,l'instrutionoor(rand()*n)permetd'obtenirunnombreentieraléatoireomprisentre 0etn-1.

Parexemple,laommandesuivante renvoieunentieraléatoireomprisentre 0et9:

>oor(rand()*10)

ans=

2.

Si

n

^et

m

^{sontdeuxentiersnaturelsnonnuls,rand(}

n

^,

m

^{)renvoieunematriede}

M n,m ( R )

^{dontleséléments}

sont

n × m

^{nombreshoisisauhasarddans}l'intervalle

]0, 1[

^.

>rand(2,3)

ans=

0.0002211346291

0.6653811042197

0.8497452358715

0.3303270917386

0.6283917883411

0.6857310198247

Exerie 1 :

1. Diretementdanslaonsole,exéuterplusieursfoislesinstrutions:

rand() rand(1,3) rand(3,2)

2. Exéuterlesprogrammessuivants:

u=rand(10,10);

disp(u);

histplot(20,u);

u=rand(100,100);

disp(u);

histplot(20,u);

u=rand(1000,1000);

disp(u);

histplot(20,u);

u=rand(1000,1000);

disp(u);

histplot(50,u);

3. Commenterlesobservationspréédentes.

Exerie 2 :

Érire unprogrammequi:

•

^{Choisitauhasardunnombre}

x

^{omprisentre1et 127;}

•

^Demandeàl'utilisateurd'entrerunnombre

y

^;

•

^{Renvoie omme messageà}l'utilisateur"trop grand" (resp."trop petit")si

x < y

^(resp.

x > y

^),et

redemandeunnombre

y

^,tantque

x 6= y

^;

•

^{En asdesuès, annonelenombredetentativesde}l'utilisateur.

•

^{Quelestlenombreminimaldetentativesnéessairespourqu'un}utilisateursoit ertaindetrouverle nombre

x

^?Justier.

Exerie 3 :

Onlaneune innitédefoisunepièe tellequelaprobabilitédefairepilesoitégale

1 3

^.

1. Proposerunesuited'instrutionsquipermet desimulerunlanerdeette pièe(onreprésenterapile

par

1

^{et faepar}

0

^).

2. Construire une proédure qui, étant donné un entier naturel non nul

n

^{, ahe le nombre de piles}

obtenusauoursdes

n

^{premierslaners.}

3. Modierleprogrammepréédentpourobtenirlafréquened'apparitiondupile auourde

n

^laners.

4. Testerpour

n = 10

^,

n = 100

^,

n = 1000

^,

n = 10000

^{et ommenter lesrésultatsobtenus.}

5. Construireuneproédurequiahelenumérodulaneroùonobtientlepremierpile.

Exerie 4 :

Onlane10foisundééquilibréà6faes.Onherheombiendefoisle6apparaît.

1. Proposeruneinstrutionquipermetdesimulerunlanerdedé.

2. Construireuneproédurequidéterminelenombredefoisque6apparaîtauoursdes10laners.

3. Cetteexpérieneestrépété 1000fois.

(a) Construireune proédure qui alulelesfréquenes avelesquelles le 6apparaît 0fois,1fois, ...,

10fois.

(b) Enutilisantlaommandebar,traerundiagrammereprésentantlesfréquenesd'apparitionsde

lafae6auoursdees1000expérienes.

Exerie 5 :

Ononsidèrelamarhealéatoired'unindividu surl'ensemble

Z

:

•

^{Àl'instant0,l'individuest àl'absisse0;}

•

^{àtoutinstant}

n

^{,il sedéplaed'uneunitéàgauheoùàdroiteavelamême}probabilité.

1. Construire une proédurequi, étantdonné unentier

n ∈ N

, donne l'absisseoù sesituel'individuà l'instant

n

^.

2. Pourtoutentier

n ∈ N

,onnote

A n

l'événement:l'individuestrevenuàlaasedépartàl'instant

n

^?.

(a) Quediredel'événement

A n

^si

n

^estimpair?

(b) Calulerlaprobabilité

p n

^quel'événement

A n

^soitvrai.

() Construireune proédure qui, étant donné unentiernaturel

n

^{,aheun messageexpliquant si}

l'événement

A n

^{estréaliséounon.}

Exerie 6 :

Un déubique,dontlesfaessontnumérotéesde1à6,esttelque,lorsqu'onlelane,le6sorttroisfoisplus

quele1alorsquelesnuméros1,2,3,4et 5ontautantdehanesd'apparaître.

1. Quelleestlaprobabilitédesortiedehaquenuméro?

2. Construireuneproédurequisimulelelanerdeedé?

3. On lane

n

^{fois edé. Construire une proédurequi alule lafréquene}d'apparitionde haun des numérosettraeundiagrammereprésentantesfréquenes.

4. Testerpour

n = 1000

^,

n = 10000

^{etommenterlesrésultatsobtenus.}

5. Quelleestlaprobabilitédesortied'unnuméropair?

6. Construireune proédurequialule lafréquened'apparitiond'unnombrepairlorsde

n

^lanersde

edé.

7. Testerpour

n = 1000

^,

n = 10000

^{etommenterlesrésultatsobtenus.}

Exerie 7 :

1. Montrerquelaprobabilité

p n

^{qu'aumoinsdeuxétudiantsd'unemêmelassede}

n

^étudiants(

n

^étant

unentiersupérieurouégalà2)aientleuranniversairelemêmejourestdonnéeparlaformulesuivante

(onexlulesannéesbissextiles):

p n = 1 −

n − 1

Y

k=0

1 − k

365

2. Érire uneproédurepermettantdealuleret d'aher

p n

^{, l'entiernaturel}

n

^{étantsaisiparl'utili-}

sateur.

3. Calulerlaprobabilité

p n

^{pourlalassed'ECO1.}

4. En alulant

p n

^{pourdiérentes valeursde}

n

^{,onjeturersurlalimite delasuite}

(p n )

^etinterpréter.

5. Modier la proédure préédente an de déterminer l'entier

n

^(nombre d'étudiants de la lasse) à partirduquellaprobabilité

p n

^dépasse

1

2

^.