Classification et discrimination : analyse discriminante typologique et applications

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Classification et discrimination : analyse discriminante

typologique et applications

Yves Lemoine

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Yves Lemoine. Classification et discrimination : analyse discriminante typologique et applications. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1979. Français. �NNT : 1979METZ004S�. �tel-01775610�

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THÈSC

présentée à

UUNIVERSITÉ

DE METZ

oour obtenir

LE DIPLoME

DE DocrEUR DE 3à'"cYcLE

par

Yves

LEMOINE

Spécial ité : Mathématiques Appliquées

CLASSI

FICATION

ET DISCRIMINATION

ANALYSE

DISCRI

MI NANTE

TYPOLOG

IOUE

ET APPLICATIONS

MM. C. CARABATOS E. DIDAY J . C . S I M O N S. WATANABE

??"0o8 S

ffi,

Soutenue le 14 iuin 1979 devant la Commission composée Oe:

f g I .^.*oSS \ Mme A. sEc Présidente ''$ \ t'$\\"i l

&

Madame SEC, Maitv'e de cônfërences, pour Les préeieu.æ consei'Ls q u t e L L e ma pnodiguës,

Monsieuz' CARABAT)S, Mattre de Confér,enees, pour. Les encour.agements et Le soutien constant qu'iL m'd. appotté dans Le cadne de son Labonatoire à L t U n i u e z , s i t é de Metz,

Monsieur DfDAy, Maitre de Confërences, qui est à L,origine de cette étude, pour son aceueiL à l.tIRfA, et ses conseiLs dans La r.éaLisation de ce trauaiL,

Monsieur MUTEL, pour sa part.,icipation à La dennière partie de c e t t e é t u d e ,

Les chercheuz.s et technic.iens auec qui j'ai eu Le pLaisir de

t t ' a u a i L L e t ' à _{L t ( J n i u e r s i t é d.e lketz et à LtfRfA, pouz, Leur aid.e et Ltatmosphère} amtcale qu'iLs _{contv"ibuent à faire régner dans Les équipes de recherche, ainsi} que toutes Les personnes qui ont paz,ticipé à La pnésentation et à La pubLicat.ton de ce document.

l

-PId,N

INTRODUCTION

NOTATIONS ET MPPELS

CHAPITRE I : CI.A.SSIFICATION SIJR SOUS ESPACE ADAPTATIF l . I n E , r o d u c t i o n l . t . L a m é t h o d e 1 . 2 . L e s d o n n é e s 1 . 3 . N o t a t i o n s 1 . 4 . P r o p o s i t i o n 2 . L e c r i t è r e d e c l a s s i f i c a t i o n 2 . l . D é f i n i t i o n 2 . 2 . L r o p t i m i s a t i o n d u c r i t è r e 2 . 3 . E x p r e s s i o n m a t h é m a t i q u e d u . c r i t è r e 3 . L a r e p r é s e n t a t i o n 3 . l . D é f i n i t i o n 3 . 2 . L e c r i t è r e i , I -II 4 . L r a L g o r i t h m e 4 . l . I n E r o d u c t i o n 4 . 2 , L a f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t i o n 4 . 3 . L a f o n c t , i o n d r a f f e c t a t i o n 4 . 4 . L a f o n c È i o n c o m p o s é e f o g 4 . 5 . L r a l g o r i t h m e 4 . 6 . L a c o n v e r g e n c e d e I ' a l g o r i t h m e 5 . L e p r o g r a u m e i n f o r r n a t i q u e "SESADAt' 5 . l . L e s e n t r é e s 5 . 2 . L e c r i t è r e 5 . 3 . L a f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t , i o n 5 . 4 . L e s s o r È i e s à c h a q u e i t é r a t i o n 5 . 5 . L e s s c r t i e s à 1 a c o n v e r g e n c e

6 . 1 . E x e n p l e J 6 . 2 . E x e n p l e 2

7 . L r i n t e r p r é t a t i o n d e s r é s u l t a t s

7 . 1 . O p t i m u m L o c a l , o p t f u r : m g l o h a l du critère W 7 . 2 . L a v a l i d i t é d e l a p a r t i ' t f o n d e c o n v e r g e n c e

7 . 3 . L e c h o i x d e l a d i n e n s i o n r du sous espace de classiJieatibn

8 . I ' I é t h o d e séquentielle r e l a t i v e m e n t au ncnnhre de classes de la partiÈion 8 . 1 . P a s I

8 . 2 . P a s 2

8 . 3 . L ' a l g o r i t h m e

9 . C o n c l u s i o n

CHAPITRE II : Æ{ALYSE DISCRI}TINANTE TYPOLOGIQUE l . I n t r o d u c t i o n I I l. Le problème de la discrininaEion 1 . 2 . L r a n a l y s e f a c t o r i e l l e d i s c r i m i n a n t e : U n e a n a l y s e d e s c r i p t i v e l i n é a i r e l . 3 . L ' a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e d é c i s i o n n e l l e l i n é a i r e 1 . 4 . L a r e m i s e e n c a u s e d e s c l a s s e s a p r i o r i 1 . 5 . L a p r i s e e n c o m p t e d e s c l a s s e s a p r i o r i 1 . 6 . L r a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e t y p o l o g i q u e 1 . 7 . L e s d o n n é e s I . 8 . N o t a t i o n s 2 . L e c r i t è r e 2 . l . D ' e f i n i t i o n 2 . 2 . L r o p t i m i s a t i o n d u c r i t è r e 2 . 3 . L e c r i t è r e e t f i n e r t i e i n t e r c l a s s e e x p l i q u é e 2 , 4 . E x p r e s s i o n m a t h é m a t i q u e d u c r i t è r e 2 . 5 . L e c r i t è r e e t l e s f a c È e u r s d i s c r i m i n a n t s 3 . L a r e p r é s e n t a t i o n 3 . l . D é f i n i t i o n 3 . 2 . L e c r i t è r e l J *

3 -4 . L ' a l g o r i t h m e 4 . 1 . I n t r o d u c t i o n 4 . 2 . L a f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t i o n 4 . 3 . L a f o n c t i o n d ' i d e n t i f i c a t i o n 4 . 4 . I a f o n c t i o n c o m p o s é e f o g 4 . 5 . L ' a l g o r i t h m e 4 . 6 . L a c o n v e r g e n c e d e 1 r a l g o r i t h m e 5 . L e p r o g r a n r u e i n f o r n a t i q u e _{" D I S C R I "} 5 . l . L e s e n t r é e s 5 . 2 . L e c r i t è r e 5 . 3 . L a f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t i o n 5 . 4 . L e s s o r t i e s à c h a q u e i t é r a t i o n 5 . 5 . L e s s o r t i e s à l a c o n v e r g e n c e 6 . L e t r a i t e m e n t d t u n e b a n q u e d e données 6 . 1 . L e p r o b l è m e 6 . 2 . L e s t y p e s d é f i n i s a p r i o r i 6 . 3 . L a p o p u l a t i o n é c h a n t i l l o n : l a p a r t i t i o n d é f i n i e a p r i o r i 6 . 4 . L ' a n a l y s e d i s c r i m i n a n Ë e t y p o l o g i q u e r e l a t i v e à l a p a r t i t i c n a p r i o r i 6 . 5 " L a s e c o n d e a n a l y s e 6 . 6 . L a t r o i s i è m e a n a l y s e 6 . 7 . L ' é c h a n t i l l o n t e s t 6 . 8 . C o n c l u s i o n 7 . L ' i n È e r p r é t a t i o n d e s r é s u l È a t s 7 . 1 . L a d é f i n i t i o n d e n o u v e l l e s f a m i l l e s 7 . 2 . L a r è g l e d e d é c i s i o n 7 . 3 . L e s e c o n d n i v e a u d e d i s c r i m i n a t i o n 7 . 4 . E x e m p l e s 8 . C o n c l u s i o n

cItAPrrRE rrr : L'ANALYSE DTSCRTMTNANTE _{Typol.ocrQtE sous CoNTRATNTE DE MoDELrsATroN} LOCALE l . L n t r o d u c t , i o n l . l . L e p r o b l è n e 1 . 2 . L e s d o n n é e s 1 . 3 . E x e m p l e s d e r n o d é l i s a t i o n 1 . 4 . L a m é t h o d e 1 . 5 . N o t a t i o n s 2 . L e c r i t è r e 2 . | . L e c r i t è r e tr{, 2 . 2 . L e e r i t è r e I ' I , 2 . 3 . L e c r i t è r e W 2 . 4 . L ' o p t i m i s a t i o n d u c r i t è r e W 2 . 5 . E x p r e s s i o n m a t h é m a t i q u e d u . c r i t è r e l , l , 2 . 6 . E x p r e s s i o n n a t h é m a t i q u e d u c r i t è r e W , 3 . L a r e p r é s e n t a t i o n 3 . l . D é f i n i t i o n 3 . 2 . L e c r i t è r e W * 4 . L r a l g o r i t h m e 4 . 1 . I n t r o d u c t i o n 4 . 2 . L a f o n c t i o n de représentation 4 . 3 . L a f o n c t i o n d ' a f f e c t a t i o n 4 . 4 . L a f o n c t i o n c o m p o s é e f o g 4 . 5 . L r a l g o r i t h m e 4 . 6 , L a c o n v e r g e n c e d e I t a l g o r i t h m e

5. Le progranme inf ormatique TTDISCRIML" ,. 5 . l . L e s e o u s p r o g r a m m e s re l a t i f s à l a m o d é l i s a t i o n 5 . 2 . L e s e n t r é e s 5 . 3 . C o n s t r u c t i o n d t u n e p a r t i t i o n 5 . 4 . L e c r i t è r e 5 . 5 . L a f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t i o n 5 . 6 . L e s s o r t i e s à c h a q u e i t é r a t i o n 5 . 7 . L e s s o r t i e s à l a c o n v e r g e n c e

5

-6 . L r i n t e r p r é t a È i o n d e s r é s u l t a t s

6 . l . L e choix de 1a ureilleure analyse après plusieurs tirages 6 . 2 , L a v a l i d a t i o n d e l a p a r t i t i o n d e c o n v e r g e n c e

6 . 3 . U n e p r o c é d u r e conversationnelle p o u r la recherche du compromis "Di s criminat i on-Modé 1i sa t i on"

6 . 4 . L a r è g l e d e d é c i s i o n 6 . 5 . L e r e n f o r c e m e n t d e l a r e p r é s e n t a t i o n 7 . A p p l i c a t i o n s 7 . 1 , U n e x e m p l e 7 . 2 . A p p l i c a t i o n à l a r e c o n n a i s s a n c e d e s l o i s d t e f f o r t d e c o u p e 8 . C o n c l u s i o n

CONCLUSION GENEMLE ET PERSPECTIVES

A n n e x e I : Inert,ie dtun nuage de point.s

Annexe 2 : Inertie expllquée par un sous es.pace

A n n e x e 3 : I n e r t i e i n È r a c l a s s e e t i n t e r c l a s s e d ' u n e p a r t i E i o n

' A n n e x e 4 : Inertie intra classe et inter classe expliquée par un sous espace A n n e x e 5 : P r o p o s i t i o n

A n n e x e 6 : P r o p o s i t i o n

INTRODUCTI

ON

C e t r a v a i l _{s e s i t u e d a n s l e d o r n a i n e d e l t A n a l y s e d e s D o n n é e s , e t . p l u s} p r é c i s é m e n t d a n s l e c a d r e s u i v a n t : d é c r i r e , r é d u i r e , c l a s s e r des observations m u l E i d i m e n s i o n n e l l e s dans le but, de définir, p r é c i s e r , e x p l i q u e r o u reconnaître u n e s t r u c t u r e s u r u n e n s e m b l e d r o b j e t s . O n s e p l a c e s u c c e s s i v e m e n t d a n s l e c a d r e d e l a c i a s s i f i c a t i o n a u t c m a t i q u e ( c h a p i t r e r ) , d i s e r i m i n a t i o n ( c h a p i r r e r r ) , m o d é l i s a t i o n ( c h a p i t r e rrr) : L a c l a s s i f i c a t i o n _{a u t o m a Ë i q u e p e r m e t d e d é f i n i r u n e s t r u c t u r e ( p a r t i t i o n ,} h i é r a r c h i e , c l a s s e s e m p i é t a n t e s . . . ) s u r u n e p o p u l a t i o n s i o n d i s p o s e d f u n e d e s c r i p t i o n m u l t i d i m e n s i o n n e l l e d e s o b j e t s , e È s i o n a f a i t l e c h o i x d r u n e m e s u r e d e r e s s e m b l a n c e qui exprime la sinilitude e n Ë r e o b j e t s . D a n s l e c a s d e l a r e c h e r c h e d r u n e p a r t i t i o n , o n d é s i r e o p t i u r i s e r l a r e s s e m b l a n c e e n t r e o b j e t s d r u n e m ê m e c l a s s e , e t ( o u ) l - e s d i s Ë i n c t i o n s e n t r e o b j e t s d e c l a s s e s d i f f é r e n t e s _{t 8 l . O n d é f i n i t d a n s c e b u t u n c r i r è r e q u i e x p r i m e l ' h o n o g é n é i} -t é d e s c l a s s e s , e -t ( o u ) 1 r é c a r -t e n -t r e c l a s s e s . L e p r o b l è m e e s -t a i n s i p o s é e n t e r m e s d r o p t i m i s a t i o n d t u n c r i t è r e t g l . E n d i s c r i m i n a t i o n e t r e c o n n a i s s a n c e d e s f o r : n e s , la structure, u n e p a r t i -Ë i o n e n K f a m i l l e " r € , r . . . , € * , e s t a d m i s e a p r i o r i . 0 n é t u d i e u n e p o p u l a t i o n é c h a n t i l l o n p o u r l a q u e 1 1 e , o u t r e u n e d e s c r i p t i o n m u l t i d i m e n s i o n n e l l e , l e g r o u -p e d t a -p -p a r t e n a n c e d e s o b j e t s e s t c o n n u . O n d i s t i n g u e : - L r a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e à b u t d e s c r i p t i f . 1 1 s r a g i t d e d é c r i r e l e p o u v o i r s é p a r a t e u r d e s p a r a m è t r e s v i s à v i s d e s f a m i l - l e s d é f i n i e s a p r i o r i

7

-- 1'analyse discriminante à but décisionnel : il s'agit de dêfinir une r è g l e d e classement dans lrune des familles € O Cl < [ < K) de tout i n d i v i d u d o n t o n c o n n a i t l - a d e s c i i p t i o n . L a v a l i d i È é d e l a r è g l e d e d é c i s i o n d o i t e n s u i t e ê t r e é t u d i é e . S i o n d é f i n i t u n e v a r i a b l e q u a l i t a t i v e Y , e n a s s o c i a n t à c h a q u e f a m i l l e € U . r r r . m o d a l i t é Y , ( 9 " = 1 r . . . r K ) , l t a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e e s Ë 1 ' é t u d e d e 1 ' e x i s -Ë e n c e e t d e l a f o r m e d e l a d é p e n d a n c e e n t r e Y ( l a v a r i a b l e à e x p l i q u e r ) , e t l e s p a r a m è t r e s d e s c r i p t i f s d e s i n d i v i d u s ( 1 e s v a r i a b l e s e x p l i c a t i v e s ) . C e t t e a p -p r o c h e conduiË à considérer lranalyse discriminante l i n é a i r e c o n n n e u n c a s p a r -t i c u l i e r _{d e 1 ' a n a l y s e c a n o n i q u e ( C > I v a r i a b l e s à e x p l i q u e r ) t 4 l}

L a m o d é l i s a t i o n de la dépendance entre g, varTables de s'orties eE ql p a r a m è È r e s d f a c t i r : n s d t u n p r o c e s s u s s e d é c o m p o s e e n d e u r ê t a p e s :

- Choix d'une famille H de modèles

- Recherche du modèle h de H le.mieux adapté à 1a population échantil-l o n d o n È o n d i s p o s e , a u s e n s d r u n i n d i c e d ' h o m o g é n é i t é . S i l e p r o c e s s u s d é p e n d é g a l e m e n t d e p a r a m è t r e s d f e n t r é e X l r . . . r X P , o n d o i t r e s t r e i n d r e l a m o d é l i s a t i o n à u n n o m b r e é l e v é d e s o u s p o p u l a t i o n s ( s i on riéfinit t m o d a l i t é s p o u r c h a q u e v a r i a b l e X I , o n o b t i e n t È P c o n f i g u -r a t i o n s ) . L r A n a l y s e D i s c r i n i n a n È e T y p o l o g i q u e a ê t ê i n t r o d u i t e p a r E. DIDAY dans [10 ]. J t a i d é v e l o p p é 1 r é t u d e d e c e t t e m é t h o d e , qui est présentée au chapitre II. Jtai d r a u t r e p a r t p r o p o s é et. mis en oeuvre deux extensions de ltAnalyse discriminante t y p o l o g i q u e :

- La classification s u r s o u s e s p a c e a d a p t a t i f ( C h a p i t r e t)

- L'analyse discriminante typologique sous contrainÈe de modélisation l o c a l e ( C h a p i t r e I I I ) .

L a s t r u c t u r e à définir ( p r é c i s e r ou expliquer) est une partition d e l a p o p u l a t i o n é c h a n t i l l o n E . O n p r o c è d e p a r o p t i n i s a t i o n d t u n c r i È è r e T , I . A t o u t e p a r t i Ë i o n t - ( P l r . . . r P K ) d e E e s t a s s o c i é e u n e r e p r é s e n t a t i o n L ; L e s t u n i q u e p o u r l r e n s e m b l - e d e s c l a s s e s P r r . . . r P K . ( U n e a u t r e a p p r o c h e c o n s i s t e à d é f i n i r u n e r e p r é s e n t a t i o n s o u s l a f o r m e d r u n K - u p l e L r r . . . r L K _{; L . e s t} a s s o c i é e à l a c l a s s e P i ) I n v e r s e m e n t à toute représentalion L e s t a s s o c i é e u n e p a r t i t i o n P d e E . U n c r i t è r e I , I * m e s u r e Itadéquation entre une partition e t u n e r e p r é s e n t a t . i o n

(lJ* Sénéralise I,I) .

U n a l g o r i t h m e itératif c o n v e r g e e n u n nombre fini d t i t é r a t i o n s v e r s u n e p a r t i t i o n _{P * q u i r é a l i s e un optimum loca1 du critère I,{.}

L a r e p r é s e n t a t i o n _{L * a s s o c i é e à P * est une image de l-a strucËure} c o n s t r u i t e . ( O n o b t i e n t e n p a r t i c u l i e r l a v i s u a l i s a t i o n d e l a p a r t i t i o n P * s u r q u e l q u e s a x e s f a c t o r i e l s ) .

L e s t r o i s r n é t h o d e s diffêrent p a r l e type de représentation, 1 e m o d e d r i n i t i a l i s a t i o n d e 1 ' a l g o r i t h m e , e t l r i n t e r p r é t a t i o n d e s r é s u l t a t s q u i s o n t 1 i é s a u c o n t e x t e d r a p p l i c a È i o n .

A f i n d e p e r m e t t r e une lecture indépendante des trois parties, c h a q u e m é t h o d e est présentée intégralement dans un chapitre. Des ^définitions et p r o p r i é t é s c o n c e r n a n t ltinerËie d t u n n u a g e d e p o i n t s sont résumées en avant p r o p o s ( u n e p r é s e n t a t i o n d é t a i 1 l é e e t l e s d é m o n s t r a È i o n s d e s r é s u l t a t s s o n t d o n n é e s a u x a n n e x e s l , 2 1 3 , e Ë 4 ) . L e c h a p i t r e I e s t i n t i t u l é

C l a s s i f j c a t i o n s u r s o u s e s p a c e

a d a p t a t i f

0 n s a i È q u e q u e l q u e s a x e s f a c t o r i e l s s u f f i s e n t à e x p l i q u e r u n e t r è s l a r g e p a r t _{d e f i n e r t i e d ' u n n u a g e d e p o i n t s [ 4 , 1 6 ] . l , a d i s t i n c t i o n e n t r e} " v a r i a b l e s c l a s s i f i a n t e s " e t " v a r i a b l e s d e b r u i d ' , s u g g è r e l a r e c h e r c h e d i u n e P a r t i t i o n d o n t l e s c l a s s e s s o i e n t s é p a r é e s e n p r o j e c t i o n s u r u n s o u s e s p a c e

9 d e 1 ' e s p a c e d e s i n d i v i d u s . C e t t e a p p r o c h e e s t d i f f é r e n t e d e c e l l e d e l r a n a -l y s e f a c t o r i e -l -l e t y p o l o g i q u e | 2 2 I d o n t l e c r i t è r e à o p t i m i s e r e x p r i m e 1 a s o m e d e s i n e r t i e s d e s c l a s s e s e x p l i q u é e s p a r l e u r s o u s e s p a c e p r i n c i -p a l . I c i l e s o u s e s -p a c e e s t u n i q u e e t d é f i n i -p a r l t e n s e m b l e d e s c l a s s e s . A u c h a p i t r e I I e s t p r é s e n t é

L ' a n a l y s e

d i s c r i m i n a n t e

t y p o l o g i q u e

S i t u é e d a n s l e c o n t e x t e d e l a d i s c r i r n i n a Ë i o n , l t a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e t y p o l o g i q u e p e r m e t d e r e m é d i e r à u n e d é f i n i t i o n s u b j e c t i v e , a r b i t r a i r e o u i m p r é -c i s e d e s t y p e s a p r i o r i . L a p a r t i t i o n d é f i n i e a p r i o r i s u r l a p o p u l a t i o n é c h a n t i l l o n e s t r e m i s e e n c a u s e p a r o p t i m i s a t i o n d t u n c r i t è r e q u i n e r i e n t c o m p t e q u e d e l a p r o j e c t i o n d e s i n d i v i d u s s u r l e s p r e m i e r s a x e s d e 1 ' a n a -l y s e f a c t o r i e -l -l e d i s c r i m i n a n t e 1 2 5 , 2 9 1 . L e s c l a s s e s a p r i o r i s o n t a i n s i p r i v i l é g i é e s d a n s l a c l a s s i f i c a t i o n c e q u i a p p a r a î t s o u h a i t a b l e ; O r , e n g é n é r a l , l o r s q u e l a p a r t i t i o n a p r i o r i e s t c o n t e s t é e , o n e f f e c t u e u n e a n a l y s e i n d u c Ë i v e ( a n a l y s e e n c o m p o s a n t e s p r i n c i p a l e s [ 2 f , o u d e s c o r r e s -p o n d a n c e s I J ] , o u c l a s s i f i c a t i o n ) q u i t i e n t c o m p t e a u m ê m e ti t r e d e s p a r a m è t r e s d i s c r i m i n a n t s ( o u p a r t i e l l e m e n t d i s c r i m i n a n t s ) e t d e s v a r i a b l e s d e b r u i : . E n p a r t i c u l i e r , l t a p p r o c h e d e l t a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e t y p o l o g i q u e e s t d i f f é r e n t . e d e l a s u i v a n t e : C o n s t r u i r e u n e p a r t i t i o n , p u i s r é a l i s e r u n e a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e r e l a È i v e à c e l l e - c i L a n é t h o d e e s t n o n s e u l e m e n t d e s c r i p Ë i v e , m a i s a u s s i c o n s t r u c t i v e : E n g é n é r a l , 1 - a p a r t i t i o n i n d u i t e p a r 1 ' a n a l y s e d i s c r i m i n a n t e t y p o l o g i q u e f a i t a p p a r a î t r e des regroupements de classes a priori o u ( e t ) 1 ' é c l a t e m e n t de certaines e n g r o u P e s p l u s h o t o g è n e s , ou (et) la remise en cause de frontières q u i les

s é p a r e n t . 0 n e n d é d u i t l - a d é f i n i t i o n d e n o u v e l l e s f a m i l l e s i n t e r p r é t a b l e s p a r l e s p é c i a l i s È e , c o n s t i t u a n È u n e p a r t i t i o n d e l a p o p u l a t i o n , e t b i e n r e c o n n u e s p a r q u e L q u e s facteurs discriminants ( u n e règle de décision numérique complétée p a r u n e v i s u a l i s a t i o n e s t c o n s t r u i t e ) . L e s r e g r o u p e m e n È s é v e n t u e l s d e f a m i l l e s a p r i o r i p e u v e n t ê t r e a c c e p t a b l e s d u p o i n t d e v u e d u s p é c i a l i s t e ( c f . l e t r a i t e m e n t d ' u n e b a n q u e d e d o n n é e s i n d u s t r i e l l e s ) ; S i n o n o n r é a l i s e l o c a l e m e n t u n s e c o r r d n i v e a u d e d i s c r i m i n a -t i o n . L a r è g l e d e d é c i s i o n g l o b a l e s e p r é s e n -t e a l o r s s o u s l a f o r m e d ' r r n a r b r e .

e t ( o u ) l e u r regroupement, dans le but de rendre sinple et fiable leur reconnaissance.

Le traitement _{dfune banque de données industriell-es (contrôLe automatique de} production en fabrication _{mécanique) est présenté dans ce chapitre. cet exempLe} i l l u s t r e l e s a s p e c t s descriptif, i n d u e t i f , _{e t d é c i s i o n n e l de la méthode. Enfin le} chapitre III concerne

L ' a n a l Y s e

d i s c r i m i n a h t e typcilogiQriê

S c i u s

c o n t r a i n t e d e m o d é l i s a t i o n

l o c a l e

C e t t e m é t h o d e se situe dans le contexte dtune approche locale du pro-b 1 è n e d e l a r n o d é l i s a t i o n . De plus dans le cas drune grande dispersion, d e s d o n n é e s r e l a t i v e s à l a m o d é l i s a t i o n t l9 l, la recherche simultanée de f a c t e u r s discriminants _{d a n s u n ensemble de pararnètres explicatifs p e r m e t} d t a s s u r e r l a s i g n i f i c a t i o n _{p h y s i q u e d e l a s t r u c t u r e c o n s t r u i t e . ( D a n s , , S é l e c} -t i o n -typologique de paramè-tres" [ ]0 I il es-t -tenu compËe de variables ex-p l i c a t i v e s _{d e c h a q u e c l a s s e , e t n o n d e l a p a r t i t i o n ) .}

D e p l u s , s i l a m o d é l i -s a t i o n l o c a l e d o i t ê t r e -s u i v i e d ' u n e analy-se di-scriminante, i1 e-sË prêfê-r a b l e q u e l a p a prêfê-r t i t i o n _{s o i t c o n s t r u i t e p a r o p t i m i s a t i o n d r u n c r i t è r e q u i} t i e n n e c o m p t e simultanément de La modélisation eÈ de La discrimination.

O n é t u d i e p l u s p a r t i c u l i è r e m e n t _: - 1 e c a s d u m o d è l e l i n é a i r e : r e s q , v a r i a b l e s dractions ,rr....,"r.,, e t l e s g , v a r i â b l e s d e s o r t i e s z , 1 , . . . , z . _{s o n t 1 i é e s p a r u n e r e l a Ë i o n d u} r y p e 9 l * l ' ' 9 t + 9 2 " ^ ' -* o -* o l " l + . . . * o O " O = O ( g = q , + t r )

O n p r é s e n t e u n e a p p l i c a t i o n e n r n o d é l i s a t i o n des efforts de.coupe en u s in a g e .

- Le cas du urodèle de I'inertie _{I l O ] : o n d i s p o s e u n i q u e m e n t d e q v a} -r i a b l e s d e s o -r t i e " -r l , . . . , z q . L e m o d è 1 e _{e s t d e l a f o r m e i}

( z l = r l ; . . . ; z q = a q )

o ù a ' , . . . r a - s o n t q c o n s t a n t e s r é e l l e s . r \ l

t l

-I{OTATIONS

ET RAPPELS

D a n s c e t t e p a r t i e :

- On fixe cerÈaines notaËions (1es définiÈions précises sont rappelées aux a n n e x e s l , 2 , 3 e t 4 . ) .

- On résume quelques propriétés mathématiques de f inertie dtun nuage de p o i n Ë s , ( i n e r t i e , i n e r t i e e x p l i q u é e , i n e r t i e i n t r a o u i n t e r c l a s s e ) , q u i s o n t u t i l i s é e s a r u r c h a p i È r e s I , I I e t I I I . C e s p r o p r i é t é s s o n t d é m o n t r é e s a u x a n n e x e s l , 2 , 3 e t 4 r o u r p a r e x e m p l e , d a n s t 4 ] . - E n f i n , o n a n a l y s e u n p r o b l è m e d t o p t i m i s a t i o n q u i s e p r é s e n t e , s o u s d e s f o r m e s d i f f é r e n t e s , a u x c h a p i t r e s I , I I , I I I . O n p r o p o s e u n e s o l u t i o n p r é c i s e à c e p r o b l è m e . l ) L r e s p a c e v e c t o r i e l I R P ( A n n e x e l ) 1 1 e s t m u n i d u p r o d u i t s c a l a i r e d é f i n i _{p a r u n e m a t r i c e Q , s y m é t r i q u e e t} d é f i n i e p o s i t i v e , e t d e l a d i s t a n c e d a s s o c i é e . ( D a n s l a s u i t e , È o u È e i n e r t i e e s t d é f i n i e r e l a t i v e m e n t à c e t t e m é t r i q u e ) . O n n o t e 1 ' e n s e m b l e d e s s o u s e s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n r d e R P . l ' e n s e m b l e d e s f a m i l l e s U = ( u l , . . . r u r ) Q o r t h o n o r m é e s d e r v e c t e u r s d e R P t " t Q * " = l s = l r . . . r r t " t Q t t = 0 s = l r . . . r r t = l r . . . r r s # t 2 ) I n e r t i e a u p o i n t a d ' u n n u a g e d e p o i n t s ( A n n e x e l ) F r N V d

un nuage de points dans (RP l a r n a t r i c e d r i n e r t . i e d u n u a g e N un ooint. de IRP

On note :

I ( a r N ) f i n e r t i e a u p o i n t a d u n u a g e N .

L ' i n e r t i e _{r ( a r N ) e s t m i n i m a l e a u c e n t r e d e g r a v i t é g d u n u a g e N}

( T h é o r è m e de Huyghens) ; I (grN) est appelée plus simpleurenÈ ltinertie d u nuage N : O n I a note I (N)

O n a l a r e l a t i o n : I ( N ) = Tr (VQ)

3 ) Inertie e x p l i q u é e p a r un sous espace (Annexe 2) S o i t , d e p l u s , U u n s o u s espace vectoriel d e t R P . On note I ( a r N r U ) l r i n e r t . i e a u p o i n t _{a d u n u a g e N , e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e U .} P o u r t o u t s o u s e s p a c e U , l r i n e r t i e I ( a r N r U ) e s t m i n i r n a l e a u c e n t r e d e g r a v i t é g d u n u a g e N . I ( g ' N , U ) e s t a p p e l é e p l u s s i m p l e m e n t l r i n e r t i e d u n u a g e N , e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e U ; O n l a n o t e I ( N , U ) . P o u r t o u t p o i n t a , t o u t s o u s e s p a c e U d a n s F r , e E t o u t e d é c o m p o s i t i o n d e U e n s o f l r m e _{d i r e c t e d e d r o i t e s v e c t o r i e l l e s Q o r t h o g o n a l e s , D l r . . . , D , o n a :} r I ( â , N , U ) = I ( a , N , D r ) s = l E n p a r t i c u l i e r : ( 0 - l ) ( 0 - 2 ) r I ( N , U ) = I I ( N , D s ) s = l L t i n e r t i e d u n u a g e N , e x p l i q u é e p a r u n e d r o i t e v e c t o r i e l l e D e n g e n d r é e p a r l e v e c t e u r Q - n o r m é u , s ' é c r i t : I ( N , D ) = u r Q V Q u

( o - 3 )

a l , . . . , f u , K P o i n È s d e R P t = ( P t , . . . , P k ) d a n s P * . On note : I ( ( a l ' . . . ' 1 ) , P ) , l r i n e r t i e a u x p o i n È s " 1 , . . t , f o d e l a p a r t i t i o n p = ( P 1 , . . . , P k ) . ( P a r d é f i n i È i o n , I ( ( a t , . . . , a u ) , t , = U l , 1 ( a ! , , P [ ) ) . ' L r i n e r t i e 1 ( ( a t , . . . , a U ) , P ) e s t m i n i m a l e p o u r l a f a m i l l e ( g r , . . . , e U ) d e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s P l , . . . , P U d e l a p a r t i t i o n P ; I ( ( e r r . . . , g k ) , P ) e s t a p p e l é e l r i n e r t i e i n t r a c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P : O n l a r o t " I i r r t r . ( t ) 1 3 -4 ) I n e r t i e i n t r a c l a s s e e t i n t e r c l a s s e d r u n e p a r t i t i o n ( A n n e x e 3 ) On note : P k , I t e n s e m b l e d e s p a r t i È i o n s d u n u a g e N e n K c l a s s e s S o i t S o i t P u n e p a r t i t . i o n d u n u a g e l l B ( P ) l a m a t r i c e d r i n e r È i e i n t e r c l a s s e d e 1 a p a r t i t i o n P O n n o t e : I - - ( P ) , l r i n e r t i e i n t , e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P ] . n t e r O n a l e s r e l a t i o n s : t i r r . . , ( t ) = T r ( B ( P ) Q ) t i r r . . , ( t ) * r i r r . " , ( P ) = f ( N ) ( 0 - 4 )

(o-s)

( L r i n e r t i e d u n u a g e N s e d é c o m p o s e e n i n e r Ë i e s i n t r a c l a s s e e t i n t e r c l a s s e ) 5 ) I n e r t i e i n t r a c l a s s e e t i n t e r c l a s s e e x p l i q u é e p a r u n s o u s e s p a c e ( A n n e x e 4 ) P = ( P 1 , . . . r P u ) d a n s I P U a 1 , . . . , a , , k P o i n t s d e R ' P U u n s o u s e s p a c e v e c t o r i e l d e R P S o i t

t { ( a t , . . . , a ) , _{P , U ) , l f i n e r E i e a u r p o i n t s â l , . . . r f u d e l a p a r t i t i o n} P = ( P l ' . . . r P 1 ) , _{e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e U . ( o n a : I ( ( a l r . . . 1 1 ) , p , U ) =} k U I ( a n , P n , U ) ) . 9-=l )1' x' P o u r t o u t s o u s e s p a c e U , l r i n e r t i e _{1 ( ( a t , . . . , % ) , P , U ) e s t m i n i m a l e p o u r 1 a} f a m i l l e ( 9 , ' . . . ' % ) d e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s P r r . . . , p k d e l a p a r t i t i o n p ; I ( ( g l ' . . . , % ) , P , U ) e s t a p p e l é e l t i n e r t i e _{i n t r a c l a s s e d e l a p a r t i t i o n p e x p l i q u é e} p a r l e s o u s e s p a c e U : o n l a r o t " I i r r t r a ( p r u ) O n n o t e d f a u t , r e p a r t : t i r r r " , ' ( P ' U ) l r i n e r t i e _{i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r . U .} O n a l a r e l a t i o n : I i r r a r " ( P ' U ) * I i r r a " , ( P , U ; = 1 ( N , U )

( o - 6 )

( 1 , ' i n e r t i e d u n u a g e N , e x p l i q u é e p a r U , s e d é c o r u p o s e e n i n e r t i e s i n t r a c l a s s e e t i n t e r c l a s s e , e x p l i q u é e s p a r U ) . 6 ) E x p r e F s i o n s m a t h é m a t i q u e s d e l r i n e r t i e i n t e r c l a s s e e t d e l r i n e r t i e a u x p o i n t s a r ' . . . r \ , , _{d r u n e P a r t i t i o n , e x p l i q u é e s p a r u n s o u s e s p a c e} t 5 S o i t P = ( P 1 , . . . , P n ) u n e p a r t i t i o n d u n u a g e N B l r . . . , B U l e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s P l , . . . , P k p l , . . . r p k , l e s p o i d s d e s c l a s s e s l t r . . . r P k d é f i n i s p a 1 : N o m b r e dtéléments de pU P o = _- 9 ' = l r . . . r K N o m b r e d f é l é m e n t s de N

1 5

-L a m a t , r i c e d r i n e r t i e i n È e r c l a s s e d e l a p a r Ë i t i o n p , B ( p ) , e s t p a r

d é f i n i t i o n , ( A 3 . 3 . 2 ) , l a _{m a r r i c e d r i n e r t i e d u n u a g e G = [ ( g r , . . . , % ) , ( p 1 , . . . , p 1 ) J}

d e s c e n t r e s d e g r a v i t é s d e s c l a s s e s m u n i s d e s p o i d s p l r . . . r p k . o n m o n t r e ( A 3 . 1 ) q u e les nuages N et G sont le nôme centre de gravité Bo. Ainsi :

k

B ( P ) =

_{( e u - eo) (eu - so)'}

)a= I P r o p o s i t i o n I P o u r t o u t U d a n s F r r e t t o u È e b a s e Q orthonormé" I = (rr, ..,.r) de U lrinertie i n t e r c l a s s e l a p a r t i t i o n _{P , e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e u , s t é c r i t : ,} r r i r r . . , ( P , u ) = r . r " ' _{Q B ( P ) Q r "} ( o - 7 ) s = l Démonsttation O n u t i l i s e 3

- La décomposition de f inert,ie du nuage G expliquée par U en inerties d u n u a g e G e x p l i q u é e s p a r l e s d r o i t e s v e c t o r i e l l e s e n g e n d r é e s p a r u l , . . . , u r ( c f . 0 ' 2 ) . - P u i s , p o u r s = - 1 , . . . , r , l a r e l a t i o n ( 0 - 3 ) a p p l i q u é e a u n u a g e G ( d e m a t r i c e d r i n e r t i e B ( P ) ) Définition i S o i t U u n s o u s e s p a c e v e c t o r i e l d e n P . P o u r t o u t c o u p l e ( x , y ) d e p o i n t s d e R P , o n n o t e x u e t y , , l e s p r o j e c t i o n s Q o r t h o g o n a l e s d e x e t y s u r U . O n p o s e

d u ( x r v ) = d ( x r r r } , r )

=

m

d . - - e s t u n é c a r t s u r R P , c t e s t - à - d i r e_u

" l : d u ( x r y ) = d , , ( y r x ) Pour tout couple (xry) dans R.P x RP ^Z , d,, (x,x) = O pour tout x dans tRP

" 3 t d , , ( x , z ) r R P x R P x b - d , . , ( x r y ) < d Rp , , ( x r y ) + d , , ( v r z ) p o u r t o u È t r i p l e t ( x , y , z ) d a n s ( I n é g a l i t é t r i a n g u l a i r e )

( = ) . )-y est Q orthogonal au sous espace U.

= 0 Démonstration d e s t u n e d i s t a n c e . O n e n d é d u i t : = d . ( y , r r x , r ) = d , , ( y r x ) ^ l , d , , ( x , Y ) = d ( x , r r y r r ) " 2 t d , , ( x r x ) = d (x,rrx,r) = Q t 3 t d., (xrz) = d (x,r,z.r) < d (x.r,y.r) + d (y.r,zrr) d ( x , Y ) = Q u P r o p o s i t i o n _ _ 3 P o u r E o u t e b a s e Q orEhonormée , - D p o ] - n E s o e K - , o n a : d (x,r 'Y.r) = o *r, = y,, (=) (*-y) ,, = 0 d b : d , , ( x ' z ) < d . , ( x r y ) = Q , , ( x ' Y ) ( = ) ( = ) + d * , ( y , z ) U = ( u l , . . . , . r ) d e U , e t E o u t c o u p l e ( x r y ) d e " ' )

, ("i,

d 2 U u u S ( x ' y ) = ( x - y ) ' _{Q ( x - y )} ( 0 - 8 )

1 7 -Démonstration C o m n e U e s t u n e b a s e d e U , e t q u e r l r . . . r u r s o n t Q n o r m é s , o n a : r x = t ( x ' Q u ) u u - s - s s = l r Y . , = ( Y ' Q t") t" s = l O n e n d é d u i t : C o s m e l e s v e c t e u r s u l r . . . r u r _{s o n t Q o r t h o g o n a u x , o n a :} ) r

d f r ( x , v ) =

l . ( ( x - y ) ' Q . s ) r " ' Q ( ( x - y ) ' Q u " ) u "

s = l ( * - y ) ' Q u " e s t u n s c a l a i r e é g a l à t " ' Q ( x - y ) . 0 n e n d é d u i r : 7 t

d f r ( x , v ) =

_{I . ( ( x - y ) l Q}

" " )

u " ' Q u , ( r " ' Q ( x - y ) )

s - l P o u r s = l r . . . e r e o n a u s t Q r " = I O n e n d é d u i t : . ) r d ; ( x , y ) = I . ( x - y ) ' Q u s r " ' Q ( x - y ) s = l

ui <*,r, =[

"!,

((x-y1,

_{Q us) ""]}

'

o [

"i,

((x-y),

_{Q ,") ",]}

a ) P o u r t o u t e f a m i l l e ( a 1 , . . . , " k ) d e p o i n t s d e t R . P ' e t p o u r t o u t U d a n s F l t i n e r t i e a u x p o i n t s r l , . . . , a k d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e s ' é c r i t : orthonormée k I I l = l x e P U s o u s e s P a c e

afr

tx,au)

U ( d é f i n i t i o n l ) r t U

r ( ( a t , . . . , L ) ,

P , U ) =

o ù d U e s t 1 t é c a r t s u r R P a s s o c i é

f

n b ) S o i t i ( x ) f i n d i c e d e l a c l a s s e d e l a p a r t ï t i o n P q u i c o n t i e n t x . O n n o È e â x , l e p o i n t d e l a f a m i l l e ( a l , . . . , " k ) d r i n d i c e i ( x ) . O n a : c ) On I ( ( a r , . . . , â , ) , I K P o u r _{È o u t e b a s e Q} a i 1 ( ( a t , . . . , a n ) , ( x r a * ) U , . 9 = ( u l , . . . , t r ) I ( x - a n ) ' a ( ; *tP.Q, ' s= I

d'zu

I x e E d e

P , u ) = *

, k

p , u ) = * r

" l , = I u " u r t ) Q

( 0 - e )

( x - a U ) ( 0 - I 0 ) Dëmonstration O n d é d u i t O n d é d u i t O n d é d u i t A u p a r a g r a p h e q u i sera posé aux

7 o n a n a l y s e c h a p i t r e s I , I I a ) b ) c ) d e s d é f i n i t i o n s d e f i n e r t i e I ( ( a l , . . . , a k , P , U ) e t d e 1 ' é c a r t d U d e a ) p a r t r a n s f o r m a t i o n d e 1 a s o n r n a t i o n . d e a ) e t d e l a p r o p o s i t i o n 3 . e t o n d o n n e ^ l a s o l u t i o n d t u n p r o b l è m e d ' o p t i m i s a t i o n E t I . I I .

t 9 -7 . l . L e p r o b l è n e S o i t N u n n u a g e d e p o i n t s d e R P , K e t r d e u x e n t i e r s ( r s K - l ) . I 1 s ' a g i t d e d é f i n i r u n e f o n c t i o n g q u i a s s o c i e à t o u t e p a r t i t i o n P = ( P I , . . . , P n ) d u n u a g e N , - K p o i n t " " l r . . . r a k d e R P - u n e f a m i l l e Q o r t h o n o r m é e d e r v e c t e u r s d e R P , ( r l , . . . r u r ) t e l s q u e 1 r . . . , L . " t l e s o u s e s p a c e v e c t o r i e l U e n g e n d r ê p a r u l r . . . r u r , v é r i f i e n t : 7 . 2 . C a s p a r t i c u l i e r 0 n s e p l a c e d a n s 1 ' h y p o t h è s e o ù l a m a t r i c e Q e s t é g a l e à f i n v e r " . V - l d e l a m a t r i c e d e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e e m p i r i q u e V ( c f . c h a p i t r e s I I e t I I I ) . P o u r t o u t e d r o i t e v e c t o r i e l l e D , f i n e r t i e d u n u a g e N e x p l i q u é e p a r D e s t é g a 1 e à l . E n e f f e t , s o i t u u n v e c t e u r d i r e c t e u r V I , t o t * é d e D , o n a ' ( 0 - 3 ) : I ( N , D ) = . r ' V - l V V - l u = u ' V I u = l O n e n d é d u i t , ( O - 2 ) , e u ê f i n e r t i e e x p l i q u é e p a r u n s o u s e s p a c e v e c t o r i e l F d e R P , e s E é g a l e à s a d i m e n s i o n . D a n s l e p r o b l è m e d t o p t i m i s a t i o n é n o n c é c i - d e s s u s , p o u r t o u È F d a n s F r , l - t i n e r t i e I ( N r F ) e s t c o n s t a n t e , é g a l e à r , e t , l e s p o i n t s ^ 1 , . . . ' a k e t l e s o u s e s p a c e U e n g e n d r é p a r u l r . . . r u r , v é r i f i e n t s i m u l t a n é m e n t : r ( N , u ) - r ( ( a r , . . . , r k ) , P , u ) = M e x [ r , * , r , - , _{( ( b r , . . . , b k ) P , F ) ]} ( b 1 , . . . , 0 k ) e R P x . . . x f R P F e F

r ( N , u ) - r ( ( a ' , . . . , . k ) , P , u ) = M a x

[ t C * , r l

- ,

( ( b r , . . . , b k ) , r , r ) - l

_I

( b t , . . . , b k ) e R P x . . . x t R P F e F t

r - r ( ( a r , . . . , r k ) , P , U ) =

M a x

[ :

- t ( ( b r , . . . , b k ) , , , r r ]

( b , , . . . , b k ) < I R P t . . . ' G ' P F e F

1 ( ( 8 1 , . . . , s k ) , p , F ) =

M i n

[ t l , o l , . . . , b u ) ,

P , F ) - l

( b t , . . . , b k ) e l R P x . . . * , n n ^ J t ( g t , . . . , 4 , P r F ) e s t l r i n e r t i e i n t r a c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P , e x p l i q u é e p a r F O n e n d é d u i t , d r u n e p a r t

( a 1 , . . . , f u ) = ( 8 1 , . . . , % )

e t d r a u Ë r e p a r t , f

r r

M a x

_{l r}

( N , F ) - r ( ( b r , . . . , b r ) , t , t ) - J = M a x

[ r c l l , r l

- r ( ( g r ' . . . , c k ) , P , F ) ]

L ^ ( b 1 , . . . , 0 u ) ' e t R P , . . . t R ' P F e F F e F r e t

r ( ( a l , : . . , a u ) , P , u ) =

M i n

[ t

( ( b t , . . . , b k ) , r , r ) 1

( b t , . . . , b t ) e R ' P " " R ' P F e t , 7 . 3 , A n a l y s e d u p r o b l è n e U n e p a r t i t i o n P = ( P l r . . . , P k ) d u n u a g e N e s t d o n n é e S o i t n ( P ) l a m a t r i c e d r i n e r È i e i n t e r c l a s s e d e P . P o u r t o u t s o u s e s p a c e F d e R p , l f i n e r t i e a r : x p o i n t s b r , . . . , b k d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r F e s t m i n i m a l e p o u r l a f a r o i l l . ( B t , . . . , f u ) d e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s P , , . . . , P k d e P .

= M a x [ t t t * , F ) - r r r , . r r ( r , r ) ) ]

F e F r

E n f i n , d r a p r è s ( 0 - 6 ) 2 t -1 ( b t , . . . , b r ) . . " t R P Max ( b t i . F e F

[ r c * , r >

-. , b t ) e t R P r -.

Ittr,."r

{r 'rl]

, ' r t ) ] Max F e F r ( 0 - l l ) L t i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n p , e x p l i q u é e l t i n e r t i e d u n u a g e G d e s c e n È r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s L a m a t r i c e d t i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P , d r i n e r t i e d u n u a g e G .

On est donc ramené à la recherche du maximum pour F d u n u a g e G , expliquée par F. L ' a n a l y s e d e c e p r o b l è m e e s t p r é s e n t é e e n a n n e x e 4 . Q o r t h o n o r m é e d e r v e c t e u r s d e R P , u . l r . . . r u r , E e l l e q u e : l e s o u s e s p a c e U e n g e n d r ê p a r u l , . . . , u , v é r i f i e t i r r a " r ( P ' u ) = Max r i n a " t ( P 'F ) F é F r r l , . . . , u r s o n t v e c t e u r s p r o p r e s , a s s o c i é s d e l a m a t r i c e B ( P ) Q . L a d é f i n i t i o n p r é c i s e d e s v e c t e u r s r l , . . . p a r l e s o u s e s p a c e F e s t P l , . . . , P u d e P . B ( P ) , e s t l a m a t r i c e d a n s F r , d e I ' i n e r t i e O n e n d é d u i t u n e f a m i l l e a u x r p l u s g r a n d e s v a l e u r s p r o p r e s , u r e s t d o n n é e a u p a r a g r a p h e s u i v a n t . k c l a s s e s 7 . 4 . L - a s o l u t i o n d u p r o b l è m e : l a f o n c t i o n g S o i c P = ( P I , . . . , P k ) u n e p a r t i t i o n d e N e n O n d é f i n i t _{e ( P ) p a r :} g ( P ) = ( g l , . . . , % . , r t , . . . , r r ) où B l ' . . . ' g É s o n t l e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s u I . . . , u r s o n t d é f i n i s d e m a n i è r e p r é c i s e c l a s s e s à l a f i n ' P k i p a r a g r a p h e P l " " d e c e

L a v a l e u r d e c e m a x i m u m e s t é g a l à l r i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e U : I ( N , U ) - I ( ( S , , . . . , % ) , P , U ) = I i r r . " . ( p , U ) ( 0 - l 2 ) L f i n e r t i e l i r r a " , ( P , U ) s e d é c o r u p o s e e n i n e r t i e s i n t e r c l a s s e e x p l i q u é e s p a r l e s d r o i t e s v e c t o r i e l l e s e n g e n d r é e s p a r u l r . . . r u r . C e s i n e r t i e s s o n t r e s p e c t i v e m e n t é g a l e s a u x r p l u s g r a n d e s v a l e u r s p r o p r e s , À l > . . . > À > 0 d e l a m a t r i c e B ( P ) Q . ( B ( P ) e s t l a m a t r i c e d ' i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P ) . A i n s i : t I ( N , U ) - I ( ( e , , . . . , 8 p ) , P , U ) = X . À " ( 0 - 1 3 ) s = l

Définition W,éeise des ueetews u1r...,tt'

S o i t n ( P ) l a m a t r i c e d r i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P S o i t À t - \ 2 r . . . = À , > 0 l e s r p l u s g r a n d e s v a l e u r s p r o p r e s d e l a m a t r i c e B ( P ) Q . U n e v a l e u r p r o p r e m u l t i p l e À d e m u l t i p l i c i t é m > I a p p a r a i t ' c o l T n n e À " = L " * l = . . . = À j , j = M i n ( s + u r l , r ) . . S i À _ e s t v a l e u r p r o p r e s i r n p l e u _ e s t d é f i n i p a r s B ( P ) O u _{' s s s} = } ' u u t o u = l s ' s u t Q e . > 0 s - l S o ù e - , d é s i g n e l e i è m e v e c t e u r d e l a b a s e c a n o n i q u e d e R P e t o ù i - e s t l e p l u s p e t i t 1 " ' s i n d i c e i t e 1 q u e e . n e s o i t p a s Q o r t h o g o n a l a u s o u s e s p a c e p r o p r e E , a s s o c i é à À s .

r ( N , u ) - r ( ( e r , . . . , 8 1 ) , p , u ) = M a x

[ t , r , F )

- r ( ( b 1 , . . . , b n ) , r , t ) ]

( b r , r " , b k ) e R ' P t " ' * R P F e F r

2 3

-. S i À e s t v a l e u r p r o p r e m u l t , i p l e , d e m u l t i p l i c i t é m > I ,

^ - À s È . . . = À , o ù j = M i n ( s + n r l , r ) , u s r . . . , u j s o n t d é f i n i s p a r : + S o i t i " l e p l u s p e t i t i n d i c e i tel que e. ne soit pas Q orthogonal a u s o u s e s p a c e p r o p r e E , a s s o c i é à À .

s o i t v ^ l a p r o j e c t i o n Q orthogonale de e- sur le sous espace 8"._s . - - - - o - - - - 1 A s u e s t d é f i n i p a r : s ^ u = s

_-

tF67

s ' s + P o u r t = s + l , . . . , i S o i t M a l e s o u s e s p a c e v e c t o r i ' e l e n g e n d r é p a r u s r . . . r u t S o i t n ^ O Ma le supplémenraire Q orthogonal de Ma dans E^

S o i t i a l e p l u s p e t i t i n d i c e i t e 1 q u e e . n e s o i È p a s Q orthogonal à E À o M _ . S o i t v a l a p r o j e c t i o n Q o r t h o g o n a l e d e e . s u r l e s o u s e s p a c e E. O M-t M-t ' ^ M-t u r e s È d é f i n i p a r : u =

c wIÏ-Ç

C a s p a r t i c u l i e r D a n s l e c a s o ù Q e s r c l r o i s i e 6 g a l e à V l r 8 1 r . . . , B k e t l e s o u s e s p a c e v e c t o -r i e l U e n g e n d -r é p a -r u I , . . . , u . , v é r i f i e n t é g a l e m e n t : 1 ( ( 8 1 , . . . , % ) , P , U ) = M i n I ( ( b 1 , . . . , b k ) , p , F ) ( O - 1 4 ) ( b t , . . . , b t ) e R P * . . . x R P ' F . F ,

1 ( ( 8 t , . . . , g k ) ' P , U ) = I i r r . r , ( P 'U ) D e s é g a 1 i t é s s u i v a n t e s r i r r . r , ( P , u ) * r i r r . " , ( P , u ) = f ( N , u ) I ( N , U ) = r I . ( P , U ) = X À r n t e r s = I s O n d é d u i t 1 a r e l a È i o n r 1 ( ( 8 1 , . . . , C k ) , P , U ) = r - I À , ( 0 - 1 6 ) s = l s

( 0 - I s )

2 5

-C H A P I T R E

I

C L A S S I F I C A T I O N

S U R

S O U S

E S P A C E

A D A P T A T I F

1 - INTRODUCTION

1 . 1 - L a m é t h o d e

I l s t a g i t d r u n e m é t h o d e d e c l a s s i f i c a t i o n n o n h i é r a r c h i q u e q u i f o u r n i t u n e p a r ç i t i o n e n K c l a s s e s d t u n e p o p u i l a t i o n f i n i e d t o b j e t s e t u n s o u s e s p a c e v e c t o r i e l d e l r e s p a c e d e s d e s c r i p t i o n s d e s o b j e t s . E l l e p r o c è d e p a r o p t i m i s a Ë i o n d r u n c r i t è r e q u i e x p r i m e l r i n e r t i e i n t e r c l a s s e e x p l i q u é e p a r l e s o u s e s p a c e . L e s p a r a m è t r e s d e s c r i p t i f s _{d e s o b j e t s s o n È p o n d é r é s d a n s 1 ' a n a l y s e p a r 1 - e} c h o i x d r u n e m é t r i q u e e t d r u n s o u s e s p a c e d e c l a s s i f i c a t i o n . L a m é t r i q u e e s È f i x é e ; p a r c o n t r e l e s o u s q s p a c e e s t a d a p t a t i f . 0 n d é f i n i t l a n o t i o n d e r e p r é s r r n t a t i o n a s s o c i é e à u n e p a r t i t i o n . O n p r o p o s e u n a l g o r i t h m e i t é r a t i f d u t y p e " n u é e s d y n a m i q u e s " , [ 8 ] , e t o n m o n t É e q u ' i l f a i t d é c r o i t ç e l e c r i t è r e e t c o n v e r g e e n u n n o m b r e f i n i d r i t é r a t i o n s v e r s u n e p a r t i t i o n r é a l i s a n l u n o p t i m u m l o c a l d e c e c r i t è r e .

L . 2 - L e s d o n n é e s

O n d i s p o s e d ' u n e p o p u l a t i o n f i n i e E d e n i n d i v i d u s o u o b j e t s , * 1 r . . . , X n , d é c r i t s p a r p p a r a m è t r e s q u a n t i t a t i f s * 1 , . . . , X P . L e s i n d i v i d u s s o n t m u n i s d e p o i d s é e a u x . o . = . - L _{f r r} I 1 = l e . . . l f l .

L e s d o n n é e s p e u v e n t être rangées dans une matrice Xr comportant n lignes e t p colonnes :

- _{. è m e " .}

L a i - " ' - l i g n e c o n t i e n t les valeurs prises par les p paramètres sur f individu x . .

1

! \

L " j " * t _{c o l o n p e c o n t i e n t Les valeurs prises par le 3êt" p"rr*èÈre sur les} n individus.

On note v l

i

x; ---I I I I 'l x'j ---1 I I t 'l n P

"i\

-i)

i/

x n I

ï r

t ; l + I x n

"l 1 ' la valeur prise par

x i , a u v e c t e u r On note :

le paramètre xJ s u r I ' i n d i v i d u x *

d e IRP des valeurs prises par les 0 n i d e n t i f i e u n i n d i v i d u

v a r i a b l e s s u r c e t i n d i v i d u .

l p

x l = ( x i , . . . , * i )

p .

On suppose donnée une matrice L r e s p a c e d e s i n d i v i d u s , t R P , e s t Q , s y m é t r i q u e , d é f i n i e p o s i t i v e , d e d i m e n s i o n m u n i d u p r o d u i t s c a l a i r e d é f i n i p a r : ( x , y ) * * t Q y A c e p r o d u i t s c a l a i r e e s t a s s o c i é u n e d i s t a n c e s u r R p , n o È é e d , d é f i n i e p a r : d 2 ( * , y ) = ( x - y ) ' Q ( x - y 1 L e p r o b l è m e d u c h o i x d e c e t t e m é t r i q u e O n s u p p o s e d e n n é s d e u x e n t i e r s , K e t r ' - K est le nombre maximum de - r est la dimension du sotrs

1 . 3 - N o t a t i o n s

e s Ë a b o r d é e n t 4 l ( r < K - l ) c l a s s e s d e l a ' p a r t i t i o n r e c h e r c h é e e s p a c e d e c l a s s i f i c a t i o n . O n n o t e :

2 7

-F K , 1 ' e n s e m b l e d e s p a r t i t i o n s d e E e n K c l a s s e s ( d i s j o i n t e s ) .

U n e p a r t i t i o n _{P d e t P * e s t n o t é e é g a l e m e n t ( p l r . . . , p t r )}

E = P l u . , . , P K

P . n P . = 0 _{1 J} i = l r . . . r K ; j = l , . . . r K ; i + J

F r , l t e n s e m b l e des sous espaces vectoriels d e IRP de dimension r.

u r , ltensemble des farnilles Q orthonormées de r vecteurs deRP. U n é l é m e n t d e U , e s t n o t é U = ( u l r . . . , u r ) .

L e s conditions dforthogonal-ité et de normal-isation stécrivent :

u t _{Q r " = I} s = l r . . . r r u ] _{Q u - = O} s = l ; ; i . r _{; t =} l r . . . r _{; s t t} s t o n q a i t [ 3 ] q u e : T o u Ë e f a m i l l e U = ( u l r . . . r u r ) d e U , e n g e n d r e u n s o u s e s p a c e v e c t o r i e l U d e R P d e d i m e n s i o n r .

A i n s i à tout élément U de U, on peut associer, de rnanière unique, un élément U d e F

r

R é c i p r o q u e m e n t à t o u t é l é m e n t U d e F , o n p e u t a s s o c i e r , d e m a n i è r e n o n u n i q u e , u n é l é m e n t U d a n s U , t 3 l .

R e n a r q u e : Dans la suite de ce travail c e r Ë a i n e s q u a n t i t é s n u m é r i q u e s ( i n e r t i e s , c r i t è r e s . . . ) d o n t l r e x p r e s s i o n r n a t h é u a t i q u e f a i t a p p a r a Î t r e u n é l é m e n t U d e U , n e d é p e n d e n t q u e d u s o u s e s p a c e U e n g e n d r é p a r U .

2 . 1 - D ê f i n i t i o n

S o i t P u n e p a r t i t i o n d e E .

P o u r t o u t s o u s e s p a c e U d e R p , o n n o t e l i r r a " , ( P , U ) l r i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r U .

On définit un critère tr{ sur lrensemble des partitions de E par :

ll(P) = Max Itrrrr., (P, U)] U e F

r

I'I(P) mesure 1'écartement moyen entre les classes de La partition P, en projection sur un sous espace de dimension r.

\

2 . 2 - L ' o p t i m i s a t i o n

d u c r i t è r e

O n r e c h e r c h e u n e p a r t i t i o n d e E e n K c l a s s e t - *PK qui réalise le maximum d u c r i t è r s l I p o u r P d a n s I P * . w(P:) = Max I^I(P) P€IPK S e r n a r q u e : L a r e c h e r c h e d u m a x i m u m d u c r i t è r e d a n s l r e n s e m b l e F d e s p a r t i t i o n s d e E , c o n d u i t à l a p a r t i t i o n t r i v i a l e P o c o n s t i t u é d e n c l a s s e s r é d u i t e s à u n i n d i v i d u . W ( P - ) = M a x I { ( P ) I'r PeF D e p l u s , c e m a x i m u m e s t l t i n e r t i e d , r r , , u g " d e s o b j e t s E , e x p l i q u é e p a r s o n s o u s e s p a c e p r i n c i p a l d e d i m e n s i o n r . (Analyse en composanËes principales [2])

2 9 -E n e f f e t , p o u r t o u t s o u s e s p a c e U , e t t o u t e p a r t i t i o n P , o n a ( 0 - 6 ) : I i r r a " , ( P ' U ) * I i r r a . " ( P ' U ) = I ( E , U ) D t a u t r e p a r t p o u r Ë o u t s o u s e s p a c e U , o n a : r i r r a r r ( P E ' u) = o O n e n d é d u i t : I i r r a " , ( P E ' U ) = I ( E , U ) d r o ù I I I ( P ' ' ) = M a x I ( E ' U ) U e F , 0 n e s t r a m e n é à u n p r o b l è m e d t a n a l y s e e n c o m p o s a n t e s p r i n c i p a l e s ( p o u r la m ê t r i q u e Q) du nuage des objets E.

2 . 3 - E x p r e s s i o n

m a t h é m a t i q u e

d u c r i t è r e

P o u r È o u t e p a r t i t i o n P d e E , d e m a t r i c e d f i n e r Ë i e i n t e r c l a s s e B ( P ) , p o u r t o u t U d a n s F r r e È t o u t e b a s e Q o r t h o n o r m é e U = ( u l r . . . , t r ) d u s o u s e s p a c e U , f i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r È i t i o n P e x p l i q u é e p a r U s ' é c r i t , ( O - 7 ) : I , - - ^ - ( P , u ) = ; _{l n E e f} u l Q B ( P ) Q u , S = l u u l Q B ( P ) Q u _ e s t l r i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r s ' s l a d r o i t e v e c t o r i e l l e e n g e n d r é e p a r l e v e c t e u r u . . Q B ( Q o

I

P ) a "rl

r t h o n o r m é e q u e l c o n q u e d e U . 0n en déduit :

r r

I I I ( P ) = M a x _I t u ' U e F L s = l r o ù ( u , , . . . , u r ) e s t u n e b a s e

3 . L A R E P R E S E N T A T I O N

D a n s c e p a r a g r a p h e on donne la définition d ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p u i s d ' u n c r i t è r e l { * , g u i e s t u n e g é n é r a l i s a t i o n d u c r i t è r e t r l néces'saire au déroulement d e l r a l g o r i t h m e .

3 . 1 - D é f i n i t i o n

O n a p p e l l e r e p r é s e n t a t i o n t o u t e n s e m b l e L c o n s t i t u é d e K p o i n t s ( o u c e n t r e s ) d e f R P , " l r . . . r â K , e Ë d r u n e f a m i l l e ( u l , . . . r r r ) d a n s U r . t = ( a l , . . . r 1 < , r l , . . . , r r ) u t Q u " = I s = l r . . . r r u t Q u a = O s = l r . . . r r _; t = l r . . . r r _; s # t 0 n n o L e : A = ( a 1 r . . . r a ç ) U = ( u l r . . . r r r ) U _{1 e s o u s e s p a c e d e R P e n g e n d r é p a r ( u r , . . . r r r )} L = ( A r U ) L ' e n s e m b l e d e s r e p r ê s e n t a t i o n s d é f i n i e s c i - d e s s u s e s t n o t é O * , r .

. 3 . 2 - L e c r i t è r e W O

3 . 2 . I - D é f i n i t i o n

O n d é f i n i t u n c r i t è r e I ^ i * s u r I ' e n s e m b l e p r o d u i t r P * s u i v a n t e : x ;L,, . de 1a manière K r f

J l -S o i t : t = ( P l , . . . , P K ) d a n s F * t = ( a l , . . . , " x , r l , . . . , r r ) = ( 4 , ! . ) d a n s q r , U _{I e s o u s e s p a c e e n g e n d r é p a r l e s v e c t e u r s u 1 r . . . r u ,} I ( E , U ) , l r i n e r t i e d u n u a g e E e x p L i q u é e p a r U I ( A , P , U ) , l t i n e r t i e a u x p o i n t s ê 1 r . . . , k d e I a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r U . O n p o s e : I ^ I R ( P , t ) = I ^ I * ( P , ( 4 , g ) ) = I ( E , U ) - I ( A , P , U ) R e m a r q u e : L e c r i t è r e t r I * ( P , L ) e t L r i n e r t i e I ( A , P , U ) d é p e n d e n t d e l a p a r t i t i o n P , d e l a f a m i l l e d e p o i n t s A = ( a 1 , . . . , k ) , e t d u s o u s e s p a c e U . ( I l s n e d é p e n d e n t pas de La base Q orthonormée U de U)

L ' i n e r t i e I ( E , U ) n e d é p e n d q u e d u s o u s e s p a c e U .

3 . 2 . 2

- 9e:-Pcr!isg1!sr

S o i t G = ( B l r . . . , B g ) l a f a u r i l l e d e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s P l , . . . , P K . L r i n e r t i e I ( G , P , U ) e s t f i n e r t i e i n È r a c l - a s s e d e l - a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r le sous espace U :

r ( c , P , u ) = tir,rra (P, u)

D r a u t r e p a r t , d t a p r è s l a r e l a t i o n ( 0 - 6 ) , o n a :

r ( E , u ) - r i r r a r " ( P , u ) = r i r r t " , ( P , u )

0n en déduit : S i L = ( 9 , q ) , w R ( P , L ) = I i r r a " , ( P , U )

( 3 - t I

(3-21

3.2.3

- ?repe:ilien

P o u r t o u t e p a r t i t i o n P d a n s l P * Max Wo (P, L) = I.I(P)

Lrh<.,,

Démonstv,ation D ' a p r è s l a r e l a t i o n O - l l ) l e p r o b l è n e d f o p t i m i s a t i o n p o s é s e r a m è n e à L a r e c h e r c h e d u r n a x i m u m p o u r U dans F, de lrinertie l i r , a " r ( P , U ) . O r p a r d é f i n i t i o n , ( 2 . 1 ) , I ù ( P ) e s t l a v a l e u r d e c e m a x i m u m .

4 . L ' A L G O R I T H M E

4 . 1 - I n t r o d u c t i o n

O n r e c h e r c h e u n e p a r t i t i o n f i a e E e n K c l a s s e s q u i r é a l i s e l e m a x i m u m p o u r P dans IP* du critère I^l :

w(P:) = Max I^l(P) r\ P.FK S o i t , d r a p r è s l a p r o p o s i t i o n 3 . 2 . 3 : I ^ I ( P ; ) = M a x ( Max I ^ l e ( P , L ) ) t \ P e F * t . o * , , ^ F a u t e d e p o u v o i r e x h i b e r u n e p a r t i t i o n e f , r é a l i s a n t c e t o p È i m u m g l o b a l , o n p r o p o s e u n a l g o r i t h m e c o n v e r g e n t v e r s u n m a x i m u m lo c a l d u c r i t è r è W , [ 8]. 1 1 u t i l i s e a l t e r n a t i v e m e n t d e u x f o n c t i o n s , d é f i n i e s e n ( 4 . 2 ) e t ( 4 . 3 ) : - B , a p p e l é e f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t i o n , a s s o c i e à È o u t e p a r t i t i o n P d e l P * , u n e r e p r é s e n t a t i o n g ( P ) d a n s E * , , a " t t e q u e :

r,trR(P,

_{s(P)) =}

,H;,,

wn(P,

r-)

( 4 - l )

3 3

-- f , appelée foncËion draffectation, a s s o c i e à t o u t e r e p r é s e n t a t i o n t U " n " , r , u n e p a r t i t i o n f ( L ) d a n s l P * telle que :

I ^ l R ( f ( L ) , L ) = M a x w R ( P , L ) ( 4 - 5 ) PelP*

0 n m o n t r e , ( 4 . 4 ) , q u e p o u r t o u t e p a r t i È i o n P d a n s F *

1 , 1 ( f o g ( P ) ) > ! l ( P ) ( 4 - 8 )

L ' a l g o r i t h m e e s Ë i n i t i a l i s é p a r une partition P O d a n s 1P,,. Pour tout n à O

t(

o n d é f i n i t :

p n + l = f o g ( p n )

D r a p r è s ( 4 - 8 ) , l a s u i t e d e t e r m e g é n é r a l I , ù ( P n ) e s t c r o i s s a n t e . O n m o n È r e , ( 4 . 6 ) r g u ' e l l e e s t c o n s t a n t e à p a r t i r d r u n c e r t a i n r a n g , e t q u e l - a s u i t e d e p a r t i t i o n s ( p n ) est alors également constanÈe. La partition P * a i n s i o b t e n u e , c o m m e l i r n i t e d e l a s u i È e ( P n ) , r é a l i s e u n m a x i m u m lo c a l d u c r i t è r e t r { .

4 . 2 - L a f o n c t i o n d e r e p r é s e n t a t i o n

I 1 s r a g i t d e d é f i n i r u n e f o n c t i o n g q u i a s s o c i e à t o u t e p a r t i t i o n P ( 4 - l ) d a n s l P * u n e r e p r é s e n t a t i o n r . = g ( P ) U " r " n * r r , t e l - l e q u e :

I , { R ( P ,

_{s ( P ) ) =}

# ; ; , ,

t { R ( P , L )

S o i t : P = ( P 1 r . . . , P * ) d a n s f P * L = ( b ' , . . . , b K , r l r . . . r v r ) = ( B r ' ù ) d . r " k , , F l e s o u s e s p a c e v e c t o r i e l e n g e n d r é p a r l e s v e c È e u r s v l ,. . . rvr g ( P ) = ( a l , . . . , a K , _{t l r . . . r u r ) = ( A , g )} U l e s o u s e s p a c e v e c t o r i e l e n g e n d r é p a r l e s v e c t e u r s u 1 r . . . r u l

O n a , ( 3 - t 1 : I , T R ( P , L ) = I ( T , F ) - I ( B , P , F ) h I R ( P , g ( P ) ) = I ( E , U ) - I ( A , P , U ) O n e s t r a m e n é a u p r o b l è m e d ' o p t i m i s a t i o n é t u d i é a u p a r a g r a p h e 7 d e i ' a v a n t p r o p o s : D é f i n i r u n e f o n c t i o n g q u i a s s o c i e à t o u t e p a r t i t i o n P = ( P l , . . . , t * ) d e E , - K p o i n t s , â l , . . . , a * d e R P - U n e f a m i l l e Q orthonormée de r vecteurs de RP, 9 = (tl, ..,tr) t e l s q u e . 1 , . . . , a K e t l e s o u s e s p a c e v e c t o r i e l U e n g e n d r é p a r t l r . . . , u r , v é r i f i e n t : I ( E , U ) - f ( ( a t , . . . , a * ) , P , U ) = M a x [ r ( E , F ) - r ( ( b t , . . . , b t < ) , P , F ) ] ( b ' , . . . , b r < ) e R P x . . . x R P F e F r O n s a i È , ( $ 7 . 4 d e l t a v a n t p r o p o s ) , g u e l a f o n c Ë i o n B , d é f i n i e c i - d ê s s o u s , convient : g ( P ) = ( g l , . . . , B K , r l , . . . , u r ) o ù - g i , . . . r g K s o n t l e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s c l a s s e s P l r . . . r P * d e l a p a r t i t i o n P . - t l r . . . r u r s o n t l e s v e c t e u r s p r o P r e s Q n o r m é s , a s s o c i é s a u x r p 1 - u s g r a n d e s v a l e u r s p r o p r e s t r , m a È r i c e d ' i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P ) . L a d é f i n i t i o n p r é c i s e d e r l r . . . , u r e s t d o n n é e a u p a r a g r a p h e 7 . 4 d e l r a v a n t p r o p o s .

3 5 -P a r d é f i n i t i o n d e L a f o n c t i o n g , e t d r a p r è s ( 3 . 2 . 3 ) o n a : I ^ I R ( P , _{e ( r ; 1 = t { ( P )} (4-2) D r a p r è s l a r e l a t i o n ( 3 - 2 ) , I ^ I R ( P , g ( P ) ) e s t é g a l à l r i n e r t i e i n t e r c l a s s e d e l a p a r t i t i o n P e x p l i q u é e p a r U , I i r r r " r ( P , U ) . O n e n d ê d u i t d r a p r è s ( 4 - 2 ) , la relarion : w ( P ) = I i n r e r ( P , U ) ( 4 - 3 ) D ' a p r è s l a r e l - a t i o n ( 0 - 1 3 ) , w R ( P , g ( P ) ) e s t é g a l à l - a s o m n e d e s r p l u s g r a n d e s valeurs propres À, r I ^ I R ( P , g ( P ) ) = À " s = l O n e n d é d u i t d r a p r è s ( 4 - 2 ) , l-a relation : r W ( P ) = X À " s = l 4 . 3 - L a f o n c t i o n d ' a f f e c t a t i o n ( 4 - 4 )

(4-s)

4 . 3 . 1 - D é f i n i t i o n

1 1 s ' a g i t d e d é f i n i r u n e f o n c Ë i o n f q u i a s s o c i e à t o u t e r e p r é s e n t a t i o n L d a n s L K , r , u n e p a r t i t i o n P = f ( L ) d a n s [P*, telle q u e : w D ( f ( L ) , L ) = M a x I , I o ( P , L ) peP* r\ S o i t : t = ( a l , . . . , t K , _{r l r . . . r u r ) = ( A r g ) d " r *} k , . U l e s o u s e s p a c e v e c t o r i e l e n g e n d r é p a r l e s v e c t e u r s u 1 r . . . r u , t = ( P l , . . . , P * ) d a n s l P *