GRANDEURS PHYSIQUES
1. SYSTEME INTERNATIONAL D’UNITES
1.1. Système d’unités :pour constituer un système cohérent d’unités, il faut :
* choisir arbitrairement des unités de bases : unités fondamentales
* déduire les autres unités en utilisant les relations traduisant les lois physiques : unités dérivées
1.2. Unités fondamentales : TABLEAU 1
GRANDEURS UNITES
Longueur : L Largeur : l Hauteur : h Epaisseur : e Rayon : r Diamètre : D Longueur curviligne : s
DIMENSION : L
METRE : [ m ]
le mètre est la longueur égale à 1 650 763,73 longueurs d’onde dans le vide de la radiation orangée de l’atome de Krypton 86.
Masse : m
DIMENSION : M
KILOGRAMME : [ kg ]
le kilogramme est la masse du prototype international (cylindre de platine iridié : diamètre de base de 39 mm et hauteur de 39 mm)
Temps : t
Intervalle de temps : ∆t Période : T
Constante de temps : τ DIMENSION : T
SECONDE : [ s ]
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les 2 niveaux de l’état fondamental de l’atome de Césium Cs 163 .
Intensité de courant électrique : I, i
DIMENSION : I
AMPERE : [ A ]
l’ampère est l’intensité de courant électrique constant qui, maintenus dans 2 conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à 1 m de distance l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces 2 conducteurs une force d’intensité 2.10-7 N par mètre de longueur.
Température absolue : T Température Celsius : θ, t θ = T-To avec To = 273,15 K DIMENSION : ΘΘ
KELVIN : [ K ]
le kelvin est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l’eau
DEGRE CELSIUS : [ °C ] pour les intervalles ou différences de température, les 2 unités sont identiques.
Intensité lumineuse : I
DIMENSION : J
CANDELA : [ cd ]
le candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 Hz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian.
Quantité de matière : n
DIMENSION : N
MOLE : [ mol ]
la mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kg de Carbone 12.
1.3. Unités supplémentaires : TABLEAU 2
Angle plan : α, β, ..., θ,
Angle = longueur arc découpé sur un cercle longueur du rayon de ce cercle
DIMENSION : sans
RADIAN : [ rad ]
le radian est l’angle compris entre 2 rayons qui interceptent, sur un cercle donné, un arc de longueur égale à celle du rayon .
1 tour correspond à 2π rad
Angle solide : ω ou Ω
Angle = aire découpée sur une sphère aire du carré de côté égal au rayon
DIMENSION : sans
STERADIAN : [ sr ]
le stéradian est l’angle solide qui, ayant son sommet au centre d’une sphère, découpe sur la surface de cette sphère, une aire égale à celle d’un carré de côté égal au rayon de cette sphère.
1 tour correspond à 4π sr
1.3. Multiples et sous-multiples des unités : TABLEAU 3
Pour former les noms et les symboles des multiples et sous-multiples des unités SI , on utilise les préfixes donnés par le tableau 3 . Exemple : centimètre ( cm)
Remarques :
- ne pas juxtaposer plusieurs préfixes SI (même si l’unité de base, elle-même, comprend un préfixe).
Ex 1 : écrire nanomètre (nm) et non pas millimicromètre (mµm)
Ex 2 : écrire milligramme (mg) et non pas microkilogramme (µkg)
- dans le cas d’une unité composée n’utiliser qu’un seul préfixe.
Ex : écrire millinewton-mètre (mN.m) et non pas décinewton-centimètre (dN.cm).
- les multiples sont généralement choisis de telle sorte que la valeur numérique soit comprise entre 0,1 et 1000.
- dans les calculs, pour éviter des erreurs, remplacer les préfixes par des puissances de 10.
Ex : I = 45 mA = 45.10-3 A
FACTEUR PREFIXE SYMBOLE
1018 exa E
1015 peta P
1012 téra T
109 giga G
106 méga M
103 kilo k
102 hecto h
101 déca da
10-1 déci d
10-2 centi c
10-3 milli m
10-6 micro µ
10-9 nano n
10-12 pico p
10-15 femto f
10-18 atto a
1.5. Unités dérivées : exemples en Mécanique
GRANDEUR TRANSLATION ROTATION
Position Distance x en [ m ] Angle θθ en [ rad ] Vitesse Vitesse linéaire
v = dx
dt = x en [ m . s • • -1 ]
Vitesse angulaire
•θθ = dθθ
dt en [rad . s –1] Accélération Accélération linéaire
γγ = dv
dt = d2x
dt2 = • •x en [ m . s -2 ]
Accélération angulaire
•• ••
θ θ==d2θθ
dt2 en [ rad . s -2 ]
Mouvement
Principe fondamental de la Dynamique
Force F en [ N ] ΣΣ F = m γγ = m • • • •x ( à 1 dimension ) en [ kg.m.s-2 ]
Moment M en [ N . m ] Σ
Σ MM = J •• •• θθ en [ kg.m2.s-2 ] J : moment d'inertie du système par rapport à l’axe de rotation : J = m L2
Travail W = F . ∆∆ x [ J ] [ N.m ]
W = MM . ∆θ∆θ [ J ] [ N.m.rad ] Puissance
P = W
∆t ∆ = F . ∆∆x
∆ ∆t = F . v Watt [ W ] [ N.m.s-1 ]
P = W
∆ ∆t = MM . ∆θ∆θ
∆t ∆ = MM . • •θ θ Watt [ W ] [N.m.s-1 ] Action de rappel
(→→ oscillations)
Ressort : F = - k . x
Pendule de torsion : M
M = - C . θθ
1.6. Equation aux dimensions :
⇒ toute unité dérivée peut s’exprimer à partir des unités de base indépendantes
⇒ l’équation aux dimensions représente l’équation mathématique qui exprime l’unité de chaque membre d’une relation en fonction des unités de base.
* notation utilisée pour la dimension : cf. Tableau 1
Longueur : L Masse : M Temps : T ...
* Exemples : Ex 1 : dimension d’une vitesse : v = dx
dt [ v ] = L . T -1 Ex 2 : dimension d’une accélération γ = dv
dt [ γ ] = L.T-1 . T-1 = L.T -2
⇒ utilité de l’équation aux dimensions : elle permet de vérifier la cohérence d’une formule ou d’une relation : comme le système d’unités dérivées est cohérent, il en résulte que :
[ 1er membre ] = [ 2ème membre ] . Chaque membre d’une relation doit évidemment avoir la même dimension.
2. ERREURS ET INCERTITUDES DANS LES MESURES
2.1. Introduction :
1. Deux témoins relatent un même événement. L’un dit : “cela s’est passé à 15h”. L’autre dit : “l’incident s’est produit à 15h 0min”.
Faites-vous une différence entre ces propos ?
2. Vous lisez dans la rubrique “Résultats/élections” : Mme F. : 35% des suffrages exprimés
M. P. : 24,3% des suffrages exprimés Melle S. : 19,7% des suffrages exprimés
Le premier résultat est-il donné avec la même précision que les deux autres ?
3.a. En rendant la monnaie, le boucher se trompe de 1F sur 100F . L’épicier se trompe de 1F sur 5F .
Les deux erreurs ont-elles la même importance ? 3.b. Supposons qu’un appareil de mesure, mal réglé, commette une erreur systématique d’1 unité à chaque mesure.
Vaut-il mieux s’en servir pour mesurer une petite ou une grande quantité ?
4. Imaginez que vous lisiez cette phrase : ”le champion olympique a couru le 100m en 9,84327 s.”
Quel crédit accorderiez-vous à tous ces chiffres ? Combien de chiffres ont une significations ?
Le physicien et le chimiste sont constamment amenés à effectuer des mesures de toutes sortes. Dès qu’on mesure une grandeur, on ne peut jamais être sûr du résultat obtenu (certitude au sens mathématique du terme). Une des tâches de l’expérimentateur est de déterminer le domaine dans lequel se trouve la vraie valeur de la grandeur : on dit qu’il exprime la probabilité d’exactitude de la valeur fournie . 2.2. Généralités :
2.2.1. Différents types d’erreurs :
* ERREURS SYSTÉMATIQUES : c’est une erreur qui se renouvelle à chaque mesure à cause :
- d’un défaut de l’appareil de mesure, ou d’un zéro mal réglé - d’une erreur liée à la méthode de mesure
Exemple : mesure de tension et d’intensité pour un dipôle Deux montages possibles :
* ERREURS ALÉATOIRES : elles sont difficiles à prévoir
* ERREURS NORMALES DE MESURE : elles sont directement liées aux qualités de l’appareil et aux conditions de mesures.
2.2.2. Qualités d’un instrument de mesures :
* JUSTESSE : la valeur indiquée par l’appareil correspond, aux erreurs normales de mesures près, à la valeur réelle de la grandeur mesurée.
* FIDÉLITÉ : en répétant la même mesure plusieurs fois de suite, dans les mêmes conditions, l’appareil indique chaque fois la même valeur.
* SENSIBILITÉ : elle traduit l’aptitude de l’appareil à réagir à la moindre sollicitation ; la sensibilité de l’appareil représente la plus petite grandeur mesurable par un déplacement appréciable de l’affichage.
Ces qualités sont directement liées aux mesures ; un appareil peut posséder d’autres qualités comme la maniabilité, la robustesse, ... .
2.2.3. Etude statistique : valeur probable, écart, tolérance
* mesure de la largeur d’une porte : chaque élève fait la mesure V
A
R
Imes = IR
Umes = UA + UR
V A
R
Umes = UR
Imes = Iv + IR
MESURE(en cm)
78,2 78,3 78,4 78,5 78,6 78,7
EFFECTIF 4 8 25 10 2 1
* effectif par classe de réponse :
on peut faire un histogramme des réponses et ensuite calculer la valeur probable (valeur moyenne) et l’écart-type σ .
- Valeur probable : X =
∑
i=1 n
Xi
N
avec N = nombre total de mesures.
On obtient : X = 78,40 cm - Ecart-type :
σ =
∑
i n(Xi – X ) N On obtient : σ = 0,1 cm
* CONCLUSION : si les effectifs se placent sur une courbe de GAUSS : incertitude sur la mesure =
σ
avec un niveau de confiance de 68 % incertitude sur la mesure = 2σ
avec un niveau de confiance de 95 % incertitude sur la mesure = 3σ
avec un niveau de confiance de 99 % 2.3. Précision d’une mesure :Erreur absolue : ∆X Erreur relative : ∆X
X c’est la précision sur la mesure
Dans une manipulation, il s’agit d’apprécier les erreurs absolues commises sur chaque grandeur mesurée et ensuite, à l’aide d’un calcul, de déterminer l’erreur absolue et relative globale.
2.3.1. Cas d’une addition :
on calcule l’erreur absolue : c’est le principe d’une dérivée simple :
> si X = A + B ⇒ dX = dA + dB ⇒ ∆X = ∆A + ∆B
> si X = A – B ⇒ dX = dA – dB
⇒ ∆X = ∆A + ∆B les erreurs s’ajoutent au pire des cas 2.3.2. Cas d’une multiplication :
on calcule l’erreur relative : c’est le principe d’une dérivée logarithmique : ( dérivée de lnX = dX
X )
> si X = A . B ⇒ ln X = lnA + lnB ⇒ dX
X = dA
A + dB B alors ∆X
X = ∆A
A + ∆B B
> si X = A . B
C ⇒ ln X = lnA + lnB – lnC ⇒ dX
X = dA
A + dB
B – dC C alors ∆X
X = ∆A
A + ∆B
B + ∆C
C les erreurs s’ajoutent au pire des cas 2.4. Ecriture d’un résultat :
* En général, la précision sur les mesures habituelles en physique est proche de 1% à quelques %, ce qui veut dire que les résultats seront donnés avec 2 ou 3 chiffres significatifs.
* Exemple : ρ = 7 823,564 3 kg.m-3 : il est incohérent d’écrire un tel résultat : cela voudrait dire que l’on garantit la validité du dernier 3 de ce nombre, ce qui est absurde.
Avec 3 chiffres significatifs , la réponse s’écrit : ρ = 7,82 . 103 kg.m-3 Avec 2 chiffres significatifs , la réponse s’écrit : ρ = 7,8 . 103 kg.m-3
* L’énoncé donne de manière implicite, dans la façon d’écrire les valeurs numériques, la précision sur chaque grandeur. Le résultat sera donc écrit, de façon cohérente, avec le nombre de chiffres significatifs suggérés par l’énoncé.
