Un inverse à l'application d'antisymétrisation de Cartan et Eilenberg

Notes d’expos´e

au s´ eminaire de l’IRMA (Strasbourg) Salim RIVIERE Septembre 2013

1 Introduction

Soient (g,[,]) une alg`ebre de Lie sur un anneau commutatif K, Ug=T Ug/I son alg`ebre enveloppante, o`u T Ug = L

n>0Ug^⊗k d´esigne l’alg`ebre tensorielle sur Ug munie du produit de concat´enation, et I est l’id´eal bilat`ere engendr´e par les ´el´ements de la forme

g⊗h−h⊗g−[g, h]/ g, h∈g

Supposons donn´esM un Ug-bimodule et N est un g-module `a droite (l’action deg est alors not´ee par·). Le produit de deux ´el´ementsxety deUgsera not´exy, tout comme l’action deUgsurM.

Definition 1.0.1.

– Lecomplexe de Cheval ley-Eilenbergdeg`a coefficients dansN est leK-moduleN-gradu´eC∗(g)d´efini en degr´e npar

C_n(g;N) :=N⊗Λⁿg

muni de la diff´erentielled^CE :C_∗(g;N)→C_∗−1(g;N)d´efinie en degr´enpar d^CE(x⊗g1∧ · · · ∧gn) :=

n

X

i=0

(−1)ⁱ⁺¹x·gi⊗g1∧ · · · ∧gbi∧ · · · ∧gn

+X

i<j

x⊗g₁∧ · · · ∧[g_i, g_j]∧ · · · ∧gb_j∧ · · · ∧g_n

avec x∈N etg₁, ...,g_n dansg.

– Lecomplexe de HochschilddeUg`a coefficients dansM est leK-moduleN-gradu´eCH_∗(Ug;M)d´efini en degr´e npar

CHn(Ug;M) :=M⊗Ug^⊗n

muni de la diff´erentielled^H :CH_∗(Ug;M)→CH_∗−1(Ug;M)d´efinie en degr´e npar d^H(m⊗x₁⊗ · · · ⊗x_n) :=mx₁⊗x₂⊗ · · · ⊗x_n+

n−1

X

i=1

(−1)ⁱm⊗x₁⊗ · · ·x_ix_i+1⊗ · · ·x_n + (−1)ⁿxnm⊗x1⊗ · · · ⊗x_n−1

Dans le cas particulier o`u N = M^ad est le g-module adjoint dont le K-module sous-jacent est M avec l’action degd´efinie par

m·g:=mg−gm , m∈M, g∈g H. Cartan et S. Eilenberg ont d´emontr´e le th´eor`eme suivant :

Theorem 1.0.2. [Cartan-Eilenberg]Sigest projective surK, l’application d’antisym´etrisationF :C_∗(g;M^ad)→ CH_∗(Ug;M) d´efinie en degr´en par

F(m⊗g1∧ · · · ∧gn) := X

σ∈Σ_n

sgn(σ)g_σ(1)∧ · · · ∧g_σ(n)

pour tous mdansM etg , ...,g dansgest un quasi-isomorphisme de complexe de chaˆınes.

Le but de cet expos´e est de r´epondre `a la question suivante (dans le cas o`uQ⊂K) :

Existe-t-il un quasi-isomorphisme de complexes de chaˆınesG:CH_∗(Ug;M)→C_∗(g;M^ad), quasi- inverse de F, explicite et fonctoriel en g?

En donnant les grandes lignes de la d´emonstration du th´eor`eme suivant :

Theorem 1.0.3. Pour tout entiernexiste des op´erateurs explicitesΓn:Ug^⊗n →Ug[t1,· · ·, tn], etB_nⁱ :Ug^⊗n→ Ug[t1,· · · , tn]polynomiaux en les ind´etermin´ees ti,16i6n, tels que l’application

G:CH_∗(Ug;M)→C_∗(g;M^ad) d´efinie en degr´en par

G(m⊗x1⊗· · ·⊗xn) :=

Z

[0,1]ⁿ

dt1· · ·dtnSΓn(x⁽¹⁾₁ ,· · ·, x⁽¹⁾_n )x⁽²⁾₁ · · ·x⁽²⁾_n mΓn(x⁽³⁾₁ ,· · ·, x⁽³⁾_n )⊗B¹_n(x⁽⁴⁾₁ ,· · ·, x⁽⁴⁾_n )⊗· · ·⊗B_nⁿ(x⁽ⁿ⁺³⁾₁ ,· · ·, x⁽ⁿ⁺³⁾_n ) pour toutmdansM etx1, ..., xn dansUgsoit un quasi-inverse de l’application d’antisym´etrisation, fonctoriel

en g.

Dans le th´eor`eme pr´ec´edent,S d´esigne l’antipode de l’alg`ebre de HopfUget la notation de Sweedler x⁽¹⁾⊗ · · · ⊗x⁽ⁿ⁾

d´esigne le r´esultat du coproduit it´er´e (n−1) fois appliqu´e `a un ´el´ement xdeUg.

Ce r´esultat peut ˆetre vu comme une g´en´eralisation des deux suivants : Une solution non-explicite :

Theorem 1.0.4. [Suslin-Wodzicki]SiK=Q, il existe un quasi-isomorphisme de complexes de chaˆınes G^SW :CH_∗(Ug;Q)→C_∗(g;Q)

fonctoriel en g.

et, dans le cas ab´elien r´eel (Ug=Sgest identifi´e aux fontions polynomiales surg^∗), une solution explicite : Theorem 1.0.5. [Bordemann-Ginot-Halbout-Herbig-Waldmann] Si gest de dimension finie surK=R, l’ap- plication G^BGHHWCH∗(Ug;M)→C∗(g;M^ad)d´efinie par

G^BGHHW(m⊗x₁⊗ · · ·x_n) := X

i₁,···,i_n

Z

∆ⁿ

dt₁· · ·dt_nO_i⁰

1,···i_n(x₁,· · · , x_n)mO_i1,···in(x₁,· · ·, x_n)

⊗e_i1∧ · · ·e_in

o`u e1, ..., em d´esigne une base de get lesOi₁,···,i_n,O⁰_i

1,···,i_n sont des op´erateurs diff´erentiels en lesxi polyno- miaux en les tj, est un quasi-inverse deF.

Dans ces deux cas, la construction repose sur l’existence d’une certaine homotopie contractante et sur l’interpr´etation des homologies de Chevalley-Eilenberg et de Hochschild en termes de foncteurs d´eriv´es.

2 La m´ ethode

Pour comprendre d’o`u viennent les quasi-isomorphismes d´efinis pr´ec´edemment (F,G, G<sup>SW</sup> et G<sup>BGHHW</sup>), il suffit de revenir `a la d´emonstration du th´eor`eme 1.0.2 donn´ee par Cartan et Eilenberg (dans le cas o`u gest projective surK) :

Proposition 2.0.6.

HH∗(Ug;M) :=H∗(CH∗(Ug;M), d^H) = Tor^Ug⊗Ug_∗ ^op(Ug;M) Car

(CH_∗(Ug;M), d^H)∼= (M ⊗Ug⊗Ug^opB_∗(Ug),Id⊗d^B o`u(B_∗(Ug) =Ug^∗+2, d^B) est lar´esolution bar deUgcommeUg-bimodule.

Proposition 2.0.7.

H_∗(g;N) :=H_∗(C_∗(g;N)) = Tor^Ug_∗ (K;N) Car

(C∗(g;N), d^CE)∼= (N⊗UgC∗(g;Ug),Id⊗d^CE)

et C_∗(g;Ug) est une r´esolution projective de K comme Ug-module `a gauche (via l’augmentation ε :Ug→K), appel´eer´esolution de Cheval ley-Eilenberg.

Le point cl´e de la d´emonstration du th´eor`eme 1.0.2 est la proposition suivante, qui tire parti de la structure deUgmodule `a droite surUg⊗Ug^opinduite par le morphisme d’alg`ebres (Id⊗S)∆ :Ug→Ug⊗Ug^op : Proposition 2.0.8. Le complexe de chaˆınes (CK_∗(g), d^K)d´efini en degr´en par

CKn(g) :=Ug⊗Λⁿg⊗Ug

et o`u d^K est la diff´erentielle obtenue en transportantd^CE via l’isomorphisme CK∗(g)∼=C∗(g;Ug⊗Ug^op)

est une r´esolution projective deUgcomme Ug-bimodule, appel´ee r´esolution de Koszul deUg.

Pour conclure, il suffit d’utiliser le lemme fondamental du calcul des foncteurs d´eriv´es qui assure que n’im- porte quel morphisme de r´esolutions

CK∗(g)→B∗(Ug),

en particulier l’application d’antisym´etrisationF `a coefficients dansUg⊗Ug^op, induira une ´equivalence d’homotopie

M⊗_Ug⊗UgopCK_∗(g)→M ⊗_Ug⊗UgopB_∗(Ug) puis de remarquer que

M⊗Ug⊗Ug^opCK∗(g)∼=C∗(g;M^ad) Nous voyons donc que n’importe quel morphisme de r´esolutions

B_∗(Ug)→CK_∗(g) induira n´ecessairement un quasi-inverse de F.

Afin de produire un tel morphisme de r´esolutions, il suffit de connaˆıtre une homotopie contractante h : CK_∗(g)→CK_∗+1(g)de la r´esolution de Koszul et de d´efinir G_∗ :B_∗(Ug)→CK_∗(g) par r´ecurrence sur le degr´e comme ´etant l’unique morphisme deUg-bimodules gradu´es v´erifiant

Gn(1⊗x1⊗ · · ·xn⊗1) =hGn−1d^B(1⊗x1⊗ · · ·xn⊗1) , n>1 pour tousx1, ...,xn dansUgetG0= Id_Ug⊗Ug.

Dans le cas de Suslin-Wodzicki, l’homotopie est elle mˆeme d´efinie par r´ecurrence et utilise l’iso de PBW.

Dans le cas de BGHHW, elle est explicite et repose du l’interpr´etation de la resolution de Koszul en termes de formes diff´erentielles (Cf. Connes, “non commutative diff. geometry” ).

L’id´ee est donc de comprendre g´eom´etriquement la r´esolution de Koszul ou de Chevalley-Eilenberg pour en d´eduire une homotopie contractante (Pour d´emontrer l’acyclicit´e de C∗(g;Ug), Cartan-Eilenberg se ram`enent au cas ab´elien par filtration puis utilisent un r´esultat g´en´eral sur les complexes de Koszul).

3 Le lemme de Poincar´ e alg´ ebrique

Rappelons que l’alg`ebre enveloppante admet une interpr´etation g´eom´etrique en termes de distributions ponctuelles : sigest de dimension finie surK=R, en notantGun groupe de Lie dont l’espace tangent estg:

Ug∼=C_e(G)^∨

o`uCe(G) est l’espace des germes de fonctions en l’´el´ement neutreedeG, muni de la topologiem-adique (mest l’id´eal maximal des germes s’annulant ene), et∨d´esigne le dual lin´eaire continu. Cet isomorphisme (d’alg`ebres de Hopf) est clairement d´efini sur les g´en´erateurs (il suffit de se rappeler ce qu’est un vecteur tangent en e) et

prolong´e via la r`eglexy(f) = (x⊗y)(f◦µ) o`uµd´esigne le produit deG,f est un germe, etx,ysont de longeur plus grande que 1 dansUg.

On noteXg le champ de vecteurs invariant `a gauche engendr´e par un vecteur tangentg∈g=TeG.

Si l’interpr´etation des cochaˆınes de Chevalley-Eilenberg `a valeur dans Ren termes de formes diff´erentielles invariantes est bien connue, celle des chaˆınes en termes de courants ponctuels l’est moins :

Proposition 3.0.9. Le morphisme d’espaces gradu´es ψ:C∗(g;Ug)→Ω^∗_e(G)^∨ d´efini en degr´enpar C_n(g;Ug) → Ωⁿ_e(G)^∨

x⊗g₁∧ · · · ∧g_n 7→ ω7→x(ω(X_g1,· · · , X_gn))

o`uΩ<sup>n</sup><sub>e</sub>(G)<sup>∨</sup> d´esigne le dual continu (pour la topologiem-adique) de l’espace des germes de formes diff´erentielles sur Gen e, est un isomorphisme de complexe de chaˆınes (o`uΩⁿ_e(G)^∨ est muni de la diff´erentielle de de Rham dual d^∨_DR).

Le lemme de Poincar´e assure qu’`a toute contraction s: [0,1]×U →U d’un voisinage deeest associ´ee une homotopie contractante ˜sdu complexe Ω^∗_e(G) via la formule

˜ s(ω) :=

Z 1

0

dt ι∂

∂ts^∗ω o`uι∂

∂t d´esigne le produit int´erieur par le champ de vecteur _∂t^∂.

En choisissant U assez petit pour que le logarithme ln : U → ln(U) ⊂ gsoit d´efini et tel que ln(U) soit convexe, il est possible de d´efinir lacontraction canonique s_can:I×U →U par la formule

s_can(t, z) := exp(tlnz) , t∈[0,1], z∈U

Afin de d’´ecrire alg´ebriquement l’homotopie de la r´esolution de Chevalley-Eilenberg induite par ˜s_can via l’isomorphisme ψ, il nous faut introduire un ingr´edient suppl´ementaire : l’idempotent eul´erien.

Definition 3.0.10. [Loday, Reutenauer] L’idempotent eul´erien est le morphismeK-lin´eaire pr :Ug→Ug d´efini par

pr :=X

k>1

(−1)^k+1

k (Id−ηε)^?k= ln_?(ηε+ (Id−ηε))

o`u η : K → Ug est l’unit´e de Ug, ε : Ug → K son augmentation, et ? d´esigne le produit de convolution des endomorphismes K-lin´eaires de la big`ebre Ug.

Remark 3.0.11. L’idempotent eul´erien est en fait `a valeurs dans g⊂Ug.

Proposition 3.0.12. L’homotopie contractante s^can :C_∗(g;Ug)→C_∗+1(g;Ug) induite pars˜can via l’isomor- phisme ψv´erifie

s^can(x⊗g1∧ · · · ∧gn) = Z 1

0

dt φt(x⁽¹⁾)⊗pr(x⁽²⁾)∧At(x⁽³⁾, g1)∧ · · · ∧At(x⁽ⁿ⁺²⁾, gn) (1) pour tous xdansUgetg₁, ..., gn dansg, avec, pour toutt dans[−1,1],

– φt=P

k>0 t^k

k!pr^?k= exp_?(tpr) = ”Id^?t” – A_t(x, y) :=φ_−t(x⁽¹⁾)φ_t(x⁽²⁾y).

Ingr´edients de la d´emonstration. Transcrire tout le calcul diff´erentiel en termes alg´ebriques. Un r´esultat fonda- mental utilis´e dans la d´emonstration est le lemme suivant, qui donne une intepr´etation g´eom´etrique de l’iso- morphisme de PBW :

Lemma 3.0.13. [Torrossian, R.]Les diff´eomorphismes locaux (non compatibles aux structures multiplicatives mais aux diagonales ensemblistes)

G

ln

exp g

oo

induisent au niveau des distributions ponctuelles le diagramme commutatif

Ug

P BW⁻¹

&&

pr???????

? Sg

oo P BW

proj_g

~~~~~~~~

g

o`uSgest la cog`ebre sym´etrique surgvue comme distributions sur le groupe additif(g,+),proj_g est induite par la diff´erentiation en0des fonctions,P BW est l’isomorphisme de sym´etrisation de Poincar´e-Birkhoff-Witt dont l’inverse est donn´e par

P BW⁻¹:=X

k>0

1 k!pr^?k o`u la convolution a lieu dansHom_K(Ug, Sg).

Remarquons que la contraction φt n’est alors rien d’autre que l’endomorphisme induit par la contraction g´eom´etrique scan au niveau des distributions.

L’interpr´etation g´eom´etrique de la r´esolution de Chevalley-Eilenberg n’a plus de sens sur un anneau quel- conque. Cependant, la formule d´efinissant l’homotopies^can en a d`es queQ⊂K.

Theorem 3.0.14. [R.]Si l’anneau de base KcontientQ, la formule (1) d´efinit une homotopie contractante de la r´esolution de Chevalley-Eilenberg deg.

Corollary 3.0.15. L’application lin´eaire gradu´ee de degr´e+1 h:CK_∗(g)→CK_∗(g)d´efinie en degr´en par

h(x⊗g1∧ · · · ∧gn⊗y) :=

Z 1

0

dt φt(x⁽¹⁾)⊗pr(x⁽²⁾)∧At(x⁽³⁾, g1)∧ · · · ∧At(x⁽ⁿ⁺²⁾, gn)⊗φ_1−t(x⁽ⁿ⁺³⁾)y (2) est une homotopie contractante de la r´esolution de Koszul deg.

4 Construction du quasi-inverse G

Rappel :G_∗ :B_∗(Ug)→CK_∗(g) est d´efini par r´ecurrence sur le degr´e comme ´etant l’unique morphisme de Ug-bimodules gradu´es v´erifiant

Gn(1⊗x1⊗ · · ·xn⊗1) =hG_n−1d^B(1⊗x1⊗ · · ·xn⊗1) , n>1 (3) pour tousx1, ...,xn dansUgetG0= Id_Ug⊗Ug.

Question :Comment se passer de la r´ecurrence ?

Id´ee : Dans le cadre de la cohomologie `a valeursr´eellesd’une alg`ebre de Lie de dimension finie/infinie, Van est/Neeb d´efinissent une application d’int´egration des 2-cochaˆınes de Chevalley-Eilenberg en 2-cochaˆınes de groupe localement lisses. L’ingr´edient principal est une carteψ:U →V ⊂g, o`uGest un groupe de Lie/Fr´echet dont l’alg`ebre de Lie estget U est un ouvert de Gcontenant l’´el´ement neutre e, centr´ee eneet v´erifiant des conditions d’ordre 0 et 1. En posant

σ_z1,z2(t, s) =ψ⁻¹

sψ z₁ψ⁻¹(tψ(z₂))

+tψ z₁ψ⁻¹((1−s)ψ(z₂))

il est alors possible d’associer `a toute 2 cochaˆıne de Chevalley-Eilenberg ω : Λ²g→R, la cochaˆıne de groupe locale lisse

I(ω) : (z1,· · ·, zn)∈U^×27→

Z

∆²

σ^∗_z1,···,znω^eq

dont la diff´erentielle seconde au point (e, e) antisym´etris´ee redonne bienωi.e.D_(e,e)² I(ω)(g₁,0)(0, g₂)−D²_(e,e)I(ω)(g₂,0)(0, g₁) = ω(g₁∧g₂).

En prenant ψ = scan, et rempla¸cant les simplexes par des cubes γz₁,···,z_n bien choisis, il est possible de g´en´eraliser cette construction `a tout degr´e homologique pour d´efinir un morphisme de complexe de cochaˆınes

I_c:C^∗(g;R) → C_loc^∗ (G;R) ω 7→ (z₁,· · · , z_n)7→R

ⁿγ_z^∗

1,···,z_nω^eq

qui soit une section de l’application de diff´erentiation/antisym´etrisation des cochaines de groupe localement lisses.

Or, en consid´erant les germes de cochaˆınes de groupe, on obtient un isomorphisme C_loc,e^∗ (G;R)^∨∼=CH_∗(Ug;R)

Il s’av`ere queI<sub>c</sub><sup>∨</sup>et le morphisme induit en cohomologie `a valeurs r´eelle parG∗ co¨ıncident : Proposition 4.0.16. Le diagramme de complexes de chaˆınes

C_loc,e^∗ (G;R)^∨oo ^∼= //CH_∗(Ug;R)

C_∗(g;R)

I_c^∨

ffNNNNNNNNNNN ^IdR⊗G∗

88q

qq qq qq qq qq

est commutatif.

La formule compacte d´efinissant I_c^∨ se rel`eve sans difficult´e au niveau des r´esolutions et permet d’´ecrireG<sub>∗</sub> sans faire appel `a une r´ecurrence. De plus, mˆeme si elle n’a plus de sens sur un anneau arbitraire, cette formule reste valide d`es que Q⊂K.

Theorem 4.0.17. [R.] Si g est une alg`ebre de Lie sur K contenant Q, le morphisme de r´esolutions G_∗ : B_∗(Ug)→CK_∗(Ug)d´efini par (3) v´erifie :

G_∗(1⊗x1⊗· · ·⊗xn⊗1) :=

Z

[0,1]ⁿ

dt1· · ·dtnΓn(x⁽¹⁾₁,· · ·, x⁽¹⁾_n )⊗B_n¹(x⁽²⁾₁,· · ·, x⁽²⁾_n )∧· · ·∧B_nⁿ(x⁽ⁿ⁺¹⁾₁ ,· · ·, x⁽ⁿ⁺¹⁾_n )⊗SΓn(x⁽ⁿ⁺²⁾₁ ,· · ·, x⁽ⁿ⁺²⁾_n )x⁽ⁿ⁺³⁾₁ · · ·x⁽ⁿ⁺³⁾_n pour tous x1 ..., xn dansUg, o`uΓn :Ug^⊗n→Ug[t1,· · · , tn]est nen-cube d´efini par

Γ_n(y₁,· · · , y_n) :=φ_t1(y₁φ_t2(y₂φ_t3(· · ·y_n−1φ_tn(y_n)· · ·))) et les op´erateurs B_nⁱ,16i6nsont d´efinis par

B_nⁱ(y1,· · ·, yn) :=S(Γn(y⁽¹⁾₁ ,· · ·, y_n⁽¹⁾)) ∂

∂ti

Γn(y⁽²⁾₁ ,· · ·, y_n⁽²⁾) pour tous y₁, ...,y_n dansUg.

5 Applications

La connaissance du quasi-isomorphismeG_∗permet d’obtenir un rel`evement (une “int´egration formelle”) des cocycles d’alg`ebre de Lie en cocycles de l’alg`ebre enveloppante. De plus, le lemme fondamental du calcul des foncteurs d´eriv´es nous assure que la paire (F<sub>∗</sub>, G<sub>∗</sub>) est une ´equivalence d’homotopie. Mieux que cela, un calcul direct de la compos´eeF<sub>∗</sub>◦G<sub>∗</sub>nous montre qu’elle est ´egale `a l’application identit´e surC_∗(g;M^ad), en d’autres termes

CH_∗(Ug;M)

Id_M⊗G∗

//C∗(g;M^ad)

Id_M⊗F∗

oo

est un r´etract par d´eformation.

Bien que l’existence d’une homotopieH :CH_∗(Ug;M)→CH_∗+1(Ug;M) telle que Hd^H+d^HH= Id−F_∗◦G_∗

soit assur´ee, il est utile pour d’´eventuelles applications d’en d´eterminer une explicitement. Une fois de plus, il suffit de traiter le cas universel des r´esolutions, ce que fait la proposition suivante en degr´e 1.

Proposition 5.0.18. SoientH0:B0(Ug)→B0(Ug)etH1:B1(Ug)→B2(Ug)les morphismes deUg-bimodules d´efinis par

H0:= 0 et

H1(1⊗x⊗1) :=

Z 1

0

dt1⊗φt(x⁽¹⁾)⊗pr(x⁽²⁾)⊗φ1−t(x⁽³⁾)−1⊗1⊗1⊗x Alors

d^BH1+H0d^B= Id_B1(Ug)

Pour terminer, nous allons montrer comment utiliser G_∗ et H_∗ pour expliciter le th´eor`eme de rigidit´e des alg`ebres de Lie semi-simples. Soient

– gune alg`ebre de Lie semi-simple surK=C,

– C[[h]] laC-alg`ebre des s´eries formelles `a coefficients complexes en l’ind´etermin´ee h, – Ug[[h]] :=Ug⊗_CC[[h]].

Definition 5.0.19. [V. Drinfel’d, C. Kassel,] Une alg`ebre enveloppante quantique pour g est la donn´ee d’une structure de quasi-big`ebre tress´ee sur le C[[h]]-module Ug[[h]] qui co¨ıncide `a l’ordre 0 avec la structure d’alg`ebre de Hopf surUg.

La donn´ee d’une structure de quasi-big`ebre tress´ee implique celle d’un produit associatif C[[h]]-lin´eaire µh:Ug<sup>⊗2</sup>[[h]]→Ug[[h]] enti`erement d´etermin´e par sa restriction `aUg^⊗2, qui prend la forme d’une s´erie formelle

µ_h:=X

i>0

hⁱµ_i

o`u chaqueµi est une application lin´eaire deUg^⊗2 dansUgetµ0 est le produit usuel deUg.

Exemple de l’alg`ebre de Drinfeld-Jimbo [Kassel] :A= (aij)16i,j6nmatrice de Cartan degetD= diag(d1,· · ·, dn) matrice des longueurs de racines.

Definition 5.0.20. L’alg`ebre de Drinfeld-Jimboassoci´ee `agest le quotient, not´eU_hg, de laC[[h]]-alg`ebre libre engendr´ee par les g´en´erateurs X_i,Y_i,H_i,16i6n, par l’id´eal engendr´e par les relations

[Hi, Hj] = 0, [Xi, Yj] =δij

sinh(hdiHi/2) sinh(hd_i/2) , [H_i, X_j] =a_ijX_j, [H_i, H_j] =−aijY_j et pour i6=j

1−a_ij

X

k=0

(−1)^k

1−aij

k

q_i

X_i^kXjX_i^1−aij−k = 0, et

1−aij

X

k=0

(−1)^k

1−a_ij k

q_i

Y_i^kY_jY_i^1−aij−k = 0,

o`uqi=e^hdi/2, a

b

q

:= _[b] ^[a]q!

q![a−b]q!,[a]q! = [a]q[a−1]q· · ·[1]q,[a]q = ^q_q−q^a−q−1^−a.

Proposition 5.0.21. Uhg peut-ˆetre munie d’une structure de quasi-big`ebre tress´ee qui en fait une alg`ebre enveloppante quantique de g.

Le th´eor`eme de rigidit´e est le suivant :

Theorem 5.0.22. [Drinfel’d]Toute alg`ebre enveloppante quantique est isomorphe, en tant qu’alg`ebre associa- tive, `a la d´eformation triviale(Ug[[h]], µ0).

La d´emonstration du th´eor`eme pr´ec´edent est non constructive et ne permet pas, `a priori, d’expliciter un isomorphisme. Cependant, il est possible de la suivre pas `a pas et d’utiliser notre morphisme G∗ pour rendre explicites les ´etapes qui ne le sont pas :

1. Le produit d´eform´e s’´ecrit sous la formeµh:=P

i>0hⁱµi,

2. On posek= inf{i>1/ µ_i6= 0}.µ_k est un 2-cocycle de Hochschild dansCH²(Ug;Ug),

3. Comme g est semi-simple H²(g;Ug^ad) = 0, et une contraction explicite peut ˆetre d´efinie `a l’aide de l’´el´ement de Casimir deg. Ainsi, il existe β:g→Ugexplicite, telle qued^CEβ=F²µ_k,

4. Or, par la propositionG²F²µ_k =µ_k+d^HH¹µ_k i.e.µ_k=d^Hαavecα:=G²β−H¹µ_k,

5. On utilise l’isomorphisme deC[[h]]-modules Id +h^kαpour r´ecrire le produit d´eform´e sous la formeµ⁰_h:=

P

i>0hⁱµ⁰_i. Par construction,µ₁⁰ =µ⁰₂=· · ·=µ⁰_k = 0.

6. En reprenant la proc´edure avec le nouveau produit on fabrique une famille d’isomorphismes dont la compos´ee envoie le produit d´eform´e sur le produit trivial.

Ainsi,G^∗etH¹devraient permettre d’expliciter un tel isomorphisme en temps fini `a tout ordre fix´e, d`es lors que l’on connait explicitement le produit d´eform´e comme c’est le cas dans la d´eformation de Drinfeld-Jimbo.

Remark 5.0.23. Un isomorphisme explicite est d´ej`a connu dans le cas o`u g = sl2(C). Dans “A guide to quantum groups”, Chari et Pressley le d´efinissent sur trois g´en´erateurs (`a un scalaire pr`es ´egaux auxH1, X1, Y1) :

U_hg → Ug[[h]]

H 7→ H Y 7→ Y X 7→ 2

coshh(H−1)−cosh2h

√

Ω¯ ((H−1)²−4 ¯Ω)sinh²h

X avec

Ω =¯ 1

4(H−1)²+XY ∈Uhg