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systèmes multi-capteurs
Bruno Meriaux
To cite this version:
Bruno Meriaux. Contributions aux traitements robustes pour les systèmes multi-capteurs. Traitement
du signal et de l’image [eess.SP]. Université Paris-Saclay, 2020. Français. �NNT : 2020UPASG009�.
�tel-02971054v2�
Thè
se de
doctorat
NNT
:
2020UP
ASG009
Contributions aux Traitements
Robustes pour les Systèmes
Multi-capteurs
Thèse de doctorat de l’Université Paris-Saclay
École doctorale n
◦580 Sciences et Technologies de
l’Information et de la Communication (STIC)
Spécialité de doctorat: Traitement du signal et des images
Unité de recherche: Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, ONERA, SONDRA, 91190, Gif-sur-Yvette, France Référent: CentraleSupélecThèse présentée et soutenue à Gif-sur-Yvette, le 5 octobre 2020, par
Bruno MÉRIAUX
Composition du jury:
Sylvie MARCOS Présidente du jury
Directrice de recherche CNRS, CentraleSupélec (L2S)
Yannick BERTHOUMIEU Rapporteur & Examinateur
Professeur des universités, ENSEIRB-MATMECA (IMS)
Olivier BESSON Rapporteur & Examinateur
Professeur, ISAE-SUPAERO
Florence FORBES Examinatrice
Directrice de recherche INRIA, Université Grenoble-Alpes (Labo-ratoire Jean Kuntzmann)
Thierry BOUWMANS Examinateur
Maître de conférence HDR, Université de la Rochelle (MIA)
Philippe FORSTER Directeur de thèse
Professeur des universités, Université Paris-Nanterre (SATIE)
Chengfang REN Co-Encadrant & Examinateur
Maître de conférence, CentraleSupélec (SONDRA)
Arnaud BRELOY Co-Encadrant & Examinateur
Maître de conférence, Université Paris-Nanterre (LEME)
Mohammed Nabil EL KORSO Co-Encadrant & Invité
Maître de conférence HDR, Université Paris-Nanterre (LEME)
Hamid KRIM Invité
Il est de coutume de formuler ses remerciements après la soutenance de thèse. C’est donc avec grand plaisir, que je saisis cette opportunité pour adresser des mercis à celles et ceux qui ont contribué de près ou de loin à la réussite de cette aventure extraordinaire, qu’est une thèse. Cette dernière a été cofinancée par la DGA et CentraleSupélec et s’est inscrite dans le projet ANR ASTRID MARGARITA.
En premier lieu, je remercie très sincèrement mon équipe encadrante. Et oui, entre un directeur de thèse et 3 encadrants, j’étais plutôt bien entouré. Tout d’abord, un grand merci à Philippe, mon directeur de thèse, qui allie simplicité, efficacité et vaste expertise scientifique. Merci aussi à toi, Chengfang, pour ta disponibilité presque quotidienne. J’ai inauguré avec grand plaisir la place de premier thésard encadré, beaucoup d’autres suivront. J’ai beaucoup aimé nos discussions multiples, qui tournaient parfois à la digression. Merci Arnaud pour toutes tes idées et tes intuitions, qui donnaient un sens à certaines équations. Merci aussi pour ton aide lors de mon retour de Singapour. Enfin, merci Nabil pour tous tes conseils scientifiques ainsi que ton décodeur sur le fonctionnement du monde de la recherche. Merci aussi pour la collaboration avec Marius. J’ai eu de la chance de vous avoir eu tous les quatre, pour me faire grandir durant ces trois années et demie à vos côtés.
Je remercie également l’ensemble des membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont témoi-gnés à l’égard de mes travaux de thèse. En particulier, je remercie les rapporteurs Yannick Berthoumieu et Olivier Besson d’avoir accepté d’évaluer mes travaux et à travers leurs re-marques constructives d’avoir pu les bonifier. Merci aussi aux examinateurs Florence Forbes et Thierry Bouwmans pour leurs nombreuses questions et échanges lors de la soutenance. Merci à Sylvie Marcos d’avoir présidé ce jury, jonglant entre visioconférence et présentiel. Merci aussi à Hamid Krim, intervenant d’outre-Atlantique.
Une thèse impliquant nécessairement un laboratoire, je remercie le laboratoire SONDRA pour le cadre de travail très agréable, et en particulier ses directeurs Sylvain Azarian et Stéphane Saillant pour leur accueil. Par ailleurs, j’adresse un immense merci à Virginie Bouvier pour son aide, sa disponibilité et son implication à toute épreuve, permettant de faire avancer des dossiers parfois perdus dans les méandres de l’administration.
Je me rends compte de la chance d’avoir pu effectuer ma thèse dans ce laboratoire, qui encourage (presque sans limite ?) à l’implication dans la communauté scientifique à travers des conférences, des workshops et des collaborations internationales. I would like to thank Vincent Y.F. Tan for hosting me for 3 months in his research team in NUS. I have discovered another way of researching in a different work environment ; that was very rewarding. Many thanks to Antonios Varvitsiotis, who helped me to go deeper into optimization theory. Ich danke auch Marius Pesavento für den Austausch über "partial relaxation framework" und die Entdeckung von Darmstadt.
Je tiens aussi à remercier l’ensemble des membres du laboratoire. Que de bons moments passés en pause ou pendant les déjeuners avec Israel, Thierry, Jean-Philippe, Régis et Laeti-tia. Je salue mes précurseurs docteurs Ammar, Eugénie, Pedro, Uyhour, Ahmad, Vlad, ainsi qu’Orian avec une pensée particulièrement émue, pour leur accueil fort sympathique. Je remercie aussi les sportifs du labo Giovanni, Nathan, Marie-José et Thibault, pour m’avoir entrainé dans quelques séances de cardio-training le midi. J’ajoute aussi des mercis à Thi-bault, mon acolyte des voyages à travers l’Asie du Sud-Est, qui ont pu révéler quelques
surprises. Je souhaite aussi bonne route dans l’aventure que représente une thèse à Dihia, Nathan, Antoine, Agustin, Cyprien et Thomas. Un merci tout particulier au groupe « traite-ment du signal » rencontré dans les conférences : Alex, Éric, Guillaume, Fred, Joana, Lucien et Pascal.
Enfin, je remercie ma famille, mes grands-parents et mes parents pour leur soutien indé-fectible et leurs encouragements à poursuivre dans la voie que j’ai choisie. Je tiens aussi à remercier mes frères et sœurs.
Merci encore à tous,
Remerciements . . . iii
Table des matières . . . viii
Table des figures . . . x
Liste des tableaux . . . xi
Notations . . . xiii
Abréviations . . . xvii
Introduction 1 1 Traitement d’antenne pour le radar : structures a priori et robustesse 7 1.1 Contexte et problématiques du radar . . . 7
1.1.1 Contexte . . . 7
1.1.2 Problématiques du radar . . . 9
1.2 Estimation structurée . . . 10
1.2.1 Structure des données . . . 10
1.2.2 Exploitation de la structure . . . 11
1.3 Estimation robuste . . . 11
1.3.1 Définitions . . . 12
1.3.2 Critères de robustesse . . . 12
1.3.3 Étude de sensibilité . . . 13
I
Méthodes statistiques robustes en traitement d’antennes
15
2 Modélisations et outils statistiques 19 2.1 Introduction . . . 192.1.1 De la distribution gaussienne . . . 20
2.1.2 . . . à des distributions plus flexibles . . . 22
2.2 Distributions elliptiques . . . 23
2.2.1 Définitions, propriétés . . . 23
2.2.2 Quelques exemples usuels . . . 25
2.2.3 Modèle associé : distribution Complexe Angulaire Elliptique . . . 26
2.3 Caractéristiques d’un estimateur . . . 27
2.3.1 Consistance . . . 27
2.3.2 Biais d’un estimateur . . . 28
2.3.3 Variance d’un estimateur . . . 29
2.3.4 Distribution asymptotique . . . 30
2.4 Bornes de Cramér-Rao et efficacité . . . 31
2.4.1 Matrice d’Information de Fisher . . . 31
2.4.2 Borne en présence d’erreurs de modèle . . . 33
2.4.3 Bornes sous contraintes . . . 35
2.4.4 Efficacité d’un estimateur . . . 36 v
3 Estimation robuste non structurée de la moyenne et/ou de la covariance 39
3.1 Introduction . . . 40
3.1.1 Contexte . . . 40
3.1.2 Différentes approches . . . 40
3.2 M-estimateurs de la matrice de covariance . . . 41
3.2.1 Définition . . . 41
3.2.2 Propriétés statistiques . . . 42
3.2.3 Exemples . . . 43
3.3 M-estimateurs conjoints de la moyenne et de la matrice de covariance . . . . 45
3.3.1 Définition . . . 45
3.3.2 Propriétés statistiques . . . 46
3.3.3 Illustrations numériques . . . 51
A Propriétés de l’isomorphisme sur l’espace vectoriel complexe . . . 53
B Annexe : Preuve du lemme 3.1 . . . 54
4 Estimation robuste structurée de la matrice de dispersion/de forme 61 4.1 Introduction sur l’estimation structurée de la matrice de covariance . . . 62
4.1.1 Contexte . . . 62
4.1.2 Approche par contraintes sur la vraisemblance . . . 63
4.1.3 Approche par projection . . . 64
4.2 Estimateur de la matrice de dispersion à structure convexe : SESAME . . . . 65
4.2.1 Problème considéré . . . 65
4.2.2 Estimateur SESAME . . . 66
4.2.2.1 Dérivation de l’algorithme . . . 66
4.2.2.2 Implémentation pratique de la contrainte s.d.p. . . 67
4.2.3 Performances asymptotiques de SESAME . . . 68
4.2.3.1 Consistance . . . 68
4.2.3.2 Distribution asymptotique . . . 69
4.2.3.3 Efficacité . . . 70
4.2.4 Recursive SESAME . . . 71
4.2.5 Étude de cas particuliers . . . 72
4.2.5.1 Cas 1 : Modèle gaussien supposé sur des observations elliptiques 72 4.2.5.2 Cas 2 : Absence d’erreur de modèle . . . 73
4.2.5.3 Cas 3 : Paramétrisation linéaire . . . 74
4.2.6 Résultats numériques . . . 74
4.2.6.1 Illustration des performances asymptotiques . . . 75
4.2.6.2 Comparaison de SESAME avec sa version récursive . . . 75
4.2.6.3 Implémentation de la contrainte s.d.p. . . 77
4.2.6.4 Estimation du degré de liberté . . . 77
4.3 Estimateur de la matrice de forme à structure convexe : RCOMET . . . 78
4.3.1 Formalisation du problème . . . 80
4.3.2 Algorithmes : Robust COMET et sa version récursive . . . 80
4.3.3 Performances asymptotiques de RCOMET . . . 81
4.3.4 Résultats numériques . . . 83
4.4 Quelques remarques subsidiaires . . . 84
4.4.1 Structure persymétrique hermitienne . . . 85
4.4.2 Structure Toeplitz hermitienne . . . 89
4.4.3 Structure produit de Kronecker . . . 90
4.4.3.1 Définitions . . . 91
4.4.3.2 Algorithmes . . . 91
4.4.3.3 Comportement asymptotique des estimateurs . . . 94
4.4.3.4 Résultats numériques . . . 97
A Annexe : Preuve de l’équation (4.17) . . . 100
C Annexe : Détails de la preuve du Théorème 4.6 . . . 104
D Annexe : Preuve de la Proposition 4.2 . . . 105
E Annexe : Détails pour la structure produit de Kronecker . . . 106
5 Application : localisation de sources 111 5.1 Introduction . . . 111
5.1.1 Contexte . . . 111
5.1.2 Modèle des données . . . 112
5.2 Estimation de directions d’arrivée . . . 113
5.2.1 Principales méthodes . . . 114
5.2.1.1 Formation de voies . . . 114
5.2.1.2 Méthodes de sous-espaces . . . 115
5.2.1.3 Méthodes paramétriques . . . 115
5.2.2 Simulation et influence de la structure . . . 116
5.3 Problème d’estimation DOD/DOA avec un radar MIMO . . . 119
5.3.1 Introduction aux radars MIMO . . . 119
5.3.2 Modèle des données . . . 121
5.3.3 Algorithme proposé . . . 123
5.3.4 Résultats numériques . . . 125
6 Conclusion, perspectives, transition 129 6.1 Conclusions . . . 129
6.2 Perspectives . . . 130
6.3 Transition vers l’approche géométrique . . . 132
II
Apprentissage robuste de sous-espaces pour les données
ra-dar
135
7 Quelques outils pour l’optimisation 139 7.1 Introduction . . . 1397.2 Notions fondamentales pour l’optimisation . . . 140
7.2.1 Définitions . . . 140
7.2.2 Conditions d’optimalité pour l’optimisation convexe . . . 143
7.2.3 Algorithmes de résolution . . . 144
7.3 Structures particulières . . . 145
7.3.1 Parcimonie . . . 145
7.3.2 Structure rang faible . . . 146
7.3.3 Structure union de sous-espace . . . 147
8 Reconstruction de sous-espaces, application à la détection de cibles 149 8.1 Introduction . . . 150
8.1.1 Contexte . . . 150
8.1.2 Différentes approches . . . 150
8.2 Optimalité pour la reconstruction parcimonieuse de sous-espaces . . . 151
8.2.1 Motivations et formalisation du problème . . . 151
8.2.2 Identifiabilité de la décomposition . . . 153
8.2.3 Conditions pour une reconstruction exacte . . . 156
8.3 Algorithmes de résolution . . . 160
8.3.1 Approche ADMM . . . 160
8.3.2 Approche APG . . . 162
8.4 Application : détection de cibles . . . 163
8.4.1 Rappels sur le problème de détection . . . 164
8.4.3 Résultats . . . 166
9 Conclusions et perspectives 177 9.1 Conclusions . . . 177
9.2 Perspectives . . . 178
Extended summary 179 A Introduction, context, objectives . . . 179
B Robust statistical array processing . . . 181
B.1 Statistical modeling . . . 181
B.2 Robust unstructured location and scatter matrix estimation . . . 183
B.2.1 Context . . . 183
B.2.2 Results . . . 183
B.3 Robust structured scatter/shape matrix estimation . . . 184
B.3.1 Context . . . 184
B.3.2 Results . . . 185
B.4 Application: source localization . . . 188
B.4.1 Context . . . 188
B.4.2 Structured covariance matrix estimation for DOA retrieval . 188 B.4.3 DOD/DOA estimation for MIMO radar . . . 189
C Robust subspace learning for target detection . . . 190
C.1 Some optimization tools . . . 190
C.2 Robust subspace clustering, application to target detection . . . 193
C.2.1 Context . . . 193
C.2.2 Results . . . 195
C.2.3 Application to target detection . . . 196
D Conclusions and perspectives . . . 201
0.1 Organisation schématique du manuscrit et des contributions . . . 5
1.1 Principe du radar . . . 8
1.2 Antenne isolée contre réseau d’antennes . . . 9
1.3 Organisation schématique du manuscrit accentuée sur la Partie I . . . 17
2.1 Histogrammes des voies I et Q . . . 21
2.2 Diagramme quantile-quantile par rapport à une loi gaussienne . . . 21
2.3 Illustration d’une case distance . . . 22
2.4 Densité de probabilité unidimensionnelle dans le cas réel pour différentes va-leurs de paramètres . . . 26
2.5 Illustration du biais d’un estimateur . . . 28
2.6 Illustration de la variance d’un estimateur . . . 29
3.1 Fonctions de pondération des M-estimateurs usuels . . . 45
3.2 Moments du second ordre . . . 52
3.3 Distribution empirique de l’erreur pour différents N . . . 52
4.1 Représentation schématique du chapitre 4 . . . 62
4.2 EQM des estimées SESAME, vrai modèle et celui supposé sont des t-distributions avec d = 3 et dmod= 5. . . 76
4.3 EQM des estimées SESAME, vrai modèle est une W -distribution avec b = 2 et s = 0.8 et statistique gaussienne supposée. . . 76
4.4 Comparaison SESAME/R-SESAME en terme d’EQM . . . 77
4.5 Comparaison SESAME/R-SESAME avec ou sans la contrainte s.d.p. . . 78
4.6 Évolution du nombre d’itérations pour sdp-R-SESAME . . . 79
4.7 Cas où le degré de liberté est inconnu . . . 79
4.8 Comparaison de (R-)RCOMET avec état de l’art en terme d’EQM . . . 83
4.9 Structure persymétrique hermitienne . . . 89
4.10 Structure Toeplitz : influence de la première étape pour RCOMET . . . 90
4.11 EQM de l’estimateur KP-SESAME . . . 98
4.12 EQM de l’estimateur KP-RCOMET . . . 99
5.1 Localisation d’une source en 3D (© [CVY14]) . . . 113
5.2 Localisation d’une source en 2D à l’aide d’un réseau linéaire uniforme (© [YLSX18]) . . . 117
5.3 Pseudo-spectre MUSIC, RSB = 10 dB . . . 118
5.4 Comparaison des pseudo-spectres MUSIC pour plusieurs tirages . . . 118
5.5 EQM des angles estimés par ROOT-MUSIC pour différents estimateurs bRz, RSB = 10 dB . . . 119
5.6 Comparaison réseau d’antenne classique et MIMO(© [Tan19]) . . . 120
5.7 Comparaison radar MIMO distribué/cohérent(© [CMSK17]) . . . 120
5.8 Radar MIMO colocalisé bistatique (© [PIK14]) . . . 121
5.9 EQM vs. RSF pour le fouillis K-distribué, N = 15 . . . 126
5.10 EQM vs. N pour le fouillis K-distribué, RSF = 15 dB . . . 127 ix
6.1 Organisation schématique du manuscrit accentuée sur la Partie II . . . 137
7.1 Fonction convexe, corde et tangentes(© [Tan19]) . . . 141
7.2 Illustration du sous-gradient d’une fonction convexe (f est différentiable au point x1 et sous-différentiable au point x2) . . . 141
7.3 Données appartenant à une union de sous-espaces . . . 147
8.1 Scénario avec des brouilleurs stationnaires . . . 166
8.2 Scénario avec des brouilleurs non stationnaires . . . 167
8.3 Carte de détection normalisée (scénario 1 : brouilleurs stationnaires) . . . 168
8.4 Carte de détection normalisée (scénario 2 : brouilleurs non stationnaires) . . . 169
8.5 Courbe COR scénario 1 (brouilleurs stationnaires) pour RSB = 12 dB . . . . 170
8.6 Courbe COR scénario 2 (brouilleurs non stationnaires) pour RSB = 12 dB . 171 8.7 Courbe PD-RSB scénario 1 (brouilleurs stationnaires) à PFA = 10−3 . . . 172
8.8 Courbe PD-RSB scénario 2 (brouilleurs non stationnaires) à PFA = 10−3 . . 173
8.9 Influence des paramètres λi pour SSC (Scénario 1, cible 3, PFA = 10−3) . . . 174
9.1 Comparison of SESAME/R-SESAME . . . 187
9.2 MUSIC pseudospectrum, SNR = 10 dB . . . 189
9.3 MSE on estimated DOA with ROOT-MUSIC for different estimators bRz, SNR = 10 dB . . . 190
9.4 MSE vs. SCR under K-distributed clutter, N = 15 . . . 191
9.5 Union-of-subspaces structure . . . 193
9.6 Normalized detection map (case 1: stationary jammers) . . . 198
9.7 Normalized detection map (case 2: non-stationary jammers) . . . 199
2.1 Caractéristiques des distributions CES communément utilisées . . . 37 4.1 Temps moyen de calcul (Matlab R2017 a, CPU E3-1270 v5 @ 3.60 GHz, 32
GB RAM) . . . 84 4.2 Temps moyen de calcul (Matlab R2016b, CPU [email protected], 16GB
RAM) . . . 98
Symboles généraux
x Scalaire (caractère minuscule)
x Vecteur colonne (caractère minuscule, en gras)
X Matrice (caractère majuscule, en gras)
xi, Xij Élément i du vecteur x (respectivement (i, j) de la matrice X)
∅ Ensemble vide
N Ensemble des nombres entiers naturels
R, R+ Ensemble des nombres réels (respectivement réels positifs ou nuls)
C Ensemble des nombres complexes
<(z), =(z) Partie réelle (respectivement imaginaire) du vecteur complexe z
j Unité imaginaire (vérifiant la relation j2= −1)
|x|, |z| Valeur absolue de x (respectivement module de z)
∝ Proportionnel à
T, S Symbole pour l’intersection et l’union d’ensembles [[n1, n2]] Intervalle d’entiers compris entre les entiers n1et n2
Γ(x) Fonction gamma évaluée en x
log(x) Logarithme naturel (ou népérien) évalué en x
min{x, y}, max{x, y} Minimum (respectivement maximum) entre les grandeurs x et y min
x f(x), maxx f(x) Valeur minimale (respectivement maximale) de la fonction f(x)
arg min
x f(x) Argument minimisant la fonction f(x)
Symboles et opérateurs matriciels
T, H,∗ Opérateurs transposée, hermitien, conjugué
X† Pseudo-inverse (au sens de Moore-Penrose) de la matrice X
det (X) Déterminant de la matrice X Tr (X) Trace de la matrice X rang (X) Rang de la matrice X
span (X) Espace engendré par les colonnes de la matrice X ker (X) Noyau de la matrice X : {a | Xa = 0}
supp (X) Support de la matrice X : {(i, j) | Xij 6= 0}
sgn (X) Fonction signe appliquée à chaque élément de la matrice X
⊗ Produit de Kronecker
vec(·) Opérateur de vectorisation (concaténation verticale des colonnes d’une matrice)
diag (X) Vecteur constitué des éléments diagonaux de la matrice X diag (x) Matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont les
compo-santes du vecteur x
Sλ(x) Opérateur seuillage doux, de paramètre λ
Sλ(x) = sgn(x) · max{0, |x| − λ}
ei∈ Rn ièmevecteur de la base canonique de Rn
In Matrice identité de taille n × n
Jn Matrice d’échange de taille n×n (matrice antidiagonale composée
de 1)
0n,p Matrice nulle de taille n × p
Kn,p Matrice de commutation telle que Kn,pvec (A) = vec
ATavec
A une matrice de taille n × p
Kn Matrice de commutation telle que Knvec (A) = vec
ATavec A
une matrice carrée de taille n × n
Sn+ Cône des matrices semi-définies positives de taille n × n
X < Y Ordre partiel de Loewner sur le cône convexe S+ n
Signifie que la matrice X − Y est semi-définie positive
∂h (x) ∂xT ∈ R
p×n Matrice jacobienne de la fonction vectorielle réelle Rn
→ Rp x 7→ h(x) ∂h (x) ∂xT = ∂h1(x) ∂x1 . . . ∂h1(x) ∂xn ... ... ∂hp(x) ∂x1 . . . ∂hp(x) ∂xn
kxk0 “Norme” 0 du vecteur x (nombre d’éléments non nuls
dans le vecteur x) kxkp= P i |x i|p 1/p Norme p du vecteur x En particulier, kxk1= P i |xi|, kxk∞ = max i (|xi|) kxk∗ Norme duale de kxk kXkp= P i,j|X ij|p !1/p
Norme p (au sens vectoriel) de la matrice X En particulier, kXk1= P i,j|X ij|, kXk∞= max i,j (|Xij|) kXkF = r
TrXHX Norme de Frobenius de la matrice X
kXk∗= Tr
p
XHX Norme nucléaire de la matrice X (représente l’enveloppe
convexe de rang (X))
Symboles et opérateurs statistiques
∼ “distribué selon” d = Égalité de distribution L → Convergence en distribution P → Convergence en probabilité
a ⊥ b Indépendance statistique entre les vecteurs aléatoires a et b E [·] Opérateur espérance statistique
Pr (·) Désigne la probabilité d’un événement
fx(x ; θ) Densité de probabilité de la variable aléatoire x paramétrée par
Symboles de distribution
N Distribution gaussienne réelle
CN Distribution gaussienne complexe circulaire GCN Distribution gaussienne complexe (non circulaire) CAE Distribution complexe angulaire elliptique ES Distribution elliptiquement symétrique
CES Distribution complexe elliptiquement symétrique CGN Distribution complexe gaussienne généralisée
Ct Distribution complexe de Student-t (ou t-distribution complexe) CW Distribution complexe de Weibull
ADMM Alternating Direction Method of Multipliers
APG Accelerated Proximal Gradient
BCR Borne de Cramér-Rao
BCRC Borne de Cramér-Rao sous Contraintes BCRM Borne de Cramér-Rao avec erreurs de Modèle
BCRMC Borne de Cramér-Rao avec erreurs de Modèle sous Contraintes CAE Complexe Angulaire Elliptique
CES Complexe Elliptiquement Symétrique COMET COvariance Matching Estimation Technique
COR Courbe Opérationnelle de Réception d.d.p. Densité de probabilité
DKL Divergence de Kullback-Leibler
DOA Direction d’arrivée (Direction Of Arrival)
EXIP EXtended Invariance Principle
EMV Estimateur au sens du Maximum de Vraisemblance EQM Erreur Quadratique Moyenne
i.i.d. Indépendant et identiquement distribué GG Gaussienne Généralisée
KKT Karush-Kuhn-Tucker
LASSO Least Absolute Shrinkage and Selection Operator
MIMO Multiple-Input Multiple-Output
MM Majoration-Minimisation ou Minoration-Maximisation MUSIC MUltiple SIgnal Classification
PD Probabilité de Détection PFA Probabilité de Fausse Alarme RADAR RAdio Detection And Ranging
RBB Rapport Brouilleur-à-Bruit RCOMET Robust COMET
RIC Restricted Isometry Constant
RoSuRe Robust Subspace Recovery
RPCA Robust Principal Component Analysis
RSB Rapport Signal-à-Bruit RSF Rapport Signal-à-Fouillis
SCM Matrice de covariance empirique (Sample Covariance Matrix) s.d.p. Semi-définie positive
SER Surface Équivalente Radar
SESAME StructurEd ScAtter Matrix Estimator
SONDRA Supélec ONERA NUS DSO Research Alliance
SSC Sparse Subspace Clustering
STAP Space Time Adaptive Processing
SVD Décomposition en valeurs singulières (Singular Value Decomposition)
Le traitement du signal est une discipline couvrant un large spectre d’applications et utilisant de multiples outils, qui ont besoin d’évoluer pour s’adapter, tant à la croissance perpétuelle du nombre de données à analyser qu’aux avancées technologiques des systèmes de mesure. L’une des finalités du traitement du signal est l’extraction d’informations à partir d’un ensemble de mesures ou d’observations. Ces mesures peuvent provenir de diverses sources : un récepteur de télécommunication, un système d’imagerie, un réseau d’antennes en sont des exemples concrets. Les informations à extraire de ces données peuvent être de différentes natures et utilisées de différentes manières. On peut citer en exemple l’estimation de paramètres d’intérêts, l’aide à la prise de décision, le débruitage, etc.
Parmi l’ensemble des systèmes de mesure, la catégorie des systèmes multi-capteurs joue un rôle important. Grâce aux progrès technologiques et aux évolutions des capacités de traitement numérique, ces derniers prennent une place de plus en plus grande de par les avantages que l’on peut obtenir. En effet, disposer de plusieurs capteurs répartis spatialement dans l’environnement d’intérêt permet d’obtenir une diversité spatiale en plus de la diversité temporelle. Il est alors nécessaire de considérer des méthodes de traitement spatio-temporel afin d’exploiter au mieux la structure des données récoltées. On retrouve l’utilisation de systèmes multi-capteurs dans diverses applications telles que les systèmes radars/sonars, les télécommunications, l’imagerie médicale, etc.
Ces travaux de thèse se focalisent donc sur le traitement de données issues d’un réseau d’antennes, en particulier pour des problématiques radars que sont la localisation de sources et la détection de cibles. Apparaissant dans les années 1930, les méthodes de localisation de sources et détection de cibles n’ont cessé d’évoluer au gré des progrès technologiques, tant sur les systèmes de mesure que sur les traitements des signaux observés et suscitent encore aujourd’hui l’intérêt de nombreux chercheurs. La localisation de sources consiste à retrouver la position d’un objet à partir de signaux émanant de ce dernier (de manière active ou passive). Pour les problématiques de détection, il s’agit de décider de la présence ou non d’une cible dans la zone d’observation.
Avec une complexité croissante des systèmes de mesure actuels, le caractère aléatoire de certains phénomènes et des incertitudes dans les modèles mathématiques considérés, l’ex-traction d’informations peut se faire par l’utilisation d’une modélisation probabiliste des observations. Le problème considéré revient donc à étudier la statistique multivariée des signaux observés et notamment ses moments d’ordre un et deux par l’intermédiaire de la moyenne et de la matrice de covariance. Ces dernières jouent un rôle prépondérant dans le traitement statistique du signal. En effet, elles peuvent contenir directement les paramètres d’intérêt ou intervenir comme une brique élémentaire d’une chaîne de traitement plus com-plexe. Par exemple, l’estimation de la matrice de covariance est nécessaire à la méthode MUSIC pour la localisation de sources ou aux détecteurs adaptatifs pour la détection de cibles. Dans la pratique, moyenne et matrice de covariance des données ne sont pas connues et doivent donc être estimées à partir de plusieurs réalisations indépendantes d’un vecteur d’observations. Une hypothèse classique et largement répandue dans la littérature est l’utili-sation de la statistique gaussienne. En effet, cette dernière a longtemps été considérée comme une bonne approximation du comportement des données et conduit à des estimateurs re-lativement simples. Elle est aussi confortée de manière théorique par le théorème central limite. Toutefois, certaines limitations de ce modèle, détaillées par la suite, ont été mis en
lumière, conduisant alors à une dégradation des performances. La qualité de la modélisation (et du processus d’estimation qui en découle) est donc cruciale et influe directement sur les performances des traitements appliqués.
Le premier axe de cette thèse s’est donc développé autour d’estimateurs de la moyenne et/ou de la matrice de covariance. Cette étude se décompose en deux étapes. La première consiste à proposer de nouvelles procédures d’estimation devant répondre à certains cri-tères (robustesse, structures a priori) qui seront détaillés par la suite. La deuxième s’attelle à l’analyse des performances des estimateurs nouvellement introduits, en particulier celles du régime asymptotique, i.e., lorsque l’on dispose d’un nombre très grand d’observations. Cette analyse permet entre autres de situer l’estimateur étudié par rapport aux meilleurs performances atteignables selon le modèle considéré. Cette étude peut aussi servir au dimen-sionnement du système de mesure selon le cahier des charges imposé. Revenons maintenant aux critères sur lesquels les estimateurs proposés ont été construits. Ces derniers se tra-duisent par deux mots clés : robustesse et structures a priori, qui tiennent une place importante dans ces travaux de thèse.
Robustesse : Un problème récurrent dans beaucoup d’applications est la présence de
données aberrantes dans le jeu d’observations analysé. Leur présence peut impacter et dé-grader les performances des méthodes classiques. Par exemple, les méthodes basées sur un modèle gaussien voient une dégradation drastique de leurs performances en présence de points anormaux. C’est pourquoi de nombreux travaux de recherche se sont intéressés à l’estimation robuste de paramètres. Le qualificatif “robuste” regroupe cependant plusieurs interprétations possibles. En particulier, l’utilisation de modèles statistiques généraux et d’estimateurs moins sensibles aux points aberrants permet d’obtenir une méthode dite ro-buste. Par ailleurs, l’étude de sensibilité en cas d’erreurs de modèle permet de compléter le tableau sur la robustesse. D’autre part, l’apparition des systèmes haute résolution a mis en lumière des phénomènes plus complexes, jusqu’alors impossible à observer. Le traditionnel modèle gaussien s’avère alors trop grossier pour modéliser fidèlement le comportement des mesures. Des nombreux travaux et campagnes de mesures ont montré l’inadéquation entre les observations collectées par un système haute résolution et une modélisation par une loi gaussienne. Des recherches se sont donc penchées vers des modèles plus réalistes, à travers des distributions à queue lourde. En particulier, la famille des distributions elliptiques révèle tout son potentiel à travers sa grande flexibilité, son large spectre de distributions qu’elle recouvre et son adéquation avec la problématique de robustesse.
Structures a priori : Dans certaines applications, il est possible d’obtenir des
informa-tions a priori sur les paramètres à estimer. Ces informainforma-tions peuvent venir d’une analyse des phénomènes physiques mis en jeu ou encore de la géométrie du système d’observation. Dans notre cas, on peut alors affiner la structure de la matrice de covariance, outre son caractère hermitien défini positif. Prendre en compte cette structure dans le processus d’estimation permet d’améliorer la qualité de l’estimée et de réduire le degré de liberté du problème d’estimation.
En résumé, cette première partie se focalise sur l’estimation robuste de la moyenne et/ou de la matrice de covariance en prenant en compte les informations a priori disponibles (e.g., structure de la matrice) dans la procédure d’estimation. Pour cela, nous utilisons le contexte des distributions elliptiques afin de dériver de nouveaux estimateurs. Nous analysons ensuite les performances asymptotiques de ces derniers pour les jauger par rapport aux performances ultimes atteignables selon le modèle considéré, en particulier les bornes de Cramér-Rao. En-fin, nous réalisons une étude de sensibilité en présence d’erreurs de modèle afin de quantifier la perte de performances dans le cas où le modèle supposé diffère du vrai. Les méthodes proposées sont illustrées sur la problématique de localisation de sources.
Le deuxième axe considéré pendant ces travaux de thèse est motivé en partie par la problématique de détection de cibles. En effet, un schéma adaptatif de détection dans le cadre statistique classique requiert la disponibilité d’un jeu de données secondaires,
sup-posées libres de toute cible potentielle, homogènes et en quantité suffisante. À partir de ce dernier, une estimée de la matrice de covariance des données secondaires est obtenue puis réutilisée dans l’expression d’un détecteur dit adaptatif, e.g., le filtre adapté normalisé ANMF (Adaptive Normalized Matched Filter). En pratique, ces hypothèses peuvent être mises en défaut, de par le scénario de mesure, l’environnement d’observation ou le système de mesure. Il existe de nombreux travaux portant sur les détecteurs statistiques dans un cadre robuste, pouvant par exemple réutiliser les méthodes de la première partie, à savoir l’utilisation des distributions elliptiques et la prise en compte des informations a priori pour réduire le nombre de données nécessaires à l’obtention d’une “bonne” estimée. Dans cette seconde partie, nous proposons plutôt un changement de point de vue pour répondre au pro-blème, en abandonnant la modélisation statistique pour aboutir à une approche géométrique de reconstruction de sous-espaces. Cette approche permet de traiter toutes les observations d’un seul tenant, sans distinction entre jeux de données primaires et secondaires, et sans hypothèse sur leurs propriétés statistiques.
Cette formulation originale du problème de détection de cibles comme un problème de reconstruction de sous-espaces tire son origine du modèle physique associé au fouillis et/ou aux interférences. En effet, ces derniers appartiennent souvent à des espaces de faibles di-mensions comparées à la taille des données. Par ailleurs, les cibles contenues dans le jeu de données sont généralement en nombre restreint, ce qui permet une représentation par-cimonieuse dans un dictionnaire bien choisi. Les travaux se sont donc portés sur l’étude d’un problème d’optimisation sous contraintes permettant d’obtenir une solution ayant les propriétés souhaitées. Les mots clés robustesse et structures a priori ont aussi guidé l’approche retenue au sens suivant :
Robustesse : Avec la haute résolution et la diversité d’environnements de mesure, il peut
exister des hétérogénéités dans le jeu de données. Une modélisation par une union de sous-espaces de la partie correspondant au fouillis et/ou aux interférences permet la flexibilité nécessaire afin de prendre en compte les hétérogénéités présentes, signe de robustesse.
Structures a priori : À partir de la géométrie du réseau d’antennes, la structure
des vecteurs directionnels peut être exploitée afin de construire un dictionnaire balayant l’ensemble de l’horizon d’observation. Les cibles à détecter sont donc représentées de manière parcimonieuse dans ce dernier.
En résumé, cette deuxième partie de thèse formule le problème de détection de cibles comme un problème d’optimisation permettant la reconstruction d’une union de sous-espaces, correspondant à la contribution du fouillis radar, et la représentation parcimonieuse des cibles dans un dictionnaire adapté à la structure du réseau d’antennes. D’une part, nous étudions d’une manière théorique les conditions d’optimalité permettant une reconstruction parfaite à partir du problème d’optimisation considéré. D’autre part, nous illustrons l’inté-rêt de la méthode sous cette formulation originale sur un scénario de détection de cibles en présence de brouilleurs.
Ce manuscrit est constitué d’un premier chapitre transverse puis de deux parties permet-tant de présenter les deux approches considérées dans cette thèse ainsi que les contributions apportées. La première approche représente la majeure partie des résultats obtenus.
Dans un premier chapitre préliminaire, nous nous focalisons sur les problématiques des systèmes radars multi-capteurs, en particulier la localisation de sources et la détection de cibles. Le problème se résume souvent à réaliser une estimation de paramètres adéquats. Les procédures d’estimations développées dans cette thèse se sont fondées sur deux contraintes : informations a priori et robustesse, dont les sens ont été spécifiés précédemment.
La première partie aborde les méthodes de traitement statistique de données dans un contexte robuste, notamment l’estimation paramétrique. Cette partie est l’axe principal de cette thèse.
? Le chapitre 2 introduit différentes modélisations statistiques ainsi que certains outils
d’analyse, qui serviront par la suite. Se plaçant dans un contexte d’estimation robuste, nous partons de la traditionnelle statistique gaussienne pour aller vers des lois
mul-tivariées plus flexibles et à queue lourde, permettant de mieux modéliser les données issues de systèmes de mesure haute résolution. Une attention particulière est portée sur la famille des distributions elliptiques, car elle sera la modélisation choisie pour la suite des travaux. Ensuite, nous rappelons les caractéristiques permettant d’évaluer les qualités d’un estimateur. Ces dernières seront utilisées dans l’analyse des performances asymptotiques des méthodes proposées.
? Dans le chapitre 3, nous étudions l’estimation robuste mais non structurée de la
moyenne et/ou de la covariance. Après avoir rappelé les différentes approches exis-tant dans la littérature, nous nous focalisons sur la classe des M-estimateurs. En effet, ces derniers possèdent des propriétés intéressantes associées aux distributions ellip-tiques. Le cas d’estimation de la matrice de covariance seule a été largement étudié. Le problème d’estimation conjointe moyenne/covariance présente cependant quelques spécificités qui demandent une attention particulière. Les M-estimateurs conjoints moyenne/covariance ont été étudiés dans le cas à valeur réelle depuis leur introduction dans les années 1970. Nous étendons leur étude au cas à valeur complexe, en particulier leur comportement asymptotique.
? Le chapitre 4 aborde le problème d’estimation robuste et structurée de la matrice de
covariance. Nous introduisons deux nouvelles procédures d’estimation pour des ma-trices ayant une structure convexe : les estimateurs SESAME et RCOMET. Ensuite, nous étudions les performances asymptotiques de ces derniers. Cette étude asympto-tique est aussi menée lorsque l’on considère des erreurs de modèle afin de quantifier la perte de performance induite. Nous étendons par ailleurs ces estimateurs robustes à la structure produit de Kronecker, qui ne décrit pas un ensemble convexe.
? Dans le chapitre 5, nous considérons l’application de localisation de sources dans un
double objectif. Le premier est d’appliquer les estimateurs introduits précédemment afin d’illustrer l’intérêt de développer des méthodes d’estimation robuste et structurée et le gain qu’elles apportent. Le deuxième est d’introduire une nouvelle méthode d’esti-mation robuste de localisation de sources pour les radars MIMO, inspirée du maximum de vraisemblance.
? Le chapitre 6 conclut cette partie sur l’approche statistique et propose quelques pistes
d’ouverture que suscitent les résultats présentés dans les chapitres précédents. Celui-ci nous permet par la même occasion d’effecteur la transition vers la partie suivante, qui s’intéresse à l’approche géométrique avec la reconstruction de sous-espaces.
La deuxième partie propose une approche différente de celle utilisée jusqu’à maintenant. En effet, le cadre statistique est abandonné au profit d’une approche géométrique, basée sur la reconstruction de sous-espaces. Cette partie présente des résultats préliminaires illustrant l’intérêt de ce changement d’approche.
? Le chapitre 7 introduit quelques éléments sur les problèmes d’optimisation, qui sont
exploités par la suite. Après avoir rappelé différentes caractéristiques d’un problème d’optimisation et certaines propriétés de la fonction coût à minimiser, on se focalise sur l’optimisation convexe, et en particulier sur les conditions d’optimalité d’une solution. Certains algorithmes de résolution sont présentés et seront exploités par la suite. Enfin, quelques structures particulières sont considérées et notamment leur prise en compte dans un problème d’optimisation.
? Dans le chapitre 8, nous travaillons sur la reconstruction robuste et parcimonieuse de
sous-espaces. Après avoir rappelé le contexte et les différentes méthodes existant dans la littérature, nous étudions les conditions d’optimalités du problème considéré, et en particulier les conditions permettant d’obtenir une reconstruction parfaite. Ensuite, nous proposons deux algorithmes permettant de résoudre le problème d’optimisation considéré. Enfin, nous appliquons la méthodologie introduite sur un problème de dé-tection de cibles en présence de brouilleurs.
? Le chapitre 9 conclut cette partie sur l’approche géométrique proposée par
l’intermé-diaire d’un problème d’optimisation permettant la reconstruction de sous-espaces et l’identification d’une représentation parcimonieuse. Quelques perspectives issues des résultats présentés dans les chapitres précédents sont aussi proposées.
La Figure 0.1 illustre de manière schématique l’organisation de ce manuscrit. En par-ticulier les chapitres, dans lesquels les contributions de thèses sont présentées, sont mis en exergue.
Problématiques Radar
Localisation
de sources Détectionde cibles
Approche statistique (estimateurs, analyse de performances) Approche géométrique (sous-espaces, parcimonie) Robustesse Structures a priori Estimation non structurée moyenne/covariance Estimation structurée covariance Reconstruction robuste et parcimonieuse de sous-espaces
Chap. 3 Chap. 4 Chap. 8
Chap. 5 Chap. 8
Partie I Partie II
Appliqué
Théorique
Figure 0.1 – Organisation schématique du manuscrit et des contributions
Afin de faciliter la lecture de ce document, les résultats théoriques au travers de théo-rèmes, propositions, corollaires introduits et montrés dans cette thèse sont encadrés. Les démonstrations associées sont indiquées par un trait dans la marge à gauche, pour les be-soins d’un lecteur pressé.
Les travaux menés pendant cette thèse et les résultats obtenus ont donné lieu aux publi-cations suivantes :
Articles de revue internationale avec comité de lecture
J1. B. Mériaux, C. Ren, M. N. El Korso, A. Breloy, and P. Forster. Asymptotic per-formance of complex M-estimators for multivariate location and scatter estimation.
IEEE Signal Processing Letters, 26(2) :367–371, February 2019.
J2. B. Mériaux, X. Zhang, M. N. El Korso, and M. Pesavento. Iterative marginal maxi-mum likelihood DOD and DOA estimation for MIMO radar in the presence of SIRP clutter. Elsevier Signal Processing, 155 :384–390, February 2019.
J3. B. Mériaux, C. Ren, M. N. El Korso, A. Breloy, and P. Forster. Robust estimation of structured scatter matrices in (mis)matched models. Elsevier Signal Processing, 165 :163–174, December 2019 (Special Issue on Statistical Signal Processing Solutions and Advances for Data Science : Complex, Dynamic and Large-scale Settings). J4. B. Mériaux, C. Ren, A. Breloy, M. N. El Korso, and P. Forster. Mismatched robust
estimation of Kronecker product of linearly structured scatter matrices. (submitted).
Articles de conférence internationale avec comité de lecture et acte
C1. B. Mériaux, C. Ren, M. N. El Korso, A. Breloy, and P. Forster. Robust-COMET for covariance estimation in convex structures : algorithm and statistical properties. In
Proc. of IEEE International Workshop on Computational Advances in Multi-Sensor Adaptive Processing (CAMSAP), pages 1–5, December 2017.
C2. B. Mériaux, C. Ren, M. N. El Korso, A. Breloy, and P. Forster. Efficient estimation of scatter matrix with convex structure under t-distribution. In Proc. of IEEE
In-ternational Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP), pages
4474–4478, April 2018.
C3. B. Mériaux, C. Ren, A. Breloy, M. N. El Korso, P. Forster, and J.-P. Ovarlez. On the recursions of Robust COMET algorithm for convexly structured shape matrix. In Proc. of European Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2019.
C4. B. Mériaux, A. Breloy, C. Ren, M. N. El Korso, and P. Forster. Modified sparse subspace clustering for radar detection in non-stationary clutter. In Proc. of IEEE
International Workshop on Computational Advances in Multi-Sensor Adaptive Proces-sing (CAMSAP), 2019.
C5. B. Mériaux, C. Ren, A. Breloy, M. N. El Korso, and P. Forster. Efficient estimation of Kronecker product of linear structured scatter matrices under t-distribution. In
Proc. of European Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2020. Articles de conférence nationale avec comité de lecture et acte
C6. B. Mériaux, C. Ren, A. Breloy, M. N. El Korso, P. Forster, and J.-P. Ovarlez. Une version récursive de RCOMET pour l’estimation robuste de matrices de forme à structure convexe. In Proc. du colloque GRETSI sur le traitement du signal et des
images, August 2019.
C7. B. Mériaux, C. Ren, M. N. El Korso, A. Breloy, and P. Forster. Estimation robuste de matrices de dispersion structurées pour des modèles bien/mal spécifiés. In Proc. du
1
Traitement d’antenne pour le radar :
structures a priori et robustesse
Ce premier chapitre s’attache à préciser le contexte d’étude de cette thèse. En effet, nous nous focalisons sur les problématiques liées aux systèmes multi-capteurs radars2 bien que les
travaux menés pourraient être adaptés à d’autres systèmes multi-capteurs. Dans un premier temps, les principales problématiques liées au radar sont rappelées. Dans un second temps, les deux notions clés structures a priori et robustesse sont introduites dans le contexte d’applications radars.
Sommaire
1.1 Contexte et problématiques du radar . . . . 7
1.1.1 Contexte . . . 7 1.1.2 Problématiques du radar . . . 9
1.2 Estimation structurée . . . 10
1.2.1 Structure des données . . . 10 1.2.2 Exploitation de la structure . . . 11
1.3 Estimation robuste . . . 11
1.3.1 Définitions . . . 12 1.3.2 Critères de robustesse . . . 12 1.3.3 Étude de sensibilité . . . 13
1.1
Contexte et problématiques du radar
1.1.1
Contexte
Faisant suite aux travaux de James Maxwell sur les ondes électromagnétiques en 1864, l’utilisation de ces dernières pour la détection d’objets métalliques s’est développée à partir du début du 19èmesiècle. Dans les années 1930 et à l’aube de la Seconde Guerre mondiale, les
premiers systèmes opérationnels permettant la détection d’objets non nécessairement coopé-rants sont développés à grande échelle, principalement à des fins militaires. C’est d’ailleurs à cette époque que le nom “radar” est universellement adopté. Il s’agit en fait d’un acronyme 2. Ce choix particulier est motivé par les thématiques de recherche du laboratoire SONDRA, dans lequel cette thèse s’est déroulée.
pour RAdio Detection and Ranging pour désigner un système utilisant les ondes électroma-gnétiques1 pour détecter et “localiser” un objet par réflexion.
Le principe de base d’un radar est illustré par la Figure 1.1. Un système d’émission émet une onde radio dans un secteur de l’environnement ambiant. Si dans celui-ci, un objet (souvent appelé cible) est présent, alors l’onde émise se réfléchit dessus et cet écho est alors reçu par le système de réception du radar. En cas d’absence d’écho, cela signifie qu’il n’y a pas de cible présente. De plus, en analysant plus finement l’écho reçu, on peut obtenir des informations sur la cible détectée telles que sa position et/ou sa vitesse radiale. En pratique, l’environnement est bruyant, c’est-à-dire que le récepteur reçoit des échos indésirables cor-respondant aux réflexions de l’environnement (sol, mer, etc.) ou à des perturbations (autres objets, brouilleurs, multi-trajet). On appelle ces interférences le fouillis radar. Ce dernier peut compliquer la détection de cibles d’intérêt et nécessite la mise en œuvre de traitements adaptés. Par ailleurs, les systèmes électroniques peuvent aussi contribuer dans la dégradation des signaux reçus en y ajoutant du bruit de mesure, thermique, etc.
Figure 1.1 – Principe du radar
Depuis les premiers systèmes radars des années 1930, leurs structures, fonctionnements, compositions se sont aujourd’hui beaucoup diversifiés grâce aux avancées technologiques. On peut par exemple distinguer :
? les radars actif et passif : le radar actif, qui a été présenté ci-dessus, émet lui-même
le signal envoyé à travers le système émetteur. A l’inverse, le radar passif, qualifié aussi d’opportunité, ne possède qu’un système récepteur. Il capte les échos de signaux ambiants, dont l’objectif initial n’est pas lié à la détection de cibles (e.g., télévision, télécommunications).
? les radars monostatique et bistatique : lorsqu’émetteur et récepteur sont dissociés,
comme sur la Figure 1.1, le radar est dit bistatique. Dans le cas où c’est le même système qui joue alternativement le rôle d’émetteur puis de récepteur, on parle de radar monostatique.
? les radars à une seule antenne et les réseaux d’antennes : les réseaux d’antennes ajoutent
de la diversité spatiale par rapport à une antenne isolée. De plus, ils permettent une plus grande flexibilité du signal envoyé par le réseau en combinant par interférences constructives ou destructives les signaux émis à chaque élément du réseau. Cela permet d’améliorer la résolution angulaire à condition que le réseau soit bien calibré. En effet, la résolution, i.e., la capacité à distinguer deux cibles proches, dépend de la taille de l’antenne. Par ailleurs, on trouve dans la classe des réseaux d’antennes une sous-catégorie composée des radars MIMO (Multiple-Input Multiple-Output). Cette dernière 1. Les premiers systèmes radars utilisaient les ondes radios, i.e., les ondes électromagnétiques ayant une fréquence inférieure à 300 MHz. Depuis, les gammes de fréquences utilisées se sont diversifiées selon l’application voulue.
(a) Radiotélescope FAST (Chine)
(© www.news.cn) (b) Radiotélescope VLA (États Unis)(© www.upv.es) Figure 1.2 – Antenne isolée contre réseau d’antennes
est présentée et exploitée dans le chapitre 5. Par des contraintes pratiques, il n’est pas toujours possible d’augmenter la taille de l’antenne, d’où l’intérêt d’un réseau dont la résolution est donnée par l’écartement maximal entre deux de ses éléments. La Figure 1.2 montre deux radiotélescopes, l’un avec une antenne isolée et l’autre avec un réseau d’antennes.
1.1.2
Problématiques du radar
Avec les progrès technologiques de ces dernières décennies, les capacités des systèmes radars ont augmenté et font encore l’objet de nombreux travaux de recherche, tant sur leur composition que sur les traitements de données associés. On peut citer (de manière non exhaustive) quelques problématiques encore actives sur le sujet
? Impliquant des éléments rayonnants devant présenter certaines caractéristiques, les
radars profitent des dernières innovations sur la conception d’antennes, utilisant diffé-rents types de matériaux [Bal16, Bro17, PBB20].
? Pour les radars actifs et notamment ceux basés sur des réseaux d’antennes, la maîtrise
du signal émis est un atout considérable. Le choix des formes d’ondes émises permet de satisfaire certaines propriétés désirées [CV09, TTP11, TAR+16].
? Pour les radars passifs, le signal émis par les sources d’opportunité n’est pas connu
du récepteur par définition. Cela nécessite alors de mettre en œuvre des techniques permettant de le reconstruire à l’aide des signaux reçus uniquement [PHSD12, ZLH17].
? L’utilisation de réseaux d’antennes, bien que possédant de nombreux avantages, est
conditionnée par une bonne calibration du réseau. En effet, la diversité spatiale requiert que les éléments, constituant le réseau, soient bien réglés en phase et en amplitude afin d’obtenir des interférences constructives [Sor01, OEKB+17].
? La détection de cibles peut se formuler de manière simple sous la forme d’un test
d’hypothèses. Il faut choisir entre l’hypothèse H0 signifiant l’absence de cible, i.e., le
signal reçu ne comporte que du bruit et/ou des interférences et l’hypothèse H1lorsque
le signal reçu contient une partie utile associée à une cible. L’approche statistique, e.g., le ratio de vraisemblance, fournit un cadre d’analyse générale permettant de prendre en compte la présence de brouilleurs, le caractère impulsif des données, etc. Les détecteurs statistiques classiques nécessitent généralement l’estimation de paramètres à travers différentes méthodes d’estimation [VT04c, DMG16].
? La localisation de sources, soit en distance, soit angulaire permet de retrouver la
trajectoire, etc. On cherche donc à estimer des paramètres de la source (position, vi-tesse) en utilisant différentes méthodologies selon les critères souhaités (robustesse, faible nombre d’observations, précision, complexité algorithmique faible) [VT04a]. Dans cette thèse, on considère des données collectées à partir d’un réseau d’antennes, qui se présente alors sous la forme d’un vecteur de données. En particulier, on s’intéresse à développer des méthodes d’estimation paramétrique pouvant être utilisées dans des procé-dures de détection de cibles ou localisation de sources. Une formalisation mathématique de ces dernières est détaillée dans les chapitres suivants une fois que les modèles considérés sont introduits. Comme déjà évoqué précédemment, les méthodes introduites dans cette thèse se fondent sur une approche robuste prenant en compte les informations a priori dont on dispose.
1.2
Estimation structurée
Comme annoncé dans la partie précédente, ces travaux de thèse s’attellent à proposer de nouvelles méthodes paramétriques, dont les grandeurs d’intérêt sont liées aux problématiques de détection de cibles et de localisation de sources. Les méthodes d’estimation développées incorporent les informations disponibles a priori sur les paramètres d’intérêt. Ces dernières peuvent provenir d’une analyse des phénomènes physiques mis en jeu, de la géométrie du réseau d’antennes utilisé et/ou du modèle considéré.
1.2.1
Structure des données
Avec l’approche par une modélisation statistique des observations, les paramètres à esti-mer sont généralement reliés aux moments de la distribution choisie, au travers notamment de la matrice de covariance, notée R. Selon les applications, cette dernière peut posséder une structure particulière. Ainsi, être capable de prendre en compte cette structure lors du processus d’estimation permet de réduire le degré de liberté du problème d’estimation et conduit souvent à améliorer la qualité d’estimation. Parmi les structures matricielles souvent rencontrées, on peut citer les catégories suivantes :
? les structures linéaires S =
R | R = PI
i=1
aiBi, ai∈ R
où les matrices Bi forment
une base connue. La connaissance de cette dernière provient de la géométrie du ré-seau d’antennes ou d’hypothèses sur le modèle. Ainsi, pour estimer la matrice R, il suffit d’estimer les coefficients ai. Cette structure regroupe les matrices
persymé-triques, Toeplitz, circulantes, à bandes ou encore les sommes de matrices de rang 1. Par exemple, la structure Toeplitz apparaît avec l’utilisation de réseaux d’antennes linéaires et uniformes [FM88, HPREK14]. De la même manière, la matrice de cova-riance du fouillis possède une structure persymétrique dans le cas de réseaux d’antennes centro-symétriques [PFOP11].
? la structure produit de Kronecker, R = A ⊗ B. Cette décomposition traduit
généra-lement un couplage entre une information temporelle et une information spatiale. Par exemple, dans les réseaux d’antennes MIMO, les structures géométriques respectives de l’émetteur et du récepteur sont reliées aux matrices A et B [WJS08, WJ14].
? les structures spectrales, i.e. sur les valeurs propres de la matrice R. On peut citer,
par exemple, la décomposition de R en la somme d’une matrice de rang faible et de la matrice identité à un facteur d’échelle près. Celle-ci apparaît dans la matrice de covariance de données constituées d’un nombre faible de sources décorrélées et noyées dans un bruit additif blanc [VT04a]. Par ailleurs sur des systèmes aéroportés, la matrice de covariance du fouillis correspondant à la réponse du sol, est de rang faible d’après la règle de Brennan [War98].
Si l’on considère plutôt une approche géométrique, les informations utiles appartiennent généralement à des sous-espaces de faible dimension comparée à l’espace initial des observa-tions. Il peut toutefois subsister quelques éléments se trouvant hors de ces sous-espaces de manière parcimonieuse. Dans le contexte des données radars, on peut ainsi considérer que les observations sont issues de la superposition du fouillis, appartenant à un (ou plusieurs) sous-espaces de faible dimension, et des signaux sources pour lesquels une représentation parcimonieuse peut être trouvée [RLG04, BEKPK18].
Nous avons donc exhibé certaines structures particulières, qui apparaissent dans les pro-blèmes d’estimation reliés aux problématiques de localisation de sources ou de détection de cibles. On souhaite alors prendre en compte ces informations a priori dans les algorithmes d’estimation. Les différentes approches sont présentées dans la partie suivante.
1.2.2
Exploitation de la structure
Après avoir présenté les différentes structures qu’il faut considéré dans le processus d’es-timation, nous citons quelques méthodes générales permettant d’obtenir un estimateur ayant la structure souhaitée. Certaines méthodes seront détaillées dans les chapitres suivants après avoir formalisé le problème étudié :
? Approche directe : il s’agit de dériver les estimateurs classiques sur la paramétrisation
considérée afin d’obtenir une estimée structurée. Par exemple, cela revient à maximi-ser la vraisemblance sur les paramètres décrivant la structure pour l’Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV). En pratique, ce problème peut être coûteux en temps de calcul [DM03, ST16].
? Approche par contraintes sur la vraisemblance : on cherche à maximiser la
vraisem-blance en rajoutant les contraintes correspondant à la structure [CDM12, SBP16]. Cette approche peut aussi s’interpréter comme une méthode par régularisation, où le terme de pénalité favorise les solutions ayant la structure souhaitée.
? Approche par projection : il s’agit de projeter une estimée n’ayant pas la structure
souhaitée sur le sous-espace qui la caractérise. Cette approche comporte au moins deux étapes permettant de limiter la complexité algorithmique [OSR98, For01, WJS08].
? Approche par minimisation d’une fonction favorisant naturellement la structure
vou-lue. Par exemple, en minimisant la norme nucléaire d’une matrice, on cherche à obtenir une solution de rang faible. De même, on peut minimiser certaines normes qui imposent le caractère parcimonieux de la solution, e.g., la “norme”10, ou sa relaxation convexe
la norme 1 [CLMW11, MMG13].
Il existe ainsi de nombreux travaux portant sur l’estimation de paramètres sous contrainte de structure comme en témoignent les quelques références précédemment sélectionnées. Ce-pendant, bon nombre d’entre eux ne se placent pas dans un contexte d’estimation robuste, qui est la deuxième notion clé de ces travaux de thèse. Dans la section suivante, nous in-troduisons la notion de robustesse que l’on cherche à avoir et en particulier les différentes formes qu’elle peut prendre.
1.3
Estimation robuste
Bien souvent, les procédures d’estimations sont basées sur un modèle supposé des données et obtenues afin de satisfaire certains critères d’optimalité (e.g. maximiser la vraisemblance des données). Cependant, la présence de données aberrantes dans les mesures et/ou l’utili-sation de modèles trop approximatifs peuvent conduire à des dégradations des performances 1. Bien que désignée en tant que norme, cette dernière n’en est pas une, car elle ne satisfait pas la propriété d’absolue homogénéité.
d’estimation en pratique. Fort de ce constat, de nombreux travaux se sont penchés sur l’es-timation de paramètres dans un cadre robuste et dont nous présentons les enjeux liés au radar dans cette partie.
1.3.1
Définitions
La notion de robustesse apparaît dans bien des domaines ainsi que dans le langage courant telle une qualité requise et souhaitée pour différents objets, méthodes, processus, etc. Elle fait référence à quelque chose de solide, résistant, capable de faire front à des agressions ou encore supportant des conditions difficiles. Focalisons nous sur la robustesse en ingénierie et en particulier concernant le traitement du signal. Qu’il s’agisse d’estimation de paramètres, de prise de décision, d’optimisation, de choix de modèles, proposer une méthode qualifiée de robuste est avantageuse par rapport à d’autres non robustes. Ce critère de robustesse peut néanmoins s’interpréter sous différentes formes [ZKOM18].
La première interprétation, malheureusement impossible à mettre en pratique est de fournir une méthode reposant sur le moins d’hypothèses possibles, pour faire face à presque tous les cas possibles. Par exemple, dériver des estimateurs ou des détecteurs n’impliquant aucune hypothèse sur le modèle de données semble difficilement réalisable et n’est pas pour autant souhaitable. En effet, il ne faut pas que le besoin d’une robustesse absolue soit au détriment des performances, sans même vouloir atteindre certaines optimalités. Il s’agit donc d’établir un compromis entre fournir des méthodes avec des performances correctes et pouvoir les maintenir en présence de données anormales ou s’écartant de certaines hypothèses faites.
La deuxième forme que peut prendre le critère de robustesse est de construire des mé-thodes utilisant des modèles assez généraux : on parle alors de robustesse au modèle. En effet, l’ultra spécificité d’un modèle peut apparaître attrayant dans l’idée d’obtenir les meilleures performances possibles et même vérifier un critère d’optimalité. Cependant, comme son nom l’indique, un modèle n’est pas la réalité. Il s’emploie à refléter au mieux le comportement ob-servé dans la nature ou traduire certaines propriétés des données collectées. Néanmoins, des différences même résiduelles entre le modèle et le comportement réel subsisteront toujours. Par ailleurs, il peut arriver de manière imprévisible que le modèle choisi soit mis en défaut. Ainsi, l’algorithme construit sur celui-ci doit être en mesure de garantir un certain niveau de performance, malgré cette mise en défaut, pour être qualifié de robuste. A contrario, utiliser un modèle trop général et universel, pour éviter cette dernière, ne permet pas en général l’obtention de performances correctes. Il s’agit encore une fois de trouver un compromis.
La troisième signification de la robustesse est la capacité d’une méthode, basée sur un modèle, de résister à la présence de quelques données anormales ou observations aberrantes ne correspondant pas au modèle supposé mais aussi à l’absence temporaire des mesures : on parle alors de robustesse aux données aberrantes. En pratique, cela peut se produire avec des capteurs défectueux pouvant provoquer l’interruption momentanée des mesures ou la saturation de ces derniers. La méthode est d’autant plus robuste qu’elle est capable de faire face à une proportion importante de ces points aberrants par rapport aux données dites normales.
1.3.2
Critères de robustesse
Afin de pouvoir attester du caractère robuste d’une méthode, il convient de quantifier la robustesse vis-à-vis de certains critères. Nous rappelons de manière succincte les principaux critères utilisés dans le cadre d’une analyse statistique. Le lecteur est renvoyé à [MMY06, ZKOM18] pour une description plus complète de ces derniers.
? Fonction d’influence : introduite par Hampel [HRRS11], elle mesure l’effet d’une légère
déviation du vrai modèle par rapport à celui supposé. Pour pouvoir être qualifié de robuste, on cherche donc à avoir une fonction d’influence de l’estimateur petite, ou