Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex
IV Transformation en Z
1) Le principe
Cr´eer une transformation pour les signaux discrets correspondant `a la transformation de Laplace pour les signaux continus.
L[f] (p) =! +∞
0
f(t)e−ptdt pour s(n) =f(n∆t) on a lim
n→+∞
! +∞
0
s(n)e−pn∆tdt avec w(n) =s(n)e−pn∆t l’approximation discr`ete sera ∆t
+∞
"
n=0
w(n) et en posant z=epn∆t on obtient la s´erie enti`ere ∆t
+∞"
n=0
s(n)z−n
2) D´ efinition
Soit un signal discret causals: n!→s(n) n∈N La transform´ee enZde ce signal est la fonction de la variable complexez d´efinie par (Zs)(z) =
+∞
"
n=0
s(n)z−n
Remarque : Soit un signal analogique causal t!→s(t) t∈R et l’´echantillonnage au pas ∆t=Te Sa transform´ee enZ est (Zs)(z) =
+∞
"
n=0
s(n Te)z−n
3) Exemples de transform´ ee en Z
a) ´Echelon unit´e
# e(n) = 0 si n /∈N
e(n) = 1 si n∈N −→ (Ze)(z) = z
z−1 ; |z|>1
b) Impulsion de Dirac
# d(n) = 0 si n∈Z∗
d(0) = 1 −→ (Zd)(z) = 1
c) Signal g´eom´etrique causal #
f(n) = 0 si n /∈N
f(n) =an si n∈N ou f(n) =ane(n)
−→ (Zf)(z) =
+∞
"
n=0
anz−n =
+∞
"
n=0
$a
z
%n
(Zf)(z) = z
z−a ; |z|>|a|
d) Rampe unit´e causale
# r(n) = 0 si n /∈N
r(n) =n si n∈N −→ (Zr)(z) = z
(z−1)2 ; |z|>1
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4) Propri´ et´ es de la transform´ ee en Z
a) Lin´earit´e : &
Z(x+y)'(z) = (Zx)(z) + (Zy)(z) et &Z(λx)'(z) =λ(Zx)(z) b) Retard :
y(n) =x(n−n0)e(n−n0) le signal retard´e den0∈N −→ (Zy)(z) =z−n0(Zx)(z)
c) Produit par un signal g´eom´etrique causal :
y(n) =anx(n) aveca∈R −→ (Zy)(z) = (Zx)$z a
%
d) Avance :
y(n) =x(n+ 1) aveca∈R −→ (Zy)(z) =z×&(Zx)(z)−x(0)' y(n) =x(n+ 2) aveca∈R −→ (Zy)(z) =z2×&(Zx)(z)−x(0)−x(1)z−1'
e) Transform´ee de y(n) =n x(n) −→ (Zy)(z) =−z d&(Zy)(z)' dz
5) Transformation en Z inverse
a) D´efinition Si X(z) = (Zx)(z) on notera x(n) = (Z−1X)(n)
b) Propri´et´es On admet l’unicit´e et la lin´earit´e de la Transformation enZ inverse
&
Z−1(λx+µy)'(n) =λ&
Z−1(x)'(n) +µ&
Z−1(y)'(n)
c) D´etermination de l’original sur un exemple F(z) = z2 z2−3Z+ 2 D´emarche directe :
F(z) = z2
z2−3Z+ 2 = 1− 1
z−1+ 4
z−2 = 1−z−1 z
z−1 +z−1 4z z−2 f(n) = (Z−1f)(n) =d(n)−e(n−1) + 4×2n−1e(n−1) Passage sous forme de fractions rationnelles enz−1 :
F(z) = 1
1−3z−1+ 2z−2 = 1
2(z−1−1)(z−1−12) = 1
z−1−1 − 1 z−1−12
= −z
z−1 + 2z z−2 f(n) = (Z−1f)(n) =−e(n) + 2×2ne(n) =&2n+1−1'e(n)
On peut aussi d´ecomposer F(z)
z en ´el´ements simples : F(z)
z = −1 z−1 + 2
z−2 Mˆeme r´eponse que la pr´ec´ednte.
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