Diffusions r´efl´echies r´eversibles d´eg´en´er´ees

c

1997 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

Diffusions r´efl´echies r´eversibles d´eg´en´er´ees

MYRIAM FRADON

Universit´e de Paris-Sud, D´epartement de Math´ematiques, B ˆat. 425, ´Equipe de Mod´elisation Stochastique et Statistique, F-91405 Orsay Cedex, France

(e-mail: myriam.fradon@univ-lille1.fr)

R´esum´e. Dans un domaine^Dde^Rd, pour une densit´e de probabilit´e^'assez r´eguli`ere et une matrice de diffusionautoris´ee `a d´eg´en´erer, nous construisons la loi^Qsd’un processus^'(x)d^x-r´eversible, r´efl´echi dans^Det de matrice. Cette construction est faite en utilisant la forme de Dirichlet associ´ee, et une suite de processus approximants inspir´ee de Pardoux et R. Williams [23]. Sous des hypoth`eses de type ‘contenu de Minkowski fini’ sur le bord de <sup>D</sup>, nous montrons que <sup>Q</sup>s est la loi d’une semi-martingale dont nous donnons une d´ecomposition. L’identification avec une d´ecomposition en fonctionnelles additives permet de conclure que la r´eflexion a lieu dans la direction ‘conormale’n, o`unest la ‘normale’ construite par Chen [10] comme ´etant la direction de r´eflexion du brownien dans la compactification de Kuramochi.

Mots cl´es: Processus r´efl´echi, matrice de diffusion d´eg´en´er´ee, formes de Dirichlet, temps local.

Abstract. On a domain^Din^Rd, for a smooth enough probability density^'and a diffusion matrix which can degenerate, we construct the law^Qs_{of a}'(x)d^x-symmetric reflecting process in^Dwith matrix. Therefore, we use the associated Dirichlet form and a sequence of approximating processes already used by Pardoux and R. Williams in [23]. Under mild conditions on the boundary of^D(finite Minkowski content), we prove that^Qsis the law of a semi-martingale and provide its decomposition.

Comparing with the decomposition in additive functionals, we conclude that the process is reflected in the ‘conormal’ directionn, wherendenotes Chen’s ‘normal’ (cf [10]), that is, the reflection direction of the Brownian motion in Kuramochi compactification.

Mathematics Subject Classifications (1991). 60J50, 31C25, 60J60, 60J55, 60J45.

Key words: Reflecting processes, degenerating diffusion matrix, Dirichlet form, local time.

1. Introduction

Quand on se donne un ouvert connexe

D

^deR

^d

, une probabilit´e

^sur

D

^{et une}

matrice de diffusion

⁽

x

⁾en tout point

x

^de

D

, un probl`eme int´eressant consiste `a chercher `a construire un processus r´efl´echi

-r´eversible de matrice

^dans

D

^{. La}

r´eversibilit´e impose au processus une direction de r´eflexion qui peut ne pas ˆetre la normale au bord de

D

^.

Dans le cas o`u

Id et o`u d

=

^d

x

⁼

C

^ste, ce processus s’appelle le brownien r´efl´echi dans

D

^{. Si}

D

est un ouvert `a bord lisse, on dispose de constructions probabilistes classiques (cf [17] pour le cas o`u

D

est une demi-droite ou un demi- espace, [27] pour le cas o`u

D

est `a bord^C2) et il est fortement markovien. Si

D

^est

quelconque (de mesure de Lebesgue finie), Fukushima a montr´e qu’on peut encore trouver une compactification

D

^{~ de}

D

dans laquelle le brownien r´efl´echi r´eversible

est fortement markovien (cf [13], voir ´egalement [25]). Le bord de

D

^~ s’identifie

`a la fronti`ere de Kuramochi. Si

D

est Lipschitz, ce n’est autre que la fronti`ere euclidienne (cf Bass and Hsu [3, 4]) et le brownien r´efl´echi dans

D

admet alors la d´ecomposition

X t

⁼

X

⁰⁺

B t

⁺

Z

t

0

n⁽

X s

^)d

L s ;

o`u

B

est un brownien

d

-dimensionnel et o`u n est la normale int´erieure au bord de

D

^.

L

est un processus croissant qui ne croˆıt que quand

X

est sur le bord

@D

^de

D

^{: d}

L t

^=1l

X

t²

@D

^d

L t

^.

Quand la matrice de diffusion

est non triviale (mais reste lipschitzienne), Tanaka a construit un processus r´efl´echi de matrice

^dans

D

, dans le cas o`u

D

^est

un ouvert convexe et o `u la r´eflexion au bord se fait dans la direction de la normale (cf [28]). Lions et Sznitman ont ´etendu ensuite ce r´esultat au cas o `u la direction de r´eflexion peut ˆetre oblique et o `u

D

est seulement ‘admissible’ (par exemple,

D

`a bord lisse par morceaux avec des angles convexes; voir [20] pour une d´efinition plus pr´ecise de l’admissibilit´e).

Lorsqu’on veut que le processus r´efl´echi obtenu soit r´eversible, un outil privi- l´egi´e de construction est la forme de Dirichlet associ´ee (cf Fukushima [14]). R.

Williams et Zheng ont utilis´e la forme de Dirichlet

8

>

<

>

:

D(H )=

H

¹⁽

D

⁾

8

f

^{2D(H ) H (}

f;f

^{)= 1}₂^Z

_D

^jr

f

^j2d

x;

pour construire le brownien r´efl´echi r´eversible comme limite d’une suite faiblement convergente de diffusions dans

D

(cf [29]). Sous de faibles hypoth`eses de r´egularit´e du bord de

D

(condition de Minkowski), ce brownien r´efl´echi dans

D

est une semi- martingale (une CNS sur

D

pour que ce soit une quasi-martingale est donn´ee dans [11]). Mais ce n’est pas, dans le cas g´en´eral, un processus fortement markovien. Ce type de construction a ensuite ´et´e ´etendue par Pardoux et R. Williams [23] au cas d’un processus r´efl´echi faiblement markovien

-r´eversible de matrice de diffusion

^(avec

^et

p

^=d

=

^d

x

assez r´eguli`eres et

localement uniform´ement elliptique).

Par ailleurs, pour

D

v´erifiant une hypoth`ese plus faible que celle de ‘con- tenu de Minkowski’, Chen a construit un brownien r´efl´echi r´eversible fortement markovien dans une compactification

D

^{~ de}

D

qui, comme celle de Kuramochi, rend^(H

;

^{D(H ))}r´eguli`ere. Ce brownien r´efl´echi r´eversible admet la d´ecomposition en semi-martingale suivante

X t

⁼

X

⁰⁺

B t

⁺

Z

t

0

n⁽

X s

^)d

L s ;

o`u n est un vecteur unitaire d´efini en presque tout point du bord de

D

^~. Par analogie avec le cas o `u

D

est Lipschitz, on dit encore que n est une ‘normale int´erieure’.

Si

est uniform´ement elliptique et

p

^{= d}

=

^d

x

encadr´ee par deux constantes strictement positives, on d´eduit de la d´ecomposition du brownien r´efl´echi dans

D

^~

celle d’une diffusion r´efl´echie

r´eversible de matrice

^dans

D

^~

X t

⁼

X

^0+Z

^t

0

⁽

X s

^)d

B s

⁺

Z

t

0

r

:

⁽

p

⁾

2

p

⁽

X s

^)d

s

+ Z

t

0

(

ⁿ⁾⁽

X s

⁾

p

⁽

X s

^)d

L s :

La r´eflexion a lieu ici dans la direction ‘conormale’

n, o`u n est la ‘normale’

construite par le brownien.

Nous ´etudions ici le cas o `u

n’est pas suppos´e elliptique. A partir de la forme

8

>

<

>

:

D(E

s

)=f

f

²

L

²⁽

D;

⁾

=

^r

f

²

L

²⁽

D;

^)g

;

8

f;g

^2D(E

^s

^{) E}

^s

⁽

f;g

^{)= 1}₂^Z

_D

^r

f:

^r

g

^d

;

dont on montre que c’est une forme de Dirichlet, on construit la loi

Q ^s

^d’un

processus r´efl´echi

-r´eversible dans

D

, dont le semi-groupe de transition est le semi-groupe de Markov associ´e `a ^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾. Par un raisonnement analogue `a celui de [23], on montre que

Q ^s

est la loi d’une semi-martingale. Pour pouvoir

´etudier le terme de r´eflexion en utilisant la normale n de Chen, on se place ensuite sur la compactification

D

^~, en supposant^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾r´eguli`ere sur

D

^~. Le processus associ´e se d´ecompose alors en fonctionnelles additives (cf [14]) et par identification avec la d´ecomposition en semi-martingale, on montre que la r´eflexion a bien lieu dans la direction conormale et on obtient l’expression de la mesure de Revuz.

Cet article est organis´e de la fac¸on suivante.

La partie 2 introduit l’espace

H

⁽

D;;a

^)=f

f

²

L

²⁽

D;

⁾

=

^r

f

²

L

²⁽

D;

^)g

qui sera le domaine de la forme^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾, rappelle les liens qui existent entre formes de Dirichlet, semi-groupes de Markov et processus, et pr´esente la forme de Dirichlet ^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾. Dans la partie 3, on construit une suite d’approxima- tions de la forme^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾par des formes de Dirichlet r´eguli`eres^(E

n ;

^D(E

ⁿ

^)).

On ´etudie les lois

Q ⁿ

des diffusions associ´ees aux^(E

n ;

^D(E

ⁿ

⁾⁾ et on en donne une d´ecomposition en semi-martingale. La partie 4 est consacr´ee `a l’´etude de la suite⁽

Q ⁿ

⁾

n

dont on montre qu’elle converge faiblement vers la loi de processus

Q ^s

associ´ee `a^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾. On d´emontre dans la partie suivante que

Q ^s

^{est la loi}

d’une semi-martingale, `a condition que

D

v´erifie une hypoth`ese du type ‘contenu de Minkowski’. Dans la partie 6, apr`es avoir pr´esent´e la normale n et la mesure r´eguli`ere

construites par Chen sur le bord d’une compactification

D

^{~ de}

D

^{, on}

d´ecompose le processus associ´e `a^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾en fonctionnelles additives. En iden- tifiant avec la d´ecomposition en semi-martingale d´ej`a obtenue `a la partie 5, on isole le terme de r´eflexion, dont on montre qu’il est associ´e `a la mesure r´eguli`ere sur le bord ¹₂

ⁿ

p

^d

. Ceci est fait sous l’hypoth`ese que^(E

s ;

^D(E

^s

⁾⁾est r´eguli`ere

sur la compactification

D

^~. Les cas o `u nous savons montrer que cette hypoth`ese est v´erifi´ee sont ´enum´er´es dans la partie 7. Mais la question de savior si cette hypoth`ese est v´erifi´ee dans le cas g´en´eral reste un probl`eme ouvert.

2. La forme de Dirichlet 2.1. LES ESPACES FONCTIONNELS

Dans toute la suite,on travaillera dans^R

d

_{, avec}

d

^{>1. Si}

D

est un ouvert de^R

d

_, on note ^C(

D

⁾ l’ensemble des fonctions continues sur

D;

^C

b

⁽

D

⁾ l’ensemble des fonctions continues born´ees sur

D

^{, etC}

c

⁽

D

⁾ l’ensemble des fonctions continues

`a support compact dans

D

^.C

ⁿ

⁽

D

⁾ est l’espace des fonctions

n

fois continˆument diff´erentiables sur

D;

^C

_nb

⁽

D

⁾celui des fonctions de^C

n

(

D

⁾born´ees ainsi que leurs

n

premi`eres d´eriv´ees et^C

nc

⁽

D

⁾celui des fonctions de^C

n

(

D

⁾`a support compact dans

D

^{. Lorsque}

f

sera une fonction `a valeurs vectorielles ou matricielles, on dira que

f

est^C

n

(

D

^)(resp.C

_nb

⁽

D

⁾

;

^C

_nc

⁽

D

⁾, etc) si tous ses coefficients le sont. Si

f

^2C1(

D

^),

on note^r

f

⁼⁽

@ i f

⁾¹⁶

i

⁶

d

son gradient et^r

:f

^=P

_di

⁼1

@ i f

sa divergence. Si

a

^est

une fonction^C1de

D

`a valeurs dans l’espace des matrices

d

d;

^r

:a

d´esignera le vecteur⁽

P

di

⁼¹

@ i a ij

⁾¹⁶

j

⁶

d

^.

Pour toute la suite, on fixe

D

, domaine (i.e. ouvert connexe) de^R

d

. On se donne une application

^{: R}

^d

^{! S}

d

^{o`u S}

d

d´esigne l’ensemble des matrices

d

d

^et

on note

a

⁼

. On se donne ´egalement

p

^:

D

^{! R telle que}

p >

^{0 sur}

D

^et

R

D p

^d

x

⁼1. La probabilit´e

^sur

D

est d´efinie par d

⁽

x

⁾⁼

p

⁽

x

^)d

x

^{On met sur}

et

p

les hypoth`eses suivantes

^2C

_b

^2(R

^d

^)\C4(R

^d

⁾

p

^2C

_b

¹⁽

D

^{) (HSP)}

et

Z

D

r

p p :a

^r

p

p p

^d

x <

⁺¹⁽condition d⁰energie finie⁾

Comme d’habitude, on note

L

²⁽

D;

⁾l’espace des fonctions (plus exactement des classes de fonctions pour l’´egalit´e

p:p

.) de carr´e int´egrable par rapport `a

^.

L

²⁽

D;

⁾est un espace de Hilbert et on l’identifie avec son dual.

Comme

p

est continue born´ee strictement positive sur

D

, si on note d

x

^la

mesure de Lebesgue, on remarque que sur tout compact

K

^de

D;p

^{v´erifie 0}

<

min

K p

⁶

p

^{6 max}

K p <

⁺¹et donc les normes ^kk

L

²⁽

K;

^d

x

^{) etkk}

L

²⁽

K;

^{) sont}

´equivalentes et les espaces

L

²⁽

K;

^d

x

^{) et}

L

²⁽

K;

⁾ ´egaux. En particulier, toute fonction de

L

²⁽

D;

⁾ est int´egrable par rapport `a la mesure de Lebesgue sur tout compact de

D

^.

D ´EFINITION 2.1. Si

f

²

L

²⁽

D;

⁾, on dit que

^r

f

²

L

²⁽

D;

⁾ ‘au sens des distributions sur

D

’ si il existe

g

²

L

²⁽

D;

⁾ `a valeurs dans^R

d

_{telle que}

8

'

^2C1

_c

⁽

D

^{) Z}

_D '

⁽

x

⁾

g

⁽

x

^)d

x

^{= Z}

_D

^r

:

⁽

'

⁾⁽

x

⁾

f

⁽

x

^)d

x;

^(IPP)

et dans ce cas on dit que

g

⁼

^r

f

‘au sens des distributions sur

D

^’.

Dans la suite, ‘au sens des distributions sur

D

’ sera sous-entendu chaque fois qu’on utilisera la notation

^r.

REMARQUE 2.2. Si

^r

f

existe, elle est forc´ement unique (en tant qu’´el´ement de

L

²⁽

D;

⁾). D’autre part, si

f

^{2 C1(}

D

⁾

;

^r

f

^{et donc}

^r

f

sont ´egalement d´efinies au sens des d´eriv´ees classiques. Une simple int´egration par parties prouve que les deux d´efinitions co¨ıncident.

D ´EFINITION 2.3. On note

H

⁽

D;;a

⁾ l’espace des fonctions

f

^de

L

²⁽

D;

⁾

telles que

^r

f

est d´efini dans

L

²⁽

D;

⁾

H

⁽

D;;a

^)=f

f

²

L

²⁽

D;

⁾

=

^r

f

²

L

²⁽

D;

^)g

;

et on met sur

H

⁽

D;;a

⁾le produit scalaire

(

f;g

⁾

_H

⁽

_D

_;

_;a

^)=Z

_D fg

^d

^+Z

_D

⁽

^r

f

⁾

:

⁽

^r

g

^)d

et la norme^kk

H

⁽

D

;

;a

⁾correspondante.

Pour pouvoir ´etudier les propri´et´es de l’espace

H

⁽

D;;a

⁾, d´emontrons d’abord un premier r´esultat de convergence pour la norme^kk

H

⁽

D

;

;a

⁾. Pour cela, on utilise la suite r´egularisante⁽

J "

⁾

">

⁰d´efinie par

J "

⁽

x

⁾⁼⁽¹

=" ^d

⁾

J

⁽

x="

^)pour

" >

^{0, o`u}

J

une fonction de^C

c

^1(R

d

)telle que

0⁶

J

⁶¹

;

^supp

J

B

⁽⁰

;

^{1) et Z}

Rd

J

⁽

x

^)d

x

⁼¹

:

LEMME 2.4. Soient

D

^{0 et}des ouverts born´es de

D

^{tels que}

D

⁰

D

⁰

D

^{. Soit}

f

une fonction de

H

⁽

D;;a

⁾nulle hors de

D

⁰. Pour tout

"

^inf´erieur

`a

d

⁽

D

⁰

;@

⁾

;J "

f

d´efinie par⁽

J "

f

⁾⁽

x

^)=R

_D J "

⁽

x y

⁾

f

⁽

y

^)d

y

^estC

_c

^{1(). De}

plus, quand

"

tend vers 0

;J "

f

converge vers

f

^dans

H

⁽

D;;a

^).

Preuve. Puisque est compact dans

D

, les normes^kk

L

²⁽

;

^d

x

^{) et kk}

L

²⁽

;

⁾ sont ´equivalentes. Comme

f

²

L

²⁽

;

⁾

;f

²

L

²⁽

;

^d

x

⁾et le Lemme 2.18(b) de [1] assure alors que

J "

f

^2C

_c

^1().

Comme

f

^et

^r

f

appartiennent `a

L

²⁽

;

^{) =}

L

²⁽

;

^d

x

⁾, d’apr`es le lemme 2.18(c) de [1], on sait que

J "

f

^et

J "

⁽

^r

f

⁾convergent respectivement vers

f

et

^r

f

^dans

L

²⁽

;

^d

x

⁾, donc dans

L

²⁽

;

^{). Et comme}

f

^et

^r

f

sont `a support dans

D

⁰ cette convergence a ´egalement lieu dans

L

²⁽

D;

⁾. Pour montrer que

k

J "

f f

^k2

_H

⁽

_D

_;

_;a

⁾qui est major´e par

3^k

J "

f f

^k2

_L

²⁽

_D;

^)+3k

^r(

J "

f

⁾

J "

⁽

^r

f

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

+3^k

J "

⁽

^r

f

⁾

^r

f

^k2

_L

²⁽

_D;

⁾

;

tend vers 0 quand

"

tend vers 0, il suffit donc de montrer que

k

^r(

J "

f

⁾

J "

⁽

^r

f

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

_"

!0

- 0

:

Pour pouvoir se ramener au cas o`u

f

est une fonction^C1, on ´etablit d’abord le r´esultat suivant

Pour tout

"

^{de]0; min(}

d

⁽

D

⁰

;@

⁾

;d

⁽

;@D

^))[, pour toute fonction

g

^de

H

⁽

D;;a

⁾

`a support dans

D

^{0, on ak}

^r(

J "

g

⁾

J "

⁽

^r

g

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾⁶

C

^stek

g

^k2

_L

²⁽

_D

⁰

_;

d

x

^)o`u

C

^steest un nombre qui ne d´epend que de

d;;p

^et

J

^.

k

^r(

J "

g

⁾

J "

⁽

^r

g

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

= Z

⁽

x

^)rZ

_D

0

J "

⁽

x y

⁾

g

⁽

y

^)d

y

Z

D

⁰

J "

⁽

x y

⁾⁽

^r

g

⁾⁽

y

^)d

y

²

p

⁽

x

^)d

x

= Z

⁽

x

^)Z

_D

0

r

J "

⁽

x y

⁾

g

⁽

y

^)d

y

+ Z

D

^0r

:

⁽

J "

⁽

x

⁾⁾⁽

y

⁾

g

⁽

y

^)d

y

²

p

⁽

x

^)d

x

par definition de

^r

g;

^puisque

J "

⁽

x

^)2C

_c

¹⁽

D

^{)pour tout}

x

^de

:

= Z

Z

B

⁽

x;"

⁾

g

⁽

y

^)[

⁽

x

⁾

⁽

y

^)]r

J "

⁽

x y

⁾

+

g

⁽

y

⁾

J "

⁽

x y

^)r

:

⁽

y

^)d

y

²

p

⁽

x

^)d

x

ou

B

⁽

x;"

⁾est la boule fermee de centre

x

et de rayon

":

On majore cette expression en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz

k

^r(

J "

g

⁾

J "

⁽

^r

g

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

6 Z

" ^d

^vol(

B

⁽⁰

;

^1))Z

_B

(

x;"

^)j

g

⁽

y

^)[

⁽

x

⁾

⁽

y

^)]r

J "

⁽

x y

⁾

+

g

⁽

y

⁾

J "

⁽

x y

^)r

:

⁽

y

^)j2d

yp

⁽

x

^)d

x

ou vol⁽

B

⁽⁰

;

¹⁾⁾est le volume de la boule unite de^R

d :

6

" ^d

^vol(

B

⁽⁰

;

^1))Z

Z

B

⁽

x;"

⁾²

g

²⁽

y

⁾

d

^kr

^k21j

x y

^j2jr

J "

⁽

x y

^)j2

+2

g

²⁽

y

⁾

J _"

²⁽

x y

⁾

d

^kr

^k21d

yp

⁽

x

^)d

x

62

" ^d

^vol(

B

⁽⁰

;

¹⁾⁾

d

^kr

^k21k

p

^k1

Z

D g

²⁽

y

^)Z

Rd

"

1

^d

¹

"

^r

J

x

"

2

"

²⁺

"

¹

^d J

x

"

2

d

x

^d

y:

Enfin, on effectue le changement de variable

x x="

pour obtenir

k

^r(

J "

g

⁾

J "

⁽

^r

g

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

62 vol⁽

B

⁽⁰

;

¹⁾⁾

d

^kr

^k21k

p

^k1Z

Rd^jr

J

^j2+

J

^2d

x

^k

g

^k2

_L

²⁽

_D

⁰

_;

d

x

⁾

;

ce qui d´emontre le r´esultat annonc´e

Puisque^C

c

¹⁽

D

⁰⁾est dense dans

L

²⁽

D

⁰

;

^d

x

⁾, il suffit maintenent de montrer que pour

f

^2C

_c

¹⁽

D

⁰⁾

k

^r(

J "

f

⁾

J "

⁽

^r

f

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

_"

!0

- 0

;

k

^r(

J "

f

⁾

J "

⁽

^r

f

^)k2

_L

²⁽

_D;

⁾

= Z

D

Z

Rd

J "

⁽

x y

^)[

⁽

x

⁾

⁽

y

^)]r

f

⁽

y

^)d

y

²

p

⁽

x

^)d

x

6 Z

D " ^d

^j

B

⁽⁰

;

^1)jZ

Rd

J _"

²⁽

x y

^)kr

^k21j

x y

^j2jr

f

^j2(

y

^)d

yp

⁽

x

^)d

x

6

" ^d

^j

B

⁽⁰

;

^1)jkrk21k

p

^k1Z

_D

^Z

Rd

"

1

^d J "

⁽

x y

⁾

"

^2jr

f

^j2(

y

^)d

y

^d

x

puisque

J

^{est inferieurea 1 surR}

^d :

6

"

^2j

B

⁽⁰

;

^1)jkr

^k21k

p

^k1k

J "

^jr

f

^j2k

L

¹⁽

D;

^d

x

⁾

;

et comme^jr

f

^j22

L

¹⁽

D;

^d

x

⁾

;

^k

J "

^jr

f

^j2k

_L

¹⁽

_D;

d

x

^{)tend quand}

"

tend vers 0 vers

kjr

f

^j2k

_L

¹⁽

_D;

d

x

^{), donck}

^r(

J "

f

⁾

J "

⁽

^r

f

^)k

_L

²⁽

_D;

⁾converge vers 0. Ceci

termine la preuve du Lemme 2.4. ²

Une premi`ere cons´equence de ce lemme est de donner plusieurs d´efinitions

´equivalentes de

^r

f

PROPOSITION 2.5. Pour une fonction

f

²

L

²⁽

D;

⁾, les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes

(i) ⁹

g

¹²

L

²⁽

D;

⁾

=

⁸

'

^2C

_c

¹⁽

D

^{) R}

_D 'g

^1d

x

^{= R}

_D

^r

:

⁽

'

⁾

f

^d

x

^,

(ii) ⁹

g

²²

L

²⁽

D;

⁾

=

⁸

'

^2C

_c

¹⁽

D

^{) R}

_D 'g

^2d

x

^{= R}

_D

^r

:

⁽

'

⁾

f

^d

x

^,

(iii) ⁹

g

³²

L

²⁽

D;

⁾

=

⁸

'

^2C

_c

¹⁽

D

⁾

R

D 'g

^3d

^{= R}

_D

^r

:

⁽

'

⁾

f

^d

^R

_D '

^r

_p ^p f

^d

^.

Les fonctions

g

¹

;g

^2et

g

³ainsi d´efinies sont uniques, et elles sont ´egales `a

^r

f

^.

Preuve. Par d´efinition,

g

^{1 =}

^r

f

. L’unicit´e de

g

¹

;g

^2et

g

³et leur ´egalit´e sont imm´ediates, elles d´ecoulent de la densit´e de^C

c

¹⁽

D

^)dans

L

²⁽

D;

^{)(ou deC}

_c

¹⁽

D

⁾

dans

L

²⁽

K;

^d

x

⁾pour tout compact

K

^de

D

dans le cas de

g

^2).

L’implication (i) ⁾(iii) est ´evidente en remarquant que, pour

'

^{2 C}

_c

¹⁽

D

^{), la}

fonction

'p

^estC

_c

¹⁽

D

⁾. De mˆeme, il est clair que (iii) implique (ii) puisque pour

'

^2C1

_c

⁽

D

⁾, la fonction

'=p

appartient `a^C

c

¹⁽

D

^).

Il reste `a montrer que (ii) implique (i). Supposons que

f

v´erifie (ii). Pour

'

^{2 C}

_c

¹⁽

D

⁾, on peut trouver des ouverts born´es

D

^{0 et de}

D

^{tels que}

supp

'

D

⁰

D

⁰

D

. Le Lemme 2.4 assure alors que

8

" < d

⁽

D

⁰

;@

⁾

J "

'

^2C

_c

^{1() et}

J "

' ^H

⁽

^D;;a _"

!0 ⁾

-

':

Par d´efinition de

g

²

Z

D

⁽

J "

'

⁾

g

^2d

x

^{= Z}

_D

^r

:

⁽⁽

J "

'

⁾

⁾

f

^d

x

= Z

D

⁽

J "

'

^)(r

:

⁾

f

^d

x

^Z

_D

^r(

J "

'

⁾

f

^d

x:

Et comme

J "

'

^et

^r(

J "

'

⁾convergent vers

'

^et

^r

'

^dans

L

²⁽

D;

^{)et donc}

dans

L

²⁽

;

^d

x

⁾, on peut faire tendre

"

vers 0 dans l’´egalit´e pr´ec´edente et on obtient

Z

D 'g

^2d

x

^{= Z}

_D '

^(r

:

⁾

f

^d

x

^Z

_D

^r

'f

^d

x

^{= Z}

_D

^r

:

⁽

'

⁾

f

^d

x;

ce qui montre que

f

v´erifie (i), avec

g

¹⁼

g

^{2. 2}

PROPOSITION 2.6. Si

f

²

H

⁽

D;;a

^{) et}

g

^{2 C}

_b

¹⁽

D

^)alors

fg

²

H

⁽

D;;a

⁾

et

^r(

fg

⁾⁼

g

^r

f

⁺

f

^r

g

^.

Preuve. Les hypoth`eses mises sur

f

^et

g

(et le fait que

est born´ee) assurent que

fg

²

L

²⁽

D;

^{)et que}

g

^r

f

⁺

f

^r

g

²

L

²⁽

D;

⁾. De plus, pour

'

^2C

_c

¹⁽

D

^),

on a^r

:

⁽

'g

^)=r

:

⁽

'

⁾

g

⁺

'

^r

g

^puisque

';g

^et

^{sontC1, donc}

Z

D '

⁽

g

^r

f

⁺

f

^r

g

^)d

x

^{= Z}

_D

^r

:

⁽

'g

⁾

f

^d

x

^+Z

_D '

^r

gf

^d

x

= Z

D

^r

:

⁽

'

⁾

fg

^d

x:

²

Si

est uniform´ement elliptique et

p

uniform´ement minor´ee par un nombre stricte- ment positif,

H

⁽

D;;a

⁾est ´egal `a

H

¹⁽

D

⁾. Mˆeme quand

^et

p

peuvent d´eg´en´erer,

H

⁽

D;;a

⁾conserve certaines propri´et´es classique de

H

¹⁽

D

⁾. En particulier PROPOSITION 2.7. L’espace

H

⁽

D;;a

⁾est un espace de Hilbert.

TH ´EOR `EME 2.8. Le sous-espace^C1(

D

^)\

H

⁽

D;;a

⁾est dense dans l’espace de Hilbert

H

⁽

D;;a

^).

La Proposition 2.7 est ais´ee `a d´emontrer, en utilisant la d´efinition de

^{r et la}

compl´etude de

L

²⁽

D;

⁾

Preuve. Il faut montrer que⁽

H

⁽

D;;a

⁾

;

^kk

H

⁽

D;;a

⁾⁾est complet. Soit⁽

u n

⁾

n

une suite de Cauchy dans

H

⁽

D;;a

⁾. Les suites ⁽

u n

⁾

n

^{et (}

^r

u n

⁾

n

^{sont de} Cauchy dans

L

²⁽

D;

⁾, donc elles convergent et leurs limites respectives

f

^et

g

appartiennent `a

L

²⁽

D;

^{). Pour}

'

^{2 C}

_c

¹⁽

D

⁾, les fonctions

'=p

^et(1

=p

^)r

:

⁽

'

⁾

appartiennent `a

L

²⁽

D;

⁾, donc on peut passer `a la limite dans l’´egalit´e (IPP) v´erifi´ee par

u n

Z

D '

p

^r

u n p

^d

x

^=Z

_D

¹

p

^r

:

⁽

'

⁾

u n p

^d

x:

On obtient alors l’´egalit´e (IPP) pour

f

^avec

^r

f

⁼

g

, ce qui prouve que

f

^est

la limite de⁽

u n

⁾

n

^dans

H

⁽

D;;a

⁾, et donc que

H

⁽

D;;a

⁾est complet. ² Pour d´emontrer le Th´eor`eme 2.8, on utilise le Lemme 2.4

Fixons

u

²

H

⁽

D;;a

^{) et}

>

0. On cherche ^{2 C1(}

D

^{) telle quek}

u

k

H

⁽

D;;a

^{) 6}

^.

Notons

D

⁰

_k

⁼

D _k

⁰⁰ 1

D

⁰⁰

_k

⁺1o`u

D

⁰⁰

_k

^=f

x

²

D=

^j

x

^j

< k

^et

d

⁽

x;@D

⁾

>

¹

=k

^g.

La famille d’ouverts⁽

D _k

⁰⁾

k

^2Nrecouvre

D

donc d’apr`es le Th´eor`eme 3.14 de [1], il existe une collection de fonctions de ^C

c

¹⁽

D

⁾ telle que les ² sont

`a valeurs dans [0, 1], pour chaque compact

K

^de

D

le nombre de ² non identiquement nulles sur

K

est fini, chaque ² est `a support dans l’un des

D

⁰

_k

et

P

2

(

x

⁾⁼1 pour tout

x

^de

D

(il s’agit d’une somme finie). On note

k

^la somme (finie car

D _k

⁰ est un compact de

D

^{) des 2} v´erifiant supp

D

⁰

_k

^et

supp ⁶

D _k

⁰ 1. On a alors

k

^2C

c

¹⁽

D _k

^{0) et 8}

x

²

D

^+1X

k

⁼¹

k

⁽

x

⁾⁼¹

:

Pour chaque

k

^{2 N}, grˆace `a la Proposition 2.6, on sait que

k u

²

H

⁽

D;;a

⁾

et que

^r(

k u

⁾⁼

^(r

k

⁾

u

⁺

k

^r

u

. D’autre part, supp⁽

k u

⁾

D

⁰

_k

^{donc on}

peut appliquer le Lemme 2.4 `a

k u;D _k

^{0 et}

k

⁼

D _k

⁰ 1^[

D

⁰

_k

^[

D _k

⁰⁺1et on obtient