Au sujet de certaines contraintes globales

HAL Id: inria-00000085

https://hal.inria.fr/inria-00000085

Submitted on 27 May 2005

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Au sujet de certaines contraintes globales

Diego Olivier Fernandez Pons

To cite this version:

Diego Olivier Fernandez Pons. Au sujet de certaines contraintes globales. Premières Journées

Fran-cophones de Programmation par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.239-248.

�inria-00000085�

Au sujet de ertaines ontraintes globales

Diego Olivier Fernandez Pons

12

1

Université Pierre etMarie Curie- Paris VI, 5 pla eJussieu 75005Paris

2

ILOGS.A, 9rue de Verdun94253 Gentilly Cedex

diego-olivier.fernandez-po ns i rp .jus sieu .fr dofponsilog.fr

Résumé

Alorsquelesalgorithmesdere her heopérationnelle permettantderésoudre ertainsproblèmes lassiquestel le hemin,l'arbreou le ouplage de oûtminimalsont onnus depuis plusieurs dé ennies,les ontraintes glo-bales orrespondantes sontrelativementré entes.

AinsiSellmannn'a-t-ilmontré ommentréaliserune ontrainteglobaledeplus ourt heminqu'en2003 tan-disquele ouplageaétérésoluen1999parRéginaprès destentativesdeFo a ietal.(aumoyendes oûts ré-duits)ouLaburtheetCaseau(aumoyendel'algorithme hongrois). Quant à l'arbre ouvrant, il n'apparaît que marginalementdansuntravaildeAronetVan Henten-ry ken2002.

Toutes es ontraintesglobalespeuventêtredérivées d'algorithmes d'énumération en ordre des oûts rois-sants dusà Eppstein, Murty ou Gabow. Lepropos de et arti le est de monter le lien entre es algorithmes lassiquesdere her heopérationnelleetles ontraintes globales orrespondantes.

Abstra t

Althoughalgorithmstosolve lassi alproblems like minimum ostpaths,spanningtreesormat hingshave beenknownforseveralde ades,their orresponding glo-bal onstraintsarequitere ent.

Sellmannintrodu edtheshortestpath onstraintas lateas2003whilethemat hing asewassolvedby Ré-gin in 1999 after several attempts by Fo a i and al. (using redu ed osts) or Laburthe and Caseau (using the hungarianalgorithm).Theminimum spanningtree onstraintonlyappearsmarginallyinaworkbyAronand VanHentenry kin2002.

However, these global onstraints an be obtained from ost-in reasing enumeration algorithms of Epp-stein,MurtyandGabow.This arti leaimstoshowthe relationbetween lassi aloperationsresear halgorithms andglobal onstraints.

1 Introdu tion

Il est désormais établi que l'une des ompo-santes lé dans l'e a ité des méthodes de résolu-tion de problèmes ombinatoires en programmation par ontraintesestl'utilisationde ontraintesglobales, etque es ontraintes sontellesmêmesbaséessurdes algorithmesdere her heopérationnelle.

Ainsi depuis alldi, la première ontrainte globale basée sur un algorithme de ouplage [15℄, d'autres ontraintesglobalesnotammentpourlesproblèmes va-luésontétéproposées,parexemplepourlesproblèmes de otà oût minimal et leur dérivés parRégin [16℄ oupourdesproblèmesdeplus ourt heminpar Sell-mann[17℄.Parailleursdansleurétuded'unproblème d'arbres robustes dans des graphes d'intervalles [1℄, Aron et van Hentenry k ont montré - sans toutefois l'identierpré isément-qu'ilétaitpossibledemettre aupointune ontrainteglobalepourl'arbre ouvrant de oûtminimal.

D'un autre té, en re her he opérationnelle an derésoudredesproblèmeslégèrement ontraintsilest d'usagedefaireappelàdespro éduresd'énumération dessolutionsenordre roissantde oût :onpeutpar exempleénumérertousles heminsentredeuxnoeuds d'un graphe jusqu'à en obtenir un qui vérie toutes les ontraintes additionnellesvoulues, e heminsera alors optimal. Cette méthode se retrouve ommuné-mentdansdessous-problèmesdeproblèmes d'optimi-sation plus omplexes par exemple pour réduire des sauts d'intégrité, générer des olonnes pour un pro-blèmemaître ouétudierlasensibilité aux ontraintes de la solution optimale. Eppstein [5℄ donne divers exemples d'appli ations de sa pro édure d'énuméra-tion des

k

-plus ourts hemins entre deux sommets d'ungraphe.

premièresefo alisesur lagestiondes ontraintes ad-ditionnelleslase ondemisesurl'optimalité.Ilnousa dèslorssembléopportundelesrappro her.

Nousnous eor erons d'é lair ir lesliens existants entre es deux familles d'algorithmes et montrerons que les ontraintes globales de Sellmann, Régin ou Van Hentenry k peuventêtre obtenues àpartir d'al-gorithmes d'énumération dus à Eppstein [5℄, Gabow [9℄etMurty[14℄(revuparFusseneggeretGabow[8℄). Ce faisant, nous revisiteronsla notion de oût réduit miseenavantparFo a ietal.quenous omparerons àd'autres notions pro hes. Nous introduirons la no-tionde oût de rempla ement et montreronssesliens ave des problèmes lassiques de la re her he opéra-tionnelletellemostvitalar ,esquissantainsidespistes pourlare her hed'algorithmese a espourd'autres ontraintesglobales.

2 La notion de oût de rempla ement En programmation par ontraintes, la oopération desdiérentsalgorithmesdepropagationest possible grâ eàlamutualisationdesinformationsdontils dis-posent.Ce sontlesdomaines quiontpourmissionde de entraliser les valeurs permises et interdites pour haque variable. Pour les problèmes de satisfa tion, etteinformationestenquelquesortemaximale arle ritère d'a eptation nal est binaire (l'instantiation proposéeestoun'estpasadmissible).

Pour les problèmes d'optimisation par ontre, il s'agit d'une information assez pauvre. Pourtant les ontraintes globalesd'optimisationexistantes quanti-ent déjà la variation du oût de la solution lors de l'ajoutouleretraitd'ar s,mais ontrairementaux do-maines, etteinformation n'est pas externalisée. Elle ne peut dès lors être utilisée par d'autres éléments ( ontraintes, heuristiques) lors du pro essus de réso-lution. Seuls Fo a i et al. [7℄ ont proposé de lais-sera essiblesles oûts réduitsde haqueae tation variable-valeurenvued'améliorerultérieurementleur formulationlinéaire ave des oupessupplémentaires ajoutéespendantlare her he.

Notrepremierobje tif estd'identierune informa-tionvariationnelle relative au oût qui serait intéres-santeàmutualiser.

2.1 Les oûtsréduitsen PPC

Les oûtsréduitssontunenotionatta héeàla pro-grammationlinéaire; intuitivement il s'agit de la dé-rivée dire tionnelle dela fon tionobje tif lelongdes arêtes du polyèdre déni par les équations linéaires.

sile oûtréduitasso iéàunedire tionestnégatif,on aintérêtàsedirigerdans ettedire tionpourfaire dé- roîtrele oût globalde lasolution(méthodede des- ente de gradient). Inversement, si au une dire tion n'ade dérivée négative,on setrouveen unminimum lo al,etpar onvexité,enunminimumglobal.

Fo a i et al. onsidèrent une formulation linéaire (d'une relaxation) du problème dans laquelle

x

kv

∈

{0, 1}

représente l'ae tation de la valeur

v

à la va-riable

x

k

. A l'optimum du problème linéaire,le oût réduit

c

kv

est une borne inférieure de l'augmenta-tion de la fon tion obje tif quand on ae te

v

à

x

k

(

x

kv

= 0 → x

kv

= 1

)envertudel'inégalité:

∆f ≥

∂f

∂ ~

kv

∆x

kv

∆x

kv

= 1

Le s hémagénéraldelaméthodeproposéepar Fo- a iestlesuivant:

1. Considérer une relaxation du problème pour la-quelleonsa he al uleràlafoisunesolution op-timale

C

etles oûtsréduits orrespondants

c

en untempspolynomial

2. Asso ier à haque ouple variable-valeur

(x

k

, v)

son oûtréduit

c

kv

3. Eliminerlesae tationsdontl'instan iationferait dépasserlameilleuresolution onnue

C

+ c

kv

≥ C

4. Réitérerjusqu'aupointxe

Cette appro he requiert don d'en apsuler un sol-veurlinéairedans une ontrainteglobale[7℄mais elle peut être spé ialiséeà des as où on sait obtenir les oûtsréduitspardesalgorithmes ombinatoires ( ou-plage,arbores en e)[6℄.

Cependant,mêmepourdes asparti uliersdans les-quelsleproblème linéairepossèdelapropriété d'inté-grité( ouplage,arbores en e),lesbornes al uléesne sontpasexa tes. Autrementdit l'estimation

C

+ c

kv

peuts'avérertrès inférieureàlavaleurde lasolution de oûtminimal telle que

x

k

= v

. Ainsi,seulela mé-thode deRégin [16℄donne lesbornes exa tes pour le ouplage.

2.2 Le oût de déviationd'Eppsteinet autres va-riantes lassiques

Les algorithmes d'énumération en ordre des oûts roissantsren ontrés en re her he opérationnelle uti-lisentunenotionpro hedes oûtsréduits,appelée oût de déviation (sidetra king ost)parEppstein.

Etantdonnéungraphe

G

,deux sommets

s

et

t

du graphe, leplus ourt hemin

p

entre

s

et

t

,et unar

(i, k)

ave

i

∈ p

et

k

6∈ p

,onappelle oûtdedéviation par l'ar

(i, k)

le sur oût engendré par le fait d'em-pruter l'ar

(i, k) 6∈ p

pluttquel'ar théoriquement optimal

(i, j) ∈ p

c

ij

= c

ij

+ d(j, t) − d(i, t)

où

d(i, t)

estleplus ourt heminentre

i

et

t

et

c

ij

le oûtdel'ar

(i, j)

Onren ontreunenotionsembablemaissymétrique dansl'algorithmed'énumérationdesarbres ouvrants de Gabow (T-ex hange ost) : si on désireter l'ar

e

∈ T

de l'arbre ouvrant de oût minimal

T

, pour maintenirlapropriétéde onnexitéilvafalloirle rem-pla erparunar

f

formantun y ledans

T

, ontenant

e

.Alors

T

\e∪f

estunarbrede oût

c(T )+c(f )−c(e)

. L'algorithmeasso iedon à haquear de

T

son oût d'é hangeminimal:

c

e

= min

f

[c(f ) − c(e)]

LesmêmesidéessontexploitéesparFusseneggeret Gabow dans leur algorithme d'énumération des ou-plages:étantdonnéun ouplagede oûtminimal

M

,

e

unearêtede

M

et

N

le ouplagede oûtminimalne ontenantpas

e

,alors

δ

e

= c(N ) − c(M)

estlesur oût engendréparlerefus d'utiliser l'arête

e

.

Mêmesi esnotions oïn identnumériquementave les oûts réduits pour ertains problèmes ( hemins, arbres),ellesontunfondementdiérent.Les oûtsde déviationsontdesnotionsdis rètes,obtenuespar dif-féren e de oût de solutions. Le oût réduit est une notion ontinueliéeàladérivation.

2.3 Les oûtsderempla ement

Les remarques pré édentes onduisent à dénir e que nous estimons être des information intéressantes dansle adred'une ontrainteglobaled'optimisation. On onsidèreunproblèmed'optimisation

P

donton notera

OP T

(G)

le oûtdelasolutionoptimalesurle graphe

G

.Pourtoutar

a

de

G

ondénitlesfon tions:

δ

+

(a) = OP T

+a

(G) − OP T (G)

δ

−

_{(a) = OP T (G\a) − OP T (G)}

Cesfon tionsindiquentlesur oûten ouruquandon dé ided'imposeroud'interdireunar

a

dessolutions du problème on erné. Les fon tions

δ

+

et

δ

−

ont la parti ularitéde ara tériserlessolutionsduproblème d'optimisationasso ié ommenousleverronsdansla

A l'instardes oûts réduits,

δ

+

est nulle pour tous lesar sappartenantàlasolutionoptimaleetles oûts réduitsensontuneborneinférieure.Onpeut onsidé-rer

δ

+

ommeuneextensionau asdis retdelanotion de oûtréduit.

Inversement,

δ

−

est toujours nulle pour les ar s n'appartenant pas à la solution optimale. L'ar qui maximise

δ

−

estl'ar leplusvital(themostvitalar ). Lare her hedesar slesplusvitauxestune probléma-tiqueissue desappli ations militaires dela re her he opérationnelle; 'est le problème dans lequel un en-nemi her he àdétruiredesar spourralentirle plus possible un onvoi par exemple. La plupart des va-riantes de e problème (destru tion des ar s ou aug-mentationdeleur oût, ontraintederessour es,et .) sontNP-di iles.Desalgorithmese a espourle al- ul de l'ar le plus vital existent pour les problèmes usuels( hemins,arbres,ots).

Il onvientenndenoterque

δ

−

orrespondaussià lanotionderegretenprogrammationpar ontraintes. L'heuristique onsistantàimposerl'ar maximisantle regretdansle adredu ouplageadéjàété experimen-téeparCaseauet Laburthe[3℄parexemple.

3 Cara térisation des solutions d'un pro-blème d'optimisation

3.1 Exemple:le ouplage

Fig.1Grapheinitial

Considérons le graphe biparti de la gure 1. Un algorithme de ouplageappliqué à e graphe trouve-raitl'une quel onquedessolutionsdelagure2.Une ontrainteglobaleau ontrairenedoitpastrouverune dessolutionsmais ara tériserl'ensembledessolutions duproblèmede ouplage,autrementditdéterminerles ar s né essaires ou impossibles dans toute solution. Ainsi,la ontrainteglobaledeRégin[15℄va-t-elle al- ulerlesinformationsdelagure3desorteànelaisser libres que les ar s tels qu'il existe des solutionsles ontenantetdessolutionsneles ontenantpas.

Notonsquepourvuquel'ondisposed'unalgorithme polynomialrésolvantleproblèmededé ision (exite-t-il un ouplagedans legraphe?) de omplexité

opt

, il

Fig.2Couplagesdugraphe

problème en

2m × opt

par une pro édure de double-négation: terun ar

a

du graphe, s'il n'existeplus de solution dans le graphe restant

G\a

alors qu'il y en avait dans le graphe

G

, on en déduit que toutes lessolutionsutilisentl'ar

a

(idemenimposantl'ar

a

aprèsrédu tiondugraphe- equ'ilfautêtreégalement enmesuredefaire).

Fig.3Ar sné essaires,libresetimpossibles

Ennla ontrainteglobaledeRéginpourle ouplage atteint la omplexité théorique minimale de

opt

. En eet,s'il existe une seulesolution auproblème, alors l'algorithme de ara térisation doit signaler quetous sesar ssontné essaires.Onnepeutdon ara tériser l'ensembledessolutionsenuntempsinférieurà elui qu'ilfautpourtrouveruneseuled'entreelles.

3.2 Casdes problèmesvalués

Les fon tions

δ

permettent de ara tériser les so-lutions d'un problème d'optimisation lorsque l'on onnaît une borne supérieure

B

du oût : on note

c

le oût d'unesolutionoptimaleduproblème

1.

δ

+

_{(a) ≤ (B − c)}

ssiilexiste unesolutiondu pro-blème empruntant l'ar

a

et de oût inférieur à

B

2.

δ

−

_{(a) ≤ (B − c)}

ssiilexiste unesolutiondu pro-blème n'empruntant pas l'ar

a

et de oût infé-rieurà

B

Autrement dit, les fon tions

δ

+

et

δ

−

permettent de partitionner l'ensemble des ar s en ar s né es-saires, libres et impossibles, tout ommele faisait la ontraintealldi.

Comme pré édemment la onnaissan e d'un algo-rithmed'optimisationde omplexité

opt

permetle al- ulde esfon tionsenuntemps

2m × opt

.Lebutest

L'intérêtpouralgorithmesd'énumération roissante danslaperspe tivedes ontraintes globalestrouvesa sour e en e que la onnaissan edes fon tions

δ

+

ou

δ

−

permetd'énumérerenordre roissantlessolutions des problèmes orrespondants.Cela sefait aumoyen d'uns hémaalgorithmique lassiquedûàLawler[12℄, luimêmegénéralisationdel'algorithmed'énumération des ouplagesdeMurty[14℄.

L'idée de l'algorithme de Lawler est de partition-nerl'espa edessolutionsduproblème

P

onsidéréen lassesd'équivalen e.Pour haque lassed'équivalen e seront al ulésunreprésentantetuneborneinférieure du oûtdel'ensembledessolutionsappartenantà ette lasse. Lesreprésentantset leurs évaluations sont in-troduitsdansuneledepriorité.

Itération entraledel'algorithme:

1. extrairelereprésentantleplusprometteur(borne inférieureminimale)etsa lassed'equivalen e 2. généreràpartirde e représentantunesolution 3. partitionner la lasse d'équivalen e (privée de la

solution générée) et al uler pour haque sous- lasseunreprésentantetune borne inférieure 4. insérer les nouvelles lasses d'équivalen e ave

leursreprésentantsrespe tifsetleursbornesdans laledepriorité

Le bon déroulement dela pro édure deLawler dé-pend de la qualité des bornes inférieures, de la pos-sibilité detoujoursgénérerunesolutionàpartird'un représentant,d'é arter ette solution de la lasse ex-traite et de la partitionner en un nombre réduit de nouvelles lasses.

Hama heret Queyranne[10℄ontpoursuivi es tra-vaux et montré qu'il susait de savoir al uler la meilleureetlase ondemeilleuresolutiondetoute pa-rition de la forme

P

k

= {S | Req ⊆ S ⊆ E\Exc}

où

Req

et

Exc

sontdesensemblesd'ar srequiset ex- lus. Orpourpeu quelessolutionsoptimales du pro-blème onsidéré ne puissent pas se ontenir les unes les autres (par exemple les arbres ou les plus ourts heminssimplesmaispaslesplus ourts hemins quel- onques)le oût

c

2

delase ondemeilleuresolutionest

c

2

= c(opt) + min

e∈opt

δ

−

(e)

De efait,touslesalgorithmesd'énumération rois-santequivérientlapropriétédenonin lusion omme les plus ourts hemins sans bou les [11℄, les arbres ouvrants[9℄,les ouplages[8℄[4℄,lesarbores en es[2℄ sont onstruits àpartirde lafon tion

δ

−

. Leur om-plexitéestalorsde

K

× opt

où

opt

estla omplexitédu

[5℄pourlesplus ourts heminsave bou les estbasé surlafon tion

δ

+

pourune omplexitéde

K

+ opt

.

5 Quelques ontraintes globales

Nous allonsàprésentretrouverles ontraintes glo-bales d'arbre, de ouplageet de plus ourt hemin à partirdelanotionde oûtderempla ementetde théo-rèmedestru ture.

5.1 Lesarbres ouvrants

SeulsAronetVanHentenry k[1℄semblents'être in-téressésauproblèmed'arbre ouvrant.C'estpourtant l'unedes ontraintesglobaleslesplusnaturellesen rai-sondelasimpli ité desesthéorèmesdestru ture.

On appellethéorème de stru ture un théorème a-ra térisantl'ensembledessolutionsd'unproblème-en généralparrapportàune solutiondonnée.

Fig.4E hange d'arêtes

Théorème de stru ture des arbres ouvrants: à partir d'un arbre ouvrant

T

d'un graphe

G

, on peutatteindretoutautrearbre ouvrantparunesuite d'é hanges admissibles d'arêtes de laforme

(e, f )

où

e

∈ T

et

f

6∈ T

estunearêtetellequele y le réépar

f

dans

T

ontienne

e

(gure4)

Théorème de stru ture version pondérée [Ga-bow 1977℄ : Soit

T

l'arbre ouvrant minimal d'un graphe

G

.

1. On suppose donné

e

∈ T

, soit

f

la plus petite arête telle que

(e, f )

soit uné hange admissible, alors

T

\e∪f

estl'arbre ouvrantminimalde

G\e

. 2. On suppose donné

f

6∈ T

, soit

e

la plusgrande arête telle que

(e, f )

soit uné hange admissible, alors

T

\e ∪ f

estl'arbre ouvrant ontenant

f

de oûtminimal.

5.1.1 Cal uldes oûtsde rempla ement

Lesthéorèmesdestru tureindiquent omment al- uler les oûtsde rempla ement

δ

+

et

δ

−

.Gabow en 1977parvenaitdéjàà al uler

δ

−

enune omplexitéde

m

log m + mα(m, n)

(où

α

désignel'inversedela fon -tiond'A kermann).D'autresauteursontréduiten ore letempset l'espa ené essairespardeste hniques al-gorithmiquesassezsophistiquées.

Etude d'un exemple

Fig.5Grapheinitial etarbrede oûtminimal

Lagure5montreungrapheetsonarbre ouvrant de oût minimal, la gure 6 les fon tions

δ

+

et

δ

−

asso iées. Fig.6fon tions

δ

+

et

δ

−

,lesarêtesnontra éesont un

δ

nul

Danslagure6,lesarêtesen adréessont ellesqui appartiennentàl'arbre ouvrantminimal.Une è he supérieure entre

e

et

f

signie si

e

∈ T

est interdit, il faut le rempla er par

f

6∈ T

pour un sur oût de

δ

−

(e) = c(f ) − c(e)

. De même, une è he inférieure entre

e

et

f

signie si

e

6∈ T

est imposé, il fautter

f

∈ T

pourunsur oûtde

δ

+

_{(e) = c(e) − c(f )}

.Dans lesdeux asnousdironsque

f

est lesupportde

e

.

Le support de

e

est l'arête libre de oût mini-mal/maximal formant un y le ave

e

. Comme les arêtessontordonnéespar oûts roissants,il sutde balayerletableaudefaçonas endanteoudes endante selonle as, jusqu'àtrouverun ar formant un y le ave

e

(ils'agitd'unevariantedel'algorithmede Krus-kal).Le al uldes oûtsderempla ementsefaitsurles ar slibres: l'existen ed'une hangeadmissible

(e, f )

signie que s'il l'on interdit

e

, on va pouvoirutiliser

f

àlapla e, equisupposeque

e

n'estpasné essaire et que

f

n'est pas interdit (et symétriquement). Les gures 6 b) et ) montrent l'évolution des supports quandl'ar

3

estimposé puisinterdit.

Fig. 7  supports quand tous les ar s sont libres, quand3est requiset quand3est interdit

5.1.2 Liensentre

δ

+

et

δ

−

Informellement, le lien entre

δ

+

et

δ

−

provient de la remarque que si l'on te un ar

e

d'une solution, pourretrouveruneautre solutionil vafalloirajouter aumoins unar dans unensembled'ar sde rempla- ement

R

,or

δ

+

mesurele oûtd'ajoutdesl'élements de

R

.

Plus pré isément, si l'on a

[x

e

= 0] ⇒ [∃k ∈

R,

| x

k

= 1]

on peut en déduire que

δ

−

(e) ≥

min

k∈R

δ

+

(x

k

)

Lesraisons pour lesquelles l'inégalité pourrait être stri tesont:

1. L'ensemble

R

est plus grand que né essaire. Il onvientdenoterquepourlaformulationPLNE du problème,

R

dénit une inégalité de lique

P

R∪e

x

k

= 1, x

k

∈ {0, 1}

. Cela donne une in-di ationsurladi ultéde al uler

R

demanière exa tedansle asgénéral

2. Les valeurs

δ

+

sur

R

ne sont pas exa tes (par exempleellessupposentque

x

e

= 0

, eserale as pourla ontraintedeplus ourt hemin)

Dansle as de l'arbre ouvrant, si onnote

m

∈ T

l'arêtede oût maximalde

T

alors toutearête

e

6∈ T

tellequele y leformépar

e

dans

T

ontienne

m

aura

m

poursupport( ar

m

estl'arêtede oûtmaximalde

T

don à fortioridu y le formé par

e

dans

T

). Ces arêtessontexa tement ellesdela oupeforméeparla

versalepoursupport

suppressionde

m

(gure 8),et pourtoutes esarêtes

∀e ∈ coupe(S

m

, S

m

), δ

+

(e) = c(m) − c(e)

.

Inversement, si on interdit l'arête

m

, on ne peut la rempla er que par une arête de la oupe et en parti ulier par elle qui minimise

c(m) − c(e)

, don

δ

−

(e) = min

_e∈coupe(S

m

,S

m

)

δ

+

_(e)

Lapro édurepeutêtrerépétéeré ursivementsurles sousarbres réésparla oupe.C'est ettestru ture in-du tivequi permetd'aboutiràdesalgorithmes quasi-linéaires - de omplexité

m

log m + θ(m)

où

m

log m

orrespondautridesar set

θ(m)

àlagestionde stru -turesdedonnéesdetypeunion-nd.

5.1.3 Voisinage delasolution optimale

Les oûts de rempla ement évaluent la déviation entre l'arbre ouvrant de oût minimal

T

min

et un arbre ontenantunearête

a

donnée(enparti ulier et arbrenedièredel'arbreminimalqueparuné hange d'arêtes).Ils'agit enquelquesorted'une ara térisa-tion du voisinage de

T

min

. Pour le as de plusieurs arêtesonadesinégalitéssouventstri tes:

c(T

min

) +

P

a∈A

δ

+

(a) ≤ min { c(T ) | A ⊆ T }

c(T

min

) +

P

a∈A

δ

−

(a) ≤ min { c(T ) | T ⊆ E\A }

Lesinégalitésdeviennentdeségalitésquandles élé-mentsde

A

ontdessupportsdisjoints.

5.2 Les ouplages

Le asdes ouplagesaétédéjàtraitéextensivement parRégin[16℄,nousnerevenonsquetrèssu intement à esujet.

Le graphe résiduel d'un ouplage

M

surungraphe biparti

(G, I, J)

estungraphe ontenanttousles som-mets

I

et

J

telque:

1. Atoutearête

(i, j)

dugraphe

G

apparaissantdans le ouplage

M

orrespondunar

(j, i)

dugraphe résiduel,valuéparl'inversedeson oût

−c

ij

2. A toute arête

(i, j)

du graphe

G

n'apparaissant pas dans le ouplage

M

orrespond unar

(i, j)

dugrapherésiduel,valuéparson oût

c

ij

1 5 7 6 5 9 2 4 3 0 4 5 1 0 3 0 2 0

Tab.1Matri ede oûtsetmatri edes oûtsréduits àl'optimum

La propriété fondamentale du ouplage est l'inva-rian edessolutionsparunefamilledetranslations: 1. soustra tiond'unemêmevaleuràtouteuneligne

delamatri edes oûts

2. soustra tion d'une même valeur à toute une o-lonnedelamatri edes oûts

Ainsi la table 1 montre la matri e des oûts d'un graphe omplet et sa matri e de oûts réduits qui est un extremum pour les transformations i-dessus dé rites : on ne peut faire au une transformation supplémentaire ar toutes les lignes et les olonnes ontiennent au moins un zéro. Comme les solutions restentin hangéespar es transformations,onen dé-duit immédiatementl'existen ede d'unesolution op-timale

(1, 1)(2, 2)(3, 3)

arles oûtsréduits orrespon-dantssonttousnuls,don leursommeminimale.

Ces opérations de translation reçoivent une jus-ti ation beau oup plus formelle dans le adre de la théoriedeladualitélinéairequilesrelieàlanotionde oût réduit.

Théorème de stru ture des ouplages [Berge 1957℄ : àpartir d'un ouplage

M

d'un graphe

G

, on peutatteindretoutautre ouplage

N

eninversantles ar s lelongd'un y le dugrapherésiduel.De plusla diéren e de oût entre les ouplages orrespondàla sommedes oûtslelongdu y ledugrapherésiduel:

C(N ) = C(M ) +

X

ij∈C

c

ij

Lethéorèmedestru tureayantuneformulation re-lative (diéren e de oût de deux solutions), il est également invariant par translation. On peut don y rempla er les oûts par les oûts réduits. La gure 9montrelegrapherésiduelasso iéàlasolutiondela gure10,valuéparles oûtsréduits.Lase onde solu-tiondelagure10est elleobtenueparinversiondes ar slelongdu y le

x

3

y

1

x

1

y

3

x

3

de oût5.

Fig.9 grapherésiduel asso ié au ouplagede oût minimal

Fig.10Solutionoptimaleduproblèmede ouplage delatable1etsolutionobtenueparinversiondesar s danslegrapherésiduellelongdu y le

x

3

y

1

x

1

y

3

x

3

de oût5

5.2.1 Cal uldes oûtsderempla ement

Le oûtderempla ementd'unar

(i, j)

orrespond au oût du plus petit ir uit dans le graphe résiduel ontenant

(i, j)

. Il peut don se al uler par un al-gorithme de plus ourt heminen une omplexité de

n

4

. Régin rempla e ensuite les oûts dugraphe rési-duel par les oûts réduits, obtenant ainsi un graphe à omposantes toutes positives (les ar s inversés de oûts négatifs sont eux appartenant à une solution orles oûtsréduitsdesar sd'unesolutionsontnuls). Onpeutainsiutiliserunalgorithmedeplus ourt he-minsde omplexitémoindre

(n

3

₎

.Le al uldes oûts réduitsest ubiqueparl'algorithmehongrois.

Fussenegger et Gabow ont réduit en 1977 la om-plexité de l'algorithme d'énumération des ouplages de

Kn

4

(Murty1968)à

Kn

3

.Cetterédu tionétait e-pendantuniquementdueaumé anismed'énumération utiliséparMurtylequeldans e aspré iss'avérait in-e a e.C'est lenouveaumé anismed'énumération -égalementutilisé par Gabowpour l'arbre ouvrant -quiaétégénéraliséparHama heretQueyranne.Dans l'optique du rappro hement ave les ontraintes glo-bales, nous nous baserons ependant sur les travaux deFusseneggeretGabow arplusstru turésque eux deMurty.

Etant donné un ouplage

M

, on appelle

M

(x)

le noeudimagede

x

par

M

,autrementdit

y

telque

(x, y)

appartienneà

M

.NousappelonsGraphedeGabow le graphe ontenant les seuls sommets

x

du graphe

ré-siduel et tel qu'àtout ar

(x

i

, y

j

)

dugraphe résiduel orrespondeunar

(x

i

, M

(y

j

))

demême oût. Intuiti-vementunar

(i, j)

danslegraphedeGabowsignie dansle ouplageinitialonavait

(i, M (i))

et

(j, M (j))

, danslenouveau ouplageonaura

(i, M (j))

et

(j, . . .)

 autrementdit

i

prendl'imagede

j

.

Lemme [Fussenegger et Gabow 1977℄ : Soit

M

un ouplaged'ungraphe

G

de oûtminimal,soit

(x, y)

un ar de e ouplageet

C

lepluspetit y ledugraphede Gabow ontenant

(x, M (x))

.Alorsle ouplageobtenu parinversiondesar slelongdu y le

C

estle ouplage dugraphe

G

de oût minimal ne ontenantpas l'ar

(x, y)

.

Fig.11GraphedeGabow orrespondantaugraphe résidueldelagure9

Celemmeramènele al ulde

δ

−

àun al uldeplus ourts heminsen

n

4

puis

n

3

enutilisantles oûts ré-duits. Comme on obtient le oût du se ond meilleur ouplage en al ulant

min

e∈M

δ

−

(e)

, Fussenegger et Gabow parviennent à un algorithme d'énumération des

K

ouplagesde oût minimumen

Kn

3

.

5.3 Lesplus ourts hemins

Sellmannaintroduit une ontrainte globale d'opti-misationpourleproblèmeduplus ourt heminentre deux noeuds

s

et

t

d'un graphe (orienté dans notre as).Nousmontreronssesliensave lestravaux d'Epp-steinsurl'énumérationdes heminsave bou le.

5.3.1 Remarques préalables

Le asdesplus ourt heminsestunpeuparti ulier: danslase tion3noussignalionsqu'ilsusaitdesavoir réduirele graphe aprèsavoirimposé un ar

a

 pour appliquer la méthode générale de double-négation et al uler

δ

+

_(a)

. Pour les plus ourts hemins quand l'ar

a

estdelaforme

(s, i)

où

s

estlepointdedépart du hemin, il sut derempla er

i

par

s

. Dansle as général,imposerdesar sàunplus ourt heminrend e problèmeNP-di ile. Onne peutdès lorsespérer al uler

δ

+

demanièreexa tequepourlesar sdetype

(i, j)

ave

i

∈ p

où

p

est leplus ourt heminentre

s

et

t

.

Pluttquele graphe

δ

+

, nousutiliseronslegraphe des oûtsdedéviationd'Eppstein(grapheréduit).Ces deuxgraphes oïn identpourlesar sdelaforme

(i, j)

ave

i

∈ p

.Le graphe réduitest le translatépréxe dugraphe

δ

+

enlesensquesesvaleurssont indépen-dantesdu heminutilisépourarriverenunpoint: propriétédugrapheréduit:soit

p

un hemin par-tantde

s

etparvenantàunnoeud

i

,alorstout hemin prolongeant

p

jusqu'à

t

et empruntantl'ar

(i, j)

aun oûtsupérieurà

c(p) + c

ij

.

propriété du graphe

δ

+

: tout hemin entre

s

et

t

empruntantl'ar

(i, j)

aun oût supérieurà

δ

+

_{(i, j)}

Ainsi, quand onimpose les ar sd'un hemin entre

s

et

i

,

c

ij

ne varie pas ontrairement à

δ

+

_{(i, j)}

. La onséquen eenestl'obtentiondepropriétésplusfortes aumoyend'une omplexi ationsigni ativedes algo-rithmes.L'algorithmed'énumérationd'Eppsteinpour déterminerles

k

plus ourts heminsaparexempleune omplexitéde

k

+ m log n

(onnoteque

k

n'estpasen fa teur ontrairementauxalgorithmesd'énumération pré édents).

Lemme[Eppstein℄:Soit

sp

leplus ourt heminentre deuxpoints

s

et

t

d'ungrapheet

p

unse ond hemin joignant es deuxnoeuds.

X

ij∈p

δ

+

_ij

= c(p) − c(sp)

On pourra omparer ave l'inégalité orrespondante pourlesarbres ouvrants

Fig.12Grapheinitialet grapheréduit

5.3.2 Cal ul des oûtsde rempla ement

Legrapheréduitse al uleenuntemps

m

+ n log m

aumoyendelaformuled'Eppstein:

c

ij

= c

ij

+ d(j, t) − d(i, t)

etd'unarbreinversedesplus ourts hemins(pourles distan es

d(

_

, t)

.

Lafon tion

δ

+

se al ule àpartirdugrapheréduit en

m

+ n log m

parlaformule

sour e

s

(pourlesdistan es

d(s,

_

)

)

Fig.13

δ

+

et

δ

−

Leplus ourt heminestunexempleoùle al ulde la fon tion

δ

−

à partirde

δ

+

donne des bornes infé-rieuresstri tes.Unargumentsemblableà eluiutilisé pourlesarbres ouvrantspermet demontrer que

δ

−

(a) ≥

min

ij∈coupe(S

a

,S

a

)

{ d(s, i) + c

ij

+ d(j, t) } − d(s, t)

Où

(S

a

, S

a

)

estla oupe rééeparlasuppressionde

a

dans l'arbre des plus ourts hemins d'origine

s

. Ce-pendant, dans le as des graphes orientés, l'inégalité peutêtrestri tesileplus ourt heminentre

j

et

t

de oût

d(j, t)

passejustementpar

(i, j)

Lafon tion

δ

−

(a)

se al ule en

n(m + n log m)

par une appli ationdire tedelaformule.Uneborne infé-rieure

min c

ij

ave

i

sur le hemin préxe de

a

peut être al uléeen tempslinéaireàpartirdugraphe ré-duit.Lagure13montrequ'ils'agitbiend'uneborne inférieure arlapro éduredé riteauraittrouvé

+3

ou

+4

pourdesar soùlavaleurexa teest

+4

et

+5

.

6 Renfor ement des bornes

Deux notionsvariationnellesqui permettent d'esti-merl'in rémentdu oûtlorsdelaprisede ertaines dé- isions (bran hements) pendant l'exploration de l'es-pa edere her he:

1. Pour les problèmes linéaires il s'agit des oûts réduits. Ils sont e a ement al ulés par l'algo-rithmedusimplexe

2. Pourlesproblèmes ombinatoirespolynomiauxil s'agitdes oûtsde rempla ement et pourun er-tainnombred'entreeuxnoussommesdéjàen me-suredeles al ulere a ement

Ilest ourantenprogrammationlinéaireennombres entiersd'utiliserles oûtsréduitspourtantdénispour le seul as ontinu, omme estimationde lavariation de oût delafon tionobje tif. Nousnousintéressons

di iles ou sortant du adre algorithmique de base ( hemin,arbres, ouplages).

Pour ertainsproblèmesilest possiblederenfor er les bornes à l'intérieur même du théorème de stru -ture.En eet,le al ul des oûtsderempla ementse ramène souvent à la résolution d'un problème las-sique( hemin, y le,arbre)dansungraphedérivédes donnéesinitialesduproblème.Or ertaines ontraintes additionnellespeuvent s'intégrerdire tementdans e problème sans augmentation signi ative de la om-plexité.

Exemple:Plus ourts heminsave unnombre borné d'ar s

La ontrainte de borne sur le nombre d'ar s peut être dire tement introduite dans le al ul des oûts derempla ementen al ulantnonplusl'arbreinverse desplus ourts heminsmaislesarbresinversesdeplus ourts heminsayantmoinsde

k

-ar s.Onposeensuite

c

k

_ij

= c

ij

+ d

k−1

(j, t) − d

k

(i, t)

Exemple:Exploration des ouplages par voisi-nages

k

-opt

Ilest possiblede al ulerétant donné un ouplage

M

de oûtminimal,lepluspetit ouplage

N

in luant un ar

(i, j)

et ne diérant pas de

M

par plus de

k

ar s.Ilsutde al ulerdans legraphe deGabowles y les passant par

(i, M (i))

, de oût minimal et de longueurbornée par

k

, equi sefaitparl'algorithme deFord-Bellman.

On peut ainsi obtenir des bornes exa tes pour les ouplagesquidièrentexa tementpar

k

ar sdela so-lutionoptimaleandemettreenpla eunepro édure dere her heexplorantlesvoisinages

k

-opt.

Exemple : Dis repan y based additive boun-dingfor the alldierent onstraint

L'appli ationproposéeparLodietal.[13℄ onsisteà partagerdansunproblèmede ouplagelesimages pos-siblespourunnoeudenbonsetmauvais sommets, puisexigerqu'ilyaitexa tement

k

mauvaissommets quisoient hoisisdansle ouplage.

Desbornesexa tespeuventégalementêtre al ulées dire tement dansle graphe résiduel parunproblème de plus ourt hemin sous ontraintes de ressour es (lesmauvaissommets onsommentuneunitéde res-sour e). Il s'agit d'une variation du problème pré é-dent.

Casgénéral?

raissent être les plus adaptées au renfor ement dy-namique des bornes. Elles supposent que toutes les ontraintesaienta èsaux oûtsderempla ement.

7 Con lusion

Nousnoussommes eor ésde larier lesliensqui existententrelesalgorithmes lassiquesdelare her he opérationnelletelsles plus ourts hemins,les arbres ouvrantet les ouplages,leurs équivalents énuméra-tifsetles ontraintesglobales.Lesalgorithmes permet-tantunltragee a ede es ontraintes d'optimisa-tionsedéduisentaisémentdesthéorèmes lassiquesde stru turesibien quelaproblématiquedes ontraintes globalesapparaît ommeune extension naturelle des problématiquesdel'algorithmique lassique.

Référen es

[1℄ Ionut D. Aron and Pas al Van Hentenry k. A onstraint satisfa tion approa h to the robust spanningtreeproblemwithintervaldata.In Pro- eedingsofthe18thConferen eonUn ertaintyin Arti ialIntelligen e(UAI),pages1825,2002. [2℄ PaoloM.Camerini,L.Fratta,andFran es o

Maf-oli. The

k

bestspanningarbores en esofa net-work. Networks,10:91110,1980.

[3℄ Yves Caseau and Fran ois Laburthe. Sol-ving various weighted mat hing problems with onstraints. In Pro eedings of the 3rd Interna-tional onferen e on prin iples and pra ti e of onstraintprogramming(CP),pages1731,1997. [4℄ ChandraR.ChegireddyandHorstW.Hama her. Algorithms forndink

k

best perfe t mat hings. Dis reteAppliedMathemati s,18:155165,1987. [5℄ David Eppstein. Finding the

k

shortest paths.

SIAMJ. Computing,28(2):652673,1998. [6℄ Filippo Fo a i, Andrea Lodi, and Mi hela

Mi-lano. Cost-baseddomainltering. InPro eedings of the 5th International onferen e on prin iples and pra ti e of onstraint programming (CP), pages189203,1999.

[7℄ Filippo Fo a i, Andrea Lodi, and Mi hela Mi-lano. Cuttingplanesin onstraintprogramming: Ahybridapproa h. InPro eedings of the 6th In-ternational onferen eon prin iples and pra ti e of onstraint programming (CP), pages187201, 2000.

[8℄ Frank Fussenegger and Harold N. Gabow. An improvedmethod for ndingthe

k

smallest ost assignmentsin order. Te hni alReport

CU-CS-weightedspanningtreesin order.SIAMJ. Com-puting,6(1):139150,1977.

[10℄ Horst W. Hama her and Mauri eQueyranne.

k

bestsolutionsto ombinatorialoptimization pro-blems. Annals of Operations Resear h, 4 :123 143,1985.

[11℄ JohnHershberger,MatthewMaxel,andSubhash Suri.Findingthe

k

shortestsimplepaths:Anew algorithmand itsimplementation. InALENEX, 2003.

[12℄ Eugene L. Lawler. A pro edure for omputing the

k

best solutionstodis reteoptimization pro-blems. Management S ien e,18:401405,1972. [13℄ AndreaLodi,Mi helaMilano,and Louis-Martin

Rousseau. Dis repan y-basedadditivebounding for the alldierent onstraint. InPro eedings of the9thInternational onferen eonprin iplesand pra ti e of onstraint programming (CP), pages 510524,2003.

[14℄ KattaG.Murty. Analgorithmforrankingallthe assignments in order of in reasing ost. Opera-tionsResear h,16:628687,1968.

[15℄ Jean-Charles Régin. A ltering algorithm for onstraintsofdieren einCSPs. InAAAI1994, pages362367,1994.

[16℄ Jean-Charles Régin. Ar onsisten y for glo-bal ardinality onstraints with osts. In Pro- eedings of the 5th International onferen e on prin iplesandpra ti eof onstraintprogramming (CP),pages390404,1999.

[17℄ Meinolf Sellmann. Cost-basedltering for shor-terpath onstraints.InPro eedingsofthe9th In-ternational onferen e onprin iples andpra ti e of onstraintprogramming (CP), pages694708, 2003.