Exercices communs du 18 janvier 2017

(1)

Série ES / L

Durée de l'épreuve : 3 h

18 janvier 2017

Bac Blanc de Mathématiques

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- Enseignement spécifique -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 : (5 points)

Dans un pays, 7 % des médecins partent en retraite chaque année. 1 750 médecins sont recrutés par concours chaque année pour compenser ces départs à la retraite. Au 1^er janvier 2015, il y avait 29 000 médecins en activité. On note le nombre de médecins, en milliers, au 1^er janvier de l'année 2015 + .

1. Exprimer en fonction de . 2. On considère l'algorithme suivant :

Variables : est un réel

est un entier naturel Traitement :

Sorties :

prend la valeur 29 Pour allant de 0 à 2 Afficher

prend la valeur Fin Pour

a) Que permet de faire cet algorithme.

b) Appliquer cet algorithme à la main en arrondissant les résultats à 10 près.

Interpréter les résultats affichés.

3. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = .

a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique de raison 0,93. Préciser son premier terme.

b) En déduire que, pour tout entier naturel : = .

4. a) Démontrer que le nombre de médecins en activité diminue d'année en année.

b) Le nombre de médecins pourrait-il baisser à 20 000, dans un très grand nombre d'année. Justifier.

5. a) Proposer un algorithme pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de médecins deviendra inférieur à 26 000.

b) Résoudre l'inéquation < 26. Quel résultat retrouve-t-on ?

un n

un+1 un

U i U

i

U

U 0,93U + 1,75

-3

vn n vn un¡25

vn

n un 4£0,93ⁿ+ 25

4£0,93ⁿ+ 25

(2)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des six questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

1. Soit la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par = .

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réel strictement positif on a :

a) = – b) = c) =

2. Sur R, l'ensemble des solutions de l'inéquation ≤ est :

a) [-3 ; 6] b) ]0 ; 9] c) ]0 ; 6]

3. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. La somme des treize premiers termes de cette suite est :

a) S = b) S = c) S =

4. La représentation graphique d'une fonction définie et dérivable sur R est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes aux points d'abscisses -3 et 0.

a) = -1 b) = 0 c) = -1

On donne ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde d'une fonction définie sur [0 ; +∞[.

5. a) est concave sur [1 ; 2] b) est convexe sur [0 ; 2] c) est convexe sur [2 ; +∞[

6. La courbe c admet :

a) 0 point d'inflexion b) 1 point d'inflexion c) 2 points d'inflexion.

3x¡xlnx

f f(x)

x

f⁰(x) 3 _x¹ f⁰(x) 3¡lnx f⁰(x) 2¡lnx

4095 8191 ¹^¡²

14

1¡2 f

f⁰(0) f⁰(-3)

g⁰⁰ g

cg''

g g g

g

f(-1)

2lnx¡ln3 ln(6 +x)

(3)

Soit la fonction définie sur ℝ par =

On note c la courbe représentative de dans un repère et T la tangente à c au point d’abscisse 0.

Déterminer la position de c par rapport à T.

Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : Etude graphique

La courbe c donnée en Annexe 1 montre le résultat mensuel (bénéfice ou perte) en milliers d’euros qu’une entreprise réalise lorsqu’elle fabrique et vend centaines de jouets, pour compris entre 1 et 10.

Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par des lectures graphiques. Aucune justification n'est attendue.

1. Quelles sont les quantités à produire pour réaliser un bénéfice ?

2. Combien de jouets l'entreprise doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice mensuel supérieur à 1 000 € ? 3. Quel bénéfice mensuel maximal l’entreprise peut-elle réaliser ? Combien de jouets sont alors vendus ?

Partie B : Etude d'une fonction

On admet que le résultat mensuel (bénéfice ou perte) réalisé par l'entreprise de jouets est modélisé par la fonction , définie sur l’intervalle [1 ; 10] par :

=

où est le nombre de centaines de jouets vendus et le résultat mensuel associé, en milliers d'euros.

1. Résoudre l’équation = 0.

2. Montrer que, pour tout réel de l'intervalle [1 ; 10], on a : = . 3. Dresser le tableau de variation de sur [1 ; 10].

4. Donner le nombre de solutions de l’équation = 1 sur l'intervalle [1 ; 10] puis un encadrement au centième de chacune d’elles.

Partie C : Etude économique

La représentation graphique c donnée en Annexe 1 est celle de la fonction définie dans la partie B.

En utilisant les résultats établis dans la partie B, déterminer les réponses aux questions posées dans la partie A, au jouet près où à l'euro près.

f f(x) e^-3x ¡3x

f

x x

f

f(x) 5(1¡lnx)(lnx¡2)

x f(x)

f(x)

x f⁰(x) ¹⁵^¡^10lnx_x

f

f(x)

f

(4)

(5)

Correction du bac blanc du 18 janvier 2017 Exercice 1 :

Dans un pays, 7 % des médecins partent en retraite chaque année. 1 750 médecins sont recrutés par concours chaque année pour compenser ces départs à la retraite. Au 1^er janvier 2015, il y avait 29 000 médecins en activité. On note le nombre de médecins, en milliers, au 1^er janvier de l'année 2015 + .

1. On note le nombre de médecins, en milliers, au 1^er janvier de l'année 2015 + . Donc = 29 donne le nombre de milliers de médecins au 1^er janvier de l'année 2015.

D'une année à l'autre, 7 % des médecins partent à la retraite et 1,75 milliers de médecins sont recrutés.

Donc : ∀ ∈ N, = – + 1,75 = (1 – 0,07) + 1,75 = 0,93 + 1,75 2. On considère l'algorithme suivant :

Sorties :

prend la valeur 29 Pour allant de 0 à 2 Afficher

prend la valeur Fin Pour

a) Cet algorithme permet d'afficher les valeurs de , et . b) Pour = 0 :

• On affiche = 29

• prend la valeur =

Pour = 1 :

• On affiche =

prend la valeur ≈

Pour = 2 :

• On affiche =

• prend la valeur ≈

Remarque : Cette dernière valeur n'est pas affichée.

Interprétation des résultats :

▪ Au 1^er janvier de l'année 2015, il y avait 29 000 médecins dans ce pays.

3. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = . a) ∀ ∈ N, = = 0,93 + 1,75 – 25 = 0,93 – 23,25

Or : = ⇔ = .

Donc : = 0,93 – 23,25 = 0,93 + 23,25 – 23,25 = 0,93 On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison 0,93.

Calcul du premier terme : = = 29 – 25 = 4

b) Puisque ( ) est géométrique de raison = 0,93 et de premier terme = 4 alors :

∀ ∈ N, = =

On en déduit : = = .

4. a) ∀ ∈ N, = –

= –

= = - < 0

On en déduit :

Ainsi, le nombre de médecins en activité diminue d'année en année.

un+1 un

U i U

i

U

U 0,93U + 1,75

vn n vn un¡25

vn

un 4£0,93ⁿ+ 25

un n

u0

un

7 100

un+1 un

u0 u1 u2

i

U

U 0,93£29 + 1,75 28,72

U i

U 28,72

0,93£28,72 + 1,75 28,460

U i

U 28,46

0,93£28,46 + 1,75 28,218 n

n vn+1 un+1¡25 un un

vn un¡25 un vn+ 25

vn+1 (vn+ 25) vn vn

v₀ u₀¡25

vn v0

n vn v0 £qⁿ

q 4£0,93ⁿ vn+ 25

n un+1¡un 4£0,93ⁿ⁺¹+ 25 4£0,93ⁿ¡25 un+1¡un 4£0,93£0,93ⁿ 4£0,93ⁿ un+1¡un 3,72£0,93ⁿ 4£0,93ⁿ

un+1¡un (3,72¡4)£0,93ⁿ 0,28£0,93ⁿ un+1 < un

(6)

0,93 ∈ ]0 ; 1[ donc : = 0.

On en déduit : = = 0

= 0 + 25 = 25 Finalement : = 25.

Cela signifie que le nombre de médecins diminuera sans jamais devenir inférieur à 25 000.

Il ne pourra donc pas diminuer jusqu'à 20 000.

5. a) L'algorithme suivant permet de déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de médecins deviendra inférieur à 26 000.

Sortie :

prend la valeur 0 prend la valeur 29 Tant que ≥ 26 prend la valeur

prend la valeur (*) Fin Tant que

Afficher

(*) ou prend la valeur .

Avec cet algorithme, la valeur affichée en sortie est : = 20.

Cela signifie que 20 ans après 2015, soit en 2035, le nombre de médecins deviendra inférieur à 26 000.

b) < 26

< 26 – 25 < 1 <

< ( ) < -

0 < 0,93 < 1 donc < 0 On en déduit : > ≈19,1

∈ N donc ≥ 20

On retrouve que 20 ans après 2015 le nombre de médecins deviendra inférieur à 26 000.

Exercice 2 :

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des six questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

1. Soit la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par = .

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réel strictement positif on a :

a) = – b) = c) =

2. Sur R, l'ensemble des solutions de l'inéquation ≤ est :

a) [-3 ; 6] b) ]0 ; 9] c) ]0 ; 6]

3. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. La somme des treize premiers termes de cette suite est :

a) S = b) S = c) S =

4£0,93ⁿ+ 25

f f(x) 3x¡xlnx

x

f⁰(x) 3 _x¹ f⁰(x) 3¡lnx f⁰(x) 2¡lnx

2lnx¡ln3 ln(6 +x)

4095 8191 ¹^¡²

14

1¡2

n £

n!lim+10,93ⁿ

n!lim+14£0,93ⁿ 4£0

n!lim+14£0,93ⁿ+ 25

n!lim+1un

U

U 0,93U + 1,75

N N

U

N N + 1

N

U 4£0,93^N + 25

N

4£0,93ⁿ 4£0,93ⁿ 0,93ⁿ ¹₄

1 4 nLn(0,93) Ln(4)

Ln Ln(0,93ⁿ)

Ln(0,93) -Ln(4) Ln(0,93) n

n n

(7)

4. La représentation graphique d'une fonction définie et dérivable sur R est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes aux points d'abscisses -3 et 0.

a) = -1 b) = 0 c) = -1

On donne ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde d'une fonction définie sur [0 ; +∞[.

5. a) est concave sur [1 ; 2] b) est convexe sur [0 ; 2] c) est convexe sur [2 ; +∞[

6. La courbe c admet :

a) 0 point d'inflexion b) 1 point d'inflexion c) 2 points d'inflexion.

Exercice 3 :

Soit la fonction définie sur ℝ par =

On note c la courbe représentative de dans un repère et T la tangente à c au point d’abscisse 0.

Déterminer la position de c par rapport à T.

Méthode : On étudie le signe de la dérivée seconde pour étudier la convexité de et en déduire la position relative de c et de ses tangentes. Inutile de déterminer l'équation de la tangente.

∀ ∈ R, = = avec : = - et : = -3

= = -

= - = > 0

On en déduit que la fonction est convexe sur R et que par conséquent sa courbe c se situe au dessus de sa tangente T au point d'abscisse 0.

f

f⁰(0) f(-1) f⁰(-3)

g⁰⁰ g

g g g

g

f f(x) e^-3x ¡3x

f

cg''

f

x f(x) e^-3x ¡3x e^u(x)¡3x u(x) 3x f⁰(x) u⁰(x)e^u(x)¡3 3e^-3x¡3

f⁰⁰(x) 3£(-3)e^-3x 9e^-3x f

u⁰(x)

(8)

Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : Etude graphique

La courbe c ci-dessous montre le résultat mensuel (bénéfice ou perte) en milliers d’euros qu’une entreprise réalise lorsqu’elle fabrique et vend centaines de jouets, pour compris entre 1 et 10.

1. Graphiquement, il semble que l'entreprise réalise un bénéfice si elle vend entre 270 et 740 jouets.

2. Graphiquement, il semble que pour réaliser un bénéfice mensuel supérieur à 1 000 € l'entreprise doit ventre entre 360 et 560 jouets.

3. Graphiquement, il semble que l’entreprise réalise un bénéfice mensuel maximum de 1 250 € en vendant 450 jouets.

Partie B : Etude d'une fonction

On admet que le résultat mensuel (bénéfice ou perte) réalisé par l'entreprise de jouets est modélisé par la fonction , définie sur l’intervalle [1 ; 10] par :

=

où est le nombre de centaines de jouets vendus et le résultat mensuel associé, en milliers d'euros.

1. = 0 ⇔ = 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

5 ≠ 0 donc : =0 ou = 0

= 1 ou = 2

= ou =

2. ∀ ∈ [1 ; 10], = = avec : et :

= = 5[- ( ) + ( )]

= = = .

x x

f

f(x) 5(1¡lnx)(lnx¡2)

x f(x)

f(x)

Nombre de jouets (en centaines) Résultat

mensuel (×1000 €)

3,6 5,6

2,7 7,4

4,5 1,25

5(1¡lnx)(lnx¡2)

1¡lnx lnx¡2

lnx lnx

x e x e²

x f(x) 5(1¡lnx)(lnx¡2) 5u(x)v(x) f⁰(x)

15¡10lnx x

5[u⁰(x)v(x) +v⁰(x)u(x)] _x¹ lnx¡2 ¹_x 1¡lnx

½ u(x) = 1¡lnx v(x) =lnx¡2

½ u⁰(x) = -_x¹ v⁰(x) = _x¹

f⁰(x) ^5[-lnx+2+1_x ^¡^lnx] ⁵⁽³^¡_x^2lnx)

(9)

3. ∀ ∈ [1 ; 10], > 0

On en déduit que a le même signe que sur [1 ; 10].

> 0 ⇔ > ⇔ > ⇔ <

On en déduit le tableau de variations suivant :

1 10

+ –

1,25

-10 -1,97 Calcul des images :

◦ = = = -10

◦ = = = = 1,25

◦ = ≈ -1,97

4. La fonction est continue et strictement croissante sur [1 ; ].

∀ ∈ [1 ; 10], ∈ [-10 ; ] et 1 ∈ [-10 ; ].

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = 1 admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; ].

De même, puisque :

▪ est continue et strictement décroissante sur [ ; 10].

▪ ∀ ∈ [ ; 10], ∈ [-1,97 ; 1,75]

▪ 1 ∈ [-1,97 ; 1,75].

Alors l'équation = 1 admet une unique solution sur l'intervalle [ ; 10].

Finalement, = 1 admet deux solutions sur l'intervalle [1 ; 10].

Sachant que = 1 et en utilisant le tableur de la calculatrice on obtient :

◦ ≈ 0,44 < 1 et ≈ 1,19 > 1 donc : 3 < < 4

◦ ≈ 0,94 < 1 et ≈ 1,01 > 1 donc : 3,5 < < 3,6

◦ ≈ 0,998 < 1 et ≈ 1,004 > 1 donc : 3,58 < < 3,59 De même, on obtient : 5,6 < < 5,61

Partie C : Etude économique

La représentation graphique c donnée en Annexe 1 est celle de la fonction définie dans la partie B.

1. Dans la partie A, on a conjecturé que l'entreprise réalise un bénéfice si elle vend entre 270 et 740 jouets.

Dans la partie B, on a résolu l'équation = 0 qui permet de déterminer les quantités de jouets à produire pour que le bénéfice soit nul. On a obtenu : = ≈ 2,72 ou = ≈ 7,39.

La lecture du sens de variations de la fonction permet ensuite d'affirmer que l'entreprise réalise un bénéfice lorsqu'elle vend entre 272 et 739 jouets.

2. Dans la partie A, on a conjecturé que l'entreprise réalise un bénéfice mensuel supérieur à 1 000 € lorsqu'elle vend entre 360 et 560 jouets.

Dans la partie B, on a justifié que l'équation = 1 admet exactement deux solutions et sur l'intervalle [1 ; 10] avec : 3,58 < < 3,59 et : 5,6 < < 5,61

De plus, le tableur de la calculatrice a donné : < 1 ; > 1 ; > 1 ; < 1 On en déduit que l'entreprise réalise un bénéfice mensuel supérieur à 1 000 € lorsqu'elle vend entre 359 et 560 jouets.

3. Dans la partie A, on a conjecturé que l’entreprise réalise un bénéfice mensuel maximum de 1 250 € en vendant 450 jouets. Le tableau de variations obtenu dans la partie B permet d'affirmer que le bénéfice maximum réalisé est effectivement de 1 250 €. Il est réalisé pour = ≈ 4,48. Ainsi, l'entreprise réalise un bénéfice maximum lorsqu'elle vend 448 jouets.

f(x)

f x

f⁰(x) 15¡10lnx

15¡10lnx 15 10lnx 1,5 lnx x e^1,5

x

x f⁰(x)

f(x)

e^1,5

f(1) 5(1¡ln1)(ln1¡2) 5(1¡0)(0¡2) O

f(e^1,5) 5(1¡lne^1,5)(lne^1,5¡2) 5(1¡1,5)(1,5¡2) 5(-0,5)² f(10) 5(1¡ln10)(ln10¡2)

x

e^1,5 f

f(x) e^1,5 e^1,5

e^1,5

f e^1,5

x e^1,5 f(x)

f(x) e^1,5

f(x)

®

¯

f(3) f(4) ®

f(®)

®

f(3,5) f(3,6)

f(3,58) f(3,59)

¯

f(x)

x e x e²

f

f(x) ® ¯

® ¯

f(3,58) f(3,59) f(5,6) f(5,61)

e^1,5 x