Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques1
Séances 5 et 6
— Localiser des valeurs propres d’une matrice carrée complexe. Cas de la matrice :
2 −1 0 0
−1 2 −1 0 0 −1 2 −1
0 0 −1 2
On retiendra aussi au passage le résultat suivant : une matrice carrée réelle symé- trique est diagonalisable surIR(et d’ailleurs orthogonalement diagonalisable).
Une matrice réelle carrée P est dite orthogonale si P−1 =PT.
— Pour deux entiers naturels m et n, on a en faisant correctement des intégrations par parties :
Z b a
(b−x)m m!
(x−a)n
n! dx= (b−a)m+n+1 (m+n+ 1)!
Expression de
Z 1
−1
(1−x2)ndx.
— La primitive de t 7→ 1+t12 sur l’intervalle IR qui s’annule en 0 est R0x1+tdt2 = arctanx et admet donc une limite en +∞:
Z +∞
0
dt
1 +t2 = π 2.
La primitive det 7→e−t2 sur l’intervalle IR qui s’annule en 0est :
x7→
Z x 0
e−t2dt.
De plus, on a par exemple limt→+∞t2e−t2 = 0 (on doit être capable d’expliquer rigoureusement et rapidement que limt→+∞t2017e−t = 0) ce qui permet de montrer que la fonction croissante x7→R0xe−t2 admet une limite finie en +∞ :
x→+∞lim
Z x 0
e−t2dt=
Z +∞
0
e−t2dt.
— Intégration de fractions rationnelles P(x)Q(x), degP <degQ.
1. Licence Sciences L2, M34
1
— On décompose enéléments simples sur IRla fraction. On s’appuie sur : dansCl [x]
les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes de degré1; dansIR[x]les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant négatif. Ainsi à priori :
1
x(x−1)2 = A
x + B
x−1 + C (x−1)2
1
(x−1)(x2+x+ 1) = A
x−1 + Bx+C x2+x+ 1
— Savoir faire un changement de variable (ici linéaire) pour calculer :
Z dt 7 +t2,
Z dx x2+x+ 1, puis
Z x+ 2 x2+x+ 1dx.
— Factorisation de x4+ 1 puis calcul de
Z dx 1 +x4.
— Suite récurrente de la forme un+1 = f(un), savoir expliquer qu’une limite éventuelle l vérifie f(l) =l sous une hypothèse de continuité pourf.
2
