Définition 1 Dans un triangle rectangle, si x désigne la mesure d'un des deux angles aigus, alors on a les trois égalités suivantes :

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Objectif n° 1 : La trigonométrie du collège

Au collège, on a défini le cosinus et le sinus d'un angle aigu, en se plaçant dans des triangles rectangles.

Par la suite, s'il n'y a pas de confusions possibles, on écrira cos x à la place de cos (x) ( et donc sin x et tan x à la place de sin (x) et de tan (x) )

Exercice 1 : considérons le triangle rectangle DEF ci-contre.

1. Compléter : le triangle DEF est rectangle en …… donc son hypoténuse est ………..

L'angle D de mesure x a pour côté opposé le côté ……….et pour côté adjacent le côté ……….

L'angle F de mesure y a pour côté opposé le côté ……….et pour côté adjacent le côté ……….

2. Compléter chacune des égalités ci-dessous en fonction des longueurs DE, EF et DF.

cos x = …..

….. sin x = …..

….. tan x = …..

….. cos y = …..

….. sin y = …..

….. tan y = …..

…..

Exercice 2 :

Partie A : considérons le triangle rectangle TIC ci-contre ( il n'est pas dessiné en vraie grandeur ) 1. Compléter les égalités suivantes avec TI ou IC ou TC.

cos x = …..

….. sin x = …..

….. tan x = …..

…..

2. On donne x = 

3 et TC = 6.

a. En utilisant l'une des égalités de la question 1 et la calculatrice ( en mode Radians ), déterminer la valeur de TI.

b. En utilisant l'une des égalités de la question 1 et la calculatrice ( en mode Radians ), déterminer la valeur de IC.

c. Déterminer la valeur exacte de y

Partie B : considérons le triangle rectangle TAC ci-contre ( il n'est pas dessinée en vraie grandeur ) 3. Compléter les égalités suivantes avec TA ou AC ou TC.

cos x = …..

….. sin x = …..

….. tan x = …..

…..

4. On donne x = 2

5 et AC = 3.

a. En utilisant l'une des égalités de la question 3 et la calculatrice ( en mode Radians ), déterminer la valeur de TC.

b. En utilisant l'une des égalités de la question 3 et la calculatrice ( en mode Radians ), déterminer la valeur de TA.

c. Déterminer la valeur exacte de y

Dans un triangle rectangle, si x désigne la mesure d'un des deux angles aigus, alors on a les trois égalités suivantes :

sin (x) = côté opposé

hypoténuse cos (x) = côté adjacent

hypoténuse tan (x) = côté opposé côté adjacent Définition 1

(2)

Partie C : considérons le triangle rectangle TOC ci-contre ( il n'est pas dessinée en vraie grandeur ) 5. Compléter les égalités suivantes avec TO ou OC ou TC.

cos x = …..

….. sin x = …..

…..

6. On donne TC = 13 et CO = 5. Démontrer que TO = 12.

7. a. A l'aide des questions 5 et 6, préciser la valeur exacte de cos x et de sin x.

cos x = …..

….. sin x = …..

…..

b. En utilisant la calculatrice ( en mode degrés ), déterminer une valeur arrondie de x au degré.

c. En déduire une valeur arrondie de y au degré.

L'exercice 2 met en évidence les propriétés suivantes :

Exercice 3 : La figure ci-contre illustre la position d'u nageur par rapport à un requin.

Calculer la distance NR, arrondie au cm, qui sépare le nageur du requin.

Exercice 4 :

A l'entrée d'un télésiège d'une station de ski, on peut voir les informations ci-dessous.

Calculer la mesure , arrondie en degré, de l'angle formé par le câble de ce télésiège avec l'horizontale.

Exercice 5 ( pour les plus rapides ) : Du haut de son rocher, Tom voit un bateau de 7 m de long sous les angles donnés sur la figure ci-contre.

A quelle hauteur AB se situe Tom ( donner la valeur exacte, en m, puis l'arrondi au cm près ) ?

* Dans un triangle rectangle, si l'on connaît la mesure d'un des deux angles aigus et une des longueurs du triangle, alors on peut déterminer la longueur de n'importe quel autre côté et la mesure de l'autre angle aigu ( parties A et B ).

* Dans un triangle rectangle, si l'on connaît la mesure de deux côtés, on peut calculer la mesure du 3^ème côté ( théorème de Pythagore ) et la mesure des deux angles aigus ( partie C ).

Propriété 2

(3)

Exercice 6 :

Partie A : considérons le triangle ABC ci-contre, rectangle et isocèle en A, tel que AB = 2.

1. Démontrer que BC = 2.

2. Recopier puis compléter l'égalité suivante : cos x = AC

…… = …..

.….

3. Déterminer de la même manière la valeur exacte de sin x : sin x = …..

.….

4. Rappeler, en radians, la mesure principale de l'angle C .

Partie B : considérons le triangle équilatéral DEF ci-contre, tel que DE = 2.

5. Soit I le milieu de [EF]. Placer le point I sur la figure ci-contre, puis préciser la nature du triangle DIF.

6. Démontrer que DI = 3

7. Nommons x la mesure principale de l'angle F a. Déterminer la valeur exacte de cos x : cos x = …..

.….

b. Déterminer la valeur exacte de sin x : sin x = …..

.….

c. Rappeler, en radians, la mesure principale de l'angle F . 8. Nommons y la mesure principale de l'angle IDF

a. Faire apparaître y sur la figure ci-dessus.

b. Déterminer la valeur exacte de sin y : sin y = …..

.….

c. Déterminer la valeur exacte de cos y : cos y = …..

.….

d. Préciser, en radians, la mesure principale de l'angle IDF .

L'exercice 6 met en évidence la propriété suivante :

Le tableau ci-dessous donne les valeurs exactes du sinus et du cosinus d'angles remarquables ( à connaître par cœur ):

x 

6

 4

 3

cos x …..

.…. (  ….. ) …..

.….

sin x …..

.…. …..

.…. (  ….. ) …..

.…. (  ….. ) Propriété 3

(4)

Objectif n° 2 : cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique Exercice 7 :

Dans le repère orthonormal (O, I, J ) ci-contre, on a dessiné un cercle trigonométrique.

Sur ce cercle on a placé le point M (2

9 )

Le point A est appelé le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses et le point B est donc le projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

1. Le triangle OAM étant rectangle en A, exprimer ci-dessous cos 2

9 et sin 2

9 en fonction de OA, OM et AM.

cos 2

9 = …..

.…. sin 2

9 = …..

.….

2. Sachant que le cercle trigonométrique a pour rayon 1, on en déduit : cos 2

9 = …….. sin 2

9 = ……..

3. a. En déduire, à l'aide de la calculatrice ( mode Radians ) les coordonnées du point M, arrondies à 10^–2 , dans le repère (O, I, J ) :

Abscisse de M : ………. Ordonnée de M : ……….

b. Vérifier sur le dessin la cohérence des valeurs obtenues.

Dans un repère orthonormal ( O, I, J ), si M (x) est un point quelconque du cercle trigonométrique alors : l'abscisse de M vaut cos x et l'ordonnée de M vaut sin x

Propriété 4

(5)

Exercice 8 :

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on a placé 8 points nommés respectivement A, B, C, D, E, F, G et H.

On note a, b, c, d, e, f, g et h les réels associés à ces points ( ainsi a désigne la mesure en radians de l'angle IOA , …. )

1. Pour chacune des mesures principales ci-dessous, compléter les pointillés avec l'un des intervalles : ] –  ; – 

2] , ] – 

2 ; 0 ] , ] 0 ;  2 ] ou ] 

2 ;  ]

a  ………. b  ………. c  ………. d  ……….

e  ………. f  ………. g  ………. h  ……….

2. a. Comme le point A appartient au cercle trigonométrique de centre O, son abscisse est égale à cos a et son ordonnée est égale à sin a. Par lecture graphique, on obtient : cos a = ……..

b. Compléter, par lecture graphique, le tableau ci-dessous :

cos b = ……. sin b = ……. cos c = ……. cos d = ……. sin d = …….

sin e = ……. cos f = ……. sin f = ……. cos g = ……. sin h = …….

3. Soit x un réel quelconque tel que cos x > 0 et sin x < 0.

On note M le point du cercle trigonométrique associé à x.

Cocher la bonne réponse :

a. M se trouve dans le "quadrant " 1

❒

2

❒

3

❒

4

❒

] –  ; – 

2]

❒

] – 

2 ; 0 ]

❒

b. x appartient à :

] 0 ; 

2 ]

❒

] 

2 ;  ]

❒

4. a. Soit y un réel quelconque tel que cos y < 0 et sin y < 0.

Alors y appartient à : ] –  ; – 

2]

❒

] – 

2 ; 0 ]

❒

] 0 ; 

2 ]

❒

] 

2 ;  ]

❒

b. Soit z un réel quelconque tel que cos z > 0 et sin z > 0.

Alors z appartient à : ] –  ; – 

2]

❒

] – 

2 ; 0 ]

❒

] 0 ; 

2 ]

❒

] 

2 ;  ]

❒

c. Soit t un réel quelconque tel que cos t < 0 et sin t > 0.

Alors t appartient à : ] –  ; – 

2]

❒

] – 

2 ; 0 ]

❒

] 0 ; 

2 ]

❒

] 

2 ;  ]

❒

(6)

Exercice 9 :

On rappelle les résultats obtenus dans la propriété 3 :

x 

6

 4

 3

cos x 3

2

2 2

1 2

sin x 1

2

2 2

3 2 1. En déduire la position des points A (

6), B (

4) et C (

3) sur le cercle trigonométrique ci-contre, sans utiliser le compas.

2. En déduire la position des points D (

6 + ), E ( 7

3) et F (5

4 )

Exercice 10 :

On considère le cercle trigonométrique ci-contre :

1. Placer sur ce cercle le point M (x) tel que cos x = 0,2 et sin x < 0.

2. Placer sur ce cercle le point N (y) tel que cos y < 0 et sin y = 0,6 3. Placer sur ce cercle le point P (z) tel que cos z = – 0,5 et sin z > 0 4. Placer sur ce cercle le point Q (t) tel que cos t < 0 et sin t = – 0,8 5. Placer sur ce cercle le point R (u) tel que cos u = – 1,2 et sin u < 0

Le quart de cercle trigonométrique ci-contre permet de placer les points A (

6), B (

4) et C (

3) et de retrouver rapidement les résultats vus dans la propriété 3 ( tableau ci-dessous ) :

x 

6

 4

 3

cos x 3

2

2 2

1 2

sin x 1

2

2 2

3 2 Propriété 5

Pour tout réel x, on a : ……….  cos x  ……….. et ……….  sin x  ………..

Propriété 6

(7)

Objectif n° 3 : Liens entre cosinus et sinus Exercice 11 :

Partie A : Dans un triangle rectangle ( cas d'un angle x appartenant à l'intervalle ] 0 ; 

2 ] )

Considérons le triangle ABC ci-contre rectangle en C. On donne AB = 1.

On note x la mesure de l'angle aigu _BAC

1. Justifier les égalités BC = sin x et AC = cos x 2. En déduire l'égalité : ( cos x )² + ( sin x )² = 1 Partie B : Dans le cercle trigonométrique Soit x un réel appartenant à l'intervalle ] 

2 ; π ] et soit M le point du cercle trigonométrique associée au réel x ( voir ci-contre ).

On note M1 et M2 les projetés orthogonaux du point M sur les axes.

On rappelle que cos x et que sin x désignent l'abscisse et l'ordonnée du point M.

3. Exprimer les longueurs OM1 et MM1 en fonction de cos x et de sin x

OM1 = ……… MM1 = ………

4. En utilisant le théorème de Pythagore, écrire une relation entre cos x et sin x.

Remarque : on pourrait utiliser le même type de raisonnement dans les cas où x appartient à l'intervalle ] π; 3π

2 ] ou à l'intervalle] 3

2 ; 2π ].

Pour des raisons pratiques ( afin "d'économiser" l'écriture de parenthèses ) les mathématiciens ont décidé de noter cos² x au lieu de ( cos x )² ( et donc sin² x au lieu de ( sin x ) ² ).

On en déduit la propriété suivante :

Exercice 12 :

1. Soit a un réel tel que cos a = 3

5 et a  ] –  ; 0 [.

a. Préciser le signe de sin a

b. Déterminer la valeur exacte de sin a ( calculatrice interdite ) 2. Soit b un réel tel que sin b = – 3

10 et b  ] –  2 ; 

2 [.

a. Préciser le signe de cos b

b. Déterminer la valeur exacte de cos b ( calculatrice interdite ) Pour tout réel x, on a : cos² x + sin² x = …….

Propriété 7

(8)

Exercice 13 (uniquement pour les plus ambitieux) :

Sur le cercle trigonométrique ci-contre, A est le point associé au réel  5. La bissectrice de l'angle OAI coupe [OI] en J.

1. Déterminer la mesure de l'angle OAI

2. Démontrer que les triangles OJA et JAI sont isocèles.

3. Dans le triangle JAI, H est le pied de la hauteur issue de A.

a. Démontrer l'égalité : HI = 1 – cos  5 b. En déduire l'égalité OJ = 2 cos 

5 – 1

4. Dans le triangle OJA, R désigne le pied de la hauteur issue de J a. Placer R sur la figure.

b. Démontrer l'égalité OJ = 1 2 cos 

5

5. Déduire des deux questions précédentes l'égalité : 4 cos² 

5 – 2 cos 

5 – 1 = 0 6. cos 

5 est donc une solution de l'équation 4x² – 2x – 1 = 0 Résoudre cette équation et en déduire la valeur exacte de cos 

5

Exercice 14 :

Considérons le cercle trigonométrique ci-contre.

1. Placer sur ce cercle les points A ( 

6 ) , B ( 

4 ) et C (  3 )

2. En se plaçant dans le repère orthonormal ( O, I, J ), indiquer les coordonnées de A, B et C :

A ( ……. ; …….) B ( ……. ; …….) C ( ……. ; …….) 3. Placer sur ce cercle les points D ( – 

4 ) , E ( 2

3 ) et F ( 7

6 )

4. a. On constate que le point D a la même ………. que le point B, donc cos ( – 

4 ) = …..

b. Par contre les points D et B ont des ……… opposées, dons sin ( – 

4 ) = …….

5. En raisonnant comme dans la question 4, compléter : cos 2

3 = ………. sin 2

3 = ………. cos 7

6 = ………. sin 7

6 = ……….

(9)

Exercice 15 :

Considérons le cercle trigonométrique ci-contre. x désigne un réel quelconque et A est le point du cercle trigonométrique associé à x.

1. On considère le point B associé à – x a. A l'aide du compas, placer B sur le cercle.

b. Faire apparaître cos ( – x ) et sin ( – x ) sur les axes du repère.

c. Que pouvez dire de cos ( – x ) et de cos x ? de sin (– x ) et de sin x ?

d. Compléter cos ( – x ) = ………

sin ( – x ) = ………

2. On considère le point C associé à  + x a. A l'aide du compas, placer C sur le cercle.

b. Faire apparaître cos (  + x ) et sin (  + x ) sur les axes du repère.

c. Exprimer cos (  + x ) et sin (  + x ) en fonction de cos x et sin x :

cos (  + x ) = ………

sin (  + x ) = ………

3. On considère le point D associé à  – x a. A l'aide du compas, placer D sur le cercle.

b. Faire apparaître cos (  – x ) et sin (  – x ) sur les axes du repère.

c. Exprimer cos (  – x ) et sin (  – x ) en fonction de cos x et sin x :

cos (  – x ) = ………

sin (  – x ) = ………

(10)

4. On considère le point E associé à  2 – x a. A l'aide du compas, placer E sur le cercle.

b. Faire apparaître cos ( 

2 – x ) et sin ( 

2 – x) sur les axes du repère.

c. Exprimer cos ( 

2 – x ) et sin ( 

2 – x ) en fonction de cos x et sin x :

cos ( 

2 – x ) = ………

sin ( 

2 – x ) = ………

5. On considère le point F associé à  2 + x a. A l'aide du compas, placer F sur le cercle.

b. Faire apparaître cos ( 

2 + x ) et sin ( 

2 + x) sur les axes du repère.

c. Exprimer cos ( 

2 + x ) et sin ( 

2 + x ) en fonction de cos x et sin x :

cos ( 

2 + x ) = ………

sin ( 

2 + x ) = ………

(11)

Exercice 16 :

Soit a un réel tel que cos a = 3

5 et sin a = – 4

5. Déterminer la valeur exacte des nombres ci-dessous : sin ( – a ) = ………. cos (  – a ) = ………. sin (  + a ) = ………. cos ( 

2 – a ) = ……….

cos ( – a ) = ………. sin ( 

2 + a ) = ………. sin ( 

2 – a ) = ………. cos ( 2 + a ) = ……….

cos² a + sin² a = …… sin ( 17 + a ) = ……….

Soit x un réel quelconque. On a les égalités suivantes : cos ( – x) = ………

sin ( – x ) = ………

cos (  – x) = ………

sin (  – x ) = ………

cos (  + x) = ………

sin (  + x ) = ………

cos ( 

2 – x) = ………

sin ( 

2 – x ) = ………

cos ( 

2 + x) = ………

sin ( 

2 + x ) = ………

Propriété 8