Licence de Math´ematiques Orsay 2005–06 Troisi`eme semestre - Arithm´etique
Feuille d’exercices no2 Arithm´etique dans Z
1 - Le crible d’Eratosth`ene
Le principe du crible d’Eratosth`ene est le suivant. On forme une table avec tous les entiers naturels compris entre 2 et N. On applique alors la proc´edure suivante :on entoure le premier entier non- ray´e, puis on raye tous les autres multiples de cet entier.On r´e-applique cette proc´edure jusqu’`a ce que tout entier de la table ait ´et´e soit entour´e, soit ray´e. Les nombres entour´es sont les nombres premiers.
1. Appliquer cet algorithme sur la table suivante, pour trouver tous les nombres premiers entre 2 et 100.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2. D´emontrer que cet algorithme fournit vraiment la liste des nombres premiers entre 2 etN. 3. Combien de fois doit-on appliquer la proc´edure centrale de l’algorithme (en fonction de N) ?
2 - Un crit`ere de divisibilit´e
Soit n un entier, dont l’´ecriture d´ecimale est aNaN−1. . . a1a0 (o`u a0, . . . , aN sont des chiffres, compris entre 0 et 9). Cela signifie qu’on a n=aN ×10N +aN−1×10N−1+· · ·+a1×10 +a0. 1. Montrer que n est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres (c’est-`a-dire a0+a1+· · ·+aN) est divisible par 9.
2. Montrer quenest divisible par 11 si, et seulement si, la sommealtern´eede ses chiffres (c’est-`a-dire a0−a1+a2−a3+· · ·+ (−1)NaN) est divisible par 11.
3. Le nombre 1804 est-il divisible par 9 ? Est-il divisible par 11 ?
3 - Calculs de pgcd
1. Calculer les pgcd suivants, par deux m´ethodes : la d´ecomposition en facteurs premiers et l’algorithme d’Euclide : pgcd(48,210), pgcd(63,111).
2. Calculer les pgcd suivants, par la m´ethode d’Euclide : pgcd(94,267), pgcd(106,317), pgcd(82,519).
4 - Relations de Bezout
Pour chaque couple (a, b) ci-dessous, d´emontrer que a et b sont premiers entre eux et construire une relation de Bezout de la forme au+bv= 1 : (a, b) = (25,38), (19,54), (18,29).
5 - Quelques ´equations diophantiennes 1. R´esoudre dans Z2 l’´equation 95x+ 71y = 46.
2. R´esoudre dans Z2 l’´equation 20x−53y = 3.
3. R´esoudre dans Z2 l’´equation 3x2+xy−11 = 0.
6 - Restes chinois
1. Trouver un entierx tel que
x≡5 mod 11 x≡7 mod 17 2. Trouver un entiery tel que
y≡2 mod 5 y≡9 mod 11 y≡1 mod 13
7 - Une ´equation avec des pgcd
Le but de cet exercice est de trouver l’ensemble des solutions enti`eres nde l’´equation pgcd(2n+ 8,3n+ 15) = 6.
1. Montrer que si nest une solution alors n≡2 mod 3 etn≡1 mod 2.
2. D´eduire de la question pr´ec´edente un entierk tel que sinest une solution alors n≡kmod 6.
3. R´eciproquement, v´erifier que si n≡kmod 6 alors nest une solution.
8 - Divisibilit´e
1. Montrer que, pour toutn dansZ, 6 divise 5n3+n.
2. Montrer que, pour toutn≥0, 11 divise 26n+3+ 32n+1.
9 - Sommes de trois carr´es
1. Montrer que, pour tout ndansZ, le reste dans la division euclidienne den2 par 8 est 0, 1 ou 4.
2. Montrer que si 8 divise n−7 alorsn ne peut pas ˆetre la somme de trois carr´es d’entiers.