HAL Id: tel-01019658
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Submitted on 7 Jul 2014
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Renaud Ruamps
To cite this version:
Renaud Ruamps. Traitement théorique de l’anisotropie magnétique. Physique Quantique [quant-ph]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2013. Français. �tel-01019658�
THÈSE
THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE
TOULOUSE
Délivré par : l’Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)
Présentée et soutenue le 31/10/2013 par :
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Traitement théorique de l’anisotropie magnétique
JURY
Vincent Robert Professeur d’Université Rapporteurs
Nicolas Ferré Professeur d’Université Rapporteurs
Jean-Pascal Sutter Directeur de Recherche Examinateur
Nathalie Guihéry Professeur d’Université Directrice de thèse
École doctorale et spécialité :
Science de la Matière : Physicochimie théorique
Unité de Recherche :
Laboratoire de Chimie et de Physique Quantiques IRSAMC
Directrice de Thèse :
Pr. Nathalie Guihéry Université Toulouse 3 Paul Sabatier
Rapporteurs :
Pr. Vincent Robert Université de Strasbourg
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◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞é✈❡❧♦♣♣❡r ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ ❞é❝r✐r❡ ❧❡s ét❛ts ❞✬✉♥❡ ♠♦❧é❝✉❧❡ ❞❛♥s ✉♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ~B ❡♥ s♣é❝✐✜❛♥t ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❡st r❡q✉✐s ❬✶✺✕✶✼❪✳ ▲❡s ❞✐✛ér❡♥ts t❡r♠❡s ✈♦♥t êtr❡ ✐♥tr♦❞✉✐ts ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❧❡✉r ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❡♥ ❝❤❛♠♣ ❡t ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ s♣✐♥✳ ❈❡ ❞❡r♥✐❡r s❡r❛ ✐♥tr♦❞✉✐t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♣❤é♥♦♠é♥♦❧♦❣✐q✉❡ ♣♦✉r r❡♣r♦❞✉✐r❡✱ ❛✉ ♠✐❡✉①✱ ❧❡ tr❛✐t❡♠❡♥t ❡✛❡❝t✉é ❞❛♥s ❧❡s ❞✐✛ér❡♥ts ♣r♦❣r❛♠♠❡s ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ❝❤✐♠✐❡ q✉❛♥✲ t✐q✉❡ q✉✐ s❡r♦♥t ❛❜♦r❞és ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✶✳✷✳ ❉❡ ♠ê♠❡ ❧❡s ❝♦rr❡❝t✐♦♥s r❡❧❛t✐✈✐st❡s s❝❛❧❛✐r❡s ♥❡ s❡r♦♥t ♣rés❡♥tés q✉❡ ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ ✶✳✷✳✹✳✸ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❡♠♣❧♦②é✳ ✶✳✶✳✶✳✶ ❖r✐❣✐♥❡ ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts t❡r♠❡s ❞❡ ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ▲❡s ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦♠❡♥ts ✐♠♣❧✐q✉és ❞❛♥s ❧❡s ♣r♦♣r✐étés ♠❛❣♥ét✐q✉❡s ❞✬✉♥❡ ♠♦❧é❝✉❧❡ s♦♥t ❧❡s s✉✐✈❛♥ts ✿ ✕ ❧❡ ♠♦♠❡♥t ❛♥❣✉❧❛✐r❡ é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡ ♦r❜✐t❛❧ ~L = Pi~lGi = Pi(~ri − ~G) × ~pi ❛✈❡❝ ✉♥ ♠♦♠❡♥t ♦r❜✐t❛❧ ~lGi ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ é❧❡❝tr♦♥✱ ✉♥❡ ♦r✐❣✐♥❡ ❞❡ ❥❛✉❣❡ ~G✱ ✉♥❡ q✉❛♥t✐té ❞❡ ♠♦✉✈❡♠❡♥t ~pi ❡t ❧❡s ♥♦♠❜r❡s q✉❛♥t✐q✉❡s ♦r❜✐t❛✉① L✱ ML✳ P♦✉r s✐♠♣❧✐✜❡r ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s✱ ❧❛ ❥❛✉❣❡ ♥❡ s❡r❛ ♣❛s ✐♥❞✐q✉é❡ ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡✳ ✕ ❧❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ♠♦❧é❝✉❧❡ ~µe ❞û ❛✉ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❞❡ s♣✐♥ ❞❡s é❧❡❝tr♦♥s✳ ✶✶✕ ❧❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ♣❡r♠❛♥❡♥t ❞✉ ♥♦②❛✉ ~µN ❞û ❛✉ s♣✐♥ ♥✉❝❧é❛✐r❡ ♥é❣❧✐❣é ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡✳ ❉❛♥s ❧✬❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦ù ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❞é♣❡♥❞ s❡✉❧❡♠❡♥t ❞✉ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ~B ❡t ❞❡ ~µe ✱ ❧❡ ❞é✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥t ❞❡ ❚❛②❧♦r ❞✉ ♣r❡♠✐❡r ♦r❞r❡ ❛✉t♦✉r ❞✬✉♥ ❝❤❛♠♣ ❡t ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ♥✉❧ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦♥❞❡ Ψ ❞♦♥♥❡ ✿ Ψ( ~B, ~µe) = Ψ0+ ~Ψ(1,0). ~B + ~Ψ(0,1).~µe ✭✶✳✶✮ ❧✬♦r❞r❡ ❞❡ ❞ér✐✈❛t✐♦♥ ♣❛r r❛♣♣♦rt✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✱ ❛✉ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡t ❛✉ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡st ✐♥❞✐q✉é ❡♥ ❡①♣♦s❛♥t✱ ❡♥tr❡ ♣❛r❡♥t❤ès❡s✳ ❆✉ s❡❝♦♥❞ ♦r❞r❡✱ ❧❡ ❞é✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥t ❞❡ ❚❛②❧♦r ♣♦✉r ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❡st ✿ ˆ H( ~B, ~µe) = H(0,0)+ ~H(1,0). ~B + 1 2B.H~ (2,0) . ~B + ~H(0,1).~µe+ ~µe.H (1,1) . ~B +1 2~µe.H (0,2) .~µe ✭✶✳✷✮ ❊①♣❧✐❝✐t♦♥s ❧❡s t❡r♠❡s ♠✐s ❡♥ ❥❡✉ ✿ ✕ H(0,0) ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♥♦♥✲r❡❧❛t✐✈✐st❡ ❞❡ ❧❛ ♠♦❧é❝✉❧❡ ❡♥ ❧✬❛❜s❡♥❝❡ ❞❡ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ✕ ~H(1,0). ~B t❡r♠❡ ❩❡❡♠❛♥✲♦r❜✐t❛❧ ✕ 1 2B.H~ (2,0) . ~B t❡r♠❡ ❞❡ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té ❞✐❛♠❛❣♥ét✐q✉❡ ✕ ~H(0,1).~µ e t❡r♠❡ ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ ✕ ~µe.H (1,1) . ~B t❡r♠❡ ❩❡❡♠❛♥ ❞❡ s♣✐♥ ✕ 1 2~µe.H (0,2) .~µe t❡r♠❡ ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲s♣✐♥ ✭✐❧ ♥❡ s❡r❛ ♣❛s ❡①♣❧✐❝✐té ❞❛♥s ❝❡tt❡ ♣❛rt✐❡ ❝❛r ✐❧ r❡q✉✐❡rt ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❉✐r❛❝✮ ❉❡ ♠ê♠❡✱ ❧✬é♥❡r❣✐❡ ♣❡✉t êtr❡ ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐✈❡ ❡♥ ~B ❡t ~µe ❛✉ s❡❝♦♥❞ ♦r❞r❡ E( ~B, ~µe) = D Ψ( ~B, ~µe) ˆH( ~B, ~µe) Ψ( ~B, ~µe) E ✭✶✳✸✮ ≈ hΨ0| ˆH( ~B, ~µe) Ψ( ~B, ~µe) E à ❝❡ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ ❞é✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥t ❞✬♦ù ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✭✶✳✶✮ ❡t ✭✶✳✷✮✱ ♦♥ ♣❡✉t sé♣❛r❡r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s é♥❡r❣ét✐q✉❡s ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❧❡✉r ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❡♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡t ❡♥ ♠♦♠❡♥t ❞❡ s♣✐♥✱ ✐♥❞✐q✉é ❡♥ ✐♥❞✐❝❡ ✿ E( ~B, ~µe) = E0+ E10+ E20+ E01+ E11+ E02 ✭✶✳✹✮ = hΨ0| H(0,0)+ ~H(1,0). ~B +1 2B.H~ (2,0) . ~B + ~H(0,1).~µe+ ~µe.H (1,1) . ~B + 1 2~µe.H (0,2) .~µe Ψ0+ ~Ψ(1,0). ~B + ~Ψ(0,1).~µe E ❚❡♥t♦♥s ❞✬✐❞❡♥t✐✜❡r ❝❡s ❞✐✛ér❡♥ts é❧é♠❡♥ts✳ ✶✷
✶✳✶✳✶✳✷ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♥♦♥✲r❡❧❛t✐✈✐st❡ s❛♥s s♣✐♥ ▲✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♥♦♥✲r❡❧❛t✐✈✐st❡ ❞❡ ❧❛ ♠♦❧é❝✉❧❡ ♦✉ ❞❡ ❧✬✐♦♥ s❛♥s s♣✐♥ ✭❝♦♠♣♦rt❛♥t N ♥♦②❛✉① ❡t n é❧❡❝tr♦♥s✮ ♣rés❡♥t❡ ✉♥ t❡r♠❡ ❝✐♥ét✐q✉❡ ˆT ❡t ✉♥ t❡r♠❡ ❞✬é♥❡r❣✐❡ ♣♦t❡♥t✐❡❧❧❡ ˆV s❡❧♦♥ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ˆ H = ˆT + ˆV = N +nX α (~πα)2 2mα + N +nX α ˆ Vα+ N +nX α<β ˆ Vαβ ✭✶✳✺✮ ❛✈❡❝ ❧✬✐♠♣✉❧s✐♦♥ ~πα = ~pα− qαA~α✱ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ ♠♦✉✈❡♠❡♥t ~pα = −i~~∇α✱ ❧❛ ❝♦♥st❛♥t ❞❡ P❧❛♥❝❦ ré❞✉✐t❡ ~✱ ❧❛ ❝❤❛r❣❡ qα✱ ❧❛ ♠❛ss❡ mα✱ ❧❡s ♣♦t❡♥t✐❡❧s é❧❡❝tr♦♠❛❣♥ét✐q✉❡s ~Aα ❡t Φα ❞é✜♥✐ ♣❛r ˆVα = qαΦα ❡t ❧❡ ♣♦t❡♥t✐❡❧ ❞✬✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❡♥tr❡ ♣❛rt✐❝✉❧❡ ˆVαβ✳ ❈♦♠♠❡ ~p = −i~~∇✱ ❡♥ ✐♠♣♦s❛♥t ✉♥❡ ❥❛✉❣❡ ❞❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ~∇. ~A = 0✱ ❧✬✐♠♣✉❧s✐♦♥ ♣❡✉t êtr❡ réé❝r✐t❡✱ ❡♥ ❧✬❛♣♣❧✐q✉❛♥t à ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦♥❞❡ Ψ ✿ (~π)2Ψ = (~p − q ~A)2Ψ = ( ~p2− q~p ~A − q ~A~p + q2 A~2)Ψ = ~p2Ψ − q(~p ~A)Ψ − 2q ~A(~pΨ) + q2 A~2Ψ ✭✶✳✻✮ ▲❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠❡ ❞✐s♣❛r❛✐t à ❝❛✉s❡ ❞❡ ❧❛ ❥❛✉❣❡✱ ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ s✬❡①♣r✐♠❡ ❛❧♦rs ❝♦♠♠❡ ˆ H = N +nX α (~pα)2 2mα − qα mα ~ Aα.~pα+ q2 α 2mα ( ~Aα)2 + N +nX α qαΦα+ N +nX α<β qαqβ 4πǫ0rαβ ✭✶✳✼✮ ♦ù ǫ0 ❡st ❧❛ ♣❡r♠✐tt✐✈✐té ❞✉ ✈✐❞❡ ❡t rαβ ❡st ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❡♥tr❡ ❧❡s ♣❛rt✐❝✉❧❡s α ❡t β✳ ❊♥ ❝❤❛♠♣ ♥✉❧✱ ♦♥ ❛ ~πα = ~pα✱ ~Aα = ~0 ❡t Vα = 0 ❞♦♥❝ ✿ H(0,0) = N +nX α (~pα)2 2mα + N +nX α<β qαqβ 4πǫ0rαβ ✭✶✳✽✮ ❊♥ s♣é❝✐✜❛♥t ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s r❡❧❛t✐❢s ❛✉① é❧❡❝tr♦♥s✱ ♥♦tés ❛✈❡❝ ❧✬✐♥❞✐❝❡ e ✿ ❧❛ ❝❤❛r❣❡ qe = −e✱ ❧❛ ♠❛ss❡ me✱ ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ é❧❡❝tr♦♥✲é❧❡❝tr♦♥ rij ❞✬✉♥❡ ♣❛rt✱ ❡t ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s r❡❧❛t✐❢s ❛✉① ♥♦②❛✉① ❞❡ ♥✉♠ér♦ ❛t♦♠✐q✉❡ ZA ✿ ❧❛ ❝❤❛r❣❡ q = ZAe✱ ❧❛ ♠❛ss❡ MA✱ ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ ♥♦②❛✉✲ é❧❡❝tr♦♥ rAi✱ ❞❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♥♦②❛✉✲♥♦②❛✉ rAB✱ ❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿ H(0,0) = TˆN + ˆTe+ ˆVN N + ˆVN e+ ˆVee ✭✶✳✾✮ = − N X A (~~∇A)2 2MA − n X i (~~∇i)2 2me + N X A<B ZAZBe2 4πǫ0rAB − N X A n X i ZAe2 4πǫ0rAi + n X i<j e2 4πǫ0rij ❖♥ ❛ ❛✐♥s✐ ❞é✜♥✐ ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❞❡ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❡♥ ❝❤❛♠♣ ♥✉❧✱ s❛♥s s♣✐♥✱ ❛❜♦r❞♦♥s ❞és♦r♠❛✐s ❧❡s ❡✛❡ts ♠❛❣♥ét✐q✉❡s ❞✬✉♥ ❝♦✉♣❧❛❣❡ ❡♥tr❡ ✉♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡t ❧❡ ♠♦♠❡♥t ♦r❜✐t❛❧✳ ✶✸
✶✳✶✳✶✳✸ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❩❡❡♠❛♥✲♦r❜✐t❛❧ ❡t ❞✐❛♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❘❡♣r❡♥♦♥s ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✼✮✳ ▲✬✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡st ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ~B = ~∇ × ~A✱ ♣♦✉r ✉♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❤♦♠♦❣è♥❡ q✉✐ ♣❡✉t êtr❡ réé❝r✐t ✿ ~A(~r) = 1 2B × ~r~ i✳ ✭~ri ❡st ❧❛ ♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦♥ ♣♦✉r ✉♥❡ ❥❛✉❣❡ ❞♦♥♥é❡✮✳ ❉♦♥❝✱ ♣♦✉r ✉♥❡ ❣é♦♠étr✐❡ ❞♦♥♥é❡ ✭♥♦②❛✉① ✜①❡s✮ ❡t ✉♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ✉♥✐q✉❡♠❡♥t st❛t✐q✉❡ ✭Φα = 0✮ ✐❧ r❡st❡✱ ♣♦✉r ❧❡s é❧❡❝tr♦♥s ✭❛✈❡❝ q = −e✮ ✿ ˆ Hmag = H(0,0)+ e 2me n X i ~ B × ~ri .~pi + e2 8me n X i ~ B × ~ri 2 ✭✶✳✶✵✮ ▲❡ ♣r♦❞✉✐t ♠✐①t❡ s✬❡①♣r✐♠❡ ❛✉ss✐ ❝♦♠♠❡ B × ~r~ i.~pi = ~B. (~ri× ~pi) = ~B.~li ❡t ♣♦✉r ❧❡ ❞❡r♥✐❡r t❡r♠❡ B × ~r~ i2 =B~2(~ri)2−B.~r~ i 2 ❞✬♦ù ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❞❡✈✐❡♥t ˆ Hmag = H(0,0)+ e 2me n X i ~ B.~li+ e2 8me n X i ~ B2(~ri)2− ~ B.~ri 2 ✭✶✳✶✶✮ ❆ ♣❛rt✐r ❞✉ ♣r❡♠✐❡r t❡r♠❡✱ ❡♥ ✐♥tr♦❞✉✐s❛♥t ❧❡ ♠❛❣♥ét♦♥ ❞❡ ❇♦❤r µB = 2me~e✱ ♦♥ ♣❡✉t ❛❧♦rs ❞é✜♥✐r ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❩❡❡♠❛♥✲♦r❜✐t❛❧ ~ HL−B(1,0). ~B = µB ~ ~L. ~B ✭✶✳✶✷✮ ❖♥ ♥♦t❡ ❡♥s✉✐t❡ ❧❛ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té ❞✐❛♠❛❣♥ét✐q✉❡ ré❞✉✐t❡ ✭✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞❡ ❧❛ t❡♠♣ér❛t✉r❡✮ κdia ❝♦♠♠❡ κdiaab = ∂µa ∂Bb ~ B=~0 = − ∂ 2E( ~B) ∂Ba∂Bb ~ B=~0 ✭✶✳✶✸✮ = − ∂2DΨ 0| ˆHmag|Ψ0 E ∂Ba∂Bb ~ B=~0 = − e 2 8mehΨ0| n X i ∂2( ~B)2(~r i)2− ( ~B.~ri)2 ∂Ba∂Bb ~ B=~0 |Ψ0i = − e 2 4mehΨ0| n X i (~ri)2δab− (~ri)a(~ri)b|Ψ0i ✭✶✳✶✹✮ ❉✬♦ù✱ ❛✉ s❡❝♦♥❞ ♦r❞r❡✱ ♣♦✉r ❧❡ ❞❡r♥✐❡r t❡r♠❡ ❞❡ ✭✶✳✶✶✮✱ ♦♥ ❛ H(2,0)= κdia ❡t ❡♥ ❞é✜♥✐t✐✈❡ ✿ ˆ Hmag = H(0,0)+ µB ~ ~L. ~B + 1 2B.κ~ dia . ~B ✭✶✳✶✺✮ ■❧ r❡st❡ à ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ❧❡s t❡r♠❡s ❞❡ s♣✐♥ ♣♦✉r ❞é❝r✐r❡ ❧❡ ♠❛❣♥ét✐s♠❡ ❡t r❡tr♦✉✈❡r ❧✬❛✐♠❛♥t❛✲ t✐♦♥✳ ✶✹
✶✳✶✳✶✳✹ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❩❡❡♠❛♥ ❞❡ s♣✐♥ ▲❡ s♣✐♥ ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦♥ ~s = ~ 2~σ✭♦ù ~σ ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s ❞❡ s♣✐♥ ❞❡ P❛✉❧✐✮ ❡♥❣❡♥❞r❡ ✉♥ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ~µe = −2mgeee~s = −geµ2B~σ ❛✈❡❝ ge ❧❡ ❢❛❝t❡✉r ❞❡ ▲❛♥❞é ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦♥✳ ❊♥ ♣rés❡♥❝❡ ❞✬✉♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡✱ ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❡♥❣❡♥❞ré❡ ♣♦✉r ✉♥ s②stè♠❡ à n é❧❡❝tr♦♥s ❡st ✿ ˆ HS−B = −~µe. ~B = gee 2me n X i ~si. ~B ✭✶✳✶✻✮ ❞✬♦ù✱ ♦♥ ❞é❞✉✐t ❧❡ t❡r♠❡ ❩❡❡♠❛♥ ❞❡ s♣✐♥ ✭❛✈❡❝ ~S =Pn i ~si✮ ✿ ~µe. ˆH(1,1). ~B = geµB ~ S. ~~ B ✭✶✳✶✼✮ ✶✳✶✳✶✳✺ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ ❖♥ ♣❡✉t ❛❥♦✉t❡r ❞❛♥s ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❧❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡✳ ❈♦♠♠❡♥ç♦♥s ❞❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s ♣❛r ❝♦♥s✐❞ér❡r ✉♥ é❧❡❝tr♦♥ s❡ ❞é♣❧❛ç❛♥t à ✉♥❡ ✈✐t❡ss❡ ~ve❡♥ ♣ér✐♣❤é✲ r✐❡ ❞✬✉♥ ♥♦②❛✉ A✳ ■❧ r❡ss❡♥t ✉♥ ❝❤❛♠♣ é❧❡❝tr✐q✉❡ ~EA ❞û ❛✉ ♥♦②❛✉ é✈❡♥t✉❡❧❧❡♠❡♥t ❛✈❡❝ ✉♥ ❢❛❝t❡✉r ❞✬é❝r❛♥ ❞û à ❧❛ ♣rés❡♥❝❡ ❞❡s ❛✉tr❡s é❧❡❝tr♦♥s✳ ▲✬✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡♥❣❡♥❞ré❡ ♣❛r ❧✬é❧❡❝tr♦♥ ❡♥ ♠♦✉✈❡♠❡♥t ❛✉t♦✉r ❞✬✉♥ ♥♦②❛✉ ✜①❡ ❞♦♥♥❡ ✿ ~ BA= − 1 c2~ve× ~EA ✭✶✳✶✽✮ ❛✈❡❝ c✱ ❧❛ ✈✐t❡ss❡ ❞❡ ❧❛ ❧✉♠✐èr❡ ❞❛♥s ❧❡ ✈✐❞❡✳ ❙✐ ❧❡ ❝❤❛♠♣ é❧❡❝tr✐q✉❡ ❞ér✐✈❡ ❞✉ ♣♦t❡♥t✐❡❧ s❝❛❧❛✐r❡ ΦA(r)✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿ ~ EA= −−−→grad ΦA(r) = − ∂ΦA(r) ∂r ~r r ✭✶✳✶✾✮ ❡t ❧✬✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ s✬é❝r✐t ✿ ~ BA = − 1 c2r ∂ΦA(r) ∂r ~r × ~ve ✭✶✳✷✵✮ ❈❡ t❡r♠❡ ❡st ❛ss♦❝✐é à ❧❛ ✈✐t❡ss❡ ❛♥❣✉❧❛✐r❡ ❞❡ ▲❛r♠♦r ωL= eB/me❞é❝r✐✈❛♥t ❧❡ ♠♦✉✈❡♠❡♥t ❞❡ ♣ré❝❡ss✐♦♥ ❞✬✉♥ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ✭✐❝✐ ❞✬✉♥ é❧❡❝tr♦♥✮ ❞❛♥s ✉♥ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡✳ ■❧ ❞♦✐t ❝❡♣❡♥❞❛♥t êtr❡ ❝♦rr✐❣é ♣❛r ❧❡ t❡r♠❡ ❞❡ ♣ré❝❡ss✐♦♥ ❞❡ ❚❤♦♠❛s ωT ❧✐é ❛✉① tr❛♥s❢♦r♠❛✲ t✐♦♥s r❡❧❛t✐✈✐st❡s ♣♦✉r ✉♥❡ ♣❛rt✐❝✉❧❡ ❛❝❝é❧éré❡ ♣♦ssé❞❛♥t ✉♥ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡✳ P♦✉r ✉♥ é❧❡❝tr♦♥ ❞❡ ✈✐t❡ss❡ ~ve ❡t ❞✬❛❝❝é❧ér❛t✐♦♥ ~ae✱ ❝❡ t❡r♠❡ ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r ✿ ~ωT = ~ae× ~ve 2c2 ✭✶✳✷✶✮ ❈♦♠♠❡ me~ae= −e ~EA✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿ ~ωT = e 2c2m e ~ve× ~EA= − e 2me ~ BA = − 1 2~ωL ✭✶✳✷✷✮ ✶✺
❊♥ ♣r❡♥❛♥t ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧❡s ❞❡✉① t❡r♠❡s✱ ❧❛ ♣ré❝❡ss✐♦♥ ❞❡✈✐❡♥t ω = ωL + ωT = ωL/2✳ ▲✬é♥❡r❣✐❡ ❞✬✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞✉ s♣✐♥ ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦♥ ❡t ❞✉ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ✐♥t❡r♥❡ ♣r❡♥❞ ❛❧♦rs ✉♥ ❢❛❝t❡✉r 1/2 ❡t ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧✬♦♣ér❛t❡✉r ✿ ˆ HS−L(0,1).~µe = − ~µe. ~BA 2 = − −2mege e ~s 1 2 −c12r∂Φ∂rA(r)~r × ~ve = −4meg2e ec2r ∂ΦA(r) ∂r ~s. (~r × ~pe) = ζA(r) ~s.~l ~2 ✭✶✳✷✸✮ ♦ù ❧✬♦♥ ❛ ❢❛✐t ❛♣♣❛r❛✐tr❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ ♠♦✉✈❡♠❡♥t ♣✉✐s ❧❡ ♠♦♠❡♥t ❝✐♥ét✐q✉❡ ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦♥✳ ▲❛ ❝♦♥st❛♥t❡ ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ ζA ❡st ❛❧♦rs ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ✿ ζA(r) = − ege~2 4m2 ec2 1 r ∂ΦA(r) ∂r ✭✶✳✷✹✮ ➱✈❛❧✉♦♥s ❧❛ ❝♦♥st❛♥t❡ ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ♠ét❛✉① ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❞❡ t②♣❡ 3d✱ ❞❡ s♦rt❡ à ❛✈♦✐r ✉♥ ♦r❞r❡ ❞❡ ❣r❛♥❞❡✉r✳ P♦✉r ✉♥ ♣♦t❡♥t✐❡❧ ❝♦✉❧♦♠❜✐❡♥ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ✉♥ ♥♦②❛✉ ❞❡ ❝❤❛r❣❡ ZAe ✭é✈❡♥t✉❡❧❧❡♠❡♥t ré❞✉✐t❡ ♣❛r ✉♥ ❢❛❝t❡✉r ❞✬é❝r❛♥✮ ✿ ΦA(r) = ZAe 4πǫ0r ✭✶✳✷✺✮ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t✱ ❛✈❡❝ µ0ǫ0c2 = 1 ♦ù µ0 ❡st ❧❛ ♣❡r♠é❛❜✐❧✐té ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❞✉ ✈✐❞❡ ✿ ζA(r) = e2ge~2 16πǫ0m2ec2 ZA r3 = µ0 4πµ 2 Bge ZA r3 ✭✶✳✷✻✮ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ♣♦❧②✲é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡✱ ❧✬♦♣ér❛t❡✉r s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ s❡r❛ ❛♣♣r♦❝❤é ♣❛r ✿ ˆ HS−L(0,1).~µe = X A X i ζA(rAi) ~si.~li ~2 ✭✶✳✷✼✮ ♦ù rAi ❡st ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ é❧❡❝tr♦♥✲♥♦②❛✉✳ ❈✬❡st ❝❡ t②♣❡ ❞✬♦♣ér❛t❡✉r q✉✐ ❡st ✉t✐❧✐sé ❧♦rs ❞❡s ❝❛❧❝✉❧s ❛❜ ✐♥✐t✐♦✱ ❝❤❛q✉❡ t❡r♠❡ ❞é♣❡♥❞ ❞❡ ❧✬♦r❜✐t❛❧❡ é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡ ❝♦♥s✐❞éré❡ ❡t ❞♦♥♥❡ ❛❧♦rs ✉♥ rés✉❧t❛t ♣ré❝✐s ❞✉ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡✳ ❆✜♥ ❞✬é✈❛❧✉❡r ❧✬✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡✱ ♦♥ ✈❛ ❞é✜♥✐r ✉♥❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ζ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❡t ♦♥ ✉t✐✲ ❧✐s❡ ❧✬❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ♣♦✉r ❧❡ r❛②♦♥ ❞❡s é❧❡❝tr♦♥s ♣ér✐♣❤ér✐q✉❡s ❛ss♦❝✐é à ❧✬♦r❜✐t❛❧❡ ❞❡s ♥♦♠❜r❡s q✉❛♥t✐q✉❡s n ❡t l ✿ 1 r3 = 2 n3(l + 1)(2l + 1) Zef f a0 3 ✭✶✳✷✽✮ ♦ù ❧✬♦♥ ✐♥tr♦❞✉✐t ❧❛ ❝❤❛r❣❡ ❡✣❝❛❝❡ ✈✉ ♣❛r ❧✬é❧❡❝tr♦♥ Zef f ❛✉t♦✉r ❞✬✉♥ ✐♦♥ ♦✉ ❛t♦♠❡ ❡t ❧❡ r❛②♦♥ ❞❡ ❇♦❤r a0 t❡❧ q✉❡ ✿ a0 = ~2ǫ0 πmee2 ✭✶✳✷✾✮ ✶✻
❞✬♦ù ♣♦✉r ❧❡s ♠ét❛✉① ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❞❡ t②♣❡ 3d✱ ♣♦✉r ✉♥ é❧❡❝tr♦♥ ❞❡ t②♣❡ d ✭n = 3 ❡t l = 2✮✱ ♦♥ ❛ Za r3 = 2 405 Z4 ef f a3 0 ✭✶✳✸✵✮ ❉✬♦ù✱ ❛✈❡❝ ✭✶✳✷✻✮ ♦♥ ♣❡✉t ❞é❞✉✐r❡ ✉♥❡ ❝♦♥st❛♥t❡ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✿ hζef fi = µ0 4πµ 2 Bge 2 405 Z4 ef f a3 0 ✭✶✳✸✶✮ = 0.00289 Zef f4 (❡♥ ❝♠−1) ❊♥ ❝❛❧❝✉❧❛♥t ❧❛ ❝❤❛r❣❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❡t ❧❡ r❛②♦♥ ♠♦②❡♥ ❞❡s é❧❡❝tr♦♥s ❛♣♣❛rt❡♥❛♥t à ❝❤❛q✉❡ ❝♦✉❝❤❡✱ ✐❧ ❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✬❡st✐♠❡r ❧❛ ❝♦♥st❛♥t❡ ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ ❡✛❡❝t✐✈❡✳ ❯♥❡ é✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♣❧✉s ♣ré❝✐s❡ ❞❡ ❝❡tt❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ❡st ❞♦♥♥é❡ ❞❛♥s ❧❡ t❛❜❧❡❛✉ ✶✳✶ ♣♦✉r ❞✐✛ér❡♥ts ✐♦♥s ❞❡ ♠ét❛✉① ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✳ 3d1 3d2 3d3 3d4 3d5 3d6 3d7 3d8 3d9 ■♦♥s ✭■■■✮ ❚✐3+ ❱3+ ❈r3+ ▼♥3+ ζ ❝♠−1 ✶✺✹ ✷✵✾ ✷✼✻ ✸✻✵ ■♦♥s ✭■■✮ ❙❝2+ ❚✐2+ ❱2+ ❈r2+ ▼♥2+ ❋❡2+ ❈♦2+ ◆✐2+ ❈✉2+ ζ ❝♠−1 ✼✾ ✶✷✵ ✶✻✽ ✷✸✻ ✸✸✺ ✹✵✹ ✺✷✽ ✻✹✹ ✽✷✾ ❚❛❜❧❡ ✶✳✶ ✕ P❛r❛♠ètr❡ s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ ♣♦✉r q✉❡❧q✉❡ ✐♦♥s ❞❡ ♠ét❛✉① ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❬✶✽❪ ❉❛♥s ❧❡s ❧♦❣✐❝✐❡❧s ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ✉t✐❧✐sés✱ ✉♥❡ ❛✉tr❡ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞✉ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲ ♦r❜✐t❡ ❡t é✈❡♥t✉❡❧❧❡♠❡♥t s♣✐♥✲s♣✐♥ ❡st ✉t✐❧✐sé❡ ❡t s❡r❛ ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ ✶✳✷ ❞é❞✐é❡ ❛✉① ♠ét❤♦❞❡s✳ ✶✳✶✳✶✳✻ P❛r❛♠ètr❡s ♠❛❣♥ét✐q✉❡s é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡s ❘❡♣r❡♥♦♥s ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❛ss♦❝✐é❡ à ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❝♦♠♣r❡♥❛♥t ❧❡ s♣✐♥ ❞❡ ❧✬é❧❡❝✲ tr♦♥ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✹✮✳ ❙♦♥ ❞é✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥t ❞♦♥♥❡ ✿ E( ~B, ~µe) = E0− D ~γ. ~BE Ψ− 1 2B.κ. ~~ B Ψ +D~µe.∆g. ~B E Ψ− 1 2~µe.D.~µe Ψ ✭✶✳✸✷✮ ♦ù ❧❡ s②♠❜♦❧❡ h iΨ ✐♥❞✐q✉❡ ❧✬♦❜t❡♥t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é♥❡r❣✐❡ ♣❛r ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬♦♣ér❛t❡✉r s✉r ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦♥❞❡ ❞❡ ❧✬ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧✳ ▼♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ♣❡r♠❛♥❡♥t P❛r ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥✱ ♦♥ ❞é❞✉✐t E0 = hΨ0| H(0,0)|Ψ0i ❀ ❛✐♥s✐ q✉❡ ~γ✱ ❧❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ♣❡r♠❛♥❡♥t ❞✉ s②stè♠❡ t❡❧ q✉❡ ✿ E10+ E11′ = hΨ0| − ~γ. ~B |Ψ0i = hΨ0| ~HL−B(1,0). ~B + ~µe.H (1,1) S−B. ~B |Ψ0i = µB ~ hΨ0| ~L + geS |Ψ~ 0i . ~B ✭✶✳✸✸✮ ✶✼
♦ù ❧✬é♥❡r❣✐❡ E′ 11❞és✐❣♥❡ ❧✬✉♥❡ ❞❡s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ ❝❤❛♠♣ ❡t ❡♥ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❞❡ s♣✐♥✱ ❧✬❛✉tr❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ E′′ 11 t❡❧❧❡ q✉❡ E11= E11′ + E11′′ s❡r❛ ❛❜♦r❞é❡ ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t ❧❡ ❢❛❝t❡✉r γ ✿ ~γ = −µ~B ~L + geS~ ✭✶✳✸✹✮ ❙✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té ♠❛❣♥ét✐q✉❡ P♦✉r ❧❡ t❡♥s❡✉r ❞❡ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ré❞✉✐t❡ κ✱ ✐❧ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ✿ E20 = −12B.κ. ~~ B Ψ = hΨ0| ~B.H (2,0) . ~B |Ψ0i + hΨ0| ~H(1,0). ~B ~Ψ(1,0). ~BE ✭✶✳✸✺✮ = X a,b BaBb hΨ0| Hab(2,0)|Ψ0i + hΨ0| Ha(1,0) Ψ(1,0)b E ▲✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✬♦♥❞❡ Ψ(1,0) a ❡t Ψ(0,1)a s✉✐✈❛♥t ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞❡s ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✭s✉♠ ♦✈❡r st❛t❡s✮ ♣♦✉r ❧❛ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ s❡❧♦♥ a ❡st ❞♦♥♥é❡✱ à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ✭✶✳✶✷✮ ❡t ✭✶✳✷✼✮ ♣❛r ✿ Ψ(1,0)a Ba = − ∞ X K=1 hΨK| Ha(1,0)Ba|Ψ0i EK − E0 ΨK = −µ~b ∞ X K=1 hΨK|PiˆliaBa|Ψ0i EK− E0 ΨK ✭✶✳✸✻✮ Ψ(0,1)a Sa = − ∞ X K=1 hΨK| Ha(0,1)Sa|Ψ0i EK− E0 ΨK = −~12 ∞ X K=1 hΨK|Pi P AζA(rAi)ˆliasˆia|Ψ0i EK− E0 ΨK ✭✶✳✸✼✮ ♦ù ΨK ❡st ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦♥❞❡ ❞✉ Ki`eme ét❛t ❡①❝✐té ❞✬é♥❡r❣✐❡ EK✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs✱ ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡ rés✉❧t❛t ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✹✮ ✿ −12κab Ψ = − e 2 4me hΨ0| n X i (~ri)2δab− (~ri)a(~ri)b|Ψ0i −µ 2 b ~2 ∞ X K=1 hΨ0|Pilia|ΨKi hΨK|Pilib|Ψ0i EK− E0 ✭✶✳✸✽✮ ▲❡s ❞❡✉① t❡r♠❡s ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✸✽✮ r❡♣rés❡♥t❡♥t r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❧❡s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❞✐❛✲ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡t ♣❛r❛♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té✱ ❛✈❡❝ ✿ −12κparaab Ψ = −µ 2 b ~2 ∞ X K=1 hΨ0| La|ΨKi hΨK| Lb|Ψ0i EK− E0 ✭✶✳✸✾✮ ✶✽
▲❡ ♣❛r❛♠ètr❡ κ ❡st ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t r❡❧✐é à ❧❛ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té ♠♦❧❛✐r❡ χmol ✭❡♥ ✉♥✐té ❙■✮ ♣❛r ✿ χmol = NAµ0κ ✭✶✳✹✵✮ ❛✈❡❝ NA ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬❆✈♦❣❛❞r♦✳ ▲❛ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐té ♠❛❣♥ét✐q✉❡✱ ❞❡ ♠ê♠❡ q✉❡ ❧✬❛✐♠❛♥t❛t✐♦♥ s❡r❛ ♠❡s✉ré❡ ❡①♣ér✐♠❡♥t❛❧❡♠❡♥t ❡t ❝❛❧❝✉❧é❡ ♥✉♠ér✐q✉❡♠❡♥t ♣❛r ❞✐✛ér❡♥t✐❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛✐♠❛♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ❝❤❛♠♣ ❛♣♣❧✐q✉é s✉r ✉♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ré❡❧ ❛✉ ❝♦✉rs ❞❡ ❧❛ ♣❛rt✐❡ ✷✳✷✳ ❚❡♥s❡✉r ❣ ∆g ❡st ❧❡ t❡♥s❡✉r ❞✉ r❛♣♣♦rt ❣②r♦♠❛❣♥ét✐q✉❡ ✭♣❛r ❡✛❡t ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧ ❞✉ s♣✐♥ ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦♥✮✱ ❞é♥♦♠♠é ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡ t❡♥s❡✉r g✱ t❡❧ q✉❡ g = ge+ ∆g✳ ▲❡ t❡r♠❡ ❩❡❡♠❛♥ ❞❡ s♣✐♥ H (1,1) ❛②❛♥t été ✐♥❝❧✉s ❞❛♥s γ✱ ♣❛r ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ❛✈❡❝ ✭✶✳✸✷✮✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✿ E11′′ = D ~µe.∆g ~B E Ψ = hΨ0| ~H(0,1).~µe ~Ψ(1,0). ~BE+ hΨ0| ~H(1,0). ~B ~Ψ(0,1).~µe E ✭✶✳✹✶✮ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❞✉ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ~µe✱ ♦♥ ❛✱ ❞✬✉♥❡ ♣❛rt ✿ E11′′ = D −ge~µBS.∆g. ~~ BE Ψ = * −ge~µB X a,b Sa∆gabBb + Ψ ✭✶✳✹✷✮ ❛✐♥s✐ q✉❡ s♦♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ❡♥ é❝❤❛♥❣❡❛♥t ❧❡ ❝❤❛♠♣ ❡t ❧❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛❣♥ét✐q✉❡✱ ❡t ❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt ✿ E′′ 11 = − geµB ~ h hΨ0| ~H(0,1).~S ~Ψ(1,0). ~BE+ hΨ0| ~H(1,0). ~B ~Ψ(0,1).~SEi ✭✶✳✹✸✮ = −ge~µB X a,b " hΨ0| X i Hia(0,1)ˆsia Ψ(1,0)b Bb E + hΨ0| Ha(1,0)Ba X i Ψ(0,1)i,b sˆib +# ♦♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t ✿ h∆gabiΨ = Sa−1hΨ0| X i Hia(0,1)sˆia Ψ(1,0)b E + S−1 b hΨ0| H (1,0) a X i Ψ(0,1)i,b sˆib + ✭✶✳✹✹✮ à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ✭✶✳✸✼✮ ❡t ✭✶✳✸✻✮✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿ h∆gabiΨ= ∞ X K=1 −~−2 EK−E0 h S−1 a hΨ0|PiPAζA(rAi)ˆliasˆia|ΨKi hΨK|Pilib|Ψ0i +Sb−1hΨ0|Pilia|PiΨKi hΨK|Pi P AζA(rAi)ˆlibˆsib|Ψ0i i ✭✶✳✹✺✮ ▲❡s ✈❛❧❡✉rs ♣r♦♣r❡s ❞✉ t❡♥s❡✉r g s❡r♦♥t ❛❜♦r❞é❡s ❡t ♠❡s✉ré❡s ♣♦✉r ❞✐✛ér❡♥ts ❝♦♠♣❧❡①❡s ré❡❧s ❛✉① ♣❛rt✐❡s ✷✳✶ ❡t ✷✳✷✳ ✶✾
❚❡♥s❡✉r ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲s♣✐♥ é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡ D ❡st ❧❡ t❡♥s❡✉r ❞❡ ❝♦✉♣❧❛❣❡ s♣✐♥✲s♣✐♥ é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡ ❡t s✬é❝r✐t ✿ E02 = D −12~µe.D.~µe E Ψ = hΨ0| ~H (0,1).~µ e ~Ψ(0,1).~µe E = D−µ2Bg2e 2~2 S.D.~~ S E Ψ = µ2 Bge2 ~2 hΨ0| ~H (0,1).~S ~Ψ(0,1).~SE = D−µ2Bg2e 2~2 P a,bSˆaDabSˆb E Ψ = µ2 Bge2 ~2 X a,b X i,j hΨ0| ˆHia(0,1)sˆi,a Ψ(0,1)b sˆjb E ✭✶✳✹✻✮ P❛r ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥✱ ❡t ❛✈❡❝ ✭✶✳✸✼✮✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿ −12SˆaDabSˆb Ψ = X i,j hΨ0| ˆHia(0,1)ˆsia|Ψbˆsjbi ✭✶✳✹✼✮ = −~ −2 EK− E0 ∞ X K=1 X i,j X A hΨ0| ζA(rAi)ˆliaˆsia|ΨKi hΨK| ζA(rAj)ˆljbsˆjb|Ψ0i ❈❡ ❞❡r♥✐❡r t❡♥s❡✉r s❡r❛ ❧✬ét✉❞❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ✐❧ ♥❡ ❞é♣❡♥❞ ♣❛s ❞✉ ❝❤❛♠♣ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡①tér✐❡✉r ❡t ♣❡✉t ❡♥tr❛✐♥❡r ✉♥❡ ❧❡✈é❡ ❞❡ ❞é❣é♥ér❡s❝❡♥❝❡ ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts ét❛ts s♣✐♥✲♦r❜✐t❡s✳ ❈❡t ❡✛❡t s✉r ❧❛ str✉❝t✉r❡ ✜♥❡ ❡st q✉❛❧✐✜é ❞❡ ❩❡r♦✲❋✐❡❧❞ ❙♣❧✐tt✐♥❣ ✭❩❋❙✮ ❡t ❡st ♠♦❞é❧✐sé ♣❛r ✉♥ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❞❡ s♣✐♥✳ ❆✉ ❞✉ ❝❤❛♣✐tr❡ ✸✱ ❝♦♥s❛❝ré ❛✉① ❝♦♠♣♦sés ❜✐♥✉❝❧é❛✐r❡s✱ ✉♥❡ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ s❡r❛ ❡✛❡❝t✉é❡ ❡♥tr❡ ❧❡s t❡r♠❡s ❧♦❝❛✉① ♣r♦♣r❡s à ✉♥ ❝❡♥tr❡ ♠ét❛❧❧✐q✉❡ ♦✉ ❞✬é❝❤❛♥❣❡✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt à ❧❡✉r ❝❛r❛❝tèr❡ ✐s♦tr♦♣❡ ♦✉ ❛♥✐s♦tr♦♣❡✱ s②♠étr✐q✉❡ ♦✉ ❛♥t✐s②♠étr✐q✉❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s ❞✬♦r❞r❡ ♣❧✉s é❧❡✈é ❡♥ s♣✐♥ ♣♦✉rr♦♥t êtr❡ ✐♥tr♦❞✉✐ts✳
✶✳✶✳✷ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❞❡ s♣✐♥ ♣♦✉r ❧❡s s②stè♠❡s ♠♦♥♦♥✉❝❧é❛✐r❡s
✶✳✶✳✷✳✶ ❚❡♥s❡✉r ❉ ❉❛♥s ❧❡s s②stè♠❡s ♠♦♥♦♥✉❝❧é❛✐r❡s✱ q✉❛♥❞ ❧✬ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞❡ s♣✐♥ S ❛ ✉♥❡ ♠✉❧t✐✲ ♣❧✐❝✐té ❞❡ s♣✐♥ s✉♣ér✐❡✉r❡ à ❞❡✉①✱ ✐❧ ❡st ❝♦✉♣❧é ♣❛r ❡✛❡t s♣✐♥✲♦r❜✐t❡ ❛✉① ét❛ts ❡①❝✐tés ❬✶✾❪✱ ✐❧ ② ❛ ❛❧♦rs✱ s✐ ❧❛ s②♠étr✐❡ ❞✉ s②stè♠❡ ♥✬❡st ♣❛s tr♦♣ ❣r❛♥❞❡✱ ✉♥❡ ❧❡✈é❡ ❞❡ ❞é❣é♥ér❡s❝❡♥❝❡ ❞❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s MS✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ❧✬ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❡✉t êtr❡ r❡♣rés❡♥té ♣❛r s❡s ❝♦♠♣♦✲ s❛♥t❡s ❞❡ s♣✐♥ |S, MSi ❡t ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❞é❝r✐✈❛♥t ❝❡ ♣❤é♥♦♠è♥❡ ❡st ✐ss✉ ❞❡ ✭✶✳✹✻✮✱ ✭❛♣rès s✉♣♣r❡ss✐♦♥ ❞❡s ❝♦♥st❛♥t❡s✮ ✿ ˆ HZF S(0,2) = 1 ~2S.D.~~ S ✭✶✳✹✽✮ ■❧ ❢❛✐t ✐♥t❡r✈❡♥✐r ✉♥ t❡♥s❡✉r ré❡❧ ❞❡ r❛♥❣ ❞❡✉① s②♠étr✐q✉❡ ❡t ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ tr♦✐s s♦✐t s✐① ♣❛r❛♠ètr❡s ✿ ˆ HZF S(0,2) = 1 ~2 ˆ SxSˆySˆz . DDxxxy DDxyyy DDxzyz Dxz Dyz Dzz . ˆ Sx ˆ Sy ˆ Sz ✭✶✳✹✾✮ ✷✵P❛r ❧❛ s✉✐t❡✱ ❝❡ t❡♥s❡✉r ❡st ❞✐❛❣♦♥❛❧✐sé s❡❧♦♥ Ddiag = P−1.D.P ♦ù P−1 ❡st ❢♦r♠é ❞❡s ✈❡❝t❡✉rs ♣r♦♣r❡s✳ ❈✬❡st ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡ ♣❛ss❛❣❡ ❞✬✉♥❡ ❜❛s❡ q✉❡❧❝♦♥q✉❡ à ❧❛ ❜❛s❡ ❞✐t❡ ♠❛✲ ❣♥ét✐q✉❡ ❡t Ddiag ❡st ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡ ❢♦r♠é❡ ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ♣r♦♣r❡s DXX, DY Y, DZZ✳ P❛r ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥ ❬✶✻❪✱ ♦♥ ❞é✜♥✐t ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❛①✐❛❧ D ❞❡ ❩❋❙ ❛ss♦❝✐é à ❧✬❛①❡ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ Z ❡t ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ r❤♦♠❜✐q✉❡ E t❡❧ q✉❡ |D| > 3E ❡t E ≥ 0 ❛✈❡❝ ✿ D = DZZ − 1 2(DXX+ DY Y) ✭✶✳✺✵✮ E = 1 2(DXX − DY Y) ✭✶✳✺✶✮ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs ˆHZF S = ~−2 n D[ ˆS2 z − S(S + 1)/3] + E( ˆSx2 − ˆSy2) o ✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥ ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ tr✐♣❧❡♠❡♥t ❞é❣é♥éré ♣♦✉r ✉♥ s♣✐♥ S = 1✱ t❡❧ q✉✬✉♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ♠♦♥♦♥✉❝❧é❛✐r❡ ❞❡ ♥✐❝❦❡❧ ◆✐✭■■✮✱ ❝❛s q✉❡ ♥♦✉s ✉t✐❧✐s❡r♦♥s ❞❛♥s ❧❡s ♣❛rt✐❡s ✷✳✶ ❡t ✷✳✷✱ ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ✭✶✳✹✾✮ ❞❡✈✐❡♥t✱ ❞❛♥s ✉♥❡ ❜❛s❡ q✉❡❧❝♦♥q✉❡ ✿ HZF S |1, −1i |1, 0i |1, 1i h1, −1| 12(Dxx+ Dyy) + Dzz − √ 2 2 (Dxz+ iDyz) 1 2(Dxx− Dyy+ 2iDxy) h1, 0| −√2 2 (Dxz − iDyz) Dxx+ Dyy √ 2 2 (Dxz+ iDyz) h1, 1| 12(Dxx− Dyy− 2iDxy) √ 2 2 (Dxz− iDyz) 1 2(Dxx+ Dyy) + Dzz ✭✶✳✺✷✮ ❈❡t ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ s✬é❝r✐t✱ ❛♣rès r♦t❛t✐♦♥ ❞❛♥s ❧❡ s②stè♠❡ ❞✬❛①❡s ♠❛❣♥ét✐q✉❡s t❡❧ q✉❡ D s♦✐t ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✿ HZF S |1, −1i |1, 0i |1, 1i h1, −1| 12(DXX + DY Y) + DZZ ✵ 1 2(DXX − DY Y) h1, 0| ✵ DXX + DY Y ✵ h1, 1| 12(DXX− DY Y) ✵ 1 2(DXX + DY Y) + DZZ ✭✶✳✺✸✮ ❊♥ s✉♣♣r✐♠❛♥t ❧❛ tr❛❝❡ ❡t ❛✈❡❝ ❧❡s ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s ❡t ❞é✜♥✐t✐♦♥s ✭✶✳✺✵✮ ❡t ✭✶✳✺✶✮✱ ♦♥ ❛ ✿ HZF S |1, −1i |1, 0i |1, 1i h1, −1| 13D ✵ E h1, 0| ✵ −2 3D ✵ h1, 1| E ✵ 1 3D ✭✶✳✺✹✮ ❉❡ ♠❛♥✐èr❡ ❛♥❛❧♦❣✉❡✱ ♣♦✉r ✉♥ ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞❡ ❞é❣é♥ér❡s❝❡♥❝❡ q✉❛❞r✉♣❧❡ ❛✈❡❝ S = 3/2✱ t❡❧ q✉✬✉♥ ♠♦♥♦♥✉❝❧é❛✐r❡ ❞❡ ❝♦❜❛❧t ❈♦✭■■✮ q✉❡ ♥♦✉s ❛❜♦r❞❡r♦♥s ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ ✷✳✶✱ ❧✬❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ ❞❛♥s ✉♥❡ ❜❛s❡ q✉❡❧❝♦♥q✉❡ s✬é❝r✐t ✿ HZF S 3 2, − 3 2 E 3 2, − 1 2 E 3 2, 1 2 E 3 2, 3 2 E D3 2, − 3 2 3 4(Dxx+ Dyy) + 9 4Dzz − √ 3(Dxz+ iDyz) 32(Dxx− Dyy+ 2iDxy) ✵ D3 2, − 1 2 − √ 3(Dxz− iDyz) 74(Dxx+ Dyy) +41Dzz ✵ √32 (Dxx− Dyy+ 2iDxy) D3 2, 1 2 − 3 2(Dxx− Dyy− 2iDxy) ✵ 74(Dxx+ Dyy) +14Dzz √3(Dxz+ iDyz) D3 2, 3 2 ✵ 3 2(Dxx− Dyy− 2iDxy) √ 3(Dxz− iDyz) 34(Dxx+ Dyy) + 3 4Dzz ✭✶✳✺✺✮ ❡t ❛✈❡❝ ❧❡ s②stè♠❡ ❞✬❛①❡ ♠❛❣♥ét✐q✉❡ ❡t ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s D ❡t E ✿ HZF S 3 2, − 3 2 3 2, − 1 2 3 2, 1 2 3 2, 3 2 3 2, − 3 2 D ✵ √3E ✵ 3 2, − 1 2 ✵ −D ✵ √3E 3 2, 1 2 √3E ✵ −D ✵ 3 2, 3 2 ✵ √3E ✵ D ✭✶✳✺✻✮ ✷✶