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- Analogie avec les phénomènes de transport des condensats de Bose Einstein.

Simon Moulieras

To cite this version:

Simon Moulieras. Effets des non linéarités sur la propagation de la lumière - Analogie avec les phénomènes de transport des condensats de Bose Einstein.. Physique [physics]. Université Pierre et Marie Curie (UPMC Paris 6), 2011. Français. �tel-01099277�

Universit´ e Paris 6 - Pierre et Marie Curie

Ecole doctorale´ de Physique de la R´egion parisienne (ED 107)

Th` ese de Doctorat

Sp´ ecialit´ e :

Physique Th´ eorique

Effets des non lin´earit´es sur la propagation de la lumi`ere

∼

Analogie avec les ph´enom`enes de transport des Condensats de Bose-Einstein

par

Simon Moulieras

Th` ese dirig´ ee par Patricio Lebœuf Soutenue publiquement

le 28 Septembre 2011 devant le jury compos´ e de :

Claire Lhuillier Pr´ esidente du jury Andreas Buchleitner Rapporteur

Alexey V. Kavokin Rapporteur

Alain Aspect Examinateur

Dima L. Shepelyansky Examinateur

Patricio Lebœuf Directeur de th` ese

Table des mati`eres

1 Introduction 1

2 Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 7

2.1 Description qualitative de la condensation . . . 7

2.2 Thermodynamique du gaz de bosons id´eal . . . 8

2.2.1 Gaz de bosons dans une boˆıte . . . 8

2.2.2 Ph´enom`ene de condensation . . . 9

2.3 Gaz de bosons en interaction . . . 11

2.3.1 Mod`ele en seconde quantification . . . 12

2.3.2 Approche de Bogoliubov - Equation de Gross-Pitaevskii . . . 13

2.3.3 Equation de Gross-Pitaevskii d´ependant du temps . . . 15

2.4 Applications du formalisme `a des cas pratiques . . . 17

2.4.1 Condensat homog`ene - Spectre de Bogoliubov . . . 17

2.4.1.1 Diagonalisation de L . . . 17

2.4.1.2 Approximation de Bogoliubov dans la base des ondes planes - Transformation de Bogoliubov . . . 19

2.4.2 Condensat dans un pi`ege harmonique . . . 21

2.4.2.1 Allure de l’´etat fondamental - R´egime de Thomas-Fermi 21 2.4.2.2 Formalisme hydrodynamique . . . 23

2.4.2.3 Limite des faibles excitations . . . 25

2.4.3 Th´eorie effective pour les condensats quasi-unidimensionnels . . 26

2.4.3.1 R´egime Thomas-Fermi transverse : an₁ 1 . . . 27

2.4.3.2 R´egime de champ moyen 1D : (a/a⊥)² an₁ 1 . . . 27

2.4.3.3 Equations hydrodynamiques `´ a une dimension . . . 29

3 Approche quantique de l’optique non lin´eaire 35 3.1 L’optique non lin´eaire . . . 35

3.1.1 Le laser . . . 36

3.1.2 Principe de l’optique non lin´eaire . . . 37

3.1.3 L’effet Kerr optique . . . 40

3.2 Approche quantique du m´elange `a quatre ondes . . . 42

3.2.1 Hamiltonien effectif . . . 42

3.2.2 Th´eorie du champ moyen . . . 44

3.2.3 Discussion . . . 47

3.3 Propagation de la lumi`ere dans les r´eseaux de guides d’onde . . . 49

3.3.1 Pr´esentation . . . 49

3.3.2 Mod`ele th´eorique . . . 50

3.3.3 Discussion . . . 53

3.4 Conclusion et perspectives . . . 53

4 Propagation d’un paquet d’onde dans l’´equation de Gross-Pitaevskii 57 4.1 Contexte . . . 57

4.2 Notion d’´etat coh´erent . . . 59

4.2.1 Expression et propri´et´es . . . 59

4.2.2 Distribution de Husimi . . . 60

4.2.3 Dynamique lin´eaire d’un paquet d’onde quelconque . . . 61

4.3 Rˆole des interactions . . . 63

4.3.1 R´esultat analytique . . . 64

4.3.2 Etude de stabilit´e . . . 65

4.3.2.1 Stabilit´e vis-`a-vis des conditions initiales . . . 65

4.3.2.2 Stabilit´e en pr´esence d’anharmonicit´e . . . 66

4.4 Article 1 : Wavepacket Dynamics in Nonlinear Schr¨odinger Equations . 68 4.5 Discussion et perspectives . . . 78

5 La Superfluidit´e 81 5.1 Ph´enom´enologie de la superfluidit´e . . . 82

5.2 Superfluidit´e et condensation de Bose-Einstein . . . 83

5.2.1 Quantification de la circulation . . . 83

5.2.2 Crit`ere de Landau - Vitesse critique . . . 84

5.3 Ecoulement superfluide d’un condensat unidimensionnel . . . 86

5.3.1 Solution stationnaire de Gross Pitaevskii libre . . . 86

5.3.2 Ecoulement d’un condensat sur un potentiel diffuseur . . . 89

5.3.3 Observation exp´erimentale de la superfluidit´e de condensats de Bose-Einstein . . . 92

5.3.3.1 Crit`ere de stabilit´e des solutions superfluides . . . 92

5.3.3.2 Condensat immobile balay´e par un potentiel diffuseur . 95 5.3.3.3 Superfluidit´e des oscillations dipolaires . . . 95

5.4 Les diff´erents superfluides . . . 100

6 Superfluidit´e de la lumi`ere 105 6.1 Id´ee principale . . . 105

6.2 Mod`ele th´eorique . . . 107

6.3 R´esum´e des r´esultats de l’article 2 . . . 110

6.4 Article 2 : Superfluid Motion of Light . . . 112

6.5 Perspectives de r´ealisation exp´erimentale . . . 117

6.5.1 Sans obstacle - Influence de la s´eparatrice . . . 120

6.5.2 Avec obstacle - Visibilit´e de la superfluidit´e . . . 127

6.5.3 Conclusion . . . 133

7 Conclusion 137

A Annexe : M´ethodes num´eriques 141

TABLE DES MATI`ERES v

Table des figures 145

Bibliographie 149

Abstract 156

R´esum´e 157

Chapitre 1

Introduction

La m´ecanique quantique a ´et´e introduite au d´ebut du XX<sup>`eme</sup> si`ecle par Max Planck [82] dans l’optique de comprendre le probl`eme du rayonnement du corps noir. Cette id´ee de “quantum” d’´energie fut reprise notamment par Niels Bohr dans le mod`ele atomique portant son nom [10, 11, 12], mais plus notablement par Albert Einstein qui sugg´era l’existence de particules de lumi`ere [33] : les photons. Ce succ`es conduisit `a la compr´ehension des mesures exp´erimentales de l’effet photo´electrique, et valut `a Ein- stein le prix Nobel de Physique en 1921. Cette d´ecouverte souleva une question centrale dans la compr´ehension de la physique quantique : le concept de dualit´e onde corpus- cule. En effet la lumi`ere ´etait jusque l`a assimil´ee `a une onde, ob´eissant aux ´equations de Maxwell, ces derni`eres expliquant parfaitement les ph´enom`enes de diffraction, ou d’interf´erences. L’effet photo´electrique ne peut quant `a lui ˆetre compris que par un mod`ele corpusculaire. Par analogie, Louis de Broglie ´etendit ce concept aux particules massives (atomes, ´electrons, mol´ecules ...), `a chacune desquelles il associa une onde, de nombre d’onde reli´e `a l’impulsion de la particule : ~k = ~p/h o`u h est la constante de Planck [29]. Ceci fut confirm´e par la suite par les exp´eriences de diffraction des

´

electrons [28] et montra l’´equivalence conceptuelle entre lumi`ere et mati`ere, au travers de la dualit´e onde corpuscule.

En 1924, l’introduction de la statistique bosonique par Satyendranath Bose et sa collaboration avec Einstein mena `a la formalisation du ph´enom`ene de condensation dite de Bose-Einstein [14] : on pr´evoit qu’un gaz de bosons massifs refroidis en des- sous d’une certaine temp´erature critique se condense, c’est `a dire que ces particules occupent dans une proportion macroscopique le mˆeme ´etat quantique. Ce ph´enom`ene, consid´er´e `a l’´epoque comme irr´ealisable, suscita beaucoup d’int´erˆet lors de la d´ecouverte de la superfluidit´e dans l’h´elium en 1937. En effet Fritz London tenta de relier la th´eorie d’Einstein pour la condensation `a celle de Landau pour l’h´elium superfluide (dit h´elium II) mais la connection resta longtemps floue. C’est finalement la r´ealisation exp´erimentale des condensats de Bose-Einstein atomique [27, 5] qui permit d’avancer consid´erablement dans la compr´ehension de la superfluidit´e. Ceci concr´etisait une tren- taine d’ann´ees d’efforts exp´erimentaux dans le domaine du refroidissement des atomes, et donnait le jour `a une toute nouvelle physique.

Un condensat permet l’observation de divers ph´enom`enes quantiques `a une ´echelle macroscopique, et en particulier la mesure directe la fonction d’onde qu’occupent cha- cuns des atomes condens´es. Toutefois, il est ici important de noter que le condensat est

en quelque sorte le cas le moins riche d’un gaz de bosons `aN corps. Dans le cas g´en´eral, l’espace des configurations d’un tel objet est ´enorme tandis que celui d’un condensat est l’espace r´eel, correspondant `a l’espace des configurations d’une seule particule. En ce sens, la dynamique d’un condensat peut ˆetre assimil´ee `a la moins “quantique” de celles qui s’offrent `a un gaz quantique de bosons, et c’est en ce sens qu’un condensat peut ˆetre d´ecrit par un champ dit quasi-classique. En revanche, la dynamique peut ˆetre enrichie par la pr´esence d’interactions entre les particules, donnant lieu `a des ph´enom`enes col- lectifs comme, entre autres, la superfluidit´e. Sur le plan exp´erimental, les interactions entre les bosons sont tr`es bien contrˆol´ees grˆace `a l’interaction mati`ere rayonnement.

On peut encore une fois faire le lien avec l’optique quantique : un faisceau laser contient une ´enorme proportion de photons occupant le mˆeme ´etat individuel, appel´e

´etat coh´erent (ou quasi-classique) de la lumi`ere. Bien sˆur, il ne s’agit pas du mˆeme ´etat quasi-classique dans les deux cas, mais il existe tout de mˆeme une forte ressemblance entre un condensat de bosons massifs, et un faisceau laser.

Les comportements identiques de la mati`ere et de la lumi`ere vis `a vis des ph´enom`enes ondulatoires et corpusculaires ont pouss´e les physiciens `a envisager de r´ealiser d’autres exp´eriences d’optique avec des ondes de mati`ere. C’est dans les ann´ees 1960 que l’op- tique non lin´eaire a vu le jour [40], apr`es la cr´eation du laser [67]. Cette discipline regroupe (entre autres) des ph´enom`enes lumineux dans lesquels, via l’interaction de la lumi`ere avec les atomes d’un milieu mat´eriel, les fr´equences des faisceaux mis en jeu peuvent se m´elanger : A titre d’exemple, le m´elange `a quatre ondes consiste en l’interaction de trois faisceaux avec un cristal, cr´eant ainsi un quatri`eme faisceau ca- ract´eris´e par la les trois premi`eres sources. Des exp´eriences parfaitement similaires ont

´et´e r´ealis´ees avec des ondes de mati`ere, plus particuli`erement avec des condensats de Bose-Einstein [30], observant la cr´eation d’un quatri`eme condensat. Dans les syst`emes atomiques, la non lin´earit´e du milieu est remplac´ee par les interactions entre les atomes du condensat. Ceci sugg`ere que l’analogie entre lumi`ere et mati`ere peut ˆetre prolong´ee dans le domaine des syst`emes non lin´eaires (ou des gaz de particules en interactions).

L’une des probl´ematiques abord´ees dans ce manuscrit de th`ese se situe pr´ecis´ement

`

a cet endroit, et peut se formuler de la mani`ere suivante : Jusqu’o`u peut-on retrouver cette analogie entre lumi`ere et mati`ere, en particulier dans le domaine des gaz quan- tiques en interactions ? Plus pr´ecis´ement, alors qu’il est bien connu que les photons ne manifestent pas d’interactions entre eux, peut-on envisager d’observer des ph´enom`enes collectifs pour la lumi`ere, via l’optique non lin´eaire ? Ce manuscrit de th`ese th´eorique tentera d’apporter des ´el´ements de r´eponse `a cette question dans la perspective de la physique du transport quantique, et en vue d’une ´eventuelle r´ealisation exp´erimentale.

Le ph´enom`ene de coh´erence et les propri´et´es qui en d´ecoulent sont l’enjeu princi- pal de cette vaste th´ematique qu’est celle du transport quantique. Cette coh´erence est diff´erente de celle usuellement associ´ee `a une source lumineuse. Le terme de coh´erence peut ˆetre associ´e aux “´etats coh´erents” (o`u quasi-classique) introduits en m´ecanique quantique par Schr¨odinger en 1926 [89]. Ce dernier a introduit ces ´etats pour les pro- pri´et´es classiques que manifestait leur dynamique dans un oscillateur harmonique. En particulier la tendance spontan´ee qu’a un paquet d’onde `a s’´etaler est ici absente, ce qui signifie que la particule reste localis´ee, tout en suivant la dynamique qu’aurait une particule classique dans ce mˆeme syst`eme.

La notion de coh´erence peut ˆetre ´etendue `a la physique `a N corps : elle d´esigne alors la robustesse qu’ont les particules d’un condensat `a rester dans l’´etat macro-

Chapitre 1. Introduction 3 scopiquement occup´e. L’interpr´etation du concept devient alors beaucoup plus riche puisque disparition de la coh´erence rime alors avec destruction du condensat. Dans le cadre de l’´equation de Gross-Pitaevskii, le terme non lin´eaire provenant des inter- actions r´epulsives entre les particules, acc´el`ere le ph´enom`ene d’´etalement du paquet d’onde dans l’espace libre, ce qui complique la situation si l’on d´esire trouver une dy- namique dont la coh´erence ne souffre pas. Un des d´efis du transport quantique est d’utiliser la coh´erence d’un paquet d’onde (lumineux, ou mat´eriel : bosonique ou fer- mionique), dans le but de cr´eer des circuits logiques parfaits, dans l’optique de r´ealiser un ordinateur quantique. Sur le plan exp´erimental, le laser `a atomes, ou encore les puces `a atomes montrent les avanc´ees en mati`ere de transport coh´erent.

Une autre manifestation de la coh´erence d’un condensat de Bose-Einstein, est la capacit´e (sous certaines conditions) `a se d´eplacer `a travers un obstacle sans la moindre perturbation. On comprend bien l’int´erˆet ´enorme que suscite cette propri´et´e appel´ee superfluidit´e, dans la communaut´e du transport quantique. En effet, ce ph´enom`ene joue en faveur du maintient de la coh´erence du paquet d’onde, lorsque, par exemple, l’environnement du condensat comporte des obstacles.

Dans ce cadre, la plupart des ´etudes qui suivent concerneront la dynamique ou la propagation d’un paquet d’onde exp´erimentalement r´ealisables, et leurs propri´et´es de transport sous diff´erentes conditions. En particulier nous nous int´eresserons aux diff´erents processus qui induisent une diminution, voire une disparition, de la coh´erence d’un condensat de Bose-Einstein. Nous nous interrogerons sur les sources de la d´ecoh´erence (pr´esence d’obstacle, rˆole des interactions, effet de la temp´erature), et `a leurs cons´equences sur la propagation du paquet d’onde.

Plan du manuscrit

Le chapitre (2) est consacr´e `a la th´eorie ´el´ementaire des condensats de Bose-Einstein, et

`

a leurs propri´et´es g´en´erales. Nous y d´eriverons l’´equation de Gross-Pitaevskii d´ecrivant la dynamique d’un condensat de Bose-Einstein, et nous discuterons les hypoth`eses de sa validit´e. Notre ´etude se focalise sur les syst`emes unidimensionnels, et plus parti- culi`erement dans le r´egime de champ moyen 1D, dont nous donnerons le cadre d’appli- cation. L’essentiel de ce chapitre est inspir´e du cours de M´ecanique quantique avanc´ee, d’Yvan Castin, du cours de Claude Cohen-Tannoudji donn´e au Coll`ege de France, ainsi que du livre de Sandro Stringari et Lev Pitaevskii : Bose-Einstein Condensation [81].

Dans le chapitre (3), nous exposerons dans un premier temps les notions de base de l’optique non lin´eaire, et nous insisterons particuli`erement sur l’´equation que v´erifie un faisceau laser se propageant dans un milieu dit Kerr (non lin´eaire d’ordre 3). Sa ressemblance avec l’´equation de Gross-Pitaevskii sera expliqu´ee dans la seconde partie de ce chapitre, par une ´etude originale consistant `a la red´erivation de cette ´equation de propagation, partant d’un hamiltonien quantique d´ecrivant un gaz de photons dans un milieu Kerr. Enfin, nous pr´esenterons de mani`ere non exhaustive des syst`emes na- nophotoniques consistu´es de r´eseaux de guides d’onde monomodes, et donnerons les principaux avantages pr´esent´es par de tels syst`emes.

Nous avons ´evoqu´e dans cette introduction la notion d’´etat quasi-classique pour un champ lumineux. Ce concept, introduit par Schr¨odinger dans le but de faire le lien entre les th´eoriques quantique et classique, sera pr´esent´e dans le chapitre (4) sous l’angle de

la dynamique de paquets d’onde dans l’´equation de Schr¨odinger. Enfin, dans l’article 1, nous ´etendrons ce concept `a la dynamique dans l’´equation de Gross-Pitaevskii, en in- troduisant une solution exacte de cette ´equation, pr´esentant un transport ne modifiant pas la forme du profil de densit´e au cours du temps. Nous discuterons la stabilit´e de cette solution vis `a vis de perturbations sur l’´etat initial, ou bien du potentiel ext´erieur.

Enfin, nous observerons que la coh´erence du condensat est dissip´ee lorsque le potentiel ext´erieur contient une anharmonicit´e. Nous discuterons en conclusion d’´eventuels liens existant entre nos r´esultats num´eriques sur ce th`eme et les observations exp´erimentales d’amortissement des oscillations dipolaires d’un condensat, lorsque ce dernier coexiste avec un nuage thermique de particules non condens´ees.

La superfluidit´e, et particuli`erement celle des condensats de Bose-Einstein unidi- mensionnels sera pr´esent´ee et ´etudi´ee en d´etail dans le chapitre (5). Apr`es une br`eve introduction historique de la superfluidit´e de l’h´elium II, nous discuterons en d´etail le crit`ere de Landau pour la superfluidit´e¹, et l’appliquerons au transport des condensats de Bose-Einstein en pr´esence d’une impuret´e, ainsi que les exp´eriences reli´ees. Nous re- viendrons sur le lien existant entre superfluidit´e et condensation de Bose Einstein. Enfin nous ouvrirons une discussion sur la nature du ph´enom`ene, et ses possibles connexions avec des exp´eriences de fluides classiques pr´esentant des caract`eres similaires comme l’absence de dissipation dans les ondes capillaires de gravit´e [85].

Enfin, le chapitre (6) pr´esentera les r´esultats obtenus dans l’article 2, proposant un dispositif exp´erimental visant `a observer un caract`ere superfluide durant la propagation d’un faisceau laser dans un r´eseau de guides d’onde non lin´eaires. Nous pr´esenterons le mod`ele th´eorique ´etudi´e, et montrerons que la structure de l’espace des phases dans un mod`ele discret influe gravement sur la propagation lumineuse. L’article sera suivi d’une discussion concernant la faisabilit´e d’une telle exp´erience. Les r´esultats de cette derni`ere section ont ´et´e obtenus dans le cadre d’une collaboration amorc´ee en avril 2010 avec le groupe exp´erimental d’Ariel Levenson du Laboratoire de Photonique et Nano- structures de Marcoussis. Nous donnerons les principaux atouts d’une telle exp´erience, ainsi que les points qui restent `a ´eclaircir. Enfin, nous discuterons des cons´equences de l’existence d’un r´eseau (de guides d’onde) en terme de dissipation comparerons la perte de coh´erence observ´ee `a celles identifi´ees au pr´ealable dans ce manuscrit.

Le lecteur pourra trouver en annexe A, le principe de la m´ethode num´erique utilis´ee afin d’int´egrer l’´equation de Gross-Pitaevskii unidimensionnelle d´ependant du temps (programme ´ecrit par Tobias Paul).

1. Ces parties introductives sont largement inspir´ees du livre de Philippe Nozi`eres et David Pines The Theory of Quantum Liquids : Volume II [74].

Chapitre 2

Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein

Sommaire

2.1 Description qualitative de la condensation . . . 7

2.2 Thermodynamique du gaz de bosons id´eal . . . 8

2.2.1 Gaz de bosons dans une boˆıte . . . 8

2.2.2 Ph´enom`ene de condensation . . . 9

2.3 Gaz de bosons en interaction . . . 11

2.3.1 Mod`ele en seconde quantification . . . 12

2.3.2 Approche de Bogoliubov - Equation de Gross-Pitaevskii . . . 13

2.3.3 Equation de Gross-Pitaevskii d´ependant du temps . . . 15

2.4 Applications du formalisme `a des cas pratiques . . . 17

2.4.1 Condensat homog`ene - Spectre de Bogoliubov . . . 17

2.4.2 Condensat dans un pi`ege harmonique . . . 21 2.4.3 Th´eorie effective pour les condensats quasi-unidimensionnels 26

2.1 Description qualitative de la condensation

Un condensat de Bose-Einstein est un ´etat particulier d’un gaz de bosons, lorsque ces derniers sont port´es `a tr`es basse temp´erature. C’est sous ces conditions que les effets quantiques des particules deviennent pr´epond´erants devant les fluctuations thermiques.

En effet la r´eduction de ces fluctuations a pour effet de maintenir chaque boson dans son

´

etat quantique de plus basse ´energie (fondamental). Ceci n’est en revanche pas permis pour un gaz de fermions, qui sont soumis au principe d’exclusion de Pauli. Un crit`ere pertinent concernant le traitement quantique ou non d’un gaz consiste `a comparer la distance moyenne entre deux particulesn^−1/3 (o`un est la densit´e moyenne du gaz end dimensions), et la longueur d’onde thermique de De Broglieλ_dB = ^{√ h}

2πmkBT. A l’´echelle de cette longueur, une particule doit ˆetre consid´er´ee comme quantique, d´ecrite par une fonction d’onde donnant sa distribution spatiale de probabilit´e de pr´esence. Ceci donne une fronti`ere quantitative entre les r´egimes classique et quantique du gaz, c’est `a dire entre les th´eories ondulatoire et corpusculaire de la mati`ere. A haute temp´erature,

lorsque λ_dB est n´egligeable devant la distance interparticulaire, les particules n’in- terf`erent pas et le gaz est gouvern´e par la th´eorie cin´etique des gaz. En revanche, `a basse temp´erature, lorsque la longueur d’onde de De Broglie est de l’ordre de la dis- tance interparticulaire, les fonctions d’ondes se recouvrent, et il devient n´ecessaire de traiter le probl`eme du point de vue quantique, `a cause des ph´enom`enes d’interf´erence.

C’est dans ce dernier r´egime que la condensation apparaˆıt et que les bosons adoptent un comportement collectif, tr`es diff´erent d’un gaz dit classique. Cette phase de la mati`ere est particuli`erement int´eressante du fait de la possibilit´e exp´erimentale d’avoir un condensat contenant environ 10<sup>5</sup> atomes (`a une temp´erature de l’ordre du µK), et par cons´equent, d’observer le comportement quantique non pas d’un atome mais de 10⁵. La description quantitative la plus simple permettant d’exhiber la condensation de Bose-Einstein est donn´ee dans la section suivante (2.2).

2.2 Thermodynamique du gaz de bosons id´ eal

2.2.1 Gaz de bosons dans une boˆıte

Dans cette section, on consid`ere un gaz deN bosons indiscernables sans interaction,

`

a la temp´erature T, dans une boˆıte cubique de cˆot´e L. Nous cherchons `a d´eterminer l’´etat d’´equilibre thermodynamique de ce gaz. La quantification des niveaux d’´energie de chaque particule est donn´ee par

n = p²_n

2m o`u p²_n= 4π²~²

L² (n²_x+n²_y+n²_z) et (nx, ny, nz)∈Z³, (2.1) pour des conditions aux limites p´eriodiques¹. Du fait que les particules n’interagissent pas, l’´etat fondamental du gaz est donn´e par (n_x, n_y, n_z) = (0,0,0) pour chaque atome, et donne une ´energie totale nulle. Afin de calculer les quantit´es thermodynamiques du gaz, nous ferons l’approximation du spectre continu² de calculer la densit´e d’´etatsρ(E) donn´ee par la relation :

ρ()d = L³

h³d³p ρ() = 2πV

h³ (2m)^3/2√

. (2.2)

Dans l’ensemble grand canonique, le nombre total de bosons N est donn´e par une somme sur le spectre des nombres d’occupation bosonique :

N =X

~ p

hn_~pi o`u hn_~pi= 1

e^β(p~−µ)−1. (2.3) Du fait que l’´energie du fondamental est nulle, le potentiel chimique µest n´egatif, ce qui impose `a la fugacit´e z =e^βµ d’ˆetre comprise entre 0 et 1. Nous nous attendons

`

a avoir, en dessous d’une certaine temp´erature de condensation T_c, l’accumulation d’un nombre macroscopiqueN₀ de bosons dans leur fondamental. C’est pourquoi nous

1. Nous examinerons cette hypoth`ese dans une discussion ult´erieure.

2. Cette approximation consiste `a remplacer une somme sur les impulsions discr`etes par une int´egrale :P

~ pn →R

ρ(~p)d³~p.

Chapitre 2. Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 9

Figure2.1: Fonction de Boseg^3/2(z) en rouge. Premi`ere bissectrice en noir.

´

ecrirons N comme la somme de N₀ et de N₁, nombre de bosons occupant les ´etats excit´es, de la mani`ere suivante :

N =N₀ +N₁ = z 1−z +

Z ∞ 0

d ρ()

z⁻¹e^β−1. (2.4)

En effectuant un d´eveloppement en s´erie, puis changement de variable sur l’int´egrale, nous obtenons finalement que

N =N₀+N₁ = z

1−z + V

λ³_dBg^3/2(z) , (2.5) o`u g^3/2 est la fonction de Bose d´efinie par g^3/2(x) =P∞

l=1 x^l

l^3/2 dont les variations sont exhib´ees en figure (2.1).

2.2.2 Ph´ enom` ene de condensation

Afin de d´eterminer le nombre de particules dans l’´etat fondamental, il nous suffit donc de r´esoudre graphiquement l’´equation

z

N(1−z) = 1− g^3/2(z)

nλ³_dB , (2.6)

en fonction dez. Sur la figure (2.2), nous avons trac´e, pourN = 100, ces deux fonctions de z pour trois valeurs de la temp´erature, soit nλ³_dB = 0.1 (a), nλ³_dB = 2.612 (b), nλ³_dB = 20 (c), et en cherchons l’intersection dans chacun des trois cas.

Appelonsf₀ =N₀/N =z/(N(1−z)) la fraction condens´ee. Partons d’une temp´erature

´

elev´ee, telle que nλ³_dB 1. Il est clair que le z solution de l’´equation (2.6) donne une solution correspondant `a une fraction condens´ee asymptotiquement nulle (voir fig. (2.2)(a)). En augmentant la temp´erature, nλ<sup>3</sup><sub>dB</sub> devient de l’ordre de g<sup>3/2</sup>(1) = ζ(3/2), et la transition de condensation s’op`ere `a la temp´erature Tc correspondant `a nλ³_dB =ζ(3/2) (fig. (2.2)(b)), soit :

T_c= 2π~² k_Bm

n ζ(3/2)

2/3

(2.7)

(a) (b) (c)

Figure 2.2: D´etermination graphique de la fraction condens´ee f0 pour trois valeurs de nλ³_dB diff´erentes : avant, `a et apr`es la transition. L’ordonn´ee du point d’intersection de z/(N(1−z)) et de 1−^gnλ^3/23_dB^(z) donne la valeur def0 tandis que son abscisse donne la fugacit´e du gaz `a ce point.

o`u k<sub>B</sub> est la constante de Boltzmann. Dans ce cas de figure, nous voyons claire- ment sur la figure (2.2)(b) l’occupation macroscopique naissante du niveau fondamen- tal du gaz. Enfin, pour des temp´eratures inf´erieures `a cette temp´erature critique, la fraction condens´ee f₀ croˆıt encore, pour atteindre 1 dans le cas de la temp´erature strictement nulle. Les valeurs de param`etres exp´erimentaux typiques donnent une

´energie de fluctuation thermiquek_BT_ctr`es sup´erieure `a l’´ecart typique entre les niveaux d’´energie _(1,0,0) −_(0,0,0), ce qui permet de justifier le passage de la somme discr`ete `a l’int´egrale continue, que nous avons effectu´e depuis le d´ebut notre ´etude. De mani`ere plus synth´etique, i.e. `a la limite thermodynamique (N → ∞, V → ∞ mais n =N/V constant), on a les trois cas suivant :

– Pour T > T_c, f₀ = 0 et il n’y a pas de condensat.

– Pour T < T_c, f₀ = 1− ^g_nλ^3/23(z)

dB ≈1− ^ζ(3/2)_nλ³

dB

= 1−

T Tc

3/2

car dans la limite ther- modynamique, l’expressionz/(N(1−z)) vaut 1 pour z = 1 et 0 partout ailleurs.

– Pour T = 0, f₀ = 1 strictement dans ce mod`ele.

La figure (2.3) montre la r´ealisation exp´erimentale du premier condensat de Bose- Einstein gazeux, effectu´ee dans le groupe d’E. Cornell et C. Wieman en 1995 [5] . Ce condensat contenait environ 2·10³ atomes de Rubidium 87, refroidis `a environ 200nK. Quelques mois plus tard, et de mani`ere ind´ependante, W. Ketterle r´ealisait lui aussi un condensat au MIT (Massachusetts), d’environ 5·10⁵ atomes de Sodium 23 [27]. Tous les trois re¸cˆurent le prix Nobel de Physique en 2001 pour ces d´ecouvertes, ouvrant la voie `a toute une nouvelle physique.

Bien ´evidemment, il est n´ecessaire de nuancer la validit´e de ce mod`ele bien sim- pliste. Revenons tout d’abord sur l’hypoth`ese des conditions aux limites p´eriodiques.

Ces derni`eres simplifient beaucoup les calculs de densit´e d’´etats, et par cons´equent les calculs qui en d´ecoulent. Toutefois, si l’on impose aux fonctions d’onde de s’annuler sur les bords (hypoth`ese nettement plus r´ealiste d’un point de vue exp´erimental), la densit´e de particules dans le condensat n’est plus uniforme, et la limite thermodyna- mique devient plus compliqu´ee. Afin de tendre vers l’hypoth`ese formul´ee par Einstein pour obtenir un condensat, il nous faut consid´erer des gaz dits “ dilu´es”, i.e. pour les-

Chapitre 2. Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 11

Figure 2.3: Premi`ere observation exp´erimentale d’un condensat de Bose Einstein, `a au JILA de l’Universit´e de Boulder (Colorado), dans le groupe de Eric Cornell Carl Wieman en 1995. Visualisation de la distribution de vitesse des atomes de Rubidium `a une temp´erature sup´erieure `a la temp´erature critique (`a gauche), `a cette mˆeme temp´erature (au milieu), et `a une temp´erature plus faible (`a droite).

Les atomes sont pi´eg´es dans un potentiel harmonique, et c’est pourquoi le condensat prend la forme d’une gaussienne, qui correspond `a l’´etat fondamental (dans l’espace r´eciproque) de ce potentiel.

quelles la distance interatomique est comparable `a la longueur d’onde de de Broglie. La contrepartie `a cette hypoth`ese est que la temp´erature critique de condensation diminue lorsque l’on r´eduit la densit´e de particule. Il s’agit donc de trouver un compromis entre densit´e et temp´erature afin d’`a la fois rester dans le cadre du gaz dilu´e, et d’obtenir des temp´eratures de transition r´ealisables exp´erimentalement. L’hypoth`ese consistant

`

a n´egliger les interactions entre les particules est donc trop grossi`ere si l’on veut ´etudier un syst`eme r´ealiste, c’est pourquoi nous ´etudierons dans la section qui suit, l’effet des interactions entre les bosons.

2.3 Gaz de bosons en interaction

La th´eorie d´evelopp´ee dans cette section vaut pour un gaz de bosons dilu´es, sans spin, en interaction faible, c’est `a dire que l’on consid`ere les collisions `a deux particules comme des ´ev`enements faiblement ´energ´etiques (uniquement les collisions d’ondes dites

“s”). D’autre part, l’hypoth`ese du gaz dilu´e³ se traduit ´egalement dans le fait que le potentiel d’interaction entre les particules a une ´echelle de longueur bien inf´erieure

`

a la distance interparticulaire moyenne. De ce fait, il est raisonnable de simplifier le potentiel d’interactionV(~r−~r⁰) entre deux bosons indiscernables situ´es respectivement aux positions~r etr~⁰ par une distribution de Dirac :

V(~r−r~⁰) =gδ(~r−~r⁰) , (2.8) o`u g est une constante dite d’interaction s’exprimant en fonction de la longueur de diffusion a des ondes s comme

g = 4π~²a

m . (2.9)

Cette expression est donn´ee par l’approximation de Born, consistant `a r´eduire l’impact de la pr´esence d’interactions `a l’ordre le plus faible non nul en V.

3. L’hypoth`ese du gaz dilu´e est ´egalement commun´ement appel´e gaz faiblement interagissant.

2.3.1 Mod` ele en seconde quantification

L’´etat fondamental de ce syst`eme est d´ecrit par la fonction d’onde `a N corps Ψ(r~₁, . . . , ~r_N) normalis´ee `a N⁴, elle mˆeme v´erifiant l’´equation de Schr¨odinger :

E₀Ψ = HΨ , o`u H=X

i

−~² 2m

∇~i

2+V_ext(~r_i)

| {z }

d´efini commeh₁

+1 2

X

i

X

j6=i

V(~r_i−r~_j) (2.10)

o`uE<sub>0</sub> est l’´energie de l’´etat fondamental,h<sub>1</sub> l’hamiltonien `a 1 corps, et V_ext le potentiel ext´erieur ressenti par chaque particule. Il est commode pour notre probl`eme d’utili- ser le formalisme de la seconde quantification. On d´efinit l’op´erateur champ ˆΨ(~r) qui correspond `a l’op´erateur bosonique⁵ d’annihilation d’un ´etat position|~riparfaitement localis´e en~r. On peut notamment d´ecomposer ˆΨ(~r) sur une base d’´etatsn

|~kio

index´es par les vecteurs~k de la mani`ere suivante :

Ψ(~ˆ r) =X

~k

h~r|~kiaˆ_~k , (2.11) o`u ˆa~k est l’op´erateur d’annihilation du ket|~ki, v´erifiant ´egalement les relations de com- mutation usuelles pour les bosons. Il est ais´e de montrer que l’ hamiltonien (2.10) peut ˆetre formul´e dans le formalisme de la seconde quantification de la mani`ere suivante :

Hˆ =

Z ~² 2m

∇~Ψˆ^†(~r)∇~Ψ(~ˆ r) + ˆΨ^†(~r)V_ext(~r) ˆΨ(~r)

d³~r +1

2

Z Ψˆ^†(~r) ˆΨ^†(r~⁰)V(~r−~r⁰) ˆΨ(~r⁰) ˆΨ(~r)

d³~rd³r~⁰ .

(2.12)

En utilisant notre hypoth`ese d’interactions faibles, nous rempla¸cons le potentiel d’interaction par une fonction δ de Dirac, et on obtient finalement :

Hˆ =Z

Ψˆ^†h₁Ψ +ˆ g 2

Ψˆ^†Ψˆ^†Ψ ˆˆΨ

d³~r , (2.13)

o`u ˆΨ(~r) a simplement ´et´e remplac´e par ˆΨ par soucis de lisibilit´e. On d´efinit `a pr´esent l’op´erateur bosonique d’annihilation ˆa_φassoci´e au modeφ du condensat. On peut alors

´ecrire la d´ecomposition de l’op´erateur champ comme :

Ψ(~ˆ r) = φ(~r)ˆaφ+ ˆψ⊥(~r) , (2.14) dans laquelle ˆψ⊥(~r) est la composante du champ non condens´ee⁶. Dans cette ´ecriture, φ(~r) correspond `a la fonction d’onde d’un boson, lorsque ce dernier est dans le conden- sat, et sa d´etermination est le but de la d´ecomposition (2.14). Nous allons maintenant simplifier l’hamiltonien du syst`eme, en effectuant une approximation suppl´ementaire : le gaz de bosons est suppos´e presque enti`erement condens´e. Ceci constitue le point de d´epart de la th´eorie de Bogoliubov d´evelopp´ee dans la section suivante.

4. La normalisation de Ψ(~r1, . . . , ~rN) est choisie comme suit :R

|Ψ(r~1, . . . , ~rN)|²d³r~1. . . d³r~N =N. 5. Un op´erateur ˆanbosonique signifie que l’op´erateur en question v´erifie les relations habituelles de commutation : h

ˆ an,aˆ^†_n0

i=δn,n⁰. En l’occurence, l’op´erateur ˆΨ(~r) v´erifie la relation de commutation hΨ(~r),ˆ Ψˆ^†(~r⁰)i

=δ(~r−r~⁰)

6. On peut d´efinir rigoureusement cet op´erateur comme un op´erateur quelconque appartenant au sous-espace de Hilbert orthogonal au mode ˆaφ.

Chapitre 2. Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 13

2.3.2 Approche de Bogoliubov - Equation de Gross-Pitaevskii

La th´eorie de Bogoliubov consiste en un d´eveloppement `a l’ordre 2 en ˆψ⊥(~r) du hamiltonien (2.13), sous l’hypoth`ese que le gaz est presque totalement condens´e. Plus pr´ecis´ement on peut ´ecrire le nombre de particule total comme :

Nˆ = Z

Ψˆ^†Ψdˆ ³~r = ˆa^†_φˆa_φ Z

|φ(~r)|²d³~r

| {z }

=1

+ Z

ψˆ_⊥ψˆ_⊥d³~r+ termes crois´| {z es}

=0 par d´efinition de ˆψ⊥

, (2.15)

o`u ˆn<sub>φ</sub> ≡ ˆa<sup>†</sup><sub>φ</sub>ˆa<sub>φ</sub> d´esigne l’op´erateur nombre de particules dans le condensat, et ˆN⊥ ≡ R ψˆ⊥ψˆ⊥d<sup>3</sup>~r l’op´erateur nombre de particules non condens´ees. Par cons´equent, l’hy- poth`ese de Bogoliubov se r´esume math´ematiquement `a consid´erer que

hnˆ_φi hNˆ⊥i . (2.16)

En substituant l’expression de l’op´erateur champ (2.14) dans l’hamiltonien for- mul´e (2.13), on obtient :

– `a l’ordre 0 en ψˆ⊥(~r) :

Le nombre de particule non condens´ees est nul, et par cons´equent, ˆn_φ ≈ N qui est un nombre r´eel. L’ordre 0 correspond donc `a une approximation de champ classique. L’hamiltonien s’´ecrit comme suit.

Hˆ₀ =Z ˆ

n_φφ^∗h₁φ+ g

2ˆa^†_φˆa^†_φˆa_φˆa_φ|φ|⁴ d³~r

≈N Z

φ^∗h₁φ+ gN 2 |φ|⁴

d³~r ≡E^GP[φ, φ^∗]

(2.17)

Cette derni`ere expression, est appel´eefonctionnelle d’´energie de Gross-Pitaevskii, et sa minimisation d´etermine la fonction d’ondeφ₀(~r) du condensat dans son ´etat fondamental. C’est en annulant la d´eriv´ee fonctionnelle deE^GP[φ, φ^∗] par rapport

`

aφ^∗ tout en imposant la conservation du nombreN de particules que l’on obtient l’´equation de Gross-Pitaevskii :

µφ₀(~r) =

− ~²

2m∇²+V_ext(~r)

φ₀(~r) +gN|φ₀(~r)|²φ₀(~r) . (2.18) Le param`etre µ dans l’´equation pr´ec´edente (2.18) a ´et´e introduit en tant que multiplicateur de Lagrange afin d’assurer la conservation du nombre de particules.

On peut montrer qu’il correspond en fait au potentiel chimique d´efini comme ^∂E_∂N, et repr´esente le gain d’´energie du syst`eme provoqu´e par l’ajout d’une particule dans le condensat.

L’´equation de Gross-Pitaevskii est structurellement similaire `a l’´equation de Schr¨odin- ger `a laquelle on a rajout´e un terme non-lin´eaire gN|φ₀(~r)|² interpr´et´e comme un potentiel effectif rendant compte, dans une approche dite de champ moyen, des interactions entre les particules. Toutefois sa signification est relativement diff´erente de l’´equation de Schr¨odinger, et ce sur divers aspects : comme signal´e

plus haut, µn’est pas l’´energie du condensat mais bien le potentiel chimique du syst`eme, de plus, cette ´equation est construite afin de d´eterminer l’´etat fondamen- tal du condensat, et chercher des ´etats excit´es de cette ´equation n’a `a priori pas de sens. Nous verrons par la suite que cette ´equation peut d´ecrire des exp´eriences d’atomes ultra-froids avec une pr´ecision ´etonnante.

– `a l’ordre 1 en ψˆ_⊥(~r) :

Puisque φ v´erifie l’´equation de Gross Pitaevskii (2.18), on a directement :

Hˆ₁ = 0 . (2.19)

– `a l’ordre 2 en ψˆ⊥(~r) :

L’hamiltonien d’ordre 2 poss`ede deux contributions : la premi`ere est la contribu- tion dite “directe”, i.e. le terme

Z Ψˆ^†_⊥h₁Ψˆ_⊥+g 2

h

φ²Ψˆ^†_⊥Ψˆ^†_⊥ˆa_φˆa_φ+φ^∗2ˆa^†_φˆa^†_φΨˆ_⊥Ψˆ_⊥+ 4|φ|²ˆa^†_φΨˆ^†_⊥Ψˆ_⊥ˆa_φi d³~r ,

(2.20) obtenu en ne gardant que les termes d’ordre 2 en ˆΨ_⊥, apr`es substitution de l’op´erateur champ (2.14) dans l’hamiltonien. La deuxi`eme contribution au ha- miltonien d’ordre 2 vient du fait qu’`a l’ordre 0, nous avions n´eglig´e ˆN⊥ dans l’expression ˆn<sub>φ</sub>=N−Nˆ<sub>⊥</sub>. Ceci doit ˆetre corrig´e `a l’ordre 2 par le terme suivant :

Z −Nˆ⊥φ^∗h₁φ−g

2(−2NNˆ⊥)|φ|⁴

d³~r=−µNˆ⊥ , (2.21) o`u l’´egalit´e est dˆue `a la validit´e de l’´equation de Gross-Pitaevskii (2.18). Fina- lement, le hamiltonien d’ordre 2 est la somme des deux contributions exhib´ees ci-dessus (2.20) ainsi que (2.21).

Nous pouvons d´efinir des op´erateurs d’annihilation ˆA_φ et de cr´eation ˆA^†_φ tels que ˆa_φ = ˆA_φp

ˆ

n_φ. Cette d´efinition correspond en fait `a ce que l’op´erateur ˆA<sub>φ</sub> (resp. ˆA<sup>†</sup><sub>φ</sub>) annihile (resp. cr´ee) une particule dans le condensat, sans rajouter de coefficient multiplicateur. De ce fait, nous avons ˆA<sub>φ</sub>Aˆ<sup>†</sup><sub>φ</sub> = 1, alors que ˆA<sup>†</sup><sub>φ</sub>Aˆ<sub>φ</sub> = 1−Zˆ o`u ˆZ est le projecteur dans la sous-espace correspondant `a 0 particules dans le condensat. Etant donn´e l’hypoth`ese de d´epart de gaz presque totalement condens´e, nous pouvons facilement n´egliger l’op´erateur ˆZ, et en d´eduire que ˆA_φ est un op´erateur unitaire⁷. Dans ce cas, nous pouvons r´e´ecrire l’hamiltonien `a l’ordre 2 en termes des op´erateurs ˆΛ ≡ Aˆ^†Ψˆ⊥ et son hermitien conjugu´e ˆΛ^† qui v´erifient notamment ˆΛ^†Λ = ˆˆ Ψ^†_⊥Ψˆ⊥.

La d´efinition de ces op´erateurs est naturelle car ils correspondent aux op´erations decr´eation d’une particule dans le mode condens´e +annihilation d’une particule non condens´ee pour ˆΛ et l’op´eration inverse pour ˆΛ^†. Cette derni`ere manipulation

7. Un op´erateur ˆAest unitaire s’il v´erifie ˆAAˆ^†= ˆA^†Aˆ= 1.

Chapitre 2. Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 15 conduit `a l’expression du hamiltonien complet au second ordre en ˆψ_⊥, appel´e le hamiltonien de Bogoliubov :

Hˆ_Bog =E^GP[φ, φ^∗] +1 2

Z Λˆ^† ,−Λˆ Lˆ Λˆ

Λˆ^†

d³~r , (2.22) avec l’op´erateur ˆL suivant :

Lˆ=

h₁+ 2gN|φ|²−µ gN φ²

−gN φ^∗2 −(h₁+ 2gN|φ|²−µ)

. (2.23)

Ce hamiltonien ´etant quadratique en ˆΛ et ˆΛ^†, les ´equations d’Heisenberg portant sur ces op´erateurs sont lin´eaires et peuvent ˆetre ´ecrites de mani`ere synth´etique sous la forme :

i~∂

∂t Λˆ

Λˆ^†

= ˆL Λˆ

Λˆ^†

. (2.24)

Ce syst`eme rassemble les ´equations dites de Bogoliubov-de Gennes, qui seront plusieurs fois ´evoqu´ees dans ce manuscrit. La diagonalisation de l’op´erateur ˆL conduit `a l’obtention du spectre d’excitations de l’´etat fondamental de l’hamilto- nien ˆH_Bog. Il faut tout de mˆeme noter qu’`a priori, l’´etat fondamental donn´e par la solution de l’´equation de Gross-Pitaevskii ne co¨ıncide pas avec le fondamental donn´e par le traitement des termes d’ordres 2, et donc que l’´energie du fonda- mental est elle mˆeme corrig´ee par l’inclusion de ces termes⁸.

Nous appliquerons cette th´eorie et r´esoudrons les ´equations de Bogoliubov-de Gennes sur des exemples concrets dans les sections suivantes.

2.3.3 Equation de Gross-Pitaevskii d´ ependant du temps

Dans cette section, nous nous int´eressons `a la dynamique d’un gaz de bosons en in- teractions. Plus pr´ecis´ement nous allons raisonner ici dans le formalisme de la premi`ere quantification, et traiter dans ce cadre les approximations faites dans les sections (2.3.1) et (2.3.2).

Pour ce faire, reprenons l’´equation de Schr¨odinger d´ependante du temps i~∂

∂tΨ(r~₁, . . . , ~r_N, t) =HΨ(r~₁, . . . , ~r_N, t) , (2.25) o`uHest l’hamiltonien (2.10), et Ψ(~r<sub>1</sub>, . . . , ~r<sub>N</sub>, t) la fonction d’onde `aN points, dans le formalisme de la premi`ere quantification. On peut montrer que l’´equation de Schr¨odin- ger n’est autre que l’´equation du mouvement que v´erifie la fonction d’onde Ψ, d´ecoulant de la minimisation d’une action S = R

dtR

d³~rL o`u la densit´e lagrangienne L peut s’´ecrire comme suit :

L= i~

2 [Ψ^∗∂_tΨ−Ψ∂_tΨ^∗]− ~² 2m

" _N X

i=1

∇~^r~iΨ·∇~^r~iΨ^∗

#

−Ψ^∗

" _N X

i=1

V_ext(~r_i) + 1 2

XN i=1

X

j6=i

V(~r_i−r~_j)

# Ψ .

(2.26)

8. Les d´etails sur la correction `a l’´energie du fondamental sont fournis `a la section (2.4.1.2)

L’approximation que nous avons d´evelopp´e plus haut consiste `a affirmer que presque tout le gaz de bosons ´etait condens´e. L’ordre 0 de cette approche correspond `a un gaz totalement condens´e, et a donn´e l’´equation de Gross-Pitaevskii (2.18), que doit v´erifier la fonction d’onde du fondamental du condensat. A cet instant, nous allons faire l’approximation suivante : Nous allons imposer `a la fonction d’onde `a N corps d’ˆetre le produit de N fois la mˆeme fonction φ(~r, t) ´evalu´ee aux N positions r~_i :

Ψ(r~₁, . . . , ~r_N, t) = √ N

YN i=1

φ(~r_i, t) , (2.27) Le facteur multiplicatif √

N assure la normalisation de la fonction φ `a l’unit´e. La minimisation de l’action, apr`es substitution, conduit `a :

i~∂φ(~r, t)

∂t =

−~²

2m∇² +V_ext(~r)

φ(~r, t) + (N −1) Z

d³r~⁰|φ(r~⁰, t)|²φ(~r, t) . (2.28) En ajoutant l’hypoth`ese du potentiel d’interaction en pic delta de Dirac, on obtient l’´equation Gross-Pitaevskii d´ependant du temps portant sur la fonction φ(~r, t) :

i~∂φ(~r, t)

∂t =

−~²

2m∇²+V_ext(~r)

φ(~r, t) +gN|φ(~r, t)|²φ(~r, t) . (2.29) Il est important de bien comprendre le cadre d’application de cette ´equation : L’ansatz que nous avons fait plus haut (fonction d’onde produit) r´eduit l’espace des solutions possibles, et par cons´equent l’action S n’est pas minimis´ee de mani`ere ab- solue par les solutions φ(~r, t) de l’´equation (2.29). La dynamique d’un ´etat initial est restreinte `a l’espace des fonctions d’onde produit, i.e. chaque particule est “forc´ee” de rester dans le condensat. Il faut donc ˆetre assez pr´ecautionneux quant `a l’utilisation de l’´equation (2.29).

On peut ´egalement noter que siφ₀(~r) est solution de l’´equation de Gross-Pitaevskii stationnaire (2.18), alors la fonction φ(~r, t) = φ₀(~r)e^−iµt~ est solution de l’´equation d´ependant du temps (2.29). Cette solution est une fonction d´ependant du temps de mani`ere triviale, c’est pourquoi nous d´ecidons de la retirer et de r´e´ecrire l’´equation (2.29) sous la forme :

i~∂φ(~r, t)

∂t =

−~²

2m∇²+V_ext(~r)−µ

φ(~r, t) +gN|φ(~r, t)|²φ(~r, t) . (2.30) Ainsi φ₀ est une solution stationnaire de (2.30). Une des applications de cette

´equation est la d´etermination des excitations ´el´ementaires du condensat dans cette approximation. En ´ecrivant φ(~r, t) = φ₀(~r) +δφ(~r, t), o`u l’on suppose que |δφ| |φ<sub>0</sub>|, nous pouvons effectuer un d´eveloppement de (2.30) `a l’ordre 2. On obtient :

i~∂δφ

∂t =

−~²

2m∇²+V_ext(~r)−µ

φ(~r, t) + 2gN|φ₀|²δφ+gN φ²₀δφ^∗ , (2.31) ainsi que l’´equation conjugu´ee `a (2.31) portant sur δφ<sup>∗</sup>. Ces derni`eres se synth´etisent sous forme matricielle :

i~∂

∂t δφ

δφ^∗

=L δφ

δφ^∗

, (2.32)

Chapitre 2. Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 17 o`u L est la matrice dite de Bogoliubov-de Gennes d´efinie en (2.23). Nous voyons ici l’´equivalence parfaite, non triviale, entre le traitement quantique de la section (2.3.2) et le traitement classique que nous venons d’exhiber. Encore une fois, les valeurs propres et vecteurs propres de la matriceLdonnent le spectre d’excitations de l’´etat fondamen- tal φ<sub>0</sub>. Toutefois, la diff´erence est conceptuellement int´eressante : du cˆot´e quantique, nous trouvons des excitations correspondant `a des quasi-particules qui “entrent” ou

“sortent” du condensat, alors qu’ici nous avons, d`es le d´ebut de la d´emonstration, suppos´e que tous les bosons ´etaient dans le mˆeme ´etat.

Cette matrice n’est `a priori pas enti`erement diagonalisable, car non hermitienne.

Toutefois, nous verrons dans la section suivante des exemples concrets dans lesquels il est possible de d´eterminer le spectre d’excitations. Mais dans ce cas, l’ensemble des vecteurs propres de L ne forment pas une base.

2.4 Applications du formalisme ` a des cas pratiques

Nous allons, dans cette partie, utiliser les outils techniques d´evelopp´es dans les sec- tions pr´ec´edentes afin de d´eterminer des propri´et´es des condensats de Bose-Einstein.

Dans le premier paragraphe, nous d´eterminerons le spectre de Bogoliubov, qui, lui mˆeme contient beaucoup de physique int´eressante. Puis, nous ´etudierons les propri´et´es des condensats dans un confinement harmonique, ce qui est tr`es pertinent dans un contexte exp´erimental. Nous d´evelopperons enfin une th´eorie effective pour les conden- sats unidimensionnels, i.e. lorsque le pi`ege harmonique est tr`es anisotrope.

2.4.1 Condensat homog` ene - Spectre de Bogoliubov

Le but de cette section est de d´eterminer le spectre d’excitation d’un condensat homog`ene, dans une boˆıte de volume V, libre (V<sub>ext</sub> = 0). Nous allons proc´eder de deux mani`ere diff´erentes, et compl´ementaires pour la compr´ehension du probl`eme. La premi`ere consiste `a d´eterminer le spectre de la matrice deBogoliubov-de Gennes, tandis que la seconde consiste `a reprendre le hamiltonien de Bogoliubov, ´ecrit dans la base des ondes planes, particuli`erement adapt´ee au probl`eme homog`ene.

2.4.1.1 Diagonalisation de L

L’´ecriture de l’´equation de Gross-Pitaevskii donne directement φ₀(~r) = ^√1_V, et µ=gno`un= ^N_V . De plus, l’´energie de l’´etat fondamental estE₀ ≡E^GP[φ₀, φ^∗₀] = ^gN_2V². De ce fait, la matrice L se r´e´ecrit comme

L=

−_2m^~2∆ +gn gn

−gn −(−_2m^~2∆ +gn)

. (2.33)

Il convient ici d’effectuer une transform´ee de Fourier (en temps et en espace) sur l’´equation (2.32) afin d’obtenir l’´equation aux valeurs propres :

~ω

"

fδφ gδφ^∗

#

= _~²_k²

2m +gn gn

−gn −(^~_2m^2k2 +gn)

" fδφ gδφ^∗

#

, (2.34)

o`ufe≡fe(~k, ω) d´esigne la transform´ee de Fourier de la fonction (~r, t)→f(~r, t) o`u~k et ω sont respectivement les variables conjugu´ees `a ~r et t. Le syst`eme homog`ene obtenu poss`ede des solutions non triviales si et seulement si le d´eterminant est nul :

(gn)² =

~²k²

2m +gn−~ω ~²k²

2m +gn+~ω

, (2.35)

qui donne directement la relation de dispersion, aussi appel´ee spectre des excitations de Bogoliubov :

~ω(k) =

s~²k² 2m

~²k²

2m + 2gn

. (2.36)

Il est int´eressant `a ce niveau d’introduire une nouvelle longueur caract´eristique ξ, appel´eelongueur de relaxation, qui apparaˆıt naturellement du fait de la pr´esence de la non-lin´earit´e de l’´equation de Gross-Pitaevskii. Cette grandeur est d´efinie par

ξ= ~

√mgn , (2.37)

et permet de r´e´ecrire le spectre (2.36) comme suit :

~ω(k) = ~²k² 2m

r

1 + 4

k²ξ² . (2.38)

Nous pouvons identifier 2 cas limites int´eressants :

– `a grandes longueurs d’onde (λ ξ), on trouve ~ω = ~pgn

mk. Le facteur pgn m

dans l’expression pr´ec´edente est homog`ene `a une vitesse, et est, au mˆeme titre queξ, une grandeur caract´eristique des interactions. On peut d´emontrer que cette vitesse correspond `a la vitesse du son dans le condensat :

La pression dans le condensat est d´efinie parP = −^∂E_∂V⁰ = ^gN_2V²2. D’autre part, la vitesse du son cs est d´efinie par l’´egalit´e mc²_s = _nχ¹ , o`u χ est la compressibilit´e isentropique, elle mˆeme d´efinie parχ=−_V^{1 ∂V}_∂P. En effectuant le calcul, on trouve effectivement que c_s = p_gn

m. Les excitations ´el´ementaires sont donc des ondes se propageant `a la vitesse du son dans le condensat, et sont appel´ees phonons par analogie. Ces derniers correspondent aux excitations de basse ´energie, “pri- sonni`eres” du condensat.

– `a faibles longueurs d’onde (λ ξ), on retrouve le spectre des particules libres

~ω(k) = ^~_2m^2k2 +gn d´ecal´e en ´energie. Ceci s’interpr`ete par le fait que pour des excitations de grand nombre d’onde k, le terme cin´etique devient dominant en comparaison au terme d’interaction dans le spectre (2.36), et on recouvre ainsi une relation de dispersion d’un gaz de particules libres.

En r´esum´e, les modes d’excitations de Bogoliubov sont des quasi-particules qui peuvent ˆetre assimil´ees `a des ondes sonores ou `a des particules libres selon leur r´egime

´energ´etique. Le cas interm´ediaire n’est pas compr´ehensible aussi simplement, et cor- respond `a un ´echange entre ˆaφ et ˆΨ⊥. Ceci se comprend ais´ement `a l’observation de la figure (2.4) sur laquelle sont repr´esent´es le spectre exact des quasi-particules de Bogo- liubov (2.38), le spectre de particules libres, ainsi que le spectre lin´eaire des phonons.

Chapitre 2. Th´eorie des Condensats de Bose-Einstein 19

Figure 2.4: Repr´esentation graphique du spectre de Bogoliubov en noir. En rouge le spectre de phonons~ck, et en bleu, le spectre des particules libres ^~_2m^2k2.

2.4.1.2 Approximation de Bogoliubov dans la base des ondes planes - Transformation de Bogoliubov

Dans la section pr´ec´edente (2.4.1.1), nous avons d´etermin´e le spectre de Bogoliu- bov sans d´eterminer les vecteurs propres associ´es. Ici, nous proposons de retrouver le r´esultat pr´ec´edent (2.36) dans l’approche en seconde quantification. Pour ce faire, on d´eveloppe le hamiltonien (2.13) sur la base des ondes planes,i.e.en ´ecrivant l’op´erateur champ comme suit :

Ψ(~ˆ r) = 1

√V X

~ p

e^i~~p·~rˆa~p . (2.39) Cette base est particuli`erement adapt´ee au probl`eme libre (V_ext = 0). On obtient une ´ecriture nouvelle du hamiltonien :

Hˆ =X

~ p

p²

2maˆ^†_~pˆa~p+ g 2V

X

~ p1, ~p2,~q

ˆ

a^†_p~1+~qˆa^†_p~2−~qˆap~₂ˆap~₁ . (2.40) Nous effectuons maintenant la mˆeme approximation que dans la section (2.3.2), consistant ici `a supposer que le mode du condensat correspond `a ˆa₀ ≡ ˆa_~p=~0, et est macroscopiquement occup´e. De mani`ere ´equivalente, nous supposons ´egalement ˆa₀ ≈

√N₀ et haˆ^†₀ˆa₀i hˆa^†

~p6=~0aˆ_~p6=~0i, et effectuons un d´eveloppement `a l’ordre 2 de ˆH en ˆa_~p pour ~p6=~0. Nous obtenons l’expression du hamiltonien suivante :

Hˆ = gN² 2V +X

~p6=~0

p²

2mˆa^†_~pˆa_p~+gn 2

X

~p6=~0

2ˆa^†_~pˆa_~p+ ˆa^†_~paˆ^†_−~p+ ˆa_~pˆa−~p

. (2.41) C’est ici qu’intervient la fameusetransformation de Bogoliubov, consistant `a d´efinir de nouveaux op´erateurs bosoniques ˆb_p~ et ˆb^†_~p d´efinis comme suit :

ˆbp~ =u~paˆ~p+v~pˆa^†_−~p

ˆb^†_p~ =u_~paˆ^†_~p+v_~pˆa_−~p (2.42)