Corrigé du D.S. DE MATHEMATIQUES (5 A)
NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1
Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 3 H 00
I – Pour entretenir en bon état de fonctionnement du chauffage, une société immobilière propose, à ses locataires, un contrat d'entretien. Ce contrat coûte 30 € par an.
On sait que 20% des locataires ont pris ce contrat.
Si la chaudière tombe en panne, alors qu'il y a un contrat d'entretien, le locataire paie une somme de 50 € (prix du déplacement)
Si la chaudière tombe en panne, alors qu'il n'y a pas de contrat d'entretien, le locataire paie une somme forfaitaire de 350 €.
Parmi les chaudières avec contrat d'entretien, la probabilité qu'une chaudière tombe en panne est de 1 100 . Parmi les chaudières qui n'ont pas ce contrat, la probabilité qu'une chaudière tombe en panne est de 3
10 . On appelle C l'événement suivant : « la chaudière est sous contrat d'entretien »
et P l'événement suivant : « la chaudière tombe en panne » 1. Réaliser un arbre de probabilité.
2. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « la chaudière est sous contrat et tombe en panne »;
B : « la chaudière tombe en panne »;
D : « la chaudière est sous contrat ou tombe en panne »;
(On donnera les formules utilisées)
3. Dans un logement la chaudière est en panne. Calculer la probabilité qu'elle soit sous contrat..
4. On note X la variable aléatoire correspondant à la somme dépensée par le locataire.
a . Donner toutes les valeurs prise par cette variable aléatoire X.
b . Donner la loi de probabilité de X.
c . Déterminer l'espérance mathématiques de X, ainsi que la variance.
Tous les résultats seront donnés à 10−3 près.
II-Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ;u ,v (unité graphique : 2 cm).
1. Soit R une rotation de centre et d'angle . Donner l'expression complexe de cette rotation. Démontrer ce résultat.
2. Résoudre dans ℂ l'équation : z−2iz2−2z2=0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle.
3. Soit A et B les points d'affixes respectives zA=1i et zB=2i.
A tout complexe z différent de zA on associe le complexe z '= z−2i
z−1−i .
a . Soit ( E ) l'ensemble des points M d'affixe z tels que z ' soit imaginaire pur.
Démontrer que B∈E.
Déterminer et construire l'ensemble ( E ).
b . Soit ( F ) l'ensemble des points M d'affixe z tels que : ∣z '∣=1 Déterminer et construire l'ensemble ( F ).
Lycée Dessaignes Page 1 sur 2
4. Le point est le point d'affixe 3 25
2i et R la rotation de centre et d'angle 2 .
a . Calculer l'affixe du point B' image de B par R et l'affixe du point I', image par R du point I d'affixe 1
23 2i.
b . Quelles sont les images de ( E ) et de ( F ) par R?
III- On se propose de résoudre l'équation différentielle :E: y '3y=2x−6e−3x
1. Démontrer que la fonction h définie sur ℝ par hx=x2−6xe−3x est solution de l'équation différentielle ( E ).
2. On pose y=zh.
a . Démontrer que y est solution de ( E ) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle ( H ) : z '3z=0.
b . Résoudre l'équation différentielle ( H ) et en déduire les solutions de l'équation différentielle ( E ).
3. Démontrer qu'il existe une et une seule solution f de ( E ) tel que f 0=1 .
4. On considère la fonction définie sur ℝ par gx=x2−6x1e−3x, et C sa courbe représentative dans un repère O ;i ,j ( unité graphique : 4 cm )
a . Calculer les limites de g en −∞ et ∞. En déduire les asymptotes éventuelles.
b . Déterminer la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
c . Déterminer g 'x. En déduire le sens de variation de la fonction g.
d . Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0.
e . Tracer C et T.
Bon courage
Lycée Dessaignes Page 2 sur 2
