Slides Autocorrélation

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L’autocorr´ elation des erreurs

Sidi Mohamed MAOULOUD

20 d´ecembre 2015

Sidi Mohamed MAOULOUD L’autocorr´elation des erreurs 20 d´ecembre 2015 1 / 20

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L’autocorr´ elation : D´ efinitions et causes

Se rencontre essentiellement dans les modèles en séries temporelles Il y autocorrélation des erreurs lorsqu’il y a un processus de

reproduction

On distingue l’autocorrélation positive de l’autocorrelation négative L’autocorrelation peut être observée pour plusieurs raison : absence d’une variable importante ; mauvaise spécification du modèle ; l’utilisation de certain méthode de lissage

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L’autocorr´ elation : examen visuel

−3−2−10123

positive −2−1012

absence −2−1012

0 5 10 15 20 25 30

négative

Time

exemples de formes d'autocorrélation

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Test de Durbin-Watson

Ce test permet de d´etecter une autocorr´elation d’ordre 1.

On considère le modèle Yt =a₀+a₁x_t¹+...+apx_t^p+ǫt où ǫ_t =ρǫ_t−1+ν_t avecν_t vérifiant les hypothèses MCO et |ρ|<1 Les hypothèses de ce test sont

H₀ : ρ= 0 les erreurs ne sont pas corrélées H₁ : ρ6= 0 les erreurs sont corrélées d’ordre 1

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Test de Durbin-Watson

Pour effectuer ce test on estime par MCO le mod`ele et on calcule les r´esidus et.

La statistique de Durbin-Watsonest donn´ee par dw =

Pn

t=2(et−e_t₋₁)² Pn

t=1e_t² = 2(1−ρ)ˆ La table de Durbin-Watson donne deux valeurs d_l et d_u,qui

permettent de mener le test en situant la statistique calcul´eedw dans l’une des zones :

[0,d_l] [dl,d_u] [du,4−d_u] [4−d_u,4−d_l] [4−d_l,4]

Autoco. Zone de Absence Zone Autoco.

positive doute d’autoco. de doute n´egative

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Test de Durbin-Watson

Pour mener le test DW, il est n´ecessaire que le mod`ele comporte un terme constant.

Pour les mod`eles sans terme constant, il existe des tables statistiques appropri´ees ;

Dans le cas où la régression comporte, parmi les variables explicatives, la variable dépendante retardée Y_t₋₁ et que les résidus sont

autocorrélés d’ordre 1, le test DW ne peut donc être utilisé.

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Test de Breusch-Godfrey

Ce test permet de d´etecter une autocorr´elation d’ordre k.

On considère le modèle Y_t =a₀+a₁x_t¹+...+a_px_t^p+ǫ_t (∗) où ǫt =ρ₁ǫt−1+· · ·+ρkǫt−k+νt avecνt vérifiant les hypothèses MCO. On dit que les erreurs sont AR(p)

Les hypoth`eses de ce test sont

H₀ : ρ₁=· · ·=ρ_k = 0 H₁ : ∃i, ρi 6= 0

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Test de Breusch-Godfrey

On considère le modèle (∗) et on tire les résidus e_t; On estime le modèle suivant

e_t =β₀+β₁x_t¹+· · ·+β_px_t^p+ρ₁ǫ_t−1+· · ·+ρ_kǫ_t₋_k +ν_t et on calcule leR² de ce mod`ele.

Soit n le nombre d’observations qui vont servir pour l’estimation du dernier mod`ele.On peut effectuer le test de deux fa¸cons :

◮ Calculer la statistiqueF= ₍₁ ^R²^/p

−R²)/(n−p−1) et on rejette l’hypoth`eseH₀ siF >f_1−α;p,n₋p−1

◮ Calculer la statistiqueLM=nR²et on rejette l’hypoth`eseH0 si

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Estimation en cas d’autocorr´ elation

Lorsque le test conclut `a une autocorrelation, la correction se fait en utilisant la MCG

La MCG consiste simplement en l’application des MCO sur les donn´ees transform´ees.

Considérons un modelé simple où le terme d’erreur suit un processus AR(1) : Y_t =a₀+a₁X_t+ǫ_t où ǫ_t =ρǫ_t₋₁+ν_t.

En substituant, on

obtient :Y_t−ρY_t₋₁ =a₀(1−ρ) +a₁(X_t−ρX_t₋₁) +ν_t

On obtient donc Y_t^∗ =b₀+b₁X_t^∗+ν_t avec un terme erreur v´erifiant les hypoth`eses MCO

Une telle transformation est appel´ee : transformation en quasi-differences.

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Estimation en cas d’autocorrelation

Siρ est connu, l’application des MCO sur ce dernier mod`ele donne un estimateur BLUE.

Si ρ n’est pas connu il faudra l’estimer.

Estimer le mod`ele par MCOY_t =a₀+a₁X_t+ǫ_t. calculerdw et estimer ρ par ˆρ= 1−dw/2

Calculer les variables transformer et réestimer le modèle avec les données en quasi différence.

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