Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique

1 | Elaboré par Afdal Ali / GSM : 26548242

Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique

4éme M - S exp

A- Etude des oscillations mécaniques non amorties.

 L’élongation X(t), prend des valeursnégatives et positive au cour du temps.

 L’élongationX(t) change leur signe sans diminution d’amplitude (les frottements sons négligeables).

En dit que X(t) subit des oscillations libres non amorties.

1- L’équation différentielle

En applique la RFD.

P + R + T = m a(Corps en Mvt). Par projection sue (XX’).

- Kx = m a a + 𝑲𝑲_𝒎𝒎 x = 0

𝒅𝒅𝟐𝟐_𝒙𝒙

𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 +

𝑲𝑲

𝒎𝒎 x = 0. L’équation diff en x(t).

 L’équation diff admet comme solution x(t)=Xm sin (wot + Ԑx

 X(t) est sinusoïdale périodique.

). • T0 • N = 2π�𝒎𝒎_𝑲𝑲. 0 • w = _{𝟐𝟐𝟐𝟐}𝟏𝟏 �_𝒎𝒎𝑲𝑲. o  V(t) = 𝒅𝒅𝒙𝒙_{𝒅𝒅𝒕𝒕} = X = �_𝒎𝒎𝑲𝑲. mwo sin (wot + Ԑx  V(t) = V +𝟐𝟐_𝟐𝟐). m sin (wot + Ԑv

 V(t) est en quadrature avance de phase

) avec �𝑽𝑽𝒎𝒎_Ԑ = 𝑿𝑿𝒎𝒎𝒘𝒘𝟎𝟎

𝒗𝒗 = Ԑ𝒙𝒙+ 𝟐𝟐_𝟐𝟐 .

Par rapport à’ X(t).

 a(t) = 𝒅𝒅𝐯𝐯_{𝒅𝒅𝒕𝒕} = Xm wo2 _{sin ( wot + Ԑv}

 a(t) = a

+ 𝟐𝟐_𝟐𝟐).

m sin (wot + Ԑa

 a(t) est en opposition de phase par rapport a X(t).

) avec �𝒂𝒂𝒎𝒎 = 𝑿𝑿𝒎𝒎𝒘𝒘𝒐𝒐𝟐𝟐

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Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique

4éme M - S exp

2- L’énergie totale du système.

E = Ep + Ec E = 𝟏𝟏_𝟐𝟐 K x avec �𝑬𝑬𝑷𝑷= 𝑬𝑬𝑷𝑷𝑷𝑷+ 𝑬𝑬𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝑶𝑶 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑲𝑲𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏_𝟐𝟐𝒎𝒎𝒗𝒗𝟐𝟐 . 2 ₊ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 m v 2 𝒅𝒅𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒕𝒕 = K x 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕 + m v 𝒅𝒅𝒗𝒗 𝒅𝒅𝒕𝒕 = m v ( 𝑲𝑲

𝒎𝒎 x + a) = 0 (d’après L’équation diff).

= cst (Sys conservatif ce qui entraine une amplitude constante).

Le système subit des Oscillation libres non amortis. E = 𝟏𝟏_𝟐𝟐 K Xm2 = 𝟏𝟏_𝟐𝟐 m Vm2

E

.

c et Epe sont deux fonction sinusoïdalepériodique de période Te

B- Etude des oscillations mécaniques amorties

=𝑻𝑻𝑶𝑶

𝟐𝟐.

1- L’équation différentielle

Le corps est soumise aune force de frottement f = - h v (h est appelé coefficient de frottement). En applique la RFD : P + R + T + f = m a

Par proj : -Kx - hv = ma.

𝒅𝒅𝟐𝟐_𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝒉𝒉 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕 + 𝑲𝑲 𝒎𝒎 x = 0. L’équation diff en x(t).

 L’élongation X(t), prend des valeursnégatives et positives avec diminution d’amplitude a’ cause de présence du frottement.

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Cour physique : Oscillation d’un pendule élastique

4éme M - S exp

Régime pseudopériodique(h faible) Régime a ’périodique (h élevé) Régime apériodique (h élève)

 L’élongation X(t) subit des oscillations libres amorties.

 La diminution d‘amplitude est due à’ la diminution d’énergie qui est perdu par la force de frottement.

 On dit que le régime est pseudopériodique.

 Si h est élevé le régime est dit apériodique.

 _{Pour un mouvement pseudopériodique faiblement amorti, la pseudo-période T est presque égale}

à la période propre T0

2- L’énergie du système

. E = Ep + Ec E = 𝟏𝟏_𝟐𝟐 K x avec�𝐄𝐄𝐏𝐏= 𝐄𝐄𝐏𝐏𝐏𝐏+ 𝐄𝐄𝐩𝐩𝐩𝐩 = 𝐎𝐎 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝐊𝐊𝐱𝐱𝟐𝟐 𝐄𝐄𝐜𝐜 = 𝟏𝟏_𝟐𝟐𝐦𝐦𝐯𝐯𝟐𝟐 . 2 ₊ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 m v 2 𝒅𝒅𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒕𝒕 = K x 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕 + m v 𝒅𝒅𝒗𝒗 𝒅𝒅𝒕𝒕 = m v ( 𝑲𝑲 𝒎𝒎 x + 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕) = - h v . 2

Ediminue au cour du temps ce qui entraine la diminution d’amplitude.