S (S )
P AUL -A NDRÉ M EYER
Éléments de probabilités quantiques (exposés IX et X)
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 22 (1988), p. 101-128
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1988__22__101_0>
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CALCULS
ANTISYMÉTRIQUES
ETSUPERSYMÉTRIQUES>>
EN
PROBABILITÉS
Cet
exposé présente
les résultatsprincipaux
d’un article de Le Jan[6]~
et à travers celui-ci les idées deDynkin
dont Le Jan s’estinspi-
ré en
partie ( Dynkin
n’utilise que des espaces de Focksymétriques ).
En
passant,
nous regroupons divers résultats intéressants sur le casantisymétrique,
lasupertrace,
etc. Parrapport
auxexposés précédents,
on voit
apparaître
divers éléments nouveaux : l’utilisation du mouvement browniencomplexe
au lieu du mouvement brownienréel,
et surtout le mé-lange
desymétrique
etd’antisymétrique, qui
constitue(
en un sens va-gue )
le travailsupersymétrique.
Pour faciliter lalecture,
nous com-mençons par des
rappels.
I. CALCULS
SYMÉTRIQUES
1. Nous allons travailler sur un mouvement brownien réel
(X.),
ou uncouple
de deux mouvements browniens réelsindépendants
quenous considérerons aussi comme un mouvement brownien
complexe
enposant ,’
Ces processus étantréalisés
canoni-quement
surl’espace
de Wiener(
noté 0 dans les deux cas),
unélément
de
L (n)
admet undéveloppement
enintégrales stochastiques multiples
~ ~
=t~...1~ (
cf. remarque endernière page )
(
le cas d’un seulm.br., déjà
vu dans lesexposés précédents,
ne serapas
explicité ). Plutôt
que cette notationlourde, identifions
le m-uple
croissant à unepartie
à méléments
A deE ,
l’en-semble de toutes ces
parties étant
notéP,
et laréunion
desPétant
notée P . Nous obtenons alors la notation concise ~
(l’) f
=m xp
n=
pp (A,B)dXAdYB
avec
~f~2
=/
PxP
(
si dA est uneabréviation
pourds....ds ).
La fonc-tion f
EL (PxP)
estparfois appelée
le noyau de f( et
on oublieraparfois son ^ ).
On a unereprésentation analogue
danslaquelle l’élément
différentiel dXAdYB
estremplacé
pardZAdZB ,
avec bien entendu unnoyau différent. Nous utiliserons
plutôt
lecouple (Z,Z)
dans cet ex-posé,
mais il estnécessaire
degarder
àl’esprit
les deux notations.Revenons à
(1).
La forme traditionnelle del’intégrale multiple
d’Ito-Wiener fait
intervenir,
nonpas 03C1m 03C1n ,
mais avec une fonc-tion
symétrique
en chacun des deux groupes de variables. Pour que lareprésentation
reste lamême,
on écrit alors(2) f = 03A3m,n 1 m!n!Rm+Rn+ fmn(s1,..,sm,t1,..,tn)dXs1..dXsm
dYt1 ..dYtnle coefficient
l/mln!
assurant que la fonctionsymétrique f
est sim-plement
leprolongement
parsymétrie
de la fonctionf~
de(1).
L’in-tégrale (2)
necomporte
aucune contribution desdiagonales
ou{ti=tj} ,
et ceci estnaturel,
car la fonctionfmn
est seulement assu-jettie
àappartenir
àL2,
et n’a donc pas de « trace » sur lesdiago- nales,
celles-ci étant de mesure nulle. Mais nousexpliquons
ailleursdans ce volume
(
article deHu-Meyer )
que pour des noyaux suffisammentréguliers,
onpeut
calculer les traces sur lesdiagonales,
et les con-tributions de celles-ci à une
intégrale
dutype
deStratonovitch,
sui-vant les
règles dXsdXs=ds, dYtdYt=dt (
lesdiagonales s.=t.
ne contri-buent pas :
dXsdYs-0 ) .
Comme d’habitude pour uneintégrale
de Strato-novitch,
lesexigences
derégularité
sontplus
fortes que pour une inté-grale d’Ito,
et les calculsalgébriques
sontplus simples.
On en verrades
exemples
un peuplus
bas.Lorsqu’on
utilise unereprésentation complexe,
lesrègles
de calculdes contributions
diagonales
sont modifiées : ici toutprovient
des dia-gonales
lesrègles
étant2. Nous aurons affaire à deux
multiplications
des v.a. définies sousla forme
(l’) :
leproduit
de Wick ouproduit symétrique ( noté o )
et le
produit
de Wiener(
noté sanssigne
demultiplication ). Exprimons
ces
produits
dans lareprésentation complexe.
Soientf = , g =
( intégrales
sur).
Le noyau duproduit fog=h (
oufg=h )
estdonné dans le
premier
cas( Wick )
par(3) h(A,B) = f(R,T)g(S,U)
T+U=B
et dans le second cas
( Wiener )
par(4) h(A,B) =!
dMdNf(R+M,T+N)g(S+N,T+M)
"’
T+U=B
sous réserve que ces
intégrales
existent bien et que les noyaux ainsi définisappartiennent
àL2,
mais en fait nous nemultiplierons
que desv.a. très
simples,
et cesproblèmes
ne seposeront
pas.En
pratique,
commentmultiplie
t-on au sens de Wick ou de Wiener deuxintégrales stochastiques
d’Ito( diagonales exclues )
Rm+Rn+fmn(s1,..,sm,t1,..,tn)dZs1..dZsmdZt1..dZtn
et
Rp+Rq+ gpq(u1,..,up,v1,..,vq)dZu1..dZupdZv1..dZvq ?
Le
produit
de Wick est toutsimplement l’intégrale
d’Ito(5) Rm+p+Rn+q+
fmn(s,t)gpq (u,v) 03A0dZsidZuj
dZtk dZvl(1)
diagonales
exclues. Leproduit
de Wienercomporte
des termes addition- nelsappartenant
aux chaos d’ordre(m+p-l,n+q-l), (m+p-2,n+q-2)...
cor-respondant
auxcoïncidences
entre unsi
et unv~ ,
, ou entre unu.
etun les coïncidences entre un
si
et unt. ,
ou entre unu.
et unv~ ,
, ont été exclues dès ledépart ). Chaque
coïncidence fait descendre ledegré
d’une unitéen Z
et une unité enZ,
et le nombre total des coincidences est auplus (mAq)+(nAp).
Enparticulier,
sim=q et
n=p leproduit
de Wienercomporte
un terme dans le chaos d’ordre(0,0), qui
s’obtient en contractant au
maximum,
de toutes les manièrespossibles,
les
si
et lesv~ ,
, lestj
avec lesuk,
etqui
estl’espérance
duproduit
de Wiener. Cesprocédés
combinatoires sont résumés dans laméthode
desdiagrammes
utilisée par lesphysiciens,
ou dans les formules(3),(4).
Si maintenant les deux
intégrales
étaientprises
au sens de Strato- novitch( diagonales
incluses),
leurproduit
de Wiener seraitsimple-
ment
l’intégrale (5) diagonales
incluses. Cela illustre bien lasimpli-
cité
algébrique
del’intégrale
deStratonovitch.
Donnons un
exemple
concret de cela : soientul,..,um,
des éléments de
L2(R+).
Posons et Lenoyau du produit de Wick
Zu oZ o..oZ
estdonné,
si A =B =
~tl...t n ~1, par m
1 n(6) h(A,B) =
~n
( h(A,B)=0
si~A~~m
ou).
Calculons
ensuite leproduit
deWiener Z ...Z Z ...Z~. :
. c’est l’inté-grale multiple diagonales
inclusesRm+ Rn+ u1(s1).. um(sm)v1(t1)..vn(sn)dZs1.. dZsmdZt1.. dZtn
1. Noter que l’on a fait passer les
Zuk
sur lesZtj :
il y a donc unecommutativité que l’on a utilisée sans rien
dire . Noter aussique
l’intégrande
de(5)
n’est passymétrique : il faut le symétriser !
L’intégration
sur l’ensemble{Vi,j
fournit leproduit
de Wick? o..? oZv1..oZvn déjà
vu. Les ensembles à une seule coïncidences.=t.
fournissent les termes du chaos d’ordre
(m-l,n-l)
1
o...ui o..oZu
moZv1o....ovj o.. oZ vn
(
est leproduit
scalaire bilinéaire!ui(s)vi(s)ds ),
les ensembles
comportent
deux( , )
et ainsi de suite.En
particulier
si m=n, il y a un terme dans le chaos d’ordre(0,0), qui
est aussil’espérance
duproduit
de Wiener(
sim~n, l’espérance
est
nulle ) :
c’est lepermanent
desproduits
scalaires(u.,v.)
(7)
Per(Ui’Vj)
=L:aeem
3. Avant de
continuer,
nous allons mettre les résultatsprécédents
sousune forme un peu
plus algébrique .
Ecrivons H au lieu de
L2(R+),
et formons( H’
est le dual deH ) . L’application x ~-> x~=~x,.>
est unisomorphisme
antilinéaire de H surxf,
que l’onprolonge
defaçon
naturelle en une involution deG,
encore
notée * .
Nous définissons alorssur G
unproduit
scalaire bili- néaire(x,y) = x~,y>,
et pour ceproduit scalaire,
les deux espaces H et H’ sont isotropes(
car pourxeH , c~x~,x>=0 puisque
H et H’ sontorthogonaux
par constructionde G ). Inversement,
onpeut
montrer que danstout
espace de Hilbertcomplexe G
muni d’uneinvolution, qui
estde dimension infinie ou de dimension finie
paire,
onpeut
trouver deuxsous espaces fermés
conjugués orthogonaux E
etE*
desomme G ;
ils sontalors
isotropes
pour leproduit
scalaire bilinéaire(x,y)=x ,y>,
etil est facile d’identifier
E*
au dual E’ de E au moyen duproduit
sca-laire
( , ).
Une telledécomposition
de G en somme-de deux sous-espacesisotropes
maximaux est loind’être unique.
On retrouvera tout cela à propos de
l’algèbre
extérieure.Revenons à construisons
l’algèbre symétrique
deG, qui
secomplète
enl’espace
de Focksymétrique.
Un élément de cettealgèbre
est une c.l. finie de
produits auxquels
nous as-socions les v.a.
Zu1 o...oZun oZv1 o...oZvn ( ici,
nous sommes revenusà
), l’interprétation lconcrété
du début).
On construit ainsi unisomorphisme
entrel’espace
de Focksymétrique sur G
et l’es-pace
L2
associé au mouvement browniencomplexe, analogue
à celuiqui
nous a
occupés depuis l’exposé
V. Du fait que(Zt)
et(Zt)
sont desmartingales conformes,
bien des calculs sontplus élégants
dans le cascomplexe
que dans le cas réel.Les calculs que nous avons
indiqués
au n°2(
sans lesexpliciter
complètement ) permettent
dedécrire,
de manièrepurement algébrique,
le
produit
de Wiener...Zum Zv1...Zvn
. Entransportant
ces formulessur
l’algèbre symétrique
de(
ouplus simplement
deG,
sans dis-tinguer
H etH’ )
on obtient l’intéressante notiond’algèbre
deWiener,
qui
estl’analogue
commutatif desalgèbres
de Cliffordclassiques,
etque
Dynkin
a introduite pour formaliser les calculsgaussiens.
Il s’a-git
d’uneseconde
structured’algèbre
surl’algèbre symétrique S(G)
d’un espace vectoriel G muni d’un
produit
scalaire bilinéaire( , ),
commutative et
associative,
admettant le vecteur vide 1 comme élémentneutre,
et telle que(8) u(vlo...ovn)
=Ei
(
leproduit symétrique
est notéo, le
nouveauproduit
sanssigne ).
On notera que cette notion
algébrique permet
de faire du « calculgaussien »
sans supposer lapositivité
de la forme( , ) !
De la
même manière,
mais en utilisant cette foisexplicitement
ladécomposition
on munitl’algèbre symétrique S(G)
d’une formelinéaire
privilégiée
donnée par(7),
etqui correspond à l’espérance
ordinaire d’un
produit
de Wiener. Nous la noterons doncEsp
si
m~n ,
si m=n(
ou =Per(ui(vj))
sim=n )
Cette forme linéaire n’est pas
partout
définie surl’espace
de Fock :pour une v.a. f de la forme
jf(A,B)dGAdZB ,
on a en effet(9) Esp(f) =
qui
est unetrace.
Lesymbole Esp représente l’espérance
ordinaire del’intégrale prise diagonales incluses,
i.e. au sens deStratonovitch. Noter
qu’ici
onintègre
sur les de sortequ’il
y a bien moins de
diagonales permises
que sur les4.
Exponentielles.
On apassé
unlong
moment dans lesexposés précédents
à étudier lesexponentielles (
de Wick ou deWiener )
d’éléments dupremier chaos,
c’est à dire les vecteurs cohérents. Nous allonsparler
ici des calculs
analogues
pour leséléments
du second chaos. Dequoi s’agit-il ?
Dupoint
de vue desprobabilités quantiques, l’espace
deFock est livré avec une loi
gaussienne naturelle,
fournie par l’état vide IL s dans cetétat,
lesopérateurs
demultiplication
de Wiener par lesZu et
lesZv s’interprètent
comme des v.a.gaussiennes (
com-plexes !
cesopérateurs
ne sont pasa.a. ).
Si l’onremplace
1 par un 1. ChezDynkin,
les( , )/sont
traités comme deséléments
del’algèbre
de degré 0,
mais nonnécessairement des scalaires,
pour traiter cer-taines « v. a.
gaussiennes
de variance infinie ».vecteur cohérent
normalisé,
on donne une moyenne non nulle à ce proces- susgaussien.
En utilisantl’exponentielle
d’un élément du second chaoson modifie la covariance du processus
(
mais en restant dans la classed’équivalence
de la mesure de Wiener).
Nous avons
déjà
étudié lesexponentielles
d’éléments du second chaossous un autre nom, dans Sém. Prob.
XXI,
p.19,
dans le cas d’un seulmouvement brownien
(Bt).
Bien que nousn’ayons
pas à utiliser ces résul-tats,
il estopportun
de lesrappeler.
Considérons un élément du second chaosF =
1 f(s,t)dX dXt ( f(.,.)
réellesymétrique
surst s
auquel
nous associonsl’opérateur
de Hilbert-Schmidtautoadjoint 3
surL2(R+)
Fh(s) = 1 2R+ f(s,t)h(t)dt
Alors
eF ( exponent ielle
deW iener ) appartient
àL2
si et seulement si toutes les valeurs proprescn
de ~ sont1 , auquel
cas~=~/I-~
est un
opérateur
de Hilbert-Schmidt. Revenantde Q
à son noyau~g(s,t)
puis
à la v. a.G,
on a -p r_ Fe = CeGo ( exp.
deWick )
oùC=E[e ] .
Cela montre
qu’il n’y
a pas àdistinguer
de manière essentielle entreexponentielles
de Wiener et de Wick. Nous ferons peu dethéorie,
maisle calcul
explicite
suivant seraimportant
pour la suite del’exposé.
Nous revenons à
l’espace
de Fockdouble,
et considérons l’élément du second chaos(10)
G ...correspondant
dupoint
de vuealgébrique
à Nousnous proposons de calculer
l’exponentielle
deWick
deG, qui
existe pour1 e 1
suffisammentpetit. Remarquons
tout de suite que, par définition deEsp( ),
on a aussi= avec G =
Zu Zv +
... +ZunZvn .
LEMME 1. Soit A la matrice on a
(11) l/det(I+eA) .
Démonstration. Nous travaillerons
plutôt sur 6
etl’espérance
ordinai-re.
Remarquons
d’abord que G est une fonction bilinéaire desui
et des v. , et
dépend
donc seulement du tenseur quel’on
peut
identifier àl’opérateur
de rang fini ah = + ... +(
si l’onpréfère,
on écrira(ui,h)
au lieu deui(h) ) .
L’opérateur
I+a admet alors un déterminantintrinsèque,
et si l’on écritdet(I*~)
au lieu dedet(I+A),
on s’affranchit de touterepré-
sentation
explicite
de G au moyen des "Montrons d’autre
part
quel’espérance E[e" ]
admet unerepré-
sentation
explicite ( compliquée )
au moyen de la matrice des(u.,v.).
Pour cela nous
développons
la sérieexponentielle
l J
= 1 + 03A3~k=1
(-~)k k!E[(Zu1+..+Zun Zvn)k]
(11)
- _ 1 *
03A3~k=1 (-~)k k! k r aeFk
où
Fk
est l’ensemble desapplications (
nonnécessairement injecti- ves )
de~1,...,k~
dans{1,...,n~ .
Par la formule(7),
nous transfor-mons la dernière
espérance
en et alors lapropriété
cherchée est claire.L’espérance
nechange
donc pas si l’onremplace
lesui
par leursprojections orthogonales
surl’espace engendré
par lesv. (
onpeut
aussi voir cela par unargument probabiliste :
cesprojections orthogonales
sont desespérances conditionnelles,
et ilfaut utiliser ensuite les
propriétés
desgaussiennes complexes...).
Nous pouvons alors choisir pour
(v.)
une base orthonormale del’espace
M
image
de a, supposer que lesui
sont aussi dansM,
de sorte que toutse passe dans M et que la matrice A est
simplement
la matrice de 03B1 dans la base(vi).
La basepeut être
choisie de sorte que sa matrice soittriangulaire
pourji ).
Nous posons alors etdet(I+eA) =
1 i iRevenons au
côté
droit de(11) :
soit} l’image
del’appli-
cation a , et soit
kj
le nombre depoints
de dontl’image
est
ij (
on a p~k,k1+..+kp=k ).
Toutes lesapplications
a admettant lamême image
avec lesmêmes multiplicités
k. ontmême
contribution à lasomme,
et leur nombre estk!/k1!...k p!.
On a doncE[e-~G] = 1
+
k=1(-~)k 03A3 E[(Zu Zv)k1...(Zu Zv)kp]/k1!...kp!
k1+..+kp=k i v. 11
i1p 1p ~/ ~
pil...ip
Nous calculons
l’espérance
par la formule(7) :
comme la matrice A esttriangulaire,
les seulespermutations
ode~1,..,k~ qui
contribuent aupermanent
sont cellesqui préservent
lesintervalles
{k1+1,...,k1+k2}, ...{k1+..+kp-1+1,k1+...+kp} ;
leur nombre estk1!...kp! et chacune contribue (ui1,vi1)k1...(uip,vip)kp. Remplaçant
par
03BBij,
on voit quel’espérance
vaut(~m 1 ( - E ~, l) l )( E m 2 ( -E~ 2) ) 2 ... ( E m n ( -E~ n) ) n
=
Le lemme est établi.
Indiquons
une extension utile de ce lemme : si l’on pose C=I+Ea( supposé
inversible),
on a(12) 1 ~1 k qk eo )
° = 1 JPour voir
cela,
nous cherchons le coefficient detl...tk
dans le dé-veloppement
deEsp( -eG )
qui
vautd’après
le lemme avec U =03A3k1 tip’i~qi .
Si Cest
inversible,
ce déterminant s’écrit etC-lU
est
l’opérateur
de rangfini 4 D’après
le calculprécé-
dent, peut s’interpréter
commeE[e ]
oùH =
t1Zp1oZC-1q1 +...+tkZp k oZ C -1 qk
d’où le coefficient de
tl...tk
dansl’espérance, qui d’après (7)
vautper(pi,C-1qj).
II. CALCULS
ANTISYMETRIQUES
1. Nous allons
faire,
à propos del’espace
de Fockantisymétrique,
descalculs exactement
analogues
à ceux duparagraphe précédent,
maisplus
inattendus et amusants. Ceparagraphe
doitbeaucoup
àKupsch ~J~~,
H
désigne toujours
un espace de Hilbertséparable, H’
sondual, G
la somme directe avec son involution
naturelle,
mais nous travail-lerons sur
l’algèbre
extérieure(
dont lacomplétée
estl’espace
de Fock
antisymétrique ).
Laplupart
dutemps
noussupposerons H
dedimension
inf inie,
mais nous trouverons aussi très instructif de regar- der le cassimple
oùdim(g)=Nco .
Soit
(e.)
une base orthonormalede H ;
alors lesei,ej
forment unebase orthonormale de
G,
et une base o.n. deA(G)
est formée deseAeB
(
lessignes A seront fréquemment omis ) ,
où l’on aposé
si
A=11...in ,
Faisons tout de suite une observation
importante :
l’involution * seprolonge
naturellement àl’algèbre extérieure,
en inversant comme d’ha-bitude l’ordre des
produits,
de sortequ’il
fautdistinguer e~
deNous
désignerons
parp(n)
le facteur(-1)n(n_1)/2~
et nous poseronsaussi
p(A)=p(IAI)
poursimplifier ; enfin,
nousdésignerons
par pl’opé-
rateur unitaire de
l’espace
de Fockqui multiplie
parp(n)
leséléments
du n-ième chaos. Nousprocéderons
demême
avecQ(n)=(-1)n
etT(n) =
(-l) n(n+1)/2 (
des notations voisines ont été utilisées dansl’exposé IV ). L’opérateur
ppermet
d’écrirep(n)ulA...Aun = (uieG)
et en
particulier
L’algèbre
extérieure étant munie de sa structure hilberticnne com-plexe
naturelle(
définie par la formule(13) ci-dessous ) ,
l’invo-lution permet
aussi de la munir d’unproduit
scalaire bilinéaire(x,y)=x~,y>. Compte
tenu de l’involutionqui
renverse le sens de cer-tains
facteurs,
il faut comparersoigneusement
les formules(13)
=(
u., v. eG ) (13’) ( un~... ~ul , vl~... ~ n ) _ ( ui , ~
si l’on rétablit à
gauche
dans(13’)
l’ordre normal desfacteurs,
uncoefficient
p(n) apparaît
â droite.Si l’on utilise la structure
particulière de G ,
i.e. sadécomposi-
tion en deux sous-espaces
isotropes
H etH’,
on a les formules suivan-tes,
oùU,V,W,Z
sont deséléments
del’algèbre
extérieure deH_
U*^W , V*^Z > = U,V >
W,Z
>(14)
(U*^W ,
V*^Z)
= W,V >U,Z
> .Enfin,
nous verrons queA(G) porte
une formelinéaire
naturelle( qui
ne s’étend pas àl’espace
de Fockantisymétrique ),
que nous no-terons
Esp .
Nous enrejetterons
ladescription après l’interprétation probabiliste,
mais donnons une formulequi permet
de biencomprendre
de
quoi
ils’agit :
lesxi, y~
sont deséléments
de H’ etH respecti-
vement,
et on notera l’ordre des facteurs_
(15) Esp(
det si m=n , 0 sim~n
Si l’on rétablit les facteurs dans l’ordre
naturel,
ilapparaît
doncun
p(m)
ducôté
droit.2. Dans la discussion
précédente,
l’utilisation d’une base o.n.(e.)
ordonnée pour construire une base o.n. de
l’algèbre
extérieureest i
une
opération
sifamilière, qu’on
ne la mentionnemême plus.
L’utilisa- tion du mouvement brownien noue exactement lemême rôle,
et n’est niplus
ni moinsartificielle.
Elle permet de travailler sur une base o.n.continue
(
formelle),
cequi
est souventplus simple qu’une
base dis- crète.Supposons
donc H de dimensioninfinie,
et identifions le àL ? (!E.),
de sorte
que G
devient la somme directe de deuxcopies
deAlors les éléments de
l’espace
de Fockantisymétrique
sur G sontreprésentés
comme des sommesd’intégrales stochastiques multiples
dutype
de lapremière
page, formules(1)
ou(l’)
f = 03A3m,n s1..sm fmn(..,..)dXs1..dXsm dYt1..dYtn
=
E / J f(A,B)dXAdYB
où
(Xt)
et(Yt)
sont deux mouvements browniens réelsindépendants .
Il
n’y
a ici(
nous l’avons biensouligné
dansl’exposé V )
aucune dif-férence
entresymétrique
etantisymétrique.
La différence commencelorsqu’on remplace l’intégrale
surPmXPn
par uneintégrale
surà la
façon
de(2),
car maintenant1 p
m x p n(16)
_
1 m!n! jm
noù maintenant
fmn
estprolongée
parantisymétrie (
parrapport
auxsi
et aux
t. J séparément ),
et lesigne A rappelle
que les éléments diffé- rentiels anticommutent.L’analogue
en dimension finie del’espace
que nous venons de cons-truire est
l’espace
des formes différentielles doubles à coefficients constantssur $
03A3i1...im fi1,..imj1,..jndpi1^..^dpim^dqj1^..^dqjn
qui
interviennent engéométrie symplectique :
pourpréserver
cetteanalogie,
il aurait étéplaisant
de noterPt
etQ.
les deux mouvements browniens(
mais ces Pet Q
ne satisfaisant pas auxRCC,
il y aurait eu des chutes). Remarquer
une différence avec le cassymétrique :
X et Ysont des mouvements browniens
réels,
etl’on n’éprouve
pas le besoin de passer aucomplexe.
Calculons par
exemple
le noyauf(A,B) correspondant
à l’élément de On af(A,B)=0
si ou et si A ={s1...sm}, B={t1...tn}
on aA
présent,
une remarque essentielle : comme dans le cassymétrique,
une
intégrale
du type(16) peut être interprétée,
soit au sensd’Ito,
soit au sens de Stratonovitch. En
effet,
lesdiagonales
ou{t.=t.}
sont sansintérêt
dés ledépart
à cause del’antisymétrie,
maison
peut
attribuer une contribution non nulle auxdiagonales
. Cette contribution se calcule suivant larègle
dX dY =
ds(= -dYsdXs ) ’
à comparer àdZsdZs=ds
mais en tenant
compte
del’anticommutativité,
i.e. du nombre d’inversions nécessaires pour amener en contactdX
i
et
dYtj.
Si l’oninterprète
l’intégrale (16)
au sens deStratonovitch,
elle sedéveloppe
enintégra-
les
multiples d’Ito,
avec des termes dans les chaos d’ordre(m-l,n-1), (m-2,n-2),...
Enparticulier,
si m=n, il y a un terme dans le chaos d’ordre(0,0) qui
estl’espérance
del’intégrale
deStratonovitch,
etcette
espérance
estprécisément
la forme linéaireEsp introduite plus haut,
comme nous le verrons dans un instant.Cela
suggère
de considérer deuxproduits,
comme nous l’avons fait dans le cassymétrique :
leproduit
deGrassmann ou produit
extérieur(
notéA ), qui correspond
auproduit
deWick,
et un nouveauproduit,
que nous
appellerons produit
de Wienerantisymétrique1,
que nous noterons~
(
ouparfois
sanssigne ),
etqui correspond
auproduit
de Wiener.Les deux
produits
sontassociatifs,
et satisfont exactement auxmêmes propriétés d’anticommutativité : dXs
etdXt
anticommutent sans restric-tion,
demême dYs
etd~s
etdYt ;
cette anticommutation nous im- posedX =0==dY ,
mais ne nousimpose
rien surdX dY
que la relationOn
prend
alors larègle dXsdYs=0
dans le cas de Gras-smann, et la
règle dXsdYs=ds
dans le cas de Wiener.Si l’on traduit ces
règles
en formulesexplicites,
on obtient pourproduit
des v.a.f = 1 f(A,B)dXAdYB
et g =/ g(A,B)dXAdYB
lav.a. h de noyau
par
-D ’2014’ "’(17) h(A,B) = E
T+U=B
pour Grassmann. Pour
Wiener,
on a un alternanthorrible,
et la formuleest inutilisable :
(18) h(A,B)
=/dMdN
T+U=B
Il est
plus agréable
de calculer leproduit
de Wiener de fonctionssimples. Rappelons
d’abord les notationsXu=jusdXs’ Yv fvsdYs,
et lefait que
Yv =Yv
Nous avonsensuite,
encomplète
ana-logie
avecl(8)
~ ~ n(19)
1.Note page.
endernière
.On
peut
maintenantajouter
unXu 2
àgauche
et recommencerl’opération, grâce
à l’associativité de lamultiplication.
On voit que ducôté
gau-che,
les facteursXu ...Xu apparaissent
naturellement en ordre inver-sé.
Enparticulier, m le
terme totalementcontracté (
i.e. d’ordre(0,0))
duproduit
X%...%X %Y ~...~Yv
se calculeaisément,
et vaut0 si
m~n,
sim=nl.
1Comparant
cela à(15),
on voit que cela revient au mêmed’appliquer Esp à
unproduit
de Grassmann(
ouà
une
intégrale d’Ito )
qued’appliquer l’espérance
ordinaire E au pro-duit de Wiener
(
ouà l’intégrale
deStratonovitch ) correspondant.
Les
règles
que nous avons données dans le cassymétrique
pour la mul-tiplication
de deuxintégrales ( d’Ito ) s’appliquent
ici encore : leproduit
de Grassmann revient à écrire leproduit
commeintégrale
multi-ple (
ne pas oublierd’antisymétriser
lafonction ) ;
pour leproduit
de
Wiener,
il faitinterpréter l’intégrale multiple
au sens de Strato-novitch,
et laredévelopper
en Ito(
cf.(5)).
REMARQUE.
Comment montrerqu’il
existe vraiment unproduit
associatifsatisfaisant aux
règles
duproduit
de Wiener ? La méthodefigurant
dans l’article de Le Jan
( où
elle sert dedéfinition
auproduit )
consiste à réaliser une
algèbre d’opérateurs (
donc nécessairement as-sociative )
admettant cesrègles.
Voici comment on fait : eet q
pre- nant lesvaleurs f ,
, introduisons lesopérateurs
de création et d’anni- hilationfermioniques db~
etdci
associés aux mouvements browniensXt
et
Yt ,
lesdb~s
etdci
anticommutant et satisfaisant à(
cette construction est celle d’unealgèbre
de Cliffordcontinue,
et considérée commeclassique ).
On pose ensuiteet l’on vérifie que la table de
multiplication
desdÀs
et satis-fait bien aux
règles imposées (
noter que =dXt
et).
Nous ne donnerons pas
plus
de détails sur cesujet,
pourlequel
nousrenvoyons à Le
Jan,
et à ses sourcesphysiciennes.
Nous conclurons cette section par une formule que nous n’utiliserons pas, mais
qui
a unintérêt,
car elle identifie la forme linéaireEsp
comme une trace tordue : si l’on tient
compte
du calcul du noyau de X A...AX AY ...AY( après (16))
et de la valeur(15)
deEsp,
onul um vl vn
trouve la formule
générale
(20) Esp(f) = f f(A,A)p(A)dA .
P
3. Cette section est une
digression,
etpeut
être omise sans inconvé- nient. Enpratique,
lesobjets
lesplus intéressants
sont lesopé-
rateurs sur
l’espace
de Fockantisymétrique
construit sur H . . Il estdonc utile de
disposer
d’unecorrespondance
entreéléments
deet
opérateurs
surA(~) . L’idée
laplus simple ( traitée
chezKupsch )
consiste
à
associerà F6.à(HeH’) l’opérateur L-? défini
par(21)
=Par
exemple,
si( où
est une base o.n. de H), Lp
est l’o-pérateur
de rang 1(
notation de Dirac).
Onpourrait
pen-ser
à
une autrecorrespondance qui
donneraitplutôt
La fonctionnelle
Esp
est une trace tordue sur/(HeH’).
Il existe uneautre trace tordue
célèbre,
cette fois sur l’ensemble desopérateurs
surA(H), qui
n’existequ’en
dimensionfinie,
etqui
est la supertrace de Berezin. Bienqu’elle
n’ait rienà
faire ici(
et n’ait aucune relationévidente
avecEsp 1 ),
il est difficile de ne pas en dire un mot. Onsuppose g
de dimension finieN,
muni d’une base o.n.(e.),
et de labase
correspondante e~
pourl’algèbre extérieure.
Lasupertrace
d’unopérateur
U estdéfinie
par( 22 ) > Str(U)
=Tr(aU)
=~
Nous
désignons
par @ lapartie pleine (1,...,N) , qui
est interdite endimension
infinie,
et introduisonsles opérateurs fermioniques b~
(
commeplus haut,
le fait que modifie lesigne
du résul- tat final).
Le lemme suivant est attribué à
Berezin-Patodi
dans le livre[1].
Il
pourrait suggérer
que les sontorthogonaux
pour leproduit
scalaire
Str(U V),
mais cetteconjecture
est fausse.LEMME 2. si et =
r(N) .
Démonstration.
On a vu dansl’exposé
IV que b-BeC=(-1)n(B,C)eC-B si B~C( et 0 sinon ), b+AeD=(-1)n(A,D)eA+D si A~D= ( 0 sinon ). Il en résulte
que
b+Ab-BeC est,
si de la forme~eF
où e vaut0,
1 ou-1,
etLa
supertrace
est doncnulle,
et il suffitd’examiner
le cas où B=APosons
on a si Cne contient pas
A,
et si C~A on aMe~
= =Donc
=somme
valant 0 si A~0398 , et (-1)N si
A=6 . On conclut en
remarquant
que pardéfinition
de r ! Nousarrêtons
cettedigression,
bienqu’il
y aitévidemment
unefoule de
questions à
discuter( je
neprétends
pasêtre capable
de lefaire I ).
4. EXPONENTIELLES. Nous revenons à
l’espace
de Fockantisymé- trique
nousest,
luiaussi,
livré avec la mesure «gaussienne »
associée à l’état vide 1 . Nous allonsperturber
cette mesure comme nous l’avons fait dans le cassymétrique.
Considérons un élément du secondchaos,
de la forme(
cf.(10))
(23)
G + ...dont nous considérons
l’exponentielle e~
au sens deGrassmann ;
lasérie
exponentielle
est ici une sommefinie,
et iln’y
a donc aucun pro- bléme de convergence. Leproblème
consiste à calculerEsp(e~) ;
la ma-trice A des
(u.,v.) , l’opérateur
de rang fini OE surH,
ont lamême
si-gnification
que pour le lemme 1.Remarquons
tout de suite que si l’on introduitG’= + ... +
( =
Get si
e
r estl’exponentielle
de Wiener( antisymétrique ),
on a sim-plement Esp(e~) - E[e ] :
eneffet,
lesdéveloppements
des deux expo- nentielles sont exactementparallèles, puisque
les deuxproduits
ont lesmêmes propriétés combinatoires,
et pourchaque
terme dudéveloppement
nous avons une
égalité Esp(produit
deGrassmann) = E[même produit
deWiener].
LEMME
3.
On aEsp ~ e ~~ - det(I+A) .
Démonstration. Elle est tout
analogue
à celle du lemmel,
maisplus simple.
Ondéveloppe
la sérieexponentielle ( signes
Aomis )
eG039B = 1 + 1 k! 03A3a~Ik Xua(1)Yva(1)...Xua(k)Yva(k)
où
Ik
est l’ensemble desinjections
de{1,...,k~
dans~1,...,n~.
Sil’on
promène
en bloc un facteur on nechange
pas leproduit :
on
peut
donc serestreindre à l’ensemble Jk
desinjections croissantes,
et omettre le facteur
l/kJ
entête.
Si maintenant on amène tous lesXu
à
gauche
dans l’ordreX ...X
on aboutit àa(1) ~a(k)
1 +
Nous
appliquons Esp( ) (
formule(15),
et le facteurp(k)
retourne l’ordre des facteurs comme il convient. Nous obtenons alors
Esp(eG039B) = 1 + 03A3nk=103A3aeJk det(ua(i),va(j))
=
03A3B~{1,...,n} deti,j~B aij
.Nous comparons cela à
det(I+A) = 03A303C3~n ~03C3 03A0ni=1 (03B4i03C3(i)
+ ai03C3(i)).Dans le
développement
duproduit,
nous avons un certain nombre de fac- teurs(
indices dupremier type )
et un certain nombre de fac-meurs
(
indices du secondtype ).
Soit B l’ensemble des indices dupremier type .
Si le terme est nonnul, a
doit laisser fixes les in- dices du secondtype,
et induit donc unepermutation
de B(
demême signature ),
que nous nouspermettons
de noter encore o- .Regroupant
alors les termes
correspondant
aumême
ensembleB,
nous retrouvons l’ex-pression
deEsp( )
écriteplus
haut.REMARQUE.
En raisonnant comme dans le cassymétrique,
nous pouvonsgénéraliser
laformule,
sous la forme( signes A omis ) (24) Esp(X
- ’-1
Y
ql
...X
pk
Y
qk eG) _ )detC
C = I+03B1si C est inversible. En
effet,
lecôté gauche
est le coefficient detl...tk
dans ledéveloppement
deEsp(exp^(t1Xp1 Yq1+...+tkXpk Y +G)) = det(I+a+U)
tiPi@qi
comme dans le cassymétrique.
Cela vautdet(C)det(I+C-lU),
et le calcul
précédent
nous donnedet(I+C-lU) = det(p.,C-lq.).
5.
UN PEU DE«
SUPERSYMETRIE)).
Nous arrivons auxpoints
essentiels de lapartie algébrique
du travail de Le J.an . On forme leproduit
tensoriel d’un espace de Focksymétrique
et d’un espace de Fockantisy- métrique
destypes considérés plus
haut(
dupoint
de vueprobabiliste,
on travaille sur
l’espace L2
d’un.couple
de brownienscomplexes ).
L’a-nalogue
en dimension finie estl’espace
des formesdifférentielles
dou- bles(
de tousdegrés mélangés )
L’espace
de Focksymétrique
fournit les coefficientsvariables,
et l’es-pace
antisymétrique
leséléments différentiels.
Il se
produit
alors unmiracle : det(I+Ea) figure
une fois au numé- rateur et une fois audénominateur
dans les lemmes 1 et3,
et les for-mules se
simplifient merveilleusement.
Nousgardons
les notationsuI,vI
et a des lemmes 1 et
3,
et nous posons~ ~
(25) ~
=. 1
En tant que forme
différentielle, ~«
est doncirhomogène.
Pour cal-culer sur les on a le choix entre utiliser les deux
produits
de Wie-ner
(
les variablessymétriques
etantisymétriques commutant )
et l’es-pérance ordinaire,
ou bien lesproduits
WickxGrassmann etl’intégrale Esp.
Lapremière option
sera choisie depréférence (
leproduit
Wick xGrassmann sera
noté
avec une * , leproduit
de Wiener sanssigne ).
Nous avons
d’après
le(( miracle ))
E[exp(t103BB03B11+...+tm03BB03B1m)]
= 1En
dérivant,
nous avons(26)
... ~a m ]
= 0 .Du
point
de vue desapplications probabilistes,
le calcul essentiel est le suivant :LEMME 4. On a
(27)
== p,
Démonstration.
Il suffit de traiter le casoù
est de la formeOn
applique
alors(12)
et(24) :
E[ZpZqexp(03A3i tiZuiZvi - 03A3i tiXuiYvi)] = (
p,Le
côté gauche
de(27)
est le coefficient detl...tm à gauche.
Ducôté
droit il faut doncprendre
le coefficient detl...tm
dans(~i
Le
résultat
est alors clair.Il nous reste un
important
résultattechnique, qui
sera la clef des calculs de renormalisation faits par Le Jan :LEMME
5.
Posons pourabréger A=~,u, ~ , q=(u,u).
On a pour tout n unerelation de la forme
(28) 03BB*n n! = Pn(A) = 03A3nk=0 pk,n TT
où le terme dominant du
polynôme n(x)
estx~ .
Démonstration. Nous
allons
commencer parexprimer
les?~n
en fonction des~,~n.
Posons ains iA=a+q ) ; désignons
parAn
la n-iéme
puissance
de Wiener de a .,an
la n-iêmepuissance
de Wick dea 8 Les
règles
que nous avons données pour le calcul duproduit
de Wie-ner
( qui
est uneintégrale multiple
d’ordre n avecdiagonales
inclu-ses
),
et unargument
combinatoiresimple
decomptage
dediagonales,
nous donnent une formule