Géométrie Diérentielle, TD 9 du 29 mars 2017

1. Produit intérieur et dérivée de Lie

Soient X, Y des champs de vecteurs sur une variété M. On va s'inspirer du schéma de la preuve de la formule de Cartan pour montrer que i([X, Y]) =L_X ◦i(Y)−i(Y)◦ L_X.

1 Montrer que i([X, Y]) et L_X ◦i(Y)−i(Y)◦ L_X coïncident sur les 0-formes et les diérentielles de 0-formes.

2 Montrer quei([X, Y])et L_X ◦i(Y)−i(Y)◦ L_X sont des dérivations de degré −1. 3 Montrer quei([X, Y])etL_X◦i(Y)−i(Y)◦ L_X coîncident sur les 1-formes décompo-

sables, puis sur les 1-formes.

4 Montrer par récurrence sur le dégré quei([X, Y])etL_X◦i(Y)−i(Y)◦ L_X coïncident sur l'ensemble des formes diérentielles.

Solution :

On note P :=LX ◦iY −iY ◦ LX.

1 i_[X,Y] et P coïncident sur les 0-formes et les diérentielles de 0-formes.

Soit f ∈ C^∞(M). Alors P(f) = 0−0 =i_[X,Y]f.

En utilisant le fait que L_Z =i_Z◦d sur les 0-formes, on obtient : i_[X,Y](df) =df([X, Y]) =L_[X,Y]f

=LXLYf − LYLXf

=L_Xi_Y(df)−i_Y ◦d◦L_Xf

=L_Xi_Y(df)−i_YL_X(df)

=P(df) 2 i_[X,Y] et P sont des anti-dérivations

On l'a vu à la question 2 de l'exercice précédent pour i_[X,Y]. Soit α ∈ Ω^p(M), β ∈ Ω(M). On a :

P(α∧β) = L_X ◦i_Y(α∧β)−i_Y ◦ L_X(α∧β)

= L_X(i_Yα∧β+ (−1)^pα∧i_Yβ)−i_Y(L_Xα∧β+α∧ L_Xβ)

= LXiYα∧β+iYα∧ LXβ+ (−1)^pLXα∧iYβ+ (−1)^pα∧ LXiYβ

−[iYLXα∧β+ (−1)^pLXα∧iYβ+iYα∧ LXβ+ (−1)^pα∧iYLXβ]

= (L_Xi_Yα−i_YL_Xα)∧β+ (−1)^pα∧(L_Xi_Yβ−i_YL_Xβ)

= P(α)∧β+ (−1)^pα∧P(β) 3 Conclusion.

Si α=f dg est une 1-forme décomposable, on a d'après les question précédentes : P(f dg) = P(f ∧dg) = P(f)dg+f P(dg) =i[X,Y](f).dg +f.i[X,Y](dg) =i[X,Y](f dg)

donc P eti_[X,Y] coïncident sur les 1-formes par linéarité.

Supposons que P et i_[X,Y] coïncident sur Ω^p−1(M). Soit α ∈ Ω^p(M) décomposable ; on aα =α⁰∧β avecα⁰ 1-forme etβ (p−1)-forme. Alors commeP eti_[X,Y]coïncident en α⁰ et β, on obtient

P(α) = P(α⁰∧β)

= P(α⁰)∧β+ (−1)^pα⁰∧P(β)

= i_[X,Y](α⁰)∧β+ (−1)^pα⁰ ∧i_[X,Y](β)

= i[X,Y](α⁰∧β) = i[X,Y](α)

Par linéarité,P eti_[X,Y]coïncident surΩ^p(M). Par récurrence, on obtientP =i_[X,Y]. 2. Forme volume canonique d'une sous-variété orientée de l'espace euclidien

1 Soit M une sous-variété orientée de dimension d de l'espace euclidien Rⁿ. Montrer qu'il existe une unique forme volumeω surM telle que six∈M ete₁, . . . , e_d est une base orthonormale (pour la structure euclidienne induite par celle deRⁿ) directe (au sens de l'orientation de M) de T_xM,

ω_x(e₁, . . . , e_d) = 1.

2 On prendM =Sⁿ⁻¹. Montrer que ω est la restriction àSⁿ⁻¹ de σ=

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹x_idx₁∧. . .ddx_i. . .∧ dx_n.

3 Exprimer l'intégrale sur la sphère de cette forme volume, en fonction du volume de la boule unité de Rⁿ.

Solution :

1 L'unicité est évidente car la condition détermine ω_x pour toutx∈M.

Pour montrer l'existence, il faut vérier le caractèreC^∞ deω. Faisons-le au voisinage de x ∈ M. Pour cela on choisit un ouvert U de R^d et F : U → M un paramétrage local orienté de M au voisinage de x. On note u =F⁻¹(x). Soit (a₁, . . . , a_d) la base canonique de R^d et (e₁, . . . , e_d)une base orthonormale directe de T_xM. Alors :

ω_F(u)(T_uF(a₁), . . . , T_uF(a_d)) = det(hT_uF(a_i), e_ji_16i,j6d))

= (det(hT_uF(a_i), T_uF(a_j)i_16i,j6d))^1/2

où l'on a pris la racine positive, car le paramétrage local respecte les orientations.

On a montré la formule ci-dessous qui prouve, comme voulu, le caractère C^∞ deω : F^∗ω= (det(hT_uF(a_i), T_uF(a_j)i_16i,j6d))^1/2dx₁∧. . .∧dx_d.

Autre preuve : on montre qu'on peut trouver des sections lisses s1, . . . , sd de TxM formant en tout point une base orthonormée directe : vu la dénition deω, ceci prou- vera le caractère lisse. On se ramène à la situation locale suivante : soit U ouvert de R^d et g une application lisse de U dans l'ensemble des matrices symétriques dénies positives de taille d. Alors il existe d application a₁, . . . , a_d de U dans R^d telles que (a₁(u), . . . , a_d(u))est orthonormée pourg(u)pour toutu. Pour montrer cela, on part d'une base quelconque xe de R^det on applique en tout point le procédé d'orthonor- malisation de Gram-Schmidt ; ceci donne une base, dépendant de façon lisse deu, car g est une fonction lisse de u.

2 On vérie aisément que la formeω dénie surSⁿ⁻¹ par la formule ω_x(v₁, . . . , vn−1) = det(x, v₁, . . . , vn−1) vérie les propriétés requises, et est donc (par unicité) la forme volume canonique surSⁿ⁻¹. Que cette forme coïncide avec celle donnée dans l'énoncé résulte juste du développement du déterminant suivant la première colonne.

3 On calcule dσ=ndx₁∧. . .∧ dx_n. On peut alors appliquer la formule de Stokes : en notant Bⁿ la boule unité,

Z

Sⁿ⁻¹

σ|_Sⁿ⁻¹ =n Z

Bⁿ

dx₁∧. . .∧ dx_n.

On reconnaît le volume d'une boule connu classiquement (procéder par récurrence sur n, appliquer Fubini, faire un changement de variables trigonométrique et reconnaître une intégrale de Wallis). Tous calculs faits,

Z

Sⁿ⁻¹

ω = nπ^n/2 Γ(n/2 + 1).

3. Divergence d'un champ de vecteurs

Soit M une variété diérentielle de dimension n, X un champ de vecteurs sur M etω une n-forme diérentielle sur M qui ne s'annule pas. Désignons par div(X) la divergence du champX par rapport à la formeω : il s'agit d'une fonction surM dénie par d(i(X)ω) = div(X)ω. Montrer que le ot du champ X préserve la forme ω si et seulement si la divergence de X est nulle.

Calculer la divergence d'un champ X par rapport à la forme volume canonique dx1 ∧ . . .∧ dxn.

Solution :

La formule de Cartan donne que L_ξω = di_ξω +i_ξdω. Ici, ω est de degré maximal, donc dω = 0, si bien que L_ξω = d(i_ξω) = div(ξ)ω. Mais rappelons qu'une des dénitions de L_ξω est _dt|t=0^d (ϕ_t)^∗ω, où ϕ_t est le ot de ξ. Ainsi, ω est invariante le long du ot si et seulement si Lξω = 0, i.e. si et seulement si div(ξ) = 0.

Si ω= dx1∧. . .∧ dxn, alors

i_ξω(x).(η₂, . . . , η_n) =

n

X

i=1

ξ_i X

σ∈Sn,σ(1)=i

ε(σ)η_2σ(2). . . η_nσ(n).

Ainsi,

i_ξω=

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ξ₁dx₁∧. . .ddx_i∧. . . dx_n. En dérivant, on trouve

d(i_ξω) =

n

X

i=1

∂ξi

∂x_i dx₁∧. . .∧ dx_n, i.e. div(ξ) = P∂ξi

∂xi : on retrouve la divergence habituelle.

4. Formule pour la diérentielle extérieure

Soit α une forme de degré k sur une variété diérentielle M. Soient X₁, . . . , X_k+1 des champs de vecteurs sur M. Montrer que

dα(X₁, . . . , X_k+1) =X

i<j

(−1)^i+jα([X_i, X_j], X₁, . . . ,Xc_i, . . . ,Xc_j, . . . , X_k+1)

+X

i

(−1)ⁱX_i.α(X₁, . . . ,Xc_i, . . . , X_k+1).

Solution : Voir cours.

5. Orientabilité

1 Soit M une variété diérentielle de dimension n. Une forme volume sur M est une forme diérentielle de degrén, non nulle en tout point. Montrer queM est orientable si et seulement s'il existe une forme volume sur M.

2 Si M est une variété diérentielle, montrer queT M est orientable.

Solution :

1 On suppose que M admet une forme volume ω. Soit (U, ϕ) une carte de M, avec U connexe. Notons ν la forme volume canonique sur Rⁿ. Alors, ϕ^∗(ν) est une forme volume sur U. Donc, elle dière de ω par une fonction de signe constant. Si ce signe est positif, on garde la carte dans l'atlas. Sinon, on l'enlève. les ouverts des cartes conservées recouvrent encore M. En eet, si ψ est un diéomorphisme quelconque de Rⁿ renversant l'orientation et si (U, ϕ) a été enlevé de l'atlas, (U, ψ◦ϕ) a lui été conservé. Cela prouve quil existe un atlas de M avec des changements de cartes à Jacobien positif, donc que M est orientable.

Réciproquement, on suppose que M est orientable et on xe une orientation. On recouvre M par des ouverts de cartes orientées (U, ϕ) Alors, les formes α_U := ϕ^∗(ν) sont des formes volume surU. De plus, sur les intersectionsU∩V,α_U etα_V dièrent par une fonction positive. On considère une partition de l'unité (ρ_U) subordonnée au recouvrement. Alors, la forme P

ρUαU est bien dénie et de degré maximal. En tout point, c'est une combinaison linéaire à coecients positifs de certaines αUi. Commes ces formes sont de même signe, la forme construite ne s'annule pas et est une forme volume sur M.

2 Soit U un ouvert de M et ϕ : U → V ⊂ R^m une carte de M. Soit T ϕ : T U → V ×R^m ⊂ R^2m la carte de T M associée. Montrons que ces cartes munissent T M d'une structure de variété orientée.

Si ψ est une autre carte de M, l'application de changements de cartes est T ψ ◦ T ϕ⁻¹(x, v) = (ψ◦ϕ⁻¹(x), d_x(ψ ◦ϕ⁻¹)(v)). Sa diérentielle en (x, v) est donc de la forme

d_x(ψ◦ϕ⁻¹) • 0 dx(ψ◦ϕ⁻¹)

, qui est de déterminant positif.

3 On considère un recouvrement de M par des ouverts de cartes (U, ϕ) connexes. Via ϕ, les espaces tangents T_xM, avec x dans U héritent de l'orientation naturelle de Rⁿ. Notant ox cette orientation, l'ensemble U^or de M^or des couples (x, ox) avec x dans U est en bijection avec U et on dénit (U^or, ϕ◦π comme une carte. On vérie sans diculté que ceci dénit une structure de variété diérentielle sur M^or ayant les propriétés requises.

SiM est orientable, on peut xer une orientation et les espaces tangentsTxM ont une orientation canonique, déduite d'une carte orientée quelconque. On en déduit alors un diéomorphisme M^or →M ×Z/2Z.

Réciproquement, comme M^or est un revêtement à deux feuillets au-dessus de M, s'il n'est pas connexe il est homéomorphe à M ×Z/2Z. On choisit une composante connexe quelconque de M^or et on considère uniquement des cartes qui respectent l'orientation choisie. Vu la construction de la topologie deM^or, de telles cartes existent et les ouverts forment un recouvrement de M.

6. Théorème de Darboux

Soit M une variété de dimension 2n munie d'une 2-forme ω fermée et de rang en tout point égal à 2n (forme symplectique). On va montrer que tout point p ∈ M admet un voisinage U muni de coordonnées locales (x1,· · · , x2n)telles que

ω_|U =dx₁∧dx₂+dx₃∧dx₄+· · ·+dx2n−1∧dx_2n.

1 On suppose tout d'abordn= 1. Montrer que si(y1, y2)est un système de coordonnées locales arbitraire en p, on peut trouver une fonction diérentiable h telle que (y1, h) soit un système de coordonnées répondant à la question sur un voisinage de p. 2 On étudie le cas général. Soit f une fonction diérentiable telle que f(p) = 0 et

df_p 6= 0. Montrer qu'il existe un unique champ de vecteursX₂surM tel quei_X2ω=df, et qu'il existe une fonction diérentiable g telle quedg.X2 = 1 sur un voisinage de p. 3 SoitX₁ le champ de vecteurs tel quei_X1ω =dg. Montrer qu'au voisinage de pon a :

ω(X₁, X₂) = 1 et[X₁, X₂] = 0

4 On considère alors un système de coordonnées locales (y₁,· · · , y_2n) au voisinage de p telles que X_i = _∂y^∂

i pouri = 1,2. Montrer que (x₁,· · · , x_2n) := (−f, g, y₃,· · · , y_2n)

est un système de coordonnées sur un voisinage V de p tel que ω|V =dx₁∧dx₂+ X

36i<j62n

ω_ij(x₃,· · · , x_2n)dx_i∧dw_j.

5 Conclure.

Solution :

1 Cherchonsh. On ady₁∧dh=dy₁∧_∂y^∂h

2dy₂ etω =f dy₁∧dy₂ au voisinage dep(pour une certaine fonction f). Il s'agit donc de trouver h C^∞ telle que _∂y^∂h₂ = f, ce qui se résout en prenant par exemple (en coordonnées locales) : h(y1, y2) =Ry2

0 f(y1, t)dt. 2 Soitx∈M. Comme ω est de rang2n, la fonction

T xM −→ T xM^∗ v 7→ ω(v, .)

est un isomorphisme. Il existe donc un unique vecteur X₂(x) tel que i_X2(x)ω_x =df_x. Montrons que X₂ est un champ de vecteurs C^∞. Au voisinage d'un point a, dans une carte locale, ω s'écritω_x =P

i<j

2ω_ij(x)dx_i∧dx_j, où Ω_x := (ω_ij(x))_16i,j62n matrice antisymétrique de rang 2n représentant la forme bilinéaire ω_x.

Alors i_X2(x)ω_x =df_x se réécrit :

X

i<j

2ω_ij(x)[X_i(x)dx_j −X_j(x)dx_i] =X

j

∂f

∂x_jdx_j

c'est à dire

X

j

X

i

ω_ij(x)X_i(x)

!

dx_j =X

j

∂f

∂x_jdx_j

ou encore Ω_x(X₂(x)) =∇_xf, i.e. X₂(x) = Ω⁻¹_x ∇_xf, donc X₂ estC^∞.

3 On a, au voisinage de p, ω(X1, X2) =iX2(ω(X1, .)) =iX2iX1ω =iX2dg =dg.X2 = 1. Pour le crochet deX1 etX2, on utilise la formule de l'exercice 2 appliquée à la forme

ω (et la formule de Cartan) :

i_[X1,X2]ω =L_X1i_X2ω−i_X2L_X1ω

=L_X1i_X2ω−i_X2(d(i_X1ω) +i_X1(dω))

=LX1iX2ω−iX2(d(iX1ω)) car ω est fermée

=LX1iX2ω−iX2(d(dg))

=L_X1i_X2ω car d◦d= 0

=d(i_X1(i_X2ω)) +i_X1(d(i_X2ω))

=d(i_X1(i_X2ω)) +i_X1(d(df))

=d(x7→1)

= 0

Commeω est de rang 2n, cela montre que [X₁, X₂] = 0 au voisinage dep(cf isomor- phisme de la question précédente).

4 On a

∂f

∂y1 =df.X₁ =i_X1(df) =i_X1i_X2ω =ω(X₂, X₁) =−1

∂f

∂y2 =df.X₂ =i_X2(df) =i_X2i_X2ω =ω(X₂, X₂) = 0 De même, _∂y^∂g₁ = 0 et _∂y^∂g₂ = 1.

La jacobienne de (−f, g, y₃,· · · , y_2n) s'écrit alors



















1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0

? ? 1 0 · · · 0 ... ... 0 ... ... ...

... ... ... ... ... 0

? ? 0 · · · 0 1



















et est donc inversible ;(−f, g, y3,· · · , y2n)est donc un système de coordonnées locales au voisinage de p.

Au voisinage dep,ω s'écritω = P

16i<j62n

ω_ij(x₁, x₂, x₃,· · · , x_2n)dx_i∧dw_j. En évaluant ω en(X₁, X₂), on obtient ω₁₂≡1. En évaluantω en(X₁,_∂x^∂

j)pourj >3, on obtient ω_1j = ω(X₁,_∂x^∂

j) = i_X1ω(_∂x^∂

j) = dg(_∂x^∂

j) = ^∂x_∂x²

j = 0. De même, ω_2j ≡ 0 pour j > 3. Ainsi, ω s'écrit ω=dx₁∧dx₂+ P

36i<j62n

ω_ij(x₁, x₂, x₃,· · ·, x_2n)dx_i∧dw_j. Enn, en écrivant dω = 0, on obtient que pour j > i>3, ^∂ω_∂x^ij₁ = ^∂ω_∂x^ij

2 = 0, et donc ω =dx₁ ∧dx₂+ X

36i<j62n

ω_ij(x₃,· · · , x_2n)dx_i ∧dw_j

5 On considère la sous-variétéM⁰ deM au voisinage de p donnée par l'équation x₁ = x₂ = 0 et la forme ω⁰ sur M⁰ donnée par ω⁰ = P

36i<j62n

ω_ij(x₃,· · · , x_2n)dx_i ∧dw_j. Comme ω est fermée et que d(dx1∧dx2) = 0, on obtient que ω⁰ est fermée. De plus,

ω⁰ est bien de rang2n−2en tout point : si un vecteurv est dans le noyau deω⁰_x, alors (0,0, v) est dans celui de ω_x et donc v=0. Par récurrence, Il existe des coordonnées locales (x⁰₃,· · · , x⁰_2n)surM⁰ telles queω⁰ =dx⁰₃∧dx⁰₄+· · ·+dx⁰_2n−1∧dx⁰_2n. On obtient alors que (x₁, x₂, x⁰₃,· · · , x⁰_2n) est un système de coordonnées locales au voisinage de p et que ω⁰ =dx₁∧dx₂+dx⁰₃∧dx⁰₄+· · ·+dx⁰_2n−1∧dx⁰_2n.