Cinématique curviligne

Cinématique curviligne

Soit trois constantes positives. La trajectoire d’un mobile ponctuel a pour équation en coordonnées polaires ; le mobile s’y trouve à l’instant t au point de coordonnée .

0, , r α ω

0exp( r =r −αθ)

2 en mêm ) θ =ωt 1) Dessiner la trajectoire entre l’instant 0 et l’instant infini.

2) Exprimer les coordonnées polaires v v_r, _θ de la vitesse en fonction de α ω, ,r.

3) Dessiner qualitativement la vitesse en un point pour lequel 0<θ<π/ e temps que la trajectoire.

4) En interprétant le rapport v_θ/v_r, trouver une relation entre α et l’angle ϕ=(u vG_r,G

que fait la vitesse avec la radiale

5) Exprimer les coordonnées polaires a_r,a_θ de l’accélération en fonction de α ω . / 2

<

)

, ,r

6) Dessiner qualitativement l’accélération en un point pour lequel en même temps que la trajectoire pour α .

0<θ<π 1

7) Trouver une relation entre α et l’angle ψ=(u aG G_r,

que fait l’accélération avec la radiale.

II₂₇. Route d'un navire à cap constant.

Un navire se déplace à la surface du globe terrestre supposé parfaitement sphérique, de rayon ^R=^{6370 km} et de centre O.

Sa position est précisée à chaque instant t par ses coordonnées sphériques (r, θ, φ ) auxquelles on associe la base sphérique B_S, (eG_r

, eG_θ , eG_φ

) : OM = r

= R ; (eG_z0 , OMJJJJG

) = θ ; φ est l'angle dièdre orienté des plans Ox₀z0 et OMz0

(figure ci-contre).

On recherche la trajectoire, pour laquelle la vitesse du navire est constante en norme V M RG( / ₀) =V₀ =30 km/h

et telle que 1' angle entre la tangente à la trajectoire et le méridien terrestre du lieu reste constant : soit eG_u

le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement : α=(eG_u ,eG_θ)=cte

(figure ci-dessous). On considère un cap compris entre le sud et l’ouest, (α>0).

1) En déduire les relations entre ^d dt

φ = φ, d dt θ = θ, V

0, R, α et θ.

2) Établir l'équation, paramétrée par l'angle α, de la trajectoire (appelée loxodromie) du navire sous la forme et la loi horaire θ(t) du mouvement du navire sur sa trajectoire. On suppose que à t = 0, θ = θ

φ θ( )

0 et φ = φ0. On donne ln tan

sin 2

dx x

x =

∫

3) Application : déterminer le cap α que doit prendre le navire pour effectuer une navigation loxodromique de Los Angeles (34° de latitude NORD, 118° de longitude OUEST) à l'île de Nuku Hiva dans l'archipel d Marquises (10° de latitude SUD, 139° de longitude OUEST), ainsi que la durée en heure de son voyage. La latitude est l’angle entre OM et le pla de l’équateur, comptée positivement dans l’hémisphère nord et

négativement dans l’hémisphère sud et la longitude est l’angle entre le pl l’observatoire de Greenwich.

es n

an méridien du lieu et le plan méridien de

III3. Jour sidéral et jour solaire.

Dans cet exercice, on appelle demi plan méridien le demi plan limité par l’horizon et qui contient la verticale ascendante et l’axe des Pôles ; il contient aussi la direction du Soleil à midi, d’où son nom. Le jour sidéral est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs d’une étoile dans le demi plan méridien. Le jour solaire

est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs du Soleil dans le demi plan méridien.

86400 s J =

En simplifiant le problème, on considère que, dans le référentiel lié au centre du Soleil S et aux étoiles (référentiel héliocentrique), le centre T de la Terre décrit un mouvement circulaire de centre S, de vitesse angulaire constante et de période l’année T égale à , tandis que la Terre tourne sur elle-même avec une vitesse angulaire constante et une période T égale au jour sidéral. Ces deux mouvements ont lieu dans le même sens, qui est le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre pour un observateur situé au Pôle Nord. Pour simplifier, on considère que l’axe des Pôles est perpendiculaire au plan de l’écliptique, plan du mouvement de T autour de S .

ω1

1 365,25J

ω2 ₂

Cinématique curviligne, page 2 )

,

= TM

r ;

1) Soit un point de la Terre tel que ^T, , et une étoile soient alignés dans cet ordre à l’instant 0. On note et les positions de M et T à cet instant 0 et et T leurs positions à un instant quelconque t. Exprimer les angles et à l’instant t. En déduire la durée du jour sidéral en secondes.

M M S E

M0 T₀ M

( )

1 ST ST0,

θ = θ₂ ( ₀TM

2) Ce résultat reste-t-il valable si l’on objecte qu’en réalité varie au cours des saisons à cause de l’excentricité de l’orbite terrestre ?

ω1

Réponses

I. 2) v_r =−αωr v_θ =ω 4) 1

arctan

ϕ =π − ; 5) a r ; 7)

α _r =

(

)

2

arctan 2 1 ψ=π+ α

− α .

II. 1) Rθ=V0cosα Rsinθϕ =−V0sinα ; 2) ₀ ^{(V0cos )t} R

θ =θ + α ; 0

0

tan2 tan ln

tan 2

= −

θ

ϕ ϕ α θ ; 3)

( )

0 0

0 0

arctan 24, 4 85 h

tan cos ln 2

tan2

t R V

− −

= ϕ ϕ = ° = θ θ

α θ α

θ

= .

III. 1) 2

1

1 86164 s

1 1

T ; 2) oui.

T T

= =

+

Corrigés

aG ψ

ar

a_θ ϕ

vr

v_θ vG

1) Voir ci-dessus.

Cinématique curviligne, page 3

2) v_r =r =−αωr v_θ =rθ =ωr. 3) Voir ci-dessus.

4) tan ¹ arctan¹ .

r

v v

ϕ = θ =− ϕ =π −

α α

2 2

r r a_θ r r a r

= − θ = α − ω = θ+ θ =− ω

5) ^ar ^{r 2}

(

)

6) Voir ci-dessus.

7) tan ² ₂ arctan ² ₂ .

1 1

r

a a

θ α α

ψ= = ψ=π+

− α − α

r uθ _θ r θϕu_ϕ V αu_θ V αu_ϕ

+ + = −

ψ

II.

1) En coordonnées sphériques, la vitesse est ruG_r G sin G ₀cos G ₀sin G α

. D’où :

0cos sin 0sin .

Rθ =V α R θϕ =−V

2) En intégrant la première équation, on obtient 0 ^{( 0 )}

cos

V t

R θ =θ + α .

On élimine le temps en prenant le rapport membre à membre des deux équations : ( ) ( )

0

0 0

0

tan / 2

tan tan tan ln

sin sin tan /2

d d

=d =− ⇒ = −

∫

θ θ

θ

ϕ ϕ α θ

ϕ ϕ α ϕ α

θ θ θ θ

θ .

3) _{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 0

139 118

arctan arctan 180 24, 4

tan / 2 tan 90 34 / 2

ln ln

tan / 2 tan 90 10 / 2

− −

= =

− +

ϕ ϕ π = °

θ θ

α ;

( )

( )

0 0

139 118

6370 180 85 h

cos 30 cos(24, 4 ) t R

V

− −

= = =

° θ θ π

α .

III.

1) θ ; l’année est T et le jour sidéral T . Le Soleil a tourné par rapport à

la Terre de l’angle ; le jour solaire est T . D’où

1 =ω1t θ2 =ω2t = π ω₁ = π ω₂

) = π ω − ω

1 2 / ₂ 2 /

2 1 ( 2 1

S t

θ =θ − θ = ω − ω 2 /( _{2 1})

2

1

1 86400

86164 s

1 1 1

365,25 1 T

T T

= = =

+ + .

T0 M0 E

S à ^t =⁰

2) Ce qu’il y a de changé, c’est que le jour solaire a une durée qui varie un peu au cours de l’année, entraînant un décalage entre l’heure solaire réelle et l’heure officielle basée sur le jour solaire moyen.

S plus tard

T E M

θ1

θ2

M0

Le raisonnement reste valable, le Soleil considéré étant un Soleil fictif dont le mouvement serait uniforme et donne l’heure solaire moyenne, qui est l’heure officielle, et non l’heure solaire vraie, qu’on lirait sur un cadran solaire.

T0