II - REPONSE D’UN FILTRE

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL EI3a 2004-2005 Devoir surveillé N°1

Durée 2h 30 Documents autorisés

______________

I – NUMERISATION AUDIO

Un système de traitement numérique audio comprend un convertisseur analogique-numérique d’une résolution N = 16 bits. La pleine échelle du signal d’entrée s’étend de -A_max à +A_max avec A_max = 4,096 V. La fréquence d’échantillonnage est f_e = 48 kHz.

1) Calculer le pas de quantification q et la puissance P_q du bruit de quantification.

2) On applique à l’entrée le signal analogique :

x t_a( )= ⋅A cos(2πf t₀ )

Exprimer et représenter graphiquement le signal numérique x(n) obtenu par échantillonnage de x_a(t) si sa fréquence est f₀ = 6 kHz.

3) Donner une expression de la puissance P_x de x(n) calculable exactement. Utiliser cette expression pour calculer P_x si on suppose que A = 2 V.

4) Quel est le rapport signal à bruit pour une amplitude A à la limite d’écrétage ?

5) On intercale à l’entrée du CAN un échantillonneur-bloqueur. Expliquer en quelques lignes l’utilité de ce circuit.

6) Dans l’hypothèse d’un échantillonneur-bloqueur idéal sans gigue, quelle pourrait être la valeur maximale f_0max de f₀ ?

7) Calculer la gigue maximale ∆t à ne pas dépasser si l’on impose f_0max = 20 kHz pour une amplitude A = 1 V.

8) On considère maintenant le signal d’entrée : x t′_a( )= ⋅A cos(2πf t₀ )+ ⋅a cos(2πf t₁).

Le deuxième terme est une perturbation d’amplitude a = 0.2 V et de fréquence f₁ = 42 kHz.

Donner l’expression du signal numérique x n′( ) obtenu si le signal principal a une amplitude A = 2 V et une fréquence f₀ = 6 kHz. Quel problème constate-t-on ? Comment peut-on y remédier ?

___________________________________________________________________________

II - REPONSE D’UN FILTRE

1) Rappeler l’expression générale de la réponse en fréquence H(f) d’un filtre de réponse impulsionnelle h(n) et la condition mathématique de sa stabilité.

2) Quelles sont les réponses en fréquence H₁(f) et H₂(f) des filtres dont les réponses impulsionnelles sont respectivement h₁(n) = D(n) (impulsion unité) et h₂(n) = D(n-1) ?

3) Un filtre a pour réponse impulsionnelle :

h n( )=

RS T

A UV W

Quelle est sa relation de récurrence ? S’agit-il d’un filtre à RIF ou à RII ?

4) On applique à l’entrée le signal x n n ( ) cos=

F

HG I

KJ

2π3 . Représenter graphiquement ce signal et en déduire la réponse temporelle y(n).

5) Montrer que la réponse en fréquence H(f) peut s’écrire sous la forme H f( )=R f e( ) ^{−j fT2π e} dans laquelle R(f) est une fonction réelle positive ou négative.

6) Exprimer et tracer le module et la phase de H(f).

7) En déduire la réponse y(n) au signal x n n n ( )= +sin

F

HG I

KJ

F

HG I

KJ

1 2

3 2

π π2

8) Exprimer, sans calculs, la réponse en fréquence H f′( ) du filtre de réponse impulsionnelle : ^{h n}′^{( )}=

RS T A

UV W

Quelle sera sa réponse y n′( ) au signal x(n) ci-dessus ?

9) Exprimer la fonction de transfert H Z)( du premier filtre. Comment passe-t-on à la fonction de transfert H Z)′( du second ?

___________________________________________________________________________

III – FONCTION DE FILTRAGE DE LA TFD

1) Exprimer la TFD du signal complexe x n( )= ⋅A e^{j f nT2π0 e} ( 0≤ ≤ −n N 1).

2) Montrer que l’échantillon spectral X(k) de rang k peut s’écrire sous la forme : X k A

N e

e

A N

k f f NT k f f T e

j k f f NT j k f f T

e e

j k f f N T

e e

( ) sin ( ) e

sin ( )

( )

( )

( )( )

= ⋅ −

− = ⋅ −

− ⋅

− −

− − − − −

1 1

2 2

0 0

0 1

0

0

π

π π π

π

∆

∆ ∆ ∆

∆ Que vaut l’intervalle de fréquence ∆f ? Que représente-t-il ?

3) Le facteur exponentiel est un terme de phase pure et A est l’amplitude du signal d’entrée.

On peut donc considérer la sortie de rang k de la TFD comme un filtre dont la réponse en fréquence aurait pour module :

G f f f NT

N f f T

k k e

k e

( ) sin ( )

sin ( )

= −

⋅ −

π

π avec f_k = ∆k f

Représenter l’allure de G_k(f) au voisinage de f = f_k. Pour quelles valeurs de f s’annule-t-il ? 4) En déduire et représenter graphiquement le module X k( ) de la TFD du signal complexe x(n) précédent pour N = 16, f_e = 16 kHz et f = f₀ = 4 kHZ. Que constate-t-on ?

___________________________________________________________________________