Forme canonique

Exemple : soit P le polynôme défini sur ℝ par P (x)=3 x2

−2 x+7 Méthode 1 : Par le calcul

Pour tout x ∈ ℝ, P (x)=3 x2 −2 x+ 7 P (x)=3

(

x2−2 3x + 7 3

)

P (x)=3

[

(

x−1 3

)

2 −

(

1 3

)

2 +7 3

]

P (x)=3

[

(

x−1 3

)

2 −1 9+ 21 9

]

P (x)=3

[

(

x−1 3

)

2 +20 9

]

P (x)=3

(

x −1 3

)

2 +20 3 Méthode 2 : En utilisant le cours

P est un polynôme de degré 2, le coefficient de x2 _{étant positif, donc sa représentation graphique}

est une parabole orientée vers le haut.

D'après le cours, le sommet S de cette parabole a pour abscisse : x_S=−(−2) 2×3 = 1 3 yS=f ( xS) yS=3×

(

1 3

)

2 −2×1 3+7 y_S=1 3− 2 3+ 21 3 yS= 20 3

La forme canonique de P (x) est donc : Pour tout x ∈ ℝ, P (x)=3

(

x −1

3

)

2

+20 3

Méthode 3 : Par identification des polynômes

P étant un polynôme de degré 2, son expression peut être écrite sous forme canonique : il existe 2 réels  et  tels que, pour tout réel x, P (x)=3(x−α)2

+β Pour tout x ∈ ℝ, P (x)=3(x2−2 α x+ α2)+β P (x)=3 x2_{−6 α x+3α}2 +β 3 x2_{−6 α x+3 α}2_{+β=3 x}2 −2 x +7 (2−6 α) x +(3 α2+β−7)=0

La fonction affine [x  (2−6 α) x +(3 α2+β−7)] est nulle, donc les coefficients 2−6 α et 3 α2+β−7 sont nuls. 2−6 α=0 donne α=1 3. 3 α2+β−7=0 donne 3×

(

1 3

)

2 +β−7=0 , soit 1 3+β−7=0 , et finalement, β= 20 3 . La forme canonique de P (x) est donc :

Pour tout x ∈ ℝ, P (x)=3

(

x −1 3

)

2

+20 3