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4) Propri´ et´ es de la transform´ ee en Z

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Academic year: 2022

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(1)

Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex

IV Transformation en Z

1) Le principe

Cr´eer une transformation pour les signaux discrets correspondant `a la transformation de Laplace pour les signaux continus.

L[f] (p) =! +∞

0

f(t)eptdt pour s(n) =f(n∆t) on a lim

n+

! +∞

0

s(n)epn∆tdt avec w(n) =s(n)e−pn∆t l’approximation discr`ete sera ∆t

+

"

n=0

w(n) et en posant z=epn∆t on obtient la s´erie enti`ere ∆t

+∞"

n=0

s(n)zn

2) D´ efinition

Soit un signal discret causals: n!→s(n) n∈N La transform´ee enZde ce signal est la fonction de la variable complexez d´efinie par (Zs)(z) =

+

"

n=0

s(n)zn

Remarque : Soit un signal analogique causal t!→s(t) t∈R et l’´echantillonnage au pas ∆t=Te Sa transform´ee enZ est (Zs)(z) =

+

"

n=0

s(n Te)zn

3) Exemples de transform´ ee en Z

a) ´Echelon unit´e

# e(n) = 0 si n /∈N

e(n) = 1 si n∈N −→ (Ze)(z) = z

z−1 ; |z|>1

b) Impulsion de Dirac

# d(n) = 0 si n∈Z

d(0) = 1 −→ (Zd)(z) = 1

c) Signal g´eom´etrique causal #

f(n) = 0 si n /∈N

f(n) =an si n∈N ou f(n) =ane(n)

−→ (Zf)(z) =

+

"

n=0

anz−n =

+

"

n=0

$a

z

%n

(Zf)(z) = z

z−a ; |z|>|a|

d) Rampe unit´e causale

# r(n) = 0 si n /∈N

r(n) =n si n∈N −→ (Zr)(z) = z

(z1)2 ; |z|>1

♣♦♥

7 LATEX 2ε

(2)

Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex

4) Propri´ et´ es de la transform´ ee en Z

a) Lin´earit´e : &

Z(x+y)'(z) = (Zx)(z) + (Zy)(z) et &Z(λx)'(z) =λ(Zx)(z) b) Retard :

y(n) =x(n−n0)e(n−n0) le signal retard´e den0N −→ (Zy)(z) =zn0(Zx)(z)

c) Produit par un signal g´eom´etrique causal :

y(n) =anx(n) aveca∈R −→ (Zy)(z) = (Zx)$z a

%

d) Avance :

y(n) =x(n+ 1) aveca∈R −→ (Zy)(z) =&(Zx)(z)−x(0)' y(n) =x(n+ 2) aveca∈R −→ (Zy)(z) =z2×&(Zx)(z)−x(0)−x(1)z1'

e) Transform´ee de y(n) =n x(n) −→ (Zy)(z) =−z d&(Zy)(z)' dz

5) Transformation en Z inverse

a) D´efinition Si X(z) = (Zx)(z) on notera x(n) = (Z1X)(n)

b) Propri´et´es On admet l’unicit´e et la lin´earit´e de la Transformation enZ inverse

&

Z1(λx+µy)'(n) =λ&

Z1(x)'(n) +µ&

Z1(y)'(n)

c) D´etermination de l’original sur un exemple F(z) = z2 z23Z+ 2 D´emarche directe :

F(z) = z2

z23Z+ 2 = 1 1

z−1+ 4

z−2 = 1−z1 z

z−1 +z1 4z z−2 f(n) = (Z1f)(n) =d(n)−e(n−1) + 4×2n1e(n−1) Passage sous forme de fractions rationnelles enz1 :

F(z) = 1

13z1+ 2z2 = 1

2(z11)(z112) = 1

z11 1 z112

= −z

z−1 + 2z z−2 f(n) = (Z−1f)(n) =−e(n) + 2×2ne(n) =&2n+11'e(n)

On peut aussi d´ecomposer F(z)

z en ´el´ements simples : F(z)

z = 1 z−1 + 2

z−2 Mˆeme r´eponse que la pr´ec´ednte.

♣♦♥

8 LATEX 2ε

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